Оглавление
Введение 5
1 Общий литературный обзор 12
2 Квантовый газ во внешнем ноле при конечных температурах.
Точное выражение для плотности и возбужденные состояния 19
2.1 Введение...................................................... 19
2.2 Плотность и энергия системы квантовых частиц во внешнем поле 21
2.2.1 Выражения для плотности................................ 21
2.2.2 Вычисление статсумм и матриц плотности методом последовательного возведения в квадрат матрицы плотности . . 29
2.2.3 Расчеты для гармонического потенциала и Морзе-осциллятора.................................................. 32
2.3 Ферми-системы и возбужденные состояния........................ 38
2.3.1 Системы невзаимодействующих частиц..................... 38
2.3.2 Обобщение на случай систем частиц со взаимодействием . 41
2.3.3 Расчеты для системы двух частиц методом последовательного возведения в квадрат матрицы плотности.................. 43
2.4 Заключение.................................................... 45
3 Стохастическое положительное /^-представление в задачах
2
квантовой статистики. Моделирование одномерного бозе-газа с дельта-отталкиванием 48
3.1 Введение..................................................... 48
3/2 Идея метода.................................................. 52
3.3 Исследуемая система.......................................... 50
3.4 р(+)-представленис для гармонического осциллятора............ 58
3.4.1 Средние значения наблюдаемых........................... 61
3.4.2 Уравнения движения во мнимом времени................... 62
3.4.3 Уравнения движения в реальном времени: динамика ... 60
3.5 Осциллятор Керра: бозе-газ в одномодовом приближении .... 68
3.5.1 Уравнения движения во мнимом времени. Устранение неустойчивости....................................... 69
3.5.2 Начальные условия для Р'к’’^-уравнений во мнимом времени 72
3.5.3 Схема численного моделирования и результаты............ 75
3.5.4 Уравнения движения в реальном времени. Динамика ... 77
3.6 Стохастические уравнения для одномерного однородного бозе-газа 81
3.6.1 Уравнения во мнимом времени: большой ансамбль.......... 81
3.6.2 Процедура существенной выборки ............................ 84
3.6.3 Численная схема решения стохастических дифференциальных уравнений........................................ 88
3.6.4 Вычисление средних значений наблюдаемых................ 89
3.6.5 Результаты моделирования бозе-газа при конечной температуре .......................................................... 91
3.6.6 Уравнения движения в реальном времени: динамика и тестовые расчеты.......................................100
3.7 Заключение...................................................105
4 Центроидная динамика: зависимость от характера центроидно-
го потенциала 110
4.1 Введение.....................................................110
4.2 Центроидная молекулярная динамика ..............................113
4.2.1 Теория...................................................113
4.2.2 Реализация метода ..................................... 117
4.3 Частица во внешнем поле.......................................121
4.3.1 Рассматриваемые модельные потенциалы.....................121
4.3.2 Полученные цеитроидные потенциалы........................122
4.3.3 Результаты для центроидной молекз'лярной динамики . . . 123
4.3.4 Сравнение спектров.......................................126
4.3.5 Зависимость от массы термостата..........................131
4.4 Частица во внешнем поле, взаимодействующая с термостатом . . 133
4.4.1 Точное решение: численный алгоритм ......................135
4.4/2 Реализация метода СМП) при наличии континуума гармонических степеней свободы 137
4.4.3 Результаты...............................................140
4.5 Выводы......................................................142
Заключение 144
Приложение А Выражение для функции Кубо в энергетическом представлении 146
Приложение Б Влияние гармонического термостата на центроид-ный потенциал 147
4
Введение
Существует класс задач, сложность которых (т.е. количество вычислительных операций, необходимых для получения точного ответа) растет с размерностью задачи экспоненциально [1]. Например, такой является задача определения объема выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве. Метод Монте-Карло \2\ позволяет решать подобные задачи с приемлемой точностью за число вычислительных операций, зависящее от размерности задачи лишь полиномиально. Как правило, вычислительные задачи в физике конденсированной среды обладают высокой размерностью в силу большого числа степеней свободы. Работа Метрополией и др. [3] позволила эффективно применять методы Монте-Карло для различных проблем физики конденсированной среды.
Основа Метода Монте-Карло заключается в получении достаточно большого числа реализаций стохастического процесса, который строится таким образом, чтобы математические ожидания его переменных соответствовали искомым величинам решаемой задачи. Так, например, задача расчета характеристик квантовой системы бозе-/больцман-'частиц в состоянии теплового равновесия благодаря фейнмановской формулировке квантовой механики [4] сводится к вычислениям математических ожиданий классического ансамбля замкнутых траекторий с весами, равными экспоненте от действия для функции Лагранжа во мнимом времени [5]. Этот метод, называемый методом Монте-Карло с использованием интегралов по траекториям (Path Integral Monte Carlo, далее -
Р1МС), оказался весьма результативным во многих исследованиях [С. 7]. Здесь принципиально то, что при вычислениях строго учитываются все межчастич-ные взаимодействия и, как следствие, корреляции между частицами.
В физике конденсированного состояния, существует ряд вычислительных задач, которые оказываются взаимосвязанными: вычисление равновесных низкотемпературных свойств квантовых систем ферми-частиц; вычисление возбужденных состояний квантовых систем; расчет временных квантовых корреляционных функций. Подход к данным задачам с позиций метода Монте-Карло упирается в так называемую проблему знаков: при попытке построения стохастического процесса, позволяющего вычислить искомые величины, возникает проблема знакопеременности, или комплексности плотностей распределения вероятности. Причем разность вкладов областей различных знаков, как правило, экспоненциально меньше статистической ошибки, связанной с конечностью выборки реализаций случайного процесса в реальном расчете. Таким образом, из-за проблемы знаков эффективность Монте-Карло моделирования в этом случае сводится на нет.
Метод Монте-Карло с использованием интегралов по траекториям является важным инструментом для расчета различных характеристик квантовых статистических систем, таких как уравнение состояния, внутренняя энергия, теплоемкость, и т.п. Основная его идея в состоит в следующем. Как известно, средние по ансамблю значения наблюдаемых при обратной температуре 0 определяются следом статистического оператора. Используя групповое свойство стат. оператора, можно представить его в виде произведения достаточно большого числа J высокотемпературных стат. операторов (пропагаторов) при обратной температуре 0/./. Применив к каждому из слагаемых приближение второго порядка по 0/J, мы обнаружим, что исходная квантовая задача свелась к классическо-
6
му ансамблю замкнутых полимеров с гармоническими связями. Остается лишь реализовать процедуру Монте-Карло, используя метод существенной выборки (importance sampling) [3| для вычисления средних значений наблюдаемых. На данный момент наиболее успешно этот метод применяется лишь для систем с несколькими степенями свободы, или удовлетворяющих статистике Больцмана/Возе. Это связано с тем, что в квантовом мире нет отдельных частиц, а только различные сорта неразличимых частиц. Болес того, большая часть материи состоит из ферми-частиц, волновая функция или статистический оператор которых меняет знак при перестановке любых двух тождественных частиц. В результате это приводит к варианту проблемы знаков, поскольку веса траекторий частиц получаются знакопеременными. В данном случае разность вкладов положительных и отрицательных траекторий в выражениях для наблюдаемых экспоненциально затухает с понижением температуры, причем коэффициент затухания равен энергетической щели между основными состояниями системы при статистике Ферми и Больцмана соответственно [8].
Недавно был предложен подход к проблеме знаков на основе циклического разложения статистической суммы для ферми-системы [9|. Циклическое разложение представляет собой сумму по классам перестановок частиц, причем четные перестановки вносят положительный вклад в статсумму. а нечетные отрицательный. Благодаря использованию метода расширенных ансамблей, возможно достаточно точно вычислить отношения положительных и отрицательных вкладов в разложении, и таким образом ослабить проблему знаков.
Проблема вычисления первых возбужденных состояний квантовых систем методами Монте-Карло остается, по существу, открытой. Существует несколько подходов к ее решению.
Первый подход основан на использовании диффузионного метода Монте-
7
Карло (Diffusion Quantum Monte Carlo, далее - DQMC) [10]. Уравнение LLIpe-дингера, записанное во мнимом времени, но своей математической структуре изоморфно уравнению диффузии с источниками. Любая начальная волновая функция Ф(т) во мнимом времени будет асимптотически стремиться к основному состоянию при возрастании мнимого времени т. Поэтому, представляя волновую функцию ансамблем диффундирующих частиц, рождающихся и исчезающих под действием внешнего потенциала, можно рассчитывать характеристики основного состояния квантовой системы, дождавшись, пока ансамбль придет в равновесие. Тогда первое возбужденное состояние также можно представить в виде ансамбля частиц, диффундирующих согласно уравнению Шредингера во мнимом времени, но при этом удовлетворяющего условию ортогональности: чтобы статистическая оценка скалярного произведения двух волновых функций для конечных популяций блуждателей держалась на нулевом уровне. Однако недостаток данного подхода в том, что для многомерных задач достаточно точную статистическую оценку скалярного произведения построить не удается. Болес того, поскольку возбужденные волновые функции, как правило, зиакопе-ремеины, блуждающие частицы должны иметь и положительные и отрицательные веса, что также приводит к проблеме знаков.
Второй подход основан на модификациях методах Монте-Карло с использованием интегралов по траекториям. Для гамильтониана //, возбужденное состояние ФДг) которого мы хотим найти, строится новый гамильтониан Я*, такой, что для него ФДт) является основным состоянием. Например, можно положить Н* = [й — £try) , где пробная энергия Etry находится в окрестности энергии возбужденного состояния Ex. Тогда задача сводится к PIMС-моделированию для системы Н* при достаточно большой обратной температуре /?. Тем не менее, на этом пути также возникает препятствие: как показывает опыт, любой
8
пропагатор, построенный искусственным путем так, чтобы его основным состоянием было возбужденное состояние естественной системы, является знакопеременным, так что опять, проблемы знаков в Монте-Карло методе не избежать.
Отметим работу Любарцева [11], в которой показывается, что решение проблемы знаков для PIMC-метода влечет за собой решение проблемы вычисления возбужденных состояний квантовых систем методами Монте-Карло. Основная идея заключается в рассмотрении N невзаимодействующих копий исследуемой системы, и мы подчиняем их ферми-статистике. Тогда при температуре 0 К (Р —> оо) мы могли бы с помощью PIMC-метода вычислить основное состояние данной системы. Согласно принципу Паули плотности и энергии будут соответственно суммами плотностей и энергий первых N состояний нашей исходной системы. Тогда беря разность этих величин для составных систем из N и N — 1 копий, мы могли бы вычислять все характеристики возбужденных состояний.
В задаче разработки Монте-Карло метода квантовой динамики также имеются существенные препятствия. Прямой подход с использованием интегралов по траекториям неэффективен вследствие комплексности и быстро осциллирующего характера пропагаторов.
Здесь отметим широко используемый метод центроидной молекулярной динамики (Centroid Molecular Dynamics, далее - CMD), который исходит из PIMC, и с помощью которого вычисляются корреляционные функции координат и импульсов центров масс замкнутых траекторий, движущихся в потенциале средней силы, возникающем путем Монте-Карло усреднения по всем конфигурациям вершин [12, 13, 14, 15]. Получающиеся корреляционные функции являются приближением для квантовой корреляционной функции в форме Кубо [16]. Тем не менее, точность и обоснованность данного приближения - вопросы, требующие детального исследования.
9
Совершенно иной путь представляют методы стохастических представлений квантовой механики [17, 18, 19. 20]. Тут квантовому состоянию сопоставляется положительно определенная функция квазираспределения, уравнением эволюции которой является уравнение Фоккера-Планка. Поскольку уравнению Фоккера-Планка можно сопоставить стохастический процесс, одномерные сечения которого ему удовлетворяют, моделирование квантовой динамики сводится к решению стохастических дифференциальных уравнений (далее - СДУ). Хотя данные методы и позволяют вычислять точные корреляционные функции, тем не менее им присущи ограничения. Часто стохастические уравнения имеют отталкивающие центры, так что траектория уходит на бесконечность за конечное время. Кроме этого, в данном случае в течение эволюции осуществляется неограниченная диффузия, так что функция квазираспределения вероятностей размывается. Поскольку в процессе моделирования всегда используется конечное число реализаций решений СДУ, это приводит к тому, что статистическая ошибка Монте-Карло моделирования быстро нарастает со временем, и методы по существу являются коротковременными.
В связи с вышеизложенным рассматриваются три вышеописанные задачи: вычисление равновесных свойств ферми-систем, расчет возбужденных состояний и получение временных квантовых корреляционных функций.
В главе 1 дай общий обзор литературы. В главе 2 рассматривается проблема вычисления равновесных свойств ферми-систем. Подход основан на [9]. Выводятся циклические разложения для плотности систем тождественных частиц при наличии и отсутствии взаимодействия. Для тестирования полученных выражений, а также основанных на них МК-процедур, был предложен метод вычисления канонической матрицы плотности. Корректность выражений была протестирована на одномерных системах ферми-частиц. Идея вычисления
10
возбужденных состояний квантовых систем путем спуска в основное состояние системы ферми-копий [И] была переформулирована в терминах циклических разложений для плотности, и протестирована путем вычисления первых трех состояний системы двух бесспиновых ферми-частиц с кулоновским отталкиванием в одномерном гармоническом поле. Данные разложения для плотности имеют общий характер, и в дальнейшем планируется реализовать на основе них МК-метод по вычислению возбужденных состояний систем большой размерности.
В главе 3 систематически излагается и реализуется метод стохастического положительного Р-представления [17. 18, 19, 20, 21, 22]. Первоначально задачей было освоение метода и воспроизведение результатов этих работ. Однако в ряде случаев имело место несовпадение результатов. Поэтому было проведено детальное тестирование метода на модели одномерного бозе-газа с дельтаотталкиванием. Там, где это возможно, вычисленные корреляционные функции сравниваются с аналитическими оценками.
В главе 4 детально исследуется точность центроидной динамики на одномерных модельных потенциалах. В частности, изучался вопрос, какие черты точной корреляционной функции Кубо воспроизводятся, когда модельные потенциалы таковы, что туннелирование играет столь же важную роль, что и вибрации внутри потенциальных ям. Для тестирования СМБ на модели диссипативной системы была предложена модификация метода при наличии гармонического термостата. Приводятся результаты расчетов для ангармонического и \У - потенциалов при наличии диссипации.
11
Глава 1
Общий литературный обзор
Одной из первых попыток распространить Р1МС на системы тождественных частиц были работы Такахаши и Имада [23]. Они предложили в высокотемпературном разложении стат. оператора симметризовать (антисимметризовать) каждый пропагатор для системы со статистикой Возе (Ферми). Таким образом, вместо кольцевых полимеров с гармоническими связями получаем полимер, соседние вершины которого замкнуты на перманент (детерминант) из этих связей. При этом в методе существенной выборки в качестве вероятности берется абсолютное значение веса траектории, знак учитывается при накоплении канонических средних. Этот метод решил проблему знаков для одномерных многочастичных систем со взаимодействием, в силу геометрических особенностей конфигурационного пространства. Однако для систем в пространствах с большей размерностью при низких температурах этот метод мало эффективен.
Холл с соавторами в серии работ идет иным путем. Начинает он с учета обмена посредством введения некоторого эффективного потенциала, нелокального по мацубаровскому времени [24, 25] Он оказывается независящим от температуры и взаимодействия. Рассмотрение основано на изучении узловой поверхности высокотемпературного пропагатора свободных частиц и приближенном
12
учете вклада отрицательных траекторий. На примере системы двух электронов с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле (точно решаемый гамильтониан Кестнер-Синаноглу |20|) Холл показал, что этот метод имеет точность такую же, как и ЭРТ-методы [27], и дополнительно позволяет вычислять двухчастичную матрицу плотности системы [28]. Далее Холл интерпретирует свои исследования иначе. Он вводит в рассмотрение узловые поверхности матрицы плотности при всех обратных температурах от 0 до в и замечает, что траектории, пересекающие эти поверхности в соответствующие моменты маду-баровского времени коллективно уничтожают друг друга, не внося вклада в канонические средние, но зато существенно увеличивая дисперсию результата вычисления [29]. В связи с этим он предлагает в интеграл по траекториям ввести проекционный оператор, который уничтожает траектории, вклад которых в статсумму меньше с, где € - ошибка конечповершииного приближения, иными словами отбрасывать траектории, пересекающие области, на которых матрица плотности принимает значения меньше е. Этот оператор фактически зависит от координат пары вершин. Однако тут возникает проблема: мы не знаем точно узловых линий для матрицы плотности взаимодействующих частиц. Поэтому для нахождения узловых линий приходится использовать приближенную матрицу плотности, например для взаимодействующих частиц. Иными словами, мы вынуждены использовать приближенную проекцию. Холл тестирует метод на двухмерной модели Хаббарда, для которой известны точные значения энергии, и получает ошибки 5% 10%. В следующей работе [30] он рассматривает теорию возмущений матрицы плотности первого порядка по взаимодействию, и показывает. что в данном случае хотя матрица плотности р и отлична от нуля на узлах невзаимодействующей системы, но все же пренебрежимо мала. Далее он высказывает нестрогие соображения в пользу того, что и при сильных взаимо-
13
- Киев+380960830922