Вероятностные модели и статистический анализ стохастических модулированных процессов в условиях параметрической априорной неопределенности

СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Список сокращений...................................................... 4
Введение............................................................... 5
1. Вероятностные модели и классификация стохастических модулированных процессов................................................................................ 13
1.1. Обобщенная модель стохастического модулированного процесса... 13
1.2. Стохастический модулированный процесс как модель сигнала в информационных системах................................................. 20
1.3. Функционал отношения правдоподобия гауссовского стохастического модулированного процесса, наблюдаемого на фоне гауссовской помехи.................................................. 25
2. Статистический анализ составных процессов с однократным изменением свойств............................................................... 40
2.1. Обнаружение двухкомпонентного случайного процесса в условиях параметрической априорной неопределенности.............................. 40
■ 2.2. Оценка параметров двухкомпонентного составного случайного процесса................................................................ 54
2.3. Вырожденный однокомпонентный составной процесс с однократным изменением свойств........................................ 60
2.3.1. Обнаружение вырожденного однокомпонентного составного процесса с однократным изменением свойств в условиях параметрической априорной неопределенности.................................................. 60
2.3.2. Оценка параметров вырожденного однокомпонентного составного процесса с однократным изменением свойств............................... 71
2.4. Составной квазидетерминированный процесс с однократным изменением свойств...................................................... 80
2.5. Статистический анализ узкополосного двухкомпонентного случайного процесса..................................................... 87
2.6. Статистический анализ однокомпонентного случайного процесса при воздействии комплекса случайных искажений........................... 91
2.6.1. Обнаружение однокомпонентного случайного процесса при
воздействии комплекса случайных искажений.............................. 91
2.6.2. Оценка длительности однокомпонентного случайного процесса с однократным изменением свойств при воздействии комплекса случайных искажений.......................................................... 100
2.7. Статистическое моделирование алгоритмов обработки составных процессов с однократным изменением свойств............................. 109
3. Статистический анализ составных процессов с двукратным изменением свойств........................-....................................... 124
3.1. Обнаружение трехкомпонентного случайного процесса в условиях параметрической априорной неопределенности............................. 124
3.1.1. Обнаружение составного случайного процесса с неизвестной
длительностью интервала стационарности................................. 124
3.1.2. Обнаружение составного случайного процесса с неизвестным
временным положением интервала стационарности.......................... 128
3.2. Оценка параметров трехкомпонентного случайного процесса 141
3.2.1. Раздельные оценки длительности и временного положения интервала стационарности составного случайного процесса.......................... 141
3.2.2. Совместная оценка длительности и временного положения интервала стационарности составного случайного процесса.......................... 151
3.3. Вырожденный однокомпонентный составной процесс с
двукратным изменением свойств............................................ 159
3.3.1. Обнаружение вырожденного составного процесса с двукратным изменением свойств в условиях параметрической априорной неопределенности..................................................... 159
3.3.2. Оценка параметров вырожденного составного процесса с двукратным изменением свойств....................................................... 166
3.4. Статистический анализ узкополосного трехкомпонентного случайного процесса...................................................... 169
3.5. Статистическое моделирование алгоритмов обработки составных процессов с двукратным изменением свойств................................ 172
4. Статистический анализ регулярных гауссовских случайных импульсов 178
4.1. Обнаружение регулярного случайного импульса с неизвестным временным положением..................................................... 178
4.2. Обнаружение регулярного случайного импульса с неизвестными параметрами.............................................................. 187
4.2.1. Обнаружение полосового регулярного случайного импульса с неизвестными параметрами.................................. ............. 187
4.2.2. Обнаружение регулярного узкополосного случайного импульса с неизвестными временным положением и центральной частотой спектра мощности ....................................:...................... 195
4.3. Оценка временного положения регулярного случайного импульса. 200
4.4. Оценка параметров регулярного случайного импульса............. 205
4.4.1. Оценка параметров полосового регулярного случайного импульса 205
4.4.2. Оценка временного положения и центральной частоты спектра мощности узкополосного регулярного случайного импульса................... 209
4.5. Границы применимости моделей регулярных и разрывных случайных импульсов...................................................... 214
4.6. Статистическое моделирование алгоритмов обработки регулярных случайных импульсов........................................... 220
5. Статистический анализ составных процессов с многократным изменением свойств.........................................................-........ 230
5.1. Обнаружение манипулированного узкополосного случайного процесса в условиях параметрической априорной неопределенности........... 230
5.2. Оценка параметров манипулированного узкополосного случайного процесса.................................................... 238
6. Некоторые дополнительные вопросы, связанные с обработкой стохастических модулированных процессов.................................. 242
6.1. Байесовские алгоритмы обработки стохастических модулированных процессов................................................. 242
6.2. Алгоритмы обработки стохастических модулированных процессов при неизвестной форме спектра мощности................................... 252
6.3. Скрытность передачи информации при использовании стохастических модулированных процессов.................................. 257
6.4. Статистический анализ стохастических модулированных
процессов в условиях “медленных” флуктуаций.............................. 271
Заключение.............................................................. 282
Литература............................................................. 286
4
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
АМ - амплитудная модуляция АИМ - амплитудная импульсная модуляция ВИМ - время-импульсная модуляция ИМ - импульсная модуляция
ИМ-АМ - импульсная модуляция - амплитудная модуляция
ИМ-ЧМ - импульсная модуляция - частотная модуляция
КП - квазиправдоподобный
МП - максимальное правдоподобие
ОСШ - отношение сигнал/шум
РЛС - радиолокационная станция
РЭС - радиоэлектронная система
ФОП - функционал отношения правдоподобия
ЧМ - частотная модуляция
ШИМ - широтно-импульсная модуляция
ШН - шумовая несущая
5
ВВЕДЕНИЕ
Большинство радиофизических информационных систем характеризуются тем, что для описания происходящих в них процессов требуется применение вероятностного подхода [64]. Это означает, что во многих случаях невозможно описать те или иные процессы с помощью детерминированных соотношений и приходится использовать их вероятностные (статистические) свойства. Применительно к радиофизическим приложениям можно указать целый ряд причин, обусловливающих необходимость применения такого статистического подхода. Укажем на ряд характерных примеров, подтверждающих целесообразность использования стохастических моделей для описания реальных физических процессов.
В гидроакустике природа происходящих там процессов такова, что наилучшим способом описания является именно вероятностный (статистический) подход [9, 13, 38, 130, 150, 151, 165]. Действительно, несмотря на то, что температура на фиксированной глубине в течение длительного времени изменяется в пределах долей градуса, это изменение приводит к существенному отклонению скорости звука. Кумулятивный эффект вдоль траектории луча вызывает заметные изменения интенсивности. В результате, прошедший через толщу воды акустический сигнал превращается в случайный. Кроме этого, движущиеся элементы конструкции надводных и подводных кораблей являются причиной возникновения в водной среде случайных акустических волн. Если удары (например, в поршневых и кривошипно-шатунных механизмах) возникают в случайные моменты времени и имеют случайные амплитуды, то возникающее звуковое давление воспринимается как случайный процесс (шум).
Аналогичного рода процессы могут происходить при распространении радиоволн в турбулентной атмосфере [87, 146, 152]. В тропосфере, наряду с регулярными неоднородностями (регулярное изменение температуры, давления и влажности с высотой) имеются и случайные, связанные с турбулентным (вихревым) движением воздуха, первопричиной которого является нагревание земной поверхности и воздуха солнцем. Такое турбулентное движение приводит к тому, что в атмосфере образуются случайные неоднородности различных размеров, изменяющиеся во времени, и в двух соседних участках температура, давление и влажность воздуха имеют неодинаковые значения. Локальные неоднородности этих параметров приводят к локальным случайным неоднородностям коэффициента преломления воздуха. В результате случайные локальные неоднородности показателя преломления воздуха могут привести к искажениям фазового фронта волны и к флуктуациям амплитуды поля.
Еще один характерный пример, подтверждающий целесообразность использования стохастических моделей, относится к отражению сигналов распределенными целями. Сигналы, отраженные от многих природных образований (поверхность земли или моря, гидрометеоры, ионосфера, искусственные металлизированные отражатели и т.д.), с точки зрения статистики обладают рядом общих свойств. Все они могут быть представлены суммой очень большого числа сигналов, отраженных независимыми элементарными отражателями, случайным образом распределенными на поверхности или в пространстве. Если среднее число отраженных элементарных сигналов достаточно велико, то откликом распределенной цели на посланный импульс является отрезок случайного (в большинстве случаев, гауссовского) случайного процесса.
К факторам, определяющим статистические свойства реальных процессов, можно также отнести нестабильность генераторов электромагнитных колебаний,
6
неоднородность отражающих или излучающих поверхностей объектов и т.д. [58, 105,106,136 и др.].
Таким образом, статистический анализ стохастических процессов представляет собой важную теоретическую и практическую задачу, результаты которой могут быть использованы при описании свойств многих радиофизических информационных систем.
Среди большого многообразия моделей стохастических процессов достаточно заметное место занимают стохастические модулированные процессы. Подобного типа процессы могут быть названы также составными [79, 95]. Это объясняется тем, что реализация такого процесса состоит из нескольких фрагментов (элементов) с различными свойствами. Другими словами, реализацию стохастического модулированного процесса можно рассматривать как чередование стационарных фрагментов, вплотную примыкающих друг к другу и имеющих различные характеристики [75]. Причем достаточно часто выполняются следующие условия: величины интервалов стационарности намного превышают времена корреляции соответствующих элементарных процессов, из которых и состоит стохастический модулированный процесс. Модели в виде стохастических модулированных процессов являются достаточно адекватными при описании импульсных процессов на выходе каналов со случайными параметрами, а также различных технологических процессов с учетом возможного скачкообразного изменения режима их работы. В целом, если свойства среды распространения характеризуются резкой изменчивостью в некоторые моменты времени, то во всех рассмотренных ранее примерах наиболее целесообразным является использование модели сигнала в виде стохастического модулированного процесса. Более того, стохастические процессы могут быть использованы непосредственно для передачи информации. Действительно, стохастический модулированный процесс можно получить, если в качестве переносчика (несущей) использовать реализацию стационарного случайного процесса (шумовую несущую) и осуществлять ее модуляцию по некоторому закону. Использование сигналов с шумовой несущей имеет ряд достоинств по сравнению с традиционными методами, таких как высокая скрытность передачи информации, хорошая помехозащищенность, высокая скорость передачи данных и т.д. [40, 42,45, 51, 76, 89, 138, 139, 159].
Кроме случайного характера наблюдений при статистическом анализе стохасгических процессов необходимо учитывать обычно имеющую место априорную неопределенность относительно некоторых статистических характеристик или их параметров [21, 96]. Степень априорной неопределенности может быть различной. Достаточно типичной является ситуация параметрической априорной неопределенности, когда неизвестным является лишь конечный набор параметров исследуемого процесса. Иногда к параметрическим удается свести и некоторые непараметрические задачи.
Однако как синтез, так и анализ алгоритмов различения (обнаружения) и фильтрации (оценки параметров) в условиях параметрической априорной неопределенности отнюдь не являются тривиальными задачами, несмотря на то, что ряд принципов их решения известен уже достаточно давно. Действительно, хорошо известно, что байесовские алгоритмы обнаружения и оценивания обладают лучшими характеристиками по сравнению с максимально правдоподобными алгоритмами [118, 156]. Однако это достигается за счет существенног о увеличения априорной информации о наблюдаемых данных, и в результате приводит к значительно более сложным с практической точки зрения алгоритмам. Выбор алгоритма (байесовского или максимально правдоподобного) существенным образом зависит от характера решаемой задачи - наличием достаточного количества априорной информации, компромиссом между
7
качеством приема и простотой практической реализации приемного устройства и т.д.
Наличие большого числа неизвестных параметров зачастую приводит к существенному усложнению оптимальных алгоритмов приема [8]. Поэтому возникает необходимость создания более простых - квазиоптимальных алгоритмов. Однако использование неоптимальных алгоритмов вместо оптимальных имеет смысл только тогда, когда эффективность приема в результате такой замены ухудшается незначительно. Другими словами, выбор структуры устройства обработки должен осуществляться на основе результатов проведенного анализа, с учетом предъявляемых к этому устройству требований. Таким образом, не менее значимой задачей, наряду с синтезом, является задача анализа качества функционирования синтезированных алгоритмов.
На этапе анализа на первый план выступают вопросы, связанные с вычислением характеристик приема исследуемого сигнала. Расчет характеристик алгоритмов представляет собой достаточно сложную и во многих аспектах малоизученную задачу. Существенную роль при этом играет выбор модели исследуемого сигнала - регулярной или нерегулярной. В зависимости от этого необходимо использовать различные методы анализа. Несмотря на то, что эти методы (метод малого параметра и метод локально-марковской аппроксимации) известны уже достаточно давно, их использование при анализе стохастических модулированных процессов (особенно с несколькими фрагментами) имеет некоторые особенности. С этих позиций представляется важным дальнейшее развитие этих методов применительно к еще неисследованным проблемам статистического анализа стохастических модулированных процессов.
Отдельные аспекты поставленных задач рассматривались ранее. В частности, возможности применения шумовой несущей для передачи информации исследовались в ряде работ [40, 42, 45, 51, 76, 89, 138, 139, 159]. Однако предлагаемые варианты модуляции шумовой несущей в большинстве своем предполагали одновременно сохранение ее стационарности. Отказ от стационарности стохастического процесса в результате его модуляции позволяет существенно расширить класс таких процессов и наделить их новыми свойствами.
Способы построения алгоритмов обработки стохастических процессов и исследование их эффективности рассматривались во многих работах [20, 27, 101 и др.]. Однако в большинстве этих работ также предполагалась стационарность исследуемого сигнала на интервале наблюдения. Если же и учитывалась возможность нарушения стационарности, как, например, в работах [15,119,122-124], где исследовались импульсные случайные процессы, то форма модулирующей функции считалась прямоугольной, а количество моментов изменения свойств не больше двух. Вопрос о том, как изменятся алгоритмы приема и их характеристики в случае регулярной (дифференцируемой) модулирующей функции, и при увеличении количества моментов изменения свойств процесса оставался открытым.
Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью разработки методик синтеза и анализа качества алгоритмов различения (обнаружения) и оценивания неизвестных параметров стохастических модулированных процессов в условиях параметрической априорной неопределенности.
Решению некоторых из вышеперечисленных проблем посвящена данная работа.
Целью диссертационной работы являются:
1. Построение обобщенной модели стохастического модулированного процесса и выявление ее основных свойств.
8
2. Разработка единой методики синтеза алгоритмов обработки стохастических модулированных процессов, наблюдаемых на фоне гауссовского белого шума и дополнительной гауссовской коррелированной помехи. Получение достаточных статистик применительно к составным стохастическим процессам с однократным, двукратным и многократным изменением свойств.
3. Разработка методов анализа характеристик обнаружения и оценивания неизвестных параметров гауссовских стохастических модулированных процессов при нарушении условий регулярности выходной статистики в условиях параметрической априорной неопределенности. Теоретическое исследование эффективности синтезированных алгоритмов обработки стохастических модулированных процессов при использовании разработанных методик анализа применительно к разнообразным условиям наблюдения.
4. Разработка единой методики синтеза алгоритмов обработки регулярных случайных импульсов. Определение характеристик синтезированных алгоритмов обработки регулярных случайных импульсов и выявление границ применимости регулярных и разрывных аппроксимаций модулирующих функций случайных импульсов.
5. Исследование некоторых дополнительных вопросов, связанных с обработкой стохастических модулированных процессов, имеющих важное практическое значение. К их числу относятся: теоретический синтез и анализ байесовских алгоритмов обработки стохастических модулированных процессов, теоретический синтез и анализ характеристик приема стохастических модулированных процессов при неизвестной форме спектра мощности, исследование параметрической скрытности по обнаружению и по оценке стохастических модулированных процессов.
6. Синтез алгоритмов обработки стохастических модулированных процессов в условиях “умеренно быстрых'’ флуктуаций.
При решении поставленных в диссертационной работе задач использовались аналитические и вычислительные методы современного математического аппарата статистической радиофизики, а именно:
- аппарат теории вероятностей и математической статистики;
- аппарат теории марковских случайных процессов;
- методы математической физики, в частности, методы решения краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка параболического типа с кусочно-постоянными коэффициентами;
- методы математического анализа;
- современные численные методы и методы программирования;
- методы моделирования на ЭВМ стохастических процессов и алгоритмов их анализа.
На защиту выносятся следующие основные положения, впервые достаточно подробно развитые или полученные в настоящей работе:
1. Новая классификация стохастических моду лированных процессов, основанная на количестве интервалов стационарности и моментов изменения свойств.
2. Методика синтеза относительно простых алгоритмов обработки стохастических модулированных процессов при нарушении условий регулярности.
3. Методы расчета характеристик синтезированных алгоритмов, а также полученные с их помощью результаты анализа одно-, двух- и многокомпонентных стохастических процессов в условиях, характеризуемых различной степенью априорной неопределенности. Формулы для коэффициентов сноса и диффузии гауссовских марковских процессов диффузионного типа, имеющих разрывы производных.
9
4. Единая методика синтеза и анализа алгоритмов обработки регулярных случайных импульсов. Рекомендации по выбору модели случайных импульсных процессов. *
5. Рекомендации по границам применимости максимально правдоподобных, квазиоптимальных и байесовских алгоритмов приема стохастических модулированных процессов.
6. Условия достижения абсолютной и относительной скрытности информационных систем, использующих стохастические модулированные процессы для передачи информации.
7. Метод синтеза алгоритмов обработки стохастических модулированных процессов при априори неизвестной форме спектра мощности шумовой несущей и метод синтеза алгоритмов приема стохастических модулированных процессов в условиях “умеренно быстрых” флуктуаций.
Таким образом, по результатам выполненных исследований
сформулированы и обоснованы научные положения, позволяющие автору сделать вывод, что в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного направления статистической радиофизики - теория
модулированных стохастических процессов и ее применения в радиофизике и информатике.
Представленные в диссертационной работе вопросы исследованы в шести разделах.
В первом разделе диссертации вводится обобщенная модель стохастического модулированного процесса. Приведены примеры таких процессов, относящиеся к различным областям науки и техники. Показано, что такие процессы могут служить достаточно хорошей моделью информационных сигналов, использующих шумовую несущую, а также импульсных сигналов, прошедших через среду распространения со случайными параметрами. Рассмотрены некоторые частные модели стохастических модулированных процессов, вытекающие из предложенной обобщенной модели. Разработана общая методика синтеза функционала отношения правдоподобия при приеме стохастических модулированных процессов на фоне комплекса помех. Определены условия упрощения полученных выражений для выходной статистики, а также условия, при которых функционал отношения правдоподобия может быть аппроксимирован гауссовской случайной величиной.
Во втором разделе диссертации рассматриваются вопросы обработки составных процессов с однократным изменением свойств. Осуществлен синтез оптимальных (по методу максимального правдоподобия) и квазиоптимальных алгоритмов обработки таких сигналов, наблюдаемых на фоне гауссовского белого шума. Разработана методика анализа синтезированных алгоритмов, основанная на аппроксимации выходной статистики марковским процессом и последующим решением уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Исследованы характеристики алгоритмов обработки вырожденного однокомпонентного составного случайного процесса с однократным изменением свойств в условиях, характеризуемых априорной неопределенностью различного вида. Осуществлено сравнение характеристик приема оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов и выявлены условия, при которых их характеристики различаются незначительно. Рассмотрен прием составного квазидетерминированного процесса с однократным изменением свойств в различных априорных условиях. Выявлены основные особенности, которые возникают при анализе узкополосного двухкомпонентного составного случайного процесса с однократным изменением свойств. Исследовано влияние воздействия комплекса случайных искажений на характеристики приема
10
вырожденного однокомпонентного составного случайного процесса с однократным изменением свойств. При этом под комплексом случайных искажений понималась аддитивная смесь гауссовского белого шума и стационарного широкополосного по сравнению с сигналом гауссовского случайного процесса. Определено влияние неизвестных интенсивностей сигнала и внешней помехи, а также неизвестной центральной частоты спектра мощности сигнала на характеристики приема сигнала в присутствии комплекса случайных искажений. Рассмотрены методы статистического моделирования алгоритмов обнаружения и оценки неизвестных параметров применительно к приему составного квазидетерминированного процесса с однократным изменением свойств, вырожденного однокомпонентного составного случайного процесса с однократным изменением свойств и такого же процесса при воздействии комплекса случайных искажений. Приведены результаты сгатистического моделирования указанных алгоритмов, на основании которых подтверждена работоспособность моделируемых алгоритмов и определены границы применимости приближенных теоретических формул для характеристик приема этих алгоритмов.
В третьем разделе диссертации рассматриваются вопросы обработки составных процессов с двукратным изменением свойств. Осуществлен синтез и анализ оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов обнаружения трехкомпонентного составного случайного процесса с неизвестной длительностью или временным положением интервала стационарности. Показано, что неточное знание длительности интервала стационарности (при неизвестном временном положении) может привести к весьма существенному ухудшению эффективности обнаружения такого сигнала. Проведен анализ характеристик раздельных оценок длительности и временного положения интервала стационарности трехкомпонентного составного случайного процесса с двукратным изменением свойств. Выявлены границы, неточное знание которых не приводит к существенному ухудшению эффективности приема. Показано, что, если одновременно неизвестны и длительность и временное положение интервала стационарности трехкомпонентного составного случайного процесса с двукратным изменением свойств, то целесообразно использовать совместную максимально правдоподобную оценку этих параметров, что обеспечивает повышение эффективности приема при незначительном усложнении приемного устройства. Исследованы характеристики приема вырожденного однокомпонентного составного случайного процесса с двукратным изменением свойств в условиях, характеризуемых априорной неопределенностью разного вида. Показано, что влияние априорного незнания математического ожидания и уровня спектра мощности полосового случайного процесса на точность оценки временного положения существенным образом зависит от интенсивности сигнала. Выявлены основные особенности, которые возникают при анализе трехкомпонентного составного случайного процесса с двукратным изменением свойств. Приведены результаты статистического моделирования алгоритмов обработки узкополосного трехкомпонентного составного случайного процесса с двукратным изменением свойств, которые подтверждают работоспособность моделируемых алгоритмов и позволяют определить границы применимости приближенных теоретических формул для характеристик эффективности их функционирования.
В четвертом разделе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с обработкой регулярных случайных импульсов, т.е. импульсов с регулярной (дифференцируемой) модулирующей функцией. Выполнен синтез функционала отношения правдоподобия, точность приближения которого к известному
11
значительно более сложному функционалу увеличивается по мере приближения формы модулирующей функции к прямоугольной и по мере увеличения отношения длительности сигнала к времени корреляции шумовой несущей. Учитывая регулярность выходной статистики, определены характеристики обнаружения регулярного случайного импульса с неизвестным временным положением, а также рядом дополнительных параметров, таких как математическое ожидание, уровень спектра мощности и центральная частота спектра мощности шумовой несущей. Определены потери в эффективности обнаружения, возникающие за счет дополнительной априорной неопределенности относительно указанных параметров. Найдены характеристики оценки временного положения и указанных параметров шумовой несущей. Исследован многоканальный вариант измерителя временного положения регулярного случайного импульса и определены потери в точности оценки, возникающие вследствие использования конечного числа каналов обработки. Определены характеристики совместной оценки временного положения и центральной частоты спектра мощности узкополосного регулярного случайного импульса как с учетом, так и без учета аномальных ошибок оценивания. Подробно исследованы статистические характеристики оценок временного положения и центральной частоты, показано, что несмотря на их некоррелированность между ними существует нелинейная статистическая связь. Последняя в свою очередь вызывает проигрыш в точности оценки одного из этих параметров вследствие незнания другого при наличии аномальных ошибок. Осуществлено сравнение характеристик оценки временного положения регулярного и разрывного случайных импульсов и определены условия, при которых целесообразно использование той или иной модели. Приведены результаты статисгического моделирования алгоритмов обработай регулярного случайного импульса с неизвестными параметрами, которые подтверждают работоспособность моделируемых алгоритмов и позволяют определить границы применимости приближенных теоретических формул для характеристик эффективности их функционирования.
В пятом разделе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с обработкой составных случайных процессов с многократным изменением свойств. Исследуется узкополосный случайный процесс, у которого центральная частота спектра мощности изменяется дискретным образом в зависимости от значения передаваемого символа. Показано, что побочные максимумы сигнальной функции могут быть сделаны достаточно малыми путем соответствующего подбора кодовой последовательности. Проанализировано влияние вида кодовой последовательности на характеристики обнаружения такого сигнала и оценки его временного положения. Показано, что наличие частотной манипуляции может приводить как к выигрышу, так и к проигрышу в точности оценки временного положения узкополосного манипулированного случайного сигнала при учете аномальных ошибок оценивания по сравнению со случаем отсутствия такой манипуляции.
В шестом разделе диссертации рассматриваются некоторые дополнительные вопросы, тесно связанные с обработкой стохастических модулированных процессов. Так, выполнен синтез байесовских обнаружителя и измерителя длительности вырожденного однокомпонентного составного случайного процесса с однократным изменением свойств. Показана принципиальная возможность практической реализации синтезированных алгоритмов в одноканальном (по неизвестному параметру) варианте. Характеристики приема синтезированных алгоритмов определены с помощью статистического моделирования на ЭВМ. Показано, что при одинаковом объеме априорной информации и равномерном априорном распределении неизвестной длительности исследуемого процесса
12
характеристики байесовского обнаружителя и максимально правдоподобного обнаружителя с оптимизированным порогом практически совпадают. Характеристики максимально правдоподобной оценки измерителя лишь незначительно уступают соответствующим характеристикам байесовского измерителя. Осуществлен синтез алгоритмов приема узкополосного вырожденного однокомпонентного случайного процесса с двукратным изменением свойств при неизвестной форме спектра мощности шумовой несущей. На основе сравнения характеристик оценки временного положения случайного сигнала с известной и неизвестной формой спектра мощности определено минимально необходимое число каналов обработки. Исследована скрытность по обнаружению и по оценке при приеме узкополосного трехкомпонентного составного случайного процесса с двукратным изменением свойств. Определены условия абсолютной скрытности по обнаружению и параметры, чье априорное незнание при несанкционированном доступе повышает относительную скрытность передачи информации. Синтезированы алгоритмы приема вырожденного однокомпонентного случайного процесса с двукратным изменением свойств в приближении “медленных” и “умеренно быстрых” флуктуаций. Определены условия, определяющие границы между указанными приближениями.
В заключении подводятся итоги проведенных исследований, сформулированы выводы по работе в целом.
Результаты диссертационной работы докладывались на 22 Международных и республиканских конференциях, опубликованы в работах [172-236].
13
1 .ВЕРОЯтаОСГНЫЕ МОДЕЛИ И КЛАССИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ
МОДУЛИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1. Обобщенная модель стохастического модулированного процесса
Любые физические процессы, используемые для передачи или получения информации, называют сигналами [64]. Сложность реальных физических ситуаций требует упрощенных описаний с помощью моделей, которые “абстрагируют” подходящим образом выбранные “существенные” свойства исследуемых сигналов. Математическая модель сигнала s(t) устанавливает соответствие между любым моментом времени re Т и значением сигнала s е S. Здесь Т - ограниченный или бесконечный интервал времени (область определения сигнала), S - множество возможных значений сигнала. Хорошо известно, что все математические модели реальных процессов с точки зрения их адекватности реальным процессам являются приближенными. Поэтому выбор математической модели представляет собой достаточно сложную задачу о наиболее целесообразной аналитической аппроксимации реального процесса или его характеристик.
Огромное многообразие сигналов, встречающихся в различных информационных системах, может быть сведено к трем основным моделям. Пусть Н- гильбертово пространство сигналов [56], А - сигма-алгебра [66], т.е. совокупность подпространств в Н, замкнутая по отношению к объединению не только конечного, но и счетного множества подпространств. Вероятностная мера Р на [Н,А] есть числовая функция, удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятностей [54]. Тройка [Н,А,Р] определяет пространство сигналов с мерой -вероятностное пространство сигналов. Тогда стохастическим сигналом (процессом) называется семейство случайных величин £(г), зависящих от параметра I е Т , которое задано на одном вероятностном пространстве сигналов [Н,А,Р]. Вероятностное пространство сигналов может представлять параметрическое семейство сигналов заданного вида с вероятностной мерой, заданной на пространстве параметров. В этом случае стохастический сигнал называется квазидетерминированным. Если в каждый момент времени t значение сигнала s(t) априори известно, то такой сигнал называется детерминированным. Детерминированный сигнал можно рассматривать как элемент пространства сигналов с вырожденной (сингулярной) вероятностной мерой - данному сигналу приписывается вероятность, равная единице. Таким образом, модель в виде стохастического сигнала является наиболее общей и наиболее сложной среди других возможных моделей сигналов.
Рассмотрим более подробно свойства стохастических процессов [34]. Для таких процессов известно лишь множество возможных исходов многократных наблюдений при неизменных условиях (результат конкретного наблюдения предсказать достоверно невозможно). Однако при анализе длинных серий результатов многократных наблюдений в неизменных условиях для многих реальных процессов проявляется статистическая закономерность. Суть ее в том, что при возможном существенном различии результатов отдельных наблюдений, их средние значения в достаточно больших сериях наблюдений оказываются устойчивыми. Поэтому для описания таких процессов необходимо использовать статистический (вероятностный) подход [7, 93]. При этом полное в вероятностном смысле описание стохастического процесса дает последовательность «-мерных (п = 1,2...) функций распределений вероятностей или плотностей вероятностей (если они существуют). Если рассматриваемый стохастический процесс -
14
аналоговый, т.е. является случайным процессом с непрерывным временем, то для полного вероятностного описания такого процесса требуется переходить от конечномерных к континуальным распределениям [2, 101].
Пожалуй, наиболее распространенной моделью стохастических процессов (как информационных, так и мешающих) является гауссовский (нормальный) процесс, подчиняющийся нормальному распределению вероятностей [63, 110, 163 и др.]. Адекватность модели гауссовского случайного процесса многим реальным помехам и сигналам объясняется во многих случаях действием центральной предельной теоремы [35]. Действительно, большинство встречающихся в реальных условиях радиофизических случайных процессов представляют собой результирующий эффект (сумму) большого числа сравнительно слабых элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты времени. Оказывается, что распределение суммы приближается к гауссовскому с увеличением числа слагаемых, практически независимо от того, какие распределения вероятностей имеют отдельные слагаемые. При этом важно лишь, чтобы влияние отдельных слагаемых с негауссовскими распределениями на сумму было равномерно малым (приблизительно одинаковым).
Модель стохастического сигнала в виде гауссовского случайного процесса широко используется в естествознании в целом и в радиофизике в частности [43, 72, 73, 80 и др.]. Так, большинство гидроакустических сигналов наилучшим образом могут быть описаны с помощью выборочной функции случайного процесса [9, 13, 38, 130, 150, 151, 158, 165]. Действительно, интенсивность звука, измеренного на некотором расстоянии от источника излучения (даже стабильного), обычно флуктуирует во времени. Одна из причин флуктуаций -изменчивость поверхности моря, другая обусловлена температурной микроструктурой верхних слоев океана, а также наличием в среде рассеивающих и отражающих звук твердых частиц. Кроме этого, машины, винты и другие элементы надводных и подводных кораблей создают акустические сигналы, которые также наилучшим образом описываются выборочной функцией случайного процесса.
В астрофизике космическое радиоизлучение представляет собой совокупность галактического излучения и излучения, поступающего из-за пределов Галактики. При этом вариации потока излучения обусловлены, в основном, случайными физическими причинами: вспышками в активных ядрах галактик [129], а также флуктуациями плотности земной атмосферы при использовании наземных радиотелескопов. В результате приходящее излучение носит случайный характер. Основными источниками случайного радиоизлучения являются радиозвезды и газовые облака [20, 74, 82, 107, 129]. Как отмечается в [74], радиозвезды излучают широкополосные сигналы, а газовые облака -узкополосные.
Другой пример относится к радиоспектроскопии, когда источник сигналов характеризуется одной или несколькими спектральными линиями, которые имеют определенную ширину вследствие столкновений и других междуатомных явлений [5,107]. Если рассматривать процесс излучения, создающий спектральные линии, с макроскопической точки зрения, то его можно считать гауссовским.
Подавляющее большинство реальных волновых каналов, передающих информацию, являются случайными, т.е. представляют собой среды со случайными неоднородностями. Сюда относятся рассеяние радиоволн в тропосфере и ионосфере, рассеяние оптических волн (объемное и поверхностное), оптическое и радиомерцание, сверхдальнее распространение ультракоротких волн, отражение радиоволн от морской поверхности и от неровностей поверхности суши (локация с летательных аппаратов и локация Луны), отражение электромагнитных
15
и оптических волн от искусственных объектов сложной формы (летательные аппараты) и т.д. [27, 47,53, 71, 87,97,129].
Кроме перечисленных факторов, в работе многих радиоустройств большую роль играют отражения от распределенных целей [20, 27, 103, 106, 136]. К числу таких распределенных целей относят земную и неспокойную морскую поверхности, гидрометеоры (грозовые облака, дождь, снег, град), ионосферу, облака искусственных металлизированных рассеивателей. С ними приходится встречаться, например, при обнаружении и сопровождении с помощью самолетных или спутниковых радиолокационных станций (РЛС) низколетящих, наземных или надводных движущихся объектов на фоне сильных маскирующих отражений от подстилающей поверхности. Имеется также много радиофизических устройств, для которых отражения от земной или морской поверхности и гидрометеоров являются не помехой, а источником полезной информации. Это устройства автономной радионавигации для летательных аппаратов (допплеровские измерители путевой скорости и угла сноса, измерители вертикальной скорости взлета и посадки, радиовысотомеры [144]); РЛС землеобзора и скатерометры, в которых отражения от подстилающей поверхности используются для извлечения детальной информации о ее структуре и состоянии; метеолокаторы для предупреждения о сложной метеообстановке или для исследования атмосферы. В силу множественности и случайности отражающих свойств элементарных рассеивателей амплитуда и фаза сигнала, отраженного от протяженного объекта, - величины случайные. Следовательно, сам сигнал является случайным, чаще всего гауссовским процессом.
В оптических системах связи, использующих некогерентное излучение, сигналы, по-существу, представляют собой узкополосные гауссовские случайные процессы [25, 26, 28, 31, 88, 99, 144]. Среди тепловых источников наибольшее распространение нашли лампы накаливания [55], газоразрядные и искровые разрядники. Поля таких источников являются суперпозицией полей, излучаемых независимо множеством атомов, поэтому распределение плотности вероятности напряженности является гауссовским. Если оптическое излучение когерентно, то при его распространении в атмосфере наблюдаемые флуктуации носят также случайный характер. И что особенно важно, флуктуации принимаемого сигнала, обусловленные как влиянием турбулентной атмосферы, так и вариациями отражающих свойств лоцируемой поверхности, достаточно хорошо описываются гауссовским законом распределения [1, 28, 31, 55, 60, 61, 65, 69, 88, 128, 131, 141, 144].
Еще одним источником стохастических возмущений является естественное излучение различных объектов [6, 106, 129, 136]. Элекгромагнитное излучение нагретых тел является одним из основных свойств вещества. Оно является результатом сложных многочисленных процессов, протекающих в нагретых телах по случайным законам, при которых происходит преобразование внутренней энергии вещества в энергию электромагнитного поля, распространяющегося за пределы излучающего тела. Эффект неравномерного теплового излучения радиоволн участками местности может быть использован для снятия ее радиационной карты (панорамы) самолетным, наземным или надводным радиолокатором сантиметрового или миллиметрового диапазонов [4]. Возможно обнаружение кильватерной струи корабля [171], температура которой на несколько градусов выше температуры окружающей воды. Представляет интерес также использования радиоизлучения ионизированных участков пространства при старте баллистической ракеты [90] или при воздушном ядерном взрыве для их обнаружения. При этом подобного типа излучения наилучшим образом могут быть описаны с помощью случайных процессов.
16
Ряд задач в кибернетике (бионике) и медицине могут решаться также на основе использования аппарата случайных процессов [94]. К таким задачам относятся: построение информационной модели мозга, разработка оптимальных методов статистического анализа электроэнцефалограмм, статистическое моделирование функций различных анализаторов и др. Отметим также, что в медицине источники шумового тока используются в целях электротерапии [68].
При анализе многоканальных систем (многоканальные системы высокочастотной передачи, асинхронно-адресные системы связи и др. [67]) характерной особенностью является то, что в точку приема одновременно приходят сигналы с различных расстояний и направлений, являющихся в общем случае случайными. В таких системах распределение мгновенных значений напряженности многоканального сигнала подчиняется нормальному закону распределения.
Таким образом, во всех перечисленных выше примерах модель сигнала в виде стохастического процесса (в большинстве случаев гауссовского) является наиболее адекватной моделью, описывающей поведение реальных физических систем и объектов.
В радиофизических приложениях среди огромного многообразия стохастических процессов широкое распространение получили модулированные стохастические процессы [5, 95]. Такие процессы в случае их стационарности иногда называют квазимонохроматическими. Модели подобного типа базируются на представлении реализации случайного процесса как колебания, близкого к синусоиде, со случайными амплитудой и фазой. Тесно связана с указанной моделью и модель колебания, модулированного шумом [5, 58, 63]. При этом случайный процесс возникает за счет случайной модуляции гармонического колебания по амплитуде, фазе или частоте.
Кроме этого, к модели в виде стохастического модулированного процесса можно прийти следующим образом. Рассмотрим некоторый стационарный процесс (назовем его шумовой несущей (ШН)). Будем модулировать эту шумовую несущую некоторым детерминированным воздействием таким образом, чтобы результирующий стохастический процесс можно было бы трактовать как кусочностационарный случайный процесс. Причем при переходе с одного интервала стационарности на другой резко (скачком) изменяются некоторые параметры ШН. Подобного типа процессы можно также назвать составными [110]. В соответствии с [79] само определение “составной” отражает тот факт, что данный процесс состоит из нескольких частей - элементов. Возможны два основных способа построения составного сигнала: составной сигнал может быть образован либо как совокупность элементарных сигналов, следующих друг за другом последовательно во времени - последовательный составной сигнал, либо как совокупность сигналов, передаваемых одновременно - параллельный составной сигнал. В качестве примеров составных сигналов можно назвать следующие:
1) Последовательный составной сигнал, состоящий из импульсов постоянного тока. В качестве элементарного сигнала здесь выступает импульс постоянного тока.
2) Последовательный составной сигнал, состоящий из отрезков синусоидальных колебаний одной частоты. В этом случае элементарный сигнал -отрезок синусоидального колебания с той или иной фазой. Последовательность смены фаз определяется соответствующим законом.
3) Последовательный составной сигнал, состоящий из отрезков колебаний различных частот. Здесь также элементарным сигналом является отрезок гармонического колебания, но составной сигнал формируется путем
17
последовательной передачи отрезков колебаний разных частот, выбираемых по некоторому закону [24].
4) Параллельный составной сигнал, представляющий собой сумму ортогональных колебаний (не обязательно гармонических). Элементарным сигналом является отрезок выбранных ортогональных функций.
5) Составной сигнал в виде реализации случайного процесса. Этот составной сигнал можно представить либо как последовательный - элементарные сигналы - отрезки шума, либо как параллельный - в виде суммы, например, гармонических составляющих. В последнем случае его можно отождествить с параллельным составным сигналом из п.4.
Таким образом, в соответствии с последним примером, термины “составной случайный сигнал” и “стохастический модулированный процесс” можно считать эквивалентными, отражающими тот факт, что такой сигнал состоит из нескольких частей с разными характеристиками. Для формирования таких сигналов требуется один или несколько генераторов элементарных сигналов, которые затем группируются, образуя составной сигнал. Одним из возможных способов формирования таких процессов предложен в [110]. Пусть имеются два генератора случайных процессов {^(0) и {^2(0} и ключ (коммутатор), находящийся под воздействием управляющего (“переключающего”) сигнала а(1) (рис. 1.1.1).
Рис.1.1.1
Случайные процессы = 1,2, отличаются друг от друга своими
статистическими характеристиками. “Переключающий” сигнал может принимать только два значения +1 или -1, изменяясь либо по случайному либо по детерминированному закону. Сигнал на выходе будет представлять собой составной случайный процесс.
Итак, модулированный (составной) стохастический процесс запишем в виде
*(/М1 + л(0Кі(0/2+[1-д(0К2(')/2, I е[0;Г], (1.1.1)
18
где процессы {§,(*)},/= 1,2 - некоррелированные гауссовские стационарные случайные процессы с математическими ожиданиями гп( и корреляционными функциями Kt (t\ -t2 ),i = 1,2.
В случае, когда “переключающий” сигнал a(t) является стационарным
центрированным случайным процессом с корреляционной функцией Ka(t\ -/2)»
составной процесс (1.1.1) будет также стационарным с математическим ожиданием и корреляционной функцией вида
<s(t)>= (mi +т2)/2, <[s(t\У <s(*i)>][^(г2У <s(t2)>]>=
= [l + Ka(t\ ~t2-t2)+K2(ti-t2)]/4 .
“Переключающий” сигнал подобного типа может быть сформирован на основе простого пуассоновского потока упорядоченных временных точек {/£,£ = 0,1,2...} следующим образом: a(t)= 1, если число точек в интервале (0;/) четное, и a(t) = -1, если число точек в этом интервате нечетное.
Предположим теперь, что “переключающий” сигнал может принимать всего два значения ат = 1 или ат = -l,w = 1, М, оставаясь постоянным на элементарных интервалах [Тт-\\Тт], т.е.
М
«(0= Y.amIm(t), Г0= 0, ТМ=Т, (1.1.2)
m-l
1 (N 1 ь.5 4- bs 1 і Г(у\ — J
1 а* 1 а* 1
(1.1.3)
Закон изменения коэффициентов ат,т= \,М, при переходе от одного интервала [Тт-\,Тт\ к другому [Тт,Ттл.\] зависит от вида решаемой задачи. В итоге, модулированный стохастический процесс может быть записан в виде
■»(0= Ьт(ф + атЫ1)+(.1-атЪ2{1)}/2, І є[0;Х] . (1.1.4)
т=I
Как следует из (1.1.4), реализация такого модулированного стохастического процесса представляет собой последовательность следующих друг за другом отрезков реализаций случайных процессов {£](0} и Й2(0}> различающихся некоторыми статистическими характеристиками. В моменты времени Тт (т -\9М —1) в соответствии с заданным правилом скачком изменяются
некоторые свойства процесса, например, уровень спектра мощности, форма спектра мощности, ширина полосы частот, центральная частота (для узкополосного процесса), математическое ожидание (для широкополосного процесса) и т.д. Таким образом, реализацию модулированного стохастического процесса можно рассматривать как чередование стационарных фрагментов, вплотную примыкающих друг к другу и имеющих различные характеристики. Предположим, что выполняется следующее условие:
19
тт(Гт-Гт_1)»тах(тй), т = \М, 1 = 1,2-
Здесь т# - время корреляции процесса {£/(!)}»* = 1,2. Условие (1.1.5) означает, что длительность минимального из интервалов стационарности модулированного стохастического процесса (1.1.4) намного превышает время корреляции “элементарных” процессов {£/(0Ы = 1,2. Данное условие во многих практических ситуациях является вполне оправданным. Действительно, в радиолокации это условие выполняется, когда модулирующие искажения обусловлены “быстрыми” флуктуациями (например, когда цель достаточно быстро меняет свое направление и ракурс за время, равное длительности зондирующего импульса [20, 27, 106]. В оптической локации длительности импульсов практически всегда превышают время корреляции. Обычно
длительности оптических импульсов ти 10"8с е к, а полоса фильтра
Л/ ~ 10111ц . Следовательно, т и ~ 10-8 »1 / Д/ ~ 10-11 [5, 60, 69]. В
гидроакустике условие (1.1.5) также выполняется достаточно часто, т.к. длительности встречающихся там сигналов обычно довольно велики [38]. В пассивных системах, в частности, в радиоастрономии и спектроскопии, это условие также встречается. В радиоастрономии при исследовании вращающихся тел отраженный сигнал является нормальным и при большой скорости вращения длительность отраженного сигнала намного превышает время корреляции отражений. Таким образом, если цели или каналы передачи могут быть описаны как цели или каналы с допплеровским рассеянием [20], то для принимаемого сигнала условие (1.1.5) выполняется достаточно часто.
Итак, если выполняется условие (1.1.5), то модулированный стохастический процесс (1.1.4) является нормальным случайным процессом с математическим ожиданием и корреляционной функцией вида
т5 (0=< *(0 >= £ /т(0{0 + ат Ущ + 0 - ■ат )т2} / 2,
М
т-1
к5 (*!, /2 ) =< М*1 Ь < *(/)) >М*2 >- < *(*2 ) >] = 2 7т (*1 ) I т(*2 ) х
М
т=1
х{(1 + атЖ1(11-Г2)+(1-ат )К2(I! - «г )} / 2.
(1.1.6)
20
1.2. Стохастический модулированный процесс как модель сигнала в
информационных системах
Рассмотрим некоторые частные случаи обобщенной модели стохастического модулированного процесса (1.1.4). Положим в (1.1.4) М = 2,= 1,02 = т. Тогда “переключающий” сигнал (1.1.2) примет вид
<3(0 = /[0 - т / 2)/х] + /[(? - (Г + х)12)/(Г - х)], а сам модулированный стохастический процесс запишется как
*2(0-&(0+[51(/)-$2(0№*-'1/2У4 »е[0;Г]. (1.2.1)
У такого процесса на интервале [0;Т] существует только один момент изменения свойств т, а реализация такого процесса представляет собой последовательность двух отрезков реализаций процессов {§1(0} и {§2(0} соответственно.
Следовательно, подобный процесс может быть назван двухкомпонентным случайным процессом с однократным изменением свойств.
Если в (1.2.1) положить §2(0 = 0, то приходим к сигналу вида
*(0 = ЫО/[0-т/2)/т], Ге[0;Т] , . (1.2.2)
который представляет собой отрезок длительностью т стационарного случайного процесса §](0 с заданными статистическими характеристиками. Поэтому подобный сигнал может быть назван вырожденным однокомпонентным составным процессом с однократным изменением свойств.
Если в обобщенной модели (1.1.4) положить М = 3,а[ = 1,(12 = —1,Лз=1, Т\ = X - А / 2,72 = ^ + А / 2, то “переключающий” сигнал примет вид
а(1) = 1[(1-(Х~А/2)/2)/(Х-А/2)] + 1[(1-(Т + Х + А/2)/2)/(Т-Х-А/2)] +
+/[(/- Х)/Д], а сам модулированный процесс запишется как
(0=^1 (0+1^2 (/)-(0]/[(г - Я)/ д], ‘ е[0;Г] . (1.2.3)
У такого процесса на интервале [0;Г] существуют два момента изменения свойств = Л, — Л/2 и Т2=Х + А/2, разделенные интервалом А. На интервалах стационарности [0;Л-А/2) и (Х + А12;Т] составной процесс (1,2.3) совпадает с процессом {§!(/)}, а на интервале [X- А/2;Х + А/2] - с процессом {§2(0}.
Следовательно, такой процесс с двукратным изменением свойств, включающий зри интервала стационарности, может быть назван трехкомпонентным.
Если в (1.2.3) положить §1 (0 = 0, то приходим к сигналу вида
5(0 = ^2(0/[(1 ->0/А], I е[0;Г] , (1.2.4)
который представляет собой отрезок с временным положением X и длительностью А стационарного процесса §2(0* Поэтому подобный сигнал может быть назван вырожденным однокомпонентным составным процессом с двукратным изменением свойств. Отметим, что импульсные стохастические сигналы (1.2.2) и
21
(1.2.4) играют важную роль в практических приложениях радиофизических информационных систем, как переносчики информации о свойствах исследуемых объектов при использовании методов дистанционного зондирования полями ядерных, световых, импульсных радио- и акустических излучений [3, 16, 30, 36, 81, 134, 137].
Если в модели (1.1.4) с М-1 моментами изменения свойств модулированный стохастический процесс формируется путем последовательной передачи отрезков случайных процессов {£,(/)},/= 1,2, чередующихся в
соответствии с некоторым правилом, то такой составной процесс будем называть манипулированным.
В системах связи различного назначения широкое распространение получили методы передачи информации, использующие импульсную модуляцию (ИМ) поднесущего колебания [47, 71 и др.]. При этом передаваемым сообщением fs(t) модулируется поднесущая, представляющая собой периодическую
последовательность прямоугольных импульсов, а затем полученным колебанием модулируется другое колебание (несущая), обычно являющееся гармоническим. Различают несколько видов ИМ: амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), широтно-импульсная модуляция (ШИМ) и врсмя-импульсная модуляция (ВИМ). При АИМ по закону передаваемого сообщения изменяется амплитуда импульсов, при ШИМ - длительность импульсов, а при -ВИМ - временное положение импульсов. Для передачи сигналов с импульсной поднесущей обычно используют аналоговые виды модуляции гармонической несущей: амплитудную (AM) и частотную (ЧМ). В результате получаются ИМ-АМ и ИМ-ЧМ сигналы соответственно: где под ИМ понимается любой вид модуляции импульсной поднесущей, используемой на второй ступени модуляции: АИМ, ШИМ или ВИМ. При этом сигнал ИМ-АМ может быть записан в виде
s(t) = kASffM (Z)cos(co0Г + Фо), (1.2.5)
а ИМ-ЧМ сигнал как
s(0 = ^cos[®0* + ^JiMf(OA+<Po] • (1-2.6)
В (1.2.5), (1.2.6) Aq,coq и Фо ■ амплитуда, частота и фаза гармонической несущей, к а и - коэффициенты передачи амплитудного и частотного модуляторов соответственно, (/) - ИМ сигнал.
Предположим, что передаваемое сообщение двоичное , т.е. fs(t) может принимать только два значения: fs(t)=0 при 0<;/^т# или f5(t)=\ при
ос
Обозначим через щ(0= Z/oO”*Ofc) - периодическая
/с =—00
последовательность импульсов длительностью тц каждый одинаковой формы, описываемой функцией /о(•) (поднесущее колебание), /о/с - тактовые точки, 7q -период этой последовательности; ат = ± 1 - кодовая последовательность. Тогда ИМ сигнал может быть записан в виде
М
SHM (t) = А + ЬАчо(t)fs(t) ZO + ^wi Vwi(0/2.
m-V
(1.2.7)
Здесь
т .л_/иб[го*+(т-1)Дт;г0*+тДт], „ ... ,
л,-г, , / п. , . . ХЯ=Г0>Л/ДТ = Т0> (1.2.8)
[О,Г е[20л + (т - 1)Дт;20А + «Дт],
А и Ал- ЛА - амплитуды импульсов поднесущего периодического колебания в отсутствии и при наличии передаваемого сообщения соответственно.
Рассмотрим некоторые частные случаи ИМ-сигналов, описывая такие сигналы только на одном периоде Т$.
1) Если в (1.2.7), (1.2.8) положить А =0,М = 1,^ = 1,Дт = то,Г ^ [^ОАг^ОА: +7()]>то
*ИМ (О = о при 2 е[/0А.;2(№ +71)], если /,(2) = 0 и
2) Если в (1.2.7), (1.2.8) положить М = 1,а\ = 1,Дт = то>/ + ^Ы> то
*ИМ(0=А при I еро*;1о* + 7Ь],еспи /,(0 = 0 и
г/ч-+ ^'1 е^0к'А0к + то1 г /И,пч
^/шЧО —1 . г .7^1 Уд (О ~ 1 * (1.2.10)
(Л,/ е[Го£ + т0>*0& +^Ы>
3) Если в (1.2.7), (1.2.8) положить М = 1,{ц = 1,Ат = т#,
* €1/0Л “ »*0А: + ^0 ~ А^П»то
*ш(0 = А при / <=[/0* - ДГ;/0А: + Го - ДГ], если /,(0=0 и
*ИМ (0 =
Л, Г е[Г0*-ДГ;/<>*],
Л + ДЛ,/€[Г0*;*о*+*<)]> если /,(0 = 1- (1.2.11)
Л,* «Фо* + *0* + Г0 - ЛЛ>
4) Если в (1.2.7), (1.2.8) положить МЛт = То>* €[*0к ~+^0 “ А^П> то (0 = Л при Г е^ок-ЛТ^к+То-ЛТ^сспи Л(0=0 и
/ж (0=
Л,Г <=[*о* -ДГ;/0*],
Л + (1 + )АА / 2, / е [Го*; ^Ок + Ат1>
если/,(0=1. (1.2.12)
23
Предположим теперь, что сигналы (1.2.5) или (1.2.6) передаются через каналы связи со случайными параметрами. Тогда в соответствии с вышеизложенным (см. п. 1.1) такие сигналы могут быть преобразованы средой распространения в стохастические. Причем, если был передан ИМ-АМ сигнал, то у сигнала на выходе канала будет изменяться дисперсия по закону, подобному закону изменения амплитуды исходного ИМ-сигнала (1.2.5). Если был передан ИМ-ЧМ сигнал, то у сигнала на выходе канала будет изменяться центральная частота его спектра мощности по закону, аналогичному закону изменения частоты ИМ-сигнала (1.2.6). Стохастический сигнал в таких случаях может быть представлен в виде (1.1.4). Если ИМ-сигнал описывается формулой (1.2.9), то соответствующий ему стохастический сигнал будет представлять собой стохастический импульс длительностью то (1,2.2). Если ИМ-сигнал имеет вид
(1.2.10), то соответствующий ему стохастический сигнал можно интерпретировать как составной двухкомпонентный случайный процесс с однократным изменением свойств (1.2.1). У такого процесса в момент то “скачком” изменяется дисперсия,
если был передан ИМ-АМ сигнал, или центральная частота спектра мощности, если был передан ИМ-ЧМ сигнал. Если ИМ-сигиал имеет вид (1.2.11), то соответствующий ему стохастический сигнал можно интерпретировать как трехкомпонентный составной случайный процесс с двукратным изменением свойств (1.2.3). У такого процесса изменения свойств происходят в два момента времени: Год. и /о£ + то. Причем, если был передан ИМ-АМ сигнал, то в эти моменты времени изменяется дисперсия этого процесса, а если был передан ИМ-ЧМ сигнал, то - центральная частота спектра мощности. Наконец, ИМ-сигналу (1.2.12) соответегвует стохастический манипулированный процесс. Характеристики такого процесса (дисперсия для ИМ-АМ сигнала или центральная частота для ИМ-ЧМ сигнала) изменяются “скачком” в соответствии с некоторой
кодовой последовательностью ат в моменты времени +(ли-1)Дт,/я = 1.М• Отметим, что если используется АИМ-сигнал, то полезная информация заключена в величине “скачка” дисперсии или центральной частоты (А + АА в (1.2.9), АА в
(1.2.10)-(1.2.12)). Если используется ШИМ-сигнал, то полезная информация заключена в длительности скачка то. Наконец, если используется ВИМ-сигнал, то
полезная информация заключена во временном положении “скачков” (/()£ в
(1.2.11), (1.2.12)).
Таким образом, обобщенная модель модулированного стохастического процесса можег быть использована для описания радиосигналов с импульсной модуляцией, прошедших через каналы со случайными параметрами. При этом полезная информация, в основном, бывает заключена в параметрах, характеризующих моменты изменения свойств такого процесса.
Отметим, что рассмотренные выше модели модулированных стохастических процессов (1.1.4), (1.2.1)-(1.2.4) могут быть использованы не только для описания существующих в природе процессов (например, получаемых на выходе каналов со случайными параметрами или описывающих поведение различных технологических процессов с учетом возможного скачкообразного изменения режима их работы (так называемая задача “разладки” [52, 84]). Стохастические процессы могут быть использованы непосредственно для передачи информации в радиофизических системах различного назначения. Как отмечалось в [76, 138 и др.], в качестве переносчика (несущей) можно использовать не только гармоническое колебание, но и любой длительный процесс, определяемый теми или иными параметрами, могущими изменяться в результате модуляции. В
24
частности, в качестве переносчика можно использовать шумовую несущую (ШН), представляющую собой реализацию стационарного узкополосного случайного процесса [40-42, 45, 51, 89, 139, 160]. В качестве параметров, изменяемых в результате модуляции, обычно используют параметры спектра мощности шумового сигнала [76, 138]. Так, Харкевич A.A. предложил [138] использовать амплитудную модуляцию LLIH и частотную модуляцию ШН. В первом случае в соответствии с передаваемым сообщением изменяется мощность случайного сигнала. Во-втором случае модуляция характеризуется тем, что спектр шума, не меняя своей формы, перемещается по шкале частот, следуя за изменениями передаваемого сообщения. В работе [159] исследована двоичная связь при помощи полосовых гауссовских сигналов, когда манипуляция осуществляется путем сдвига полосы спектра несущей.
Отметим, что использование ШН в перспективных радиофизических системах может быть обусловлено рядом ее полезных свойств [62]. Системы шумовой связи можно использовать там, где требуется высокая скрытность передачи информации, хорошая помехозащищенность и ряд других свойств. К их числу следует отнести высокую скорость передачи данных (свыше 200 Кбит/сек) при использовании широкополосной ШН, в то время как узкополосные системы связи обеспечивают передачу данных со скоростью 9.6 Кбит/сск (стандарт США -А/ = 25Кгц) или 1.2 Кбит/сек (стандарт Европы - Аf = 12.5 Кгц). Не менее важное свойство шумовых сигналов заключается в возможности передачи данных ниже уровня естественных шумов, что существенно повышает скрытность от средств радиоразведки. Радиолокация широкополосными шумовыми сигналами с непрерывным спектром позволяет достигать высокой разрешающей способности как по дальности, так и по допплеровской частоте. Немаловажным фактором, свидетельствующим о перспективности систем связи и локации с ШН, является также относительная простота технической реализации передающих и приемных устройств по сравнению с аналогичными устройствами для шумоподобных сигналов. Действительно, для формирования и обработки шумоподобных сигналов требуется достаточно сложная аппаратура [22]. Основная проблема заключается в создании экономичных и по памяти, и по потреблению энергии, генераторов шумоподобных сигналов. В отличие от этого, устройсгва формирования модулированных сигналов с ШН достаточно просты (см., например, рис. 1.1.1). Все вышесказанное подтверждает перспективность использования сигналов с ШН в радиофизических системах различного назначения.
25
13. Функционал отношения правдоподобия гауссовского стохастического модулированного процесса, наблюдаемого на фоне гауссовской помехи
Большинство информационных систем характеризуется тем, что полезный (информационный) сигнал s(t) на входе приемного устройства присутствует в смеси с некоторым аддитивным шумом (помехой). Помехи радиоприему имеют весьма разнообразный и сложный характер. В большинстве случаев предполагается, что помехи имеют характер стационарного случайного процесса с гауссовским распределением [10, 63, 78, 110 и др.]. Такие помехи называют флукгуационными. Обычно их разделяют на внутриприемные, космические и атмосферные. Внутриприемные шумы возникают в радиоприемном тракте и обусловлены главным образом тепловьши шумами во входных пассивных цепях приемника и флуктуационными процессами в полупроводниковых (ламповых) устройствах первых каскадов. Космические помехи создаются произвольно изменяющимися во времени излучениями Метагалактики. Атмосферные помехи обусловлены как ближними, так и дальними грозовыми разрядами. Если спектральная плотность флуктуационных шумов постоянна в достаточно широкой полосе частот, то такие помехи называют белым шумом. Подобная модель шумов наиболее часто используется при теоретическом рассмотрении вопросов обнаружения и оценки неизвестных параметров [149].
Предположим, что на интервале [0;7'] доступна наблюдению реализация случайного процесса *(/), которая может быть только помехой или комбинацией помехи с модулированным стохастическим процессом (1.1.4). По наблюдаемой реализации x(t) необходимо вынести решение о наличии или отсутствии в реализации наблюдаемых данных сигнала s(t) (задача обнаружения). При решении задачи оценивания неизвестных параметров предполагается, что сигнал присутствует в реализации наблюдаемых данных с вероятностью 1. Требуется оценить (измерить) неизвестные параметры такого сигнала, наблюдаемого в смеси с шумом. Решение подобного типа задач часто основывается на формировании функционала отношения правдоподобия (ФОП) [2, 20, 59,63, 101, 145 и др.].
Введем в рассмотрение три гипотезы относительно реализации наблюдаемых данных x(t):
Я2: x(t) = s(t) + n(t)+N(t),
Ну. x(t) = n(i)+N(i\ (1.3.1)
Н0: х(/) = л(0-
Здесь 5(0 - модулированный стохастический процесс (1.1.4), являющийся гауссовским случайным процессом с математическим ожиданием ms(t) и корреляционной функцией Ks(t\,t2) (1.1.6); л(/) - гауссовский белый шум с односторонней спектральной плотностью iVo; N(t) - помеха, представляющая собой гауссовский стационарный центрированный случайный процесс с корреляционной функцией Такая коррелированная помеха с шириной
спектра Cltf описывает совокупность внешних помеховых излучений. Функционал плотности вероятности при выполнении гипотезы Я, обозначим через
26
2ф;(01 #/],/= 0,1,2. Тогда при равнении гипотез Я2 и Яо ФОП будет определяться соотношением
Л20 МО] = Л*(01#2 ]/ ^[Х(/)|Я0],
а при сравнении гипотез Н\ и Яо ФОП
(1.3.2)
(1.3.3)
Используя выражения (1.3.2), (1.3.3), можно найти ФОП, если сравниваются гипотезы Я2 и Н\\
A2iW0]=Fim\H2]f птнх]= а20ШУ AjoMOJ. (1.3.4) Учитывая, что при всех гипотезах Я,- (/=0,1,2) (1.3.1) реализация
наблюдаемых данных является гауссовским случайным процессом, можем записать следующие выражения для ФОП (1.3.2)-(1.3.4) [20, 200]:
A2oWO] = e*P<
1 ТТ
хт 1J Ж*2 Х?2 (М2 )dt\dt2 +
Ао 00
0
A io WO]= exp*
0 0
1 TT 11 T „
)x(t2 )Qx(tht2 )dt\dt2 ~-\dx\dtQx(/,/,x)
*o00 ^0 0
a2iWOI=a2oWO]/a10WO].
Здесь функции = 1»2» ищется из уравнений
Т „
0.3.5)
причем
^■й(<1,<2.Х) + х1^/(<Ь»)й(»,12.ХУ« = ^(<1.*2). (1-3.6)
z о
Я,
о
™ДО-
о
(1.3.7)
Решение уравнений типа (1.3.6), представляющих собой неоднородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода [56], в общем виде найти не удается. Однако эти решения могут быть найдены приближенно, если
выполняются условия (1.1.5) и 7Пдг / 4я »1. В этом случае функцию 22 (*1>*2 >Х) будем искать в виде, аналогичном корреляционной функции процесса (1.1.4) [27]:
27
М
б20ь*2>Х) — ХЛи(^1 )Ля(^2 )02/и(^1 — ^2>Х)> (1.3.8)
т=1
гДе 02/и О ' некоторая неизвестная функция, а функция 1т(0 определена в (1.1.3). Подставляя (1.3.8) в (1.3.6), получаем
2Ут(*1 Ут(*2Х?2т(*1 “*2>Х) + Х1^
^ ги=1 О
М т-1
М .V/
х Ё^л(ОЛ»(*2)Й2»(*“*2»Х)в &т(*\ )Ля (*2 )Я/п (*1 “*2)+Ля(*1 ~*2).
//=1 ли=1
Здесь обозначено - *2 ) = {(1 + ат )К\ (*1 - *2 )+0 ■“ «т )к2 (*1 - ■*2 )} > 2 ■
Получившееся интегральное уравнение с учетом условия (1.1.5) распадается на систему из М уравнений вида
Ял ~ Тт ~
~Г-02т(Ь - *2.Х)+ X I[Лт('1 -0+ -Кдг (<1 -Щ&в,0 -<2»Х>Й =
^ Г*_,
= Я/и(*1 - /2 )+ Ядг (/1 - /2 ),тя = 19М, причем пределы интегрирования \Тт_\\Тт] в силу (1.1.5) могут быть заменены на бесконечные:
Ял ~ ?
~^01т«1 -‘2.X)+ X \lRrn(<1 -0■+ *ЛГ('1 -ОЕгт0 -*2.Х>* =
-00
-•Кда(*1 -*2) + ^я(*1 “*2)- (1.3.9)
Выразим входящие в это уравнение функции через их преобразования Фурье
1
Й2т(*1 "^2>Х) = Т- Ш2ет(<И,х)ехр[/<»(*1 -/2)]Ж>,
271 -СО
Ят(*1 “^2) = ^Г / (СЙ )ехр[уоз(/1 -/2 )]</©, (1.3.10)
271 -во
”0) = -г- (со)схр[усо(/1 -12)]с1(0.
АП _
—00
Здесь
00
б2ш(ш>х)= 1б2т(т.Х)схр[-Усот]Л,
—оо
я,„ (ю)= I (т ) ехр[->ш] А = [(1 + ат Хп (со)+(1 - ат Х?2 (<° )] > 2>
—50