СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Глава 1 Основы подхода Вете-Солиитера 12
1.1 Уравнения Бете-Солпитера .................................. 12
1.2 Вычисление наблюдаемых величин............................. 16
1.3 Свойства амплитуд Бете-Солпитера........................... 20
1.3.1 Собственные преобразования Лоренца................... 21
1.3.2 Пространственная инверсия............................ 22
1.3.3 Обращение времени.................................... 23
1.3.4 Изоспиновая симметрия и принцип Паули................ 25
1.3.5 Уравнения на угловую зависимость............ . . . 27
1.4 Парциальное разложение спинорных амплитуд БС............... 29
Глава 2 Решение уравнений Бете-Солимтера 34
2.1 Предварительные замечания.................................. 34
2.2 Формулировка метода для скалярных частиц.................. 36
2.3 Вычисления и результаты ................................... 44
2.4 Слшнорные частицы.......................................... 47
2.5 Модель дейтрона............................................ 51
2.5.1 Парциальное разложение амплитуды и уравнения . . . 52
2.5.2 Численное решение уравнения.......................... 56
2.5.3 Условие нормировки................................... 57
2.5.4 Оператор спина и /2-волна............................ 59
2.5.5 О реалистической модели дейтрона..................... 62
2.5.6 Связь различных спин-угловых базисов для 7=1... 64
2.6 Выводы..................................................... 66
'лава 3 Реакции расщепления дейтрона 68
3.1 Фрагментация дейтрона рВ рпр............................... 68
3.1.1 Мотивация исследований............................... 68
3.1.2 Спектаторный механизм................................ 70
2
3.1.3 Релятивистские поправки............................................................ 72
3.1.4 Численные результаты............................................................... 75
3.2 Реакция перезарядки pD —> п(рр)......................................................... 77
3.2.1 Статус исследований и их цели...................................................... 77
3.2.2 Кинематика и обозначения........................................................... 79
3.2.3 Амплитуда процесса в подходе Бете-Солпитера .... 86
3.2.4 Анализ полученных результатов...................................................... 92
3.3 Выводы................................................................................... 98
Глава 4 Упругое р£>-рассеяние на 180° 100
4.1 Кинематика, структура амплитуды и наблюдаемых............................................102
4.2 Однонуклониый обмен......................................................................105
4.3 Эффекты лоренц-буста.....................................................................109
4.4 Релятивистские поправки от Р-волн .......................................................113
4.5 О полном наборе наблюдаемых величин......................................................115
4.6 Приближение одной итерации...............................................................117
4.7 Треугольные диаграммы....................................................................121
4.8 Анализ результатов.......................................................................126
4.9 Выводы...................................................................................129
Заключение 131
[итература 134
[риложения 141
А Ковариантная форма записи амплитуд БС....................................................141
В Коэффициенты Ci, Сч, ....................................................................145
С Спиральные вращения Вика • . . . . 146
3
Введение
Экспериментальное и теоретическое изучение поляризационных характеристик различных ядерных реакций продолжает оставаться одним из главных направлений развития ядерной физики. Как известно, нуклон-нукл-онные силы, ответственные за формирование ядер, в существенной мере являются тензорными, т.е. зависящими от спина, поэтому естественно было бы ожидать, что наиболее полное и всестороннее их изучение возможно только в реакциях с поляризованными частицами. По мере развития методов получения поляризованных пучков частиц и мишеней в последние годы в различных экспериментальных лабораториях мира (например, COSY, TJNAF и т.д.) продолжает активно развертываться программа исследования структуры легчайших ядер в поляризационных экспериментах. В частности, не убывает интерес к изучению поляризационных характеристик дейтрона как в адронных [1, 2], так и в электромагнитных процессах [3, 4]. Помимо проверки фундаментальных результатов КХД (например, изучения <32-эволюции правила сумм Герасимова-Дрелла-Херна. [3]) предлагаемые эксперименты достигают уже того уровня детальности, когда становится возможной численная реконструкция амплитуд соответствующих процессов из экспериментальных данных [1, 4, 5), и ожидается получение исчерпывающей информации о нуклонных импульсных распределениях [2,6].
Простейшие адронные реакции на дейтроне - это процессы рассеяния протонов вперед или назад. Их экспериментальное исследование было начато около 20 лет назад в Дубне и Сакле [б, 7, 8, 9] и планируется к продолжению, например, на установке COSY [2]. Эти реакции можно разделить на три типа: инклюзивная и эксклюзивная фрагментация и упругие процессы. Их общей чертой является то, что в коллинеарной геометрии импульс ко-
4
печного протона прямо связан с аргументом волновой функции дейтрона, конечно, в предположении, что в механизме реакции доминирует однону-клонный обмен. Таким образом, прямое экспериментальное исследование импульсного распределения в дейтроне представляется вполне осуществимым. С использованием поляризованных частиц можно также изучать различные аспекты спин-орбитальных взаимодействий в дейтроне и прояснять роль ненуклонных степеней свободы (Д-изобары, мезонные токи и т.д.) в его волновой функции. Положительное указание на этом пути состоит в том, что импульсные распределения, извлеченные из различных электромагнитных и адронных процессов, оказываются весьма близкими. Следовательно, реализация экспериментальных программ на различных установках может дать достаточно полную информацию о внутренней структуре дейтрона. Кроме того, как было отмечено в работах [10, 11, 12], в нерелятивистских вычислениях поляризационные наблюдаемые, такие как тензорная анализирующая способность Т-щ и передача поляризации в
точности совпадают для всех трех типов реакций в фиксированной кинематике. В более сложных, чем нерелятивистское импульсное приближение, подходах поляризационные величины для разных процессов, конечно же, различны. Таким образом, комбинированный анализ данных по ним для трех упомянутых типов реакций должен дать существенную информацию о механизмах этих процессов, роли ненук лонных степеней свободы и релятивистских эффектов в дейтроне.
В настоящей диссертации изучаются различные аспекты реакций р1) -> рпр (фрагментация), рГ> —>■ ть(рр) (перезарядка) и рО Ор (упругое рассе-
яние), как с использованием уже полученных экспериментальных данных, так и с целью дать предсказания для планируемых экспериментов. Одна из основных тем - разработка метода классификации и исследования релятивистских эффектов и выяснение их роли в конкретных наблюдаемых величинах. Поясним вкратце, почему это актл'ально. Ясно, что при теоретической интерпретации экспериментальных данных проблемы установления механизма реакции и роли релятивистских эффектов являются взаимно дополнительными, в том смысле, что эти вопросы всегда возникают одновременно. На сегодняшний день можно считать твердо установленным, что в
5
протон-дейтронном рассеянии для значительных (порядка единиц ГэВ) передач импульса традиционные подходы, основанные на нерелятивистских волновых функциях Шредингера, не дают адекватного описания данных, по крайней мере для простейших механизмов импульсного приближения (см., например, [13]). В принципе, можно попытаться учитывать релятивистские эффекты, оставаясь в рамках этих подходов (например, при помощи процедуры минимальной релятивизации, см. [14, 15]), и одновременно рассматривать более изощренные механизмы реакции. С нашей точки зрения, такой ход рассуждений не всегда себя оправдывает (так, в работе [13] приведен пример, когда релятивизация в целом даже ухудшает согласие с экспериментом, хотя естественно было бы ожидать обратного). Более последовательным является использование релятивистских ковариантных подходов, когда все релятивистские эффекты в описании начальных и конечных состояний и механизмов рассматриваемых реакций уже содержатся в формализме.
Итак, требование последовательного релятивистского описания процессов протон-дейтронного рассеяния является вполне естественным. Таким образом, мы приходим прежде всего к релятивистской задаче о связанном состоянии системы из двух нуклонов, какой является дейтрон. Как известно, дейтрон - слабосвязанная и слаборелятивистская система, однако в данной работе мы покажем, что отсюда вовсе не следует вывод о малости релятивистских эффектов во всех реакциях с его участием. В квантовой теории поля одним из наиболее распространенных средств исследования двухчастичной проблемы является уравнение Бете-Солпитера (БС) [16]. Более общо, после работ [17]—[20] стало возможным говорить о целом подходе (формализме) Бете-Солпитера, включающем в себя, с одной стороны, способ описания связанных состояний и состояний рассеяния (при помощи релятивистских аналогов волновых функций Шредингера - амплитуд БС), а с другой ~ метод Маидельстама [20,, который в тех же терминах дает самосогласованный рецепт вычисления наблюдаемых величин в любых процессах с участием связанных состояний1, с сохранением полной ковари-
1 Легко показать, что в отсутствие связанных состояний метоп Маидельстама сводится к обычной диаграммной технике Фейнмана [20].
6
антности на каждом этапе расчетов. В подходе БС связанное состояние описывается амплитудой, которая представляет собой решение однородного уравнения БС с соответствующим ядром взаимодействия. Вплоть до настоящего времени анализ таких уравнений для реалистических случаев является самостоятельной задачей, требующей отдельного исследования. Это объясняется тем, что уравнения такого рода не относятся к фредголь-мовским, и спектральные свойства их ядер неизвестны. Общая постановка задачи здесь состоит в вычислении спектра масс связанных состояний и соответствующих амплитуд БС. С физической точки зрения она подобна задаче определения энергетического спектра, атома водорода при помощи уравнения Шредингера или уравнения Дирака, но имеется принципиальное математическое отличие - в уравнение БС энергия связанного состояния всегда входит нелинейно, и не может рассматриваться как собственное значение задачи Штурма-Лиубилля. Поэтому в настоящей диссертации уделяется много внимания разработке методоз решения уравнений БС, и это мотивируется не только необходимостью получить соответствующую амплитуду БС для дейтрона. Другой, независимый пример необходимости таких методов - это задача нахождения спектра масс и соответствующих волновых функций мезонов как связанных состояний ’’кварк 4- антикварк”. Действительно, многочисленные качественные и количественные оценки свидетельствуют, как правило, о существенно релятивистском характере движения конституент в этом связанном состоянии. Подходы, основанные на уравнении БС с ядрами взаимодействий, мотивированными КХД, весьма распространены в мезонной спектроскопии, и методы их решения востребованы. Отметим еще раз, что разработка последних занимает значительную часть данной диссертации.
Общеизвестно, что описание реальных процессов в подходе БС всегда приводит к чрезвычайно громоздким расчетам, как численным, так и аналитическим. Существенная методическая проблема заключается в том, что прямое использование в ковариантных аналитических вычислениях специализированных программных пакетов манипуляции с алгебраическими выражениями (например, Мар1е V, МаНютаНса) не исправляет ситуации. Наш опыт свидетельствует, что во многих реалистических расчетных слу-
7
чаях (например, однонуклонный обмен для процесса р1) —»■ Ор) даже на самых современных аппаратных средствах вычисление наблюдаемых величин крайне трудно выполнить в разумные сроки. При этом промежуточные результаты чрезвычайно громоздки и совершенно не поддаются анализу и проверке. Таким образом, одной лишь компьютерной алгебры 7-матриц недостаточно, и необходима разработка специальных методов вычисления наблюдаемых величин в подходе БС. Б настоящей диссертации этой проблеме уделяется много внимания, и успешно разрабатывается метод ее решения на основе использования нединамических спиновых структур амплитуд исследуемых реакций.
Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и трех приложений. В начале каждой главы формулируется рассматриваемая в ней проблематика, а в конце - приводятся основные результаты.
Первая глава носит преимущественно вводный характер и посвящена обзору общих положений подхода Бете-Солпитера. В параграфе 1.1 формулируются основные понятия и объекты формализма БС - уравнения и амплитуды БС, ядра взаимодействия. Б параграфе 1.2 на примере процесса рП —» Ор излагается метод вычисления наблюдаемых величин в подходе БС (метод Мандельстама). Раздел 1.3 содержит обзор общих трансформационных свойств амплитуд БС относительно преобразований Лоренца, пространственной инверсии, обращения времени и пр. В разделе 1.4 на основе метода спин-угловых гармоник проводится парциальное разложение произвольной амплитуды БС.
Во второй главе развивается метод исследования энергетического спектра однородных уравнений БС в лестничном приближении - метод исчерпывания, который позволяет получать собственные значения энергии и соответствующие им решения уравнений (амплитуды). Параграф 2.1 содержит вводные положения; в разделе 2.2 излагается суть предлагаемого метода на примере скаляр-скалярного уравнения БС. Для этого ядро уравнения Б С модифицируется таким образом, чтобы в результате получить эквивалентное симметричное уравнение Фредгольма, для которого известны точные свойства спектра решений и ядра (в частности, разложение ядра в ряд
8
Гильберта-Шмидта). Исходя из этих свойств, формулируется строго обоснованный численный метод и приводится пример конкретных расчетов энергетического спектра по этому методу (раздел 2.3). Параграф 2.4 посвящен обобщению полученных результатов на случай спинор-спинорного уравнения БС в лестничном приближении. В разделе 2.5, состоящем из нескольких подпунктов, на основе разработанных методов рассматривается простейшая релятивистская модель дейтрона - спинор-спинорное уравнение БС с обменом скалярным мезоном. Приводятся полученные результаты его решения и анализируется физическая адекватность модели на примерах вычисления некоторых наблюдаемых величин (в частности, с использованием полученного решения исследуются сечение и тензорная анализирующая способность Т20 в реакции pD —» рХ). Здесь также описывается реалистическая модель дейтрона, которая будет использована в последующих главах.
Третья и четвертая главы посвящены изучению процессов протон-нейтронного рассеяния в подходе БС на основе принципов, описанных и разработанных в первых двух главах диссертации. Общим в изложении третьей и четвертой глав является использование в вычислениях реалистической модели дейтрона и методическое единство рассмотрения амплитуд реакций и расчетов наблюдаемых величин. Как правило, сначала изучается модельно-независимая структура амплитуд и наблюдаемых, определяющаяся только спиновым типохм реакции (1/2 + 1 1/2 + 0, 1/2 + 1 -> 1/2 + 1,
и т.д.), и только затем она приобретает в подходе БС конкретное динамическое содержание. Именно такой метод позволяет до конца выполнить здесь чрезвычайно громоздкие аналитические вычисления. Эти главы также объединяет проводимая в них разработка общего метода исследования релятивистских эффектов в подходе БС. В третьей главе рассматриваются реакции расщепления дейтрона протонами. Раздел 3.1 содержит анализ процесса фрагментации pD -> рпр поляризованного дейтрона протонами для кинематических условий синхротрона COSY. Целью исследований является получение предсказаний для планируемых экспериментов. В приближении однонуклонного обмена вычисляются неполяризованное сечение, тензорная анализирующая способность Т20 и передача поляризации
9
кр-ур, производится аналитическое выделение и численный анализ релятивистских эффектов, обусловленных вкладами P-волн. Вводится важное понятие волновых функций Бете-Солпитера, которое будет широко использоваться в дальнейшем. Эти функции рассматриваются как аналоги нсре-лятивистских S- и Р-компонент дейтрона, и дают доминирующий вклад во все наблюдаемые величины, по аналитической форме в точности совпадающий с нерелятивистскими результатами. В разделе 3.2 проводится теоретическое исследование реакции перезарядки pD —» п(рр) при малых передачах импульса и малых энергиях возбуждения до-пары, для промежуточных и высоких начальных энергий (Дубна, COSY). Параграф 3.2.2 содержит определения основных кинематических величии и наиболее общий вид спиновой структуры амплитуды и наблюдаемых реакции. В разделе 3.2.3 описана динамическая модель рассматриваемой реакции в подходе БС, вычисляется аналитически матричный элемент процесса и обсуждаются сделанные приближения, основное из которых - приближение плоской ^ц-волиы для конечной до-пары. Результаты численных расчетов сечения и тензорной анализирующей способности Т20, их анализ и сопоставление с экспериментальными данными приведены в разделе 3.2.4; также здесь помещены основные выводы, в частности, заключение о возможности использования рассматриваемой реакции в качестве базовой для создания тензорного дейтронного поляриметра.
В четвертой главе представлена теоретическая модель реакции упругого р!3-рассеяния назад. В разделе 4.1 вводятся кинематические переменные и описывается спиновая структура амплитуды процесса и наблюдаемых. Далее, в разделах 4.2-4.6, рассмотрение реакции рй ->■ Dp основано на механизме одионуклонного обмена. В рамках этого приближения обсуждается ряд наблюдаемых величин из полного набора: в соответствии с разрабатываемым методом анализа в результатах вычислений выделяются доминирующие положительно-энергетические вклады, имеющие нерелятивистские аналоги, и релятивистские эффекты - поправки от лоренц-буста и вклады У^-волн. Приведены аналитические и численные результаты, производится сопоставление с доступными экспериментальными данными. Обнаружены наблюдаемые величины, для которых учет релятивистских эффектов явля-
10
ется очень существенным. В разделе 4.6 релятивистские поправки интерпретируются как мезонообменные токи, известные из нерелятивистского описания. Для этого вводится так называемое приближение одной итерации для P-волн, которое позволяет явно выразить и 1Р1+~-компоненты
через нерелятивистские S- и Z>-волны в дейтроне. Конечный результат для амплитуд процесса оказывается близким к нерелятивистским оценкам токов рождения NN- пар. Далее, в разделах 4.7 и 4.8 в дополнение к од нону к лонному обмену изучается вклад в механизм реакции диаграмм с обменом тг-мезоном (треугольных диаграмм). Влияние их учета на численные результаты исследуется для сечения, тензорной анализирующей способности 720 и передач поляризации к,р^р и кр^р. Обнаружено, что треугольные диаграммы существенно улучшают согласие с данными для сечения, тогда как изменения в поляризационных характеристиках, являясь позитивными, гораздо менее значительны.
В заключении суммированы основные результаты диссертации.
Приложения содержат справочный материал и некоторые технические детали. В приложении А приведены ковариангные формы записи амплитуд БС; в приложение В вынесены некоторые громоздкие кинематические выражения из раздела 3.2; приложение С содержит общие сведения о спиральных вращениях Вика.
Оригинальная часть диссертации основана на материалах работ [21]— [33], которые неоднократно докладывались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова (ОИЯИ), Института адронной и ядерной физики Исследовательского центра Россендорф (Герма-ния), филиалов INFN в Перудже, Риме и Триесте (Италия), физического факультета С.-Петербургского государственного университета. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены и докладывались на Международном семинаре по проблемам физики высоких энергий 1SHEPP-XV (Дубна, 2000 г.); на международных симпозиумах ”Дейтрон~97” и ”Дейтрон-99'’ (Дубна, 1997 и 1999 гг.); на международном рабочем, совещании ’’Progress in Current Few-Body Problems” (Дубна, 1997 г.); на Первой и Пятой конференциях молодых ученых и специалистов ОИЯИ (Дубна, 1997 и 2001 гг.).
И
Глава 1
Основы подхода Бете—Солпитера
1.1 Уравнения Бете-Солпитера
Рассмотрим систему из двух взаимодействующих спинорных частиц А и В (при расчетах реакций в главах 3 и 4 А соответствует протону, В -нейтрону). Амплитуда Бете-Солпитера для этой системы определяется следующим образом:
Ф{хъх2)ар = (0\Tip*(zi)i>is(x2)\AB) = е~,рхФ(х\ - Xi)aff, (1.1)
где \АВ) - вектор состояния системы А + В (|АВ) может быть как связанным состоянием, так и состоянием рассеяния), фл(х±), фв(х2) - нолевые операторы в представлении Гейзенберга, а,/3 - спинорные индексы.
В выражении (1.1) зависимость Ф(яьЯ2) от 4-координаты Якоби X = (#1+22)/2 выделена в экспоненциальный множитель exp (—iP-X)t но функция относительного движения Ф(х), X = Х\ ~ Х2, по-прежнему зависит от полного импульса системы Р. Характер этой зависимости определяется трансформационными свойствами амплитуды (1.1) относительно преобразований Лоренца и будет более подробно обсуждаться в разделе 1.3.1.
Аналогичным образом определяются компоненты сопряжённой амплитуды Ф
Ф(хих2)а? = (АВ\Т'ф^(хг)гр0 (х2)\0) = е,рхФ(х\ - х2)ар. (1.2)
Амплитуду БС для случая скалярных частиц Ли В будем обозначать как <p(xi,X2) = {0\TipA(Xi)(pB(X2)\AB) = e~tPX(p(x). (1.3)
12
- Киев+380960830922