Вычисление корреляционных функций квантовой хромодинамики в голографических моделях

Содержание
1 Введение
1.1 Непертурбативный режим КХЛ........................................
1.1.1 Бег константы связи........................................
1.1.2 Эффективные лагранжианы....................................
1.1.3 Правила сумм КХД...........................................
1.1.4 Разложение но числу цветов.................................
1.2 Голографические методы............................................
1.2.1 А<18/СГТ дуальность........................................
1.2.2 Модель Б3/Б7...............................................
1.2.3 Модель 04/08 - Сакаи-Сугимото..............................
1.2.4 Модель с “жёсткой стенкой”.................................
1.2.5 Модель с “мягкой стенкой” .................................
1.2.6 Модель с конечной температурой.............................
2 Вакуумные конденсаты и двухточечные корреляторы
2.1 Нормировка голографических полей .................................
2.2 Вакуумные конденсаты операторов...................................
2.3 Соотношение отщепления тяжёлого кварка ...........................
3 Корреляторы во внешних полях и многоточечные корреляционные функции
3.1 Магнитная восприимчивость кваркового конденсата...................
3.2 Диаграммная техника и четырёхточечный коррелятор..................
3.3 Коррелятор) векторных токов во внешнем поле при конечной температуре ................................................................
4 Петли Вильсона и глюонный конденсат
4.1 Операторное разложение петли Вильсона ............................
4.2 Коррелятор петель Вильсона на фоне глюонного конденсата...........
5 Заключение
3
5
5
6
9
11
14
14
18
19
21
22
24
25
25
38
42
44
45
52
64
72
73
81
85
2
1 Введение
Среди всех известных науке типов взаимодействий элементарных частиц сильное, пожалуй, является самым сложным для теоретического описания. В то время как Квантовая Электродинамика (КЭД), описывающая электромагнетизм, демонстрирует рекордное по точности согласие теоретических расчётов с экспериментом, а элек-трослабая Стандартная Модель Вайнберга-Салама предсказывает все обнаруженные до сих пор на ускорителях элементарные частицы и не имеет никаких существенных разногласий с экспериментами, Квантовая Хромодинамика (КХД), квантовая теория сильного взаимодействия, ставит перед научным сообществом больше вопросов, чем даёт ответов.1 Достаточно хотя бы упомянуть, что объяснение конфайнмента (невы-летания) кварков в КХД включено в список семи “задач тысячелетия”, составленный математическим институтом Клэя.
Эта работа посвящена одному из наиболее современных подходов к описанию квантовой хромодинамики - голографическим моделям. Базирующиеся на теории суперструн, эти модели дают возможность исследовать динамику квантовой теории поля посредством изучения дуальной теории супергравитации в многомерном пространстве. Хотя голографическая дуальность между двумя теориями является лишь предположением, а не доказанным фактом, имеющиеся примеры дуальности между конформной суперсимметричиой теорией Янга-Миллса и десятимерной супергравитации в пространстве Леїв5 х 55 (известной как Айв/СРТ дуальность) указывают на то, что это предположение верно.
На сегодняшний день общепризнанной и полной голографической модели КХД не существует. Тем не менее огромные усилия научного сообщества брошены на её разработку, и предложено множество вариантов её построения. Очень часто, предлагаемые модели оказываются эффективными при описании одних явлений в КХД, но дают неприемлемые результаты при попытке изучения других. Также многие модели имеют феноменологический характер, обладая большим числом свободных параметров, что сильно ограничивает их предсказательную силу. Большая часть пред-
‘В этом ряду, конечно, стоит упомянуть и четвёртое взаимодействие - гравитацию, однако квантовая теория гравитации на сегодняшний момент вообще ещё не построена, так что ситуация здесь ещё сложнее.
3
сказаний, полученных в голографическом подходе, имеют качественный характер, и вычисление конкретных количественных результатов требует дополнительных исследований. В этой работе я проведу несколько вычислений в дуальных моделях КХД, результатом которых будут конкретные числа. Особенное внимание я уделю исследованию зависимости результатов от параметров исходной модели и параметров КХД. Сравнение параметрических зависимостей исследуемых величин в КХД и в дуальном подходе позволяет наложить существенные ограничения на дуальную модель, том самым указывая, какими свойствами должна будет обладать окончательная полная голографическая модель квантовой хромодинамики.
Структура работы
Работа состоит из вводной главы и трёх глав, содержащих оригинальные результаты, выносимые на защиту. Во вводной главе в разделе 1.1 я делаю обзор существующих непертурбативных методов описания квантовой хромодинамики. Раздел 1.2 посвящён основным положениям дуальности и описанию методов построения
дуальных моделей КХД в подходе “сверху- вниз“ и ’’снизу-вверх “. В последующих главах, составляющих оригинальную часть работы, описанные методы и модели применяются для вычисления различных величин в КХД. Глава 2 посвящена вычислению двухточечных корреляторов токов КХД, фиксации нормировок голографических полей (2.1) и вычислению вакуумных ожиданий операторов (конденсатов) для проверки соотношения отщепления в КХД (2.2). В главе 3 рассматриваются задачи во внешних полях: вычислена магнитная восприимчивость кваркового конденсата КХД, связанная с трёхточечным коррелятором токов (3.1), построена диаграммная техника 1’олографической модели для вычисления двухточечного коррелятора электромагнитных токов во внешнем ноле (3.2), с применением полученной техники вычислена дебаевская масса фотона при высокой температуре в магнитном поле, получено выражение для массы в малом магнитном поле (3.3). В главе 4 рассматривается вычисление нелокальных операторов - петель Вильсона - в голографии и влияние ненулевого глюонного конденсата на вакуумное среднее одной петли (4.1) и на коррелятор двух концентрических нетель (4.2)
4
1.1 Непертурбативный режим КХД
1.1.1 Бег константы связи
Квантовая хромодинамика представляет из себя квантовую теорию поля Янга-Миллса с цветовой калибровочной группой 5£/(ЛУ, включающую Л/ полей материи в фундаментальном представлении - кварков. Как известно [1|} расходимости в квантовой теории ноля и сокращающие их перенормировки приводят к тому, что эффективная константа связи становится зависящей от энергетического масштаба. Так называемый ”бег константы связи“ описывается бета-функцией:
дЩ)д{р) = (1)
где М - масштаб ультрафиолетового обрезания, р- рассматриваемый энергетический масштаб, а д - безразмерная константа связи в теории. Бета-функция может быть
найдена в теории возмущений как ряд по константе связи: $(д) = —Ь^д3 -1- При
этом её лидирующий коэффициент не зависит от схемы перенормировок и играет важнейшую роль, т.к. определяет знак бета-функции. В теории Янга-Миллса лидирующий коэффициент бета-фуикции определяется количеством цветов Л/с (рангом калибровочной группы) и количеством полей материи Л/ (ароматов кварков).
№)--(!р(т''‘-Н+0<Л'>- 121
Можно сразу заметить, что для КХД (А^ = 3, А/ = 9) бета-функция отрицательна. Это означает, что константа связи КХД падает при увеличении масштаба энергии, и на достаточно больших энергиях квантовая хромодинамика становится слабо связанной, почти свободной теорией. Это явление называется "асимптотической свободой”, и его открытие принесло Г россу, Вильчеку и Политцеру Нобелевскую премию в 2004 году |2|. Однако у асимптотической свободы есть свои недостатки. Уравнение для бет константы связи (1) с однопетлевой бета-функцией (2) имеет- решение
д2{р) = 4Ъо Чр/КдсоУ (3)
где кос» является размерной константой и может быть определена но значению эффективной константы связи на определённом масштабе энергий. Для реальной КХД Аас о ~ 200 МэВ. Мы видим, что при уменьшении масштаба энергий константа
5
связи растёт и при р ~ Адсо становится большой и расходится, что свидетельствует о неприменимости теории возмущений на этих масштабах. Уравнения движения теории с большой константой связи становятся существенно нелинейными и не могут быть аналитически решены. Явление генерации нового размерного параметра в КХД называется размерной трансмутацией. играет важнейшую роль в физике сильного взаимодействия: она является масштабом всех непертурбативных эффектов КХД, таких как генерация массы барионов, коифайнмент, спонтанное нарушение киральности. При энергиях ниже квантовая хромодинамика находится в
силыюсьязанном режиме, где неприменима теория возмущений, и требуются принципиально иные подходы для описания физической картины.
1.1.2 Эффективные лагранжианы
Несмотря на то, что фундаментальная теория кварков и глюонов не даёт возможности вычислять низкоэнергетические наблюдаемые КХД, достаточно много информации о низкоэнергетической динамике можно почерпнуть, исследуя симметрии теории. Метод эффективных лагранжианов, или киральная теория возмущений [3], заключается в построении эффективного лагранжиана низкоэнергетических степеней свободы теории на основе известных симметрий фундаментального действия. Лагранжиан КХД имеет вид
Ь%Со = 4- т(^я 4- ЯлЯь), (4)
где я - столбец из Nf волновых функций кварков различного аромата. Если пренебречь массами лёгких (и,<1 в) кварков, то он становится симметричным по независимым вращениям левых и правых кварковых полей по группе О = 677(3) х 677(3). Аналогичная симметрия должна иметь место и в спектре низкоэнергетических связных состояний - мезонов. Однако адронный спектр хорошо классифицируется только по представлениям 6[/(3)\/ - векторной подгруппе С', а аналогичные октеты мезонов с противоположной чётностью (представления 5^/(3)л) не существуют. Кроме того в адронном спектре наблюдается октет псевдоскалярных мезонов (пионов и К-мсзонов), которые оказываются значительно легче остальных адронных состояний. Все эти экспериментальные данные указывают на тот факт, что киральная
б
ви(З)^ х ви(3)я симметрия спонтанно нарушена в КХД до 5Т/(3)х,+я, и пионы являются соответствующими голдстоуновскими бозонами [4]. Соответствующие параметры порядка - это киральные (кварковые) конденсаты
непертурбативные вакуумные средние псевдоскалярных кварковых операторов. Поля голдстоуновских бозонов можно объединить в поле
(где Ьа- генераторы ви(3)д, а / - размерная константа), которое преобразуется линейно под действием киральной группы.
Так как массы голдстоуновских бозонов существенно меньше масс остальных мезонов, то при низких энергиях именно они являются степенями свободы КХД. Из соображений симметрии можно выписать соответствующий лагранжиан. В принципе, в лагранжиан должны входить все возможные члены, обладающие киральной симметрией и построенные из полей и, однако слагаемые, содержащие большое число производных, будут подавлены степенями импульсов, которые в низкоэнергетическом лагранжиане предполагаются малыми. Таким образом эффективный кираль-ный лагранжиан представляет из себя разложение по производным £ = £2+£4 +— В лидирующем порядке можно написать только кинетический член.
где скобки означают взятие следа по флейворным индексам. Уже на данном этапе ки-ральный лагранжиан описывает динамику и взаимодействия всех голдстоуновских бозонов через один лишь размерный параметр /, однако рассматриваемую модель можно сделать ещё более мощной, включив взаимодействие с внешними источниками.
Рассмотрим лагранжиан КХД в присутствии внешних полей в присоединённом представлении флейворной группы.
(0|ші|0) = (0]^|0) = <0|55 0) ф 0.
(5)
и(Ф) 9пи(ф)д[.
(6)
£с?со = £дся + + Ъ^)я - я($ - Пьр)я
(7)