-2-
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1 Уравнения колебаний трехслойной пластины
постоянной толщины 12
1.1. Общая постановка задачи о колебаниях трехслойной пластины специального вида 12
1.2. Общее уравнение поперечных колебаний трсхслойпой пластины постоянной толщины специального вида 19
1.3. Приближенные уравнения поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины 22
1.4. Исследование пределов применимости приближенных уравнений 24
1.5. Продольные колебания трехслойной пластины постоянной толщины 27
ГЛАВА 2 Исследование поперечных колебаний трехслойной
прямоугольной пластины при различных граничных условиях 31
2.1. Аналитическое решение задачи о колебании пластины, шарнирно закрепленной по контуру 31
2.2. Собственные колебания пластины, жестко закрепленной
по контуру 36
2.3. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен (два решения различными методами) 43
2.4. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других свободны от закрепления 52
2.5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения) 58
2.6. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, два противоположных края которой жестко закреплены, а два других свободны от закрепления
2.7. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго закреплен (пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной)
2.8. Выводы и сравнения
ГЛАВА 3 Некоторые прикладные задачи вынужденных колебаний трехслойной упругой пластины
3.1. Нормальный удар по поверхности трсхслойной упругой пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а на двух других любые граничные условия
3.2. Нормальный удар по поверхности трсхслойной упругой пластины шарнирно опертой по контуру
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
-4-
Ввсдение
Развитие современной техники потребовало создания новых конструкций, обладающих низкой материалоемкостью и надежно работающих в упругой и вязкоупругой области в условиях сложных динамических нагрузок. К таким конструкциям следует отнести всевозможные пластины, имеющие различные закрепления по контуру, а также слоистые пластины, пространство между которыми заполнено упругой или вязкоупругой средой. Данные конструкции применяются в виде внутренних перекрытий и покрытий производственных и жилых зданий и спортивных сооружений, являются одеждой автомобильных дорог и аэродромов.
Поведение подобных конструкций при статических нагрузках достаточно хорошо изучено. Изучение поведения этих конструкций при динамических нагрузках еще далеки от завершения, а, как показали классические работы российских и зарубежных ученых, поведение, например, слоистых конструкций при динамических воздействиях может существенно отличаться от их поведения при статических нагрузках.
Постоянное развитие современной техники выдвигает повышенные требования к исследованию в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики, развитие более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, особенно при динамических нагрузках, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вязкоупругие свойства.
Среди перечисленных факторов одно из ведущих мест занимают проблемы теоретического и экспериментального анализа волновых и колебательных процессов в деформируемых средах и, в частности, в плоских элементах строительных конструкций.
Пластины, как плоские элементы конструкций, нашли широкое применение в различных областях техники и строительства. Это объясняется
-5-
тем, что плоским тонкостенным конструкциям присущи легкость и рациональность форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность, сочетание слоев позволяет создавать конструкции, сочетающие высокую прочность и жесткость с относительно малой массой. Поэтому развитие и уточнение теории колебания пластин, точная формулировка краевых задач динамики, использование новых методов решения является одной из важных приоритетных частей прикладной теории упругости и вязкоупругости, способствующей наиболее точному получению расчетных значений и, следовательно, повышению надежности конструкции в целом.
Вопросы теории и практики поведения элементов строительных конструкций при динамических воздействиях постоянно требовали развития математических методов и моделей, которые были бы применимы для вычислительной реализации и в достаточной мерс точно отражали механическую сущность задачи.
Математическая сложность динамических задач в механике деформируемого тела, исследуемых методами математической физики, обусловлена рядом причин, такими как свойства материалов, так и геометрическими особенностями механических систем.
Проблемам вывода уравнений .поперечных колебаний пластин и методам их решения посвящены работы большого числа авторов.
Леонард Эйлер одним из первых рассмотрел проблему изгиба тонкой упругой пластины применительно к ее колебаниям, представляя поверхность пластины системой упругих ортогональных нитей, обладающей поперечной инерцией. Е. Хладии своими исследованиями в области акустики дал толчок к развитию теории колебания пластин. Якоб Бернулли исследовал малый поперечный изгиб пластины, рассматривая ее уже не как систему нитей, а как систему балок.
Уравнения изгиба упругих тонких пластин, нагруженных поперечной нагрузкой, с учетом растягивающих усилий в срединной поверхности
-6-
выводили Ж. Лагранж и С. Пуассон.В 1829 году. С. Пуассон дал теорию колебания осесимметричных круглых пластин на основе уравнений Л. Навье теории упругости.
Классическая теория изгибных колебаний пластин была наиболее полно развита Г. Кирхгофом [134].
Г. Кирхгофф первым вывел уравнение колебаний. Основа заключена в следующем (при выводе уравнения Г. Кирхгофф предположил): нормаль к срединной поверхности после деформации остается нормальной к изогнутой поверхности. Он рассматривал колебания, т.с. перемещения точек срединной поверхности пластинки. В результате было получено уравнение параболического тина 4-го порядка по линейным координатам и 2-го порядка по времени. Это уравнение удовлетворяет только медленно протекающим низкочастотным процессам.
Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Г. Кирхгофа является уравнение, полученное Я.С. Уфляндом [115] на основе модели С.П Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.
Гипотезы С.П. Тимошенко [112] отличались от предложенных Кирхгоффом, в модели Тимошенко полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.
Б.Ф. Власов [16] построил теорию статического изгиба пластин с учетом искривления первоначально прямолинейного и нормального к срединной плоскости пластины элемента пластины после деформирования.
Одним из основных методов построения приближенных уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые
- 7 -
примененный еще в работах Коши и Пуассона [144]. С помощью этого метода трехмерная задача динамической теории упругости приводится к приближенной двухмерной.
В динамике пластин метод степенных рядов применял И.Г. Селезов [106]. Впоследствии Г.И. Петрашень [96] дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации.
Широкое применение получил асимптотический метод в расчете пластин на колебания, разработанный В.В. Болотиным [10].
Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж.Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.Ф. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, A.A. Ильюшин, В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев, Г. Кольский, Р.- Кристенсен, В.Д. Кубеико, H.H. Леонтьев, А. Ляв, Н.П. Огибалов, О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничной, Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей, А.Р. Ржаницын, И.Т.Селезов, В.И. Смирнов, И.Г. Филиппов и другие.
Видное место в литературе занимают публикации, связанные с широким анализом таких физических факторов, как анизотропия, неоднородность и вязкость. Эти вопросы исследовались в работах: С.А. Амбарцумяна, В.И. Андреева, Е.Ф. Бурмистрова, Г.С. Варданяна, Г.Б. Колчина, С.В. Кузнецова, С.Г. Лехницкого, В.И. Митчел, С.Г. Михлина, П. Теодореску, Д.Я. Шерман и многих других.
Наряду с этим широко применяются численные методы решения, что отражено в работах: В.И. Андреева, И.А. Бригера, Я.М. Григоренко, В.А. Ломакина, Н.Д. Покровской, А.М. Проценко, В.И. Соломина, P.A. Хечумова, H.H. Шапошникова и многих других.
Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики элементов конструкций и сооружений, связаны с работами таких ученых, как Л.Я. Айнола, А.Я. Александров, A.A. Амосов, В.В. Болотин, Н.М. Бородачев, Л.М. Бриховский, Г.С. Варданян, В.З. Власов, М.А. Дашевский,
-8-
О.А. Егорычсв, Г. Каудерер, Б.Г. Коренев, Г.Б. Муравский, Л.В. Никитин, Ю.Н. Новичков, В.В. Найвельт, У.К. Нигул, H.A. Николаенко, И.Н.
Преображенский, В.Д. Райзер, А.Е. Саргсян, Д.Н. Соболев, С.П. Тимошенко, Я.С. Уфлянд, Г.Л. Хесин, А.И. Цейтлин, Г.Э. Шаблинский, Т.Ш. Ширенкулов и многие другие.
Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах многих ученых: Д. Бленд, А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, Р.Д. Миндлин, Г.И. Петрашень, С.Б. Смирнов, А.Я. Сагомонян, Л.И. Слепян, Х.Р. Рахматулин, И.Г. Филиппов, Г.Л. Хесин, Я.С. Уфлянд и многие другие.
В большинстве работ указанных авторов приближенные уравнения получены, исходя из предпосылок и гипотез механического и геометрического характера.
Ряд работ посвящен критическому анализу применяемых гипотез. Так, например, в работе В.В. Новожилова и P.M. Финкелышейна [85] указано, что гипотезы Кирхгофа - Лява в теории оболочек приводят к значительным погрешностям и даны оценки этим погрешностям.
Теории колебаний, основанные на модели Тимошенко, также основаны на ряде гипотез, хотя приближенные уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа и учитывают деформацию сдвига и инерцию вращения.
Основным вопросом в теории колебаний пластин, является математически обоснованная постановка краевой задачи: вывод общих и основанных на них приближенных уравнений колебаний, формулировка граничных условий на краях пластины и обоснование необходимого числа начальных условий без привлечения каких-либо гипотез механического и геометрического характера.
В начале 60-х годов XX века Г.И. Петрашень [96] предложил выводить уравнения колебаний чисто математически, без всяких гипотез, разлагая сами функции и граничные условия в ряды. В настоящей работе используется новый приближенный метод, метод декомпозиций,
- Киев+380960830922