Операторные методы исследования процессов излучения, переноса и взаимодействия частиц

Содержание
Введение
1. Развитие математических методов решения
УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
1.1. Операторные методы, полиномы Эрмита и родственные
ПОЛИНОМЫ
1.2. Операторный метод и новое семейство интегральных
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ - 11РИМЕНЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
1.3. Операторные методы и интегральные преобразования -
ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗБРАННЫМ ЗАДАЧАМ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
1.4. Полиномы Аппеля и разложение в ряды по ним
1.5. Гибридные 1 юлиномы, числа Моцкина и сгарший
КОЭФФИЦИЕ11Т ТРЕХЧЛЕНА
1.6. Формулы суММИРОВАНИЯ И ЧИСЛА С1ИРЛИНГА
1.7. ЭВОЛЮЦИЯ НЕРАСПЛЫВАЮШИХСЯ ВОЛ1ЮВЫХ ПАКЕТОВ ЭЙРИ И ЛИНЕЙНЫЕ IЮТЕНЦИАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ
2. Ондуаяторное ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОЛЯХ СЛОЖНОЙ КОНФИГУРАЦИИ •
2.1. Генерация гармоник ультРАгклятивистским электроном в
ДВУХЧАСГО'ШОМ ОНДУЛЯТОРЕ
2.2. ПЛОСКИЙ БИГАРМОНИЧЕСКИЙ ДВУХЧАСГОТ11ЫЙ О!ЩУЛЯТОР И ГЕНЕРАЦИЯ ГАРМОНИК
2.3. ОНДУЛЯТОРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В11ЕРИОДИЧЕСКОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ С ПОСТОЯННОЙ СОСГАВЛЯЮЩЕЙ
2.4. Излучение плоского ондулятора в слож! юм машитном поле с ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ непериодической СОСГАВЛЯЮЩЕЙ
3. Процессы распространения волн в среде и переноса
ВЕЩЕСТВА
3.1. Влияние начально-неоднородных напряжений на упругин
ХАРАКТЕРИСТИКЕ! ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА (ПРИМЕНЕНИЕ К ФИЗИКЕ ЗЕМЛИ)
3.2. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ ПОТОКА В ДЛИННЫХ МИКРОКАНАЛАХ
3.3. Трехмерная модель переноса газов в пористых материалах
(ПРИМЕ11ЕНИЕ К ВОДОРОДНОМУ ЭЛЕМЕНТУ ПИТАНИЯ С ПОЛИМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ МЕМБРАНОЙ)
3.4. Улучшенная модель переноса кислорода и разработка новых
КОНФИГУРАЦИЙ ДЛЯ ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ В ВОДОРОДНОМ топливном ЭЛЕМЕНТЕ С ПОЛИМЕРНОЙ МЕМБРАНОЙ
3.5. Модель процессов переноса в пористом материале с жидкостью И РАЗРАБОТКА I ювых конфигураций для газовых потоков (ПРИМЕНЕНИЕ К ВОДОРОДНОМУ ТОПЛИВНОМУ ЭЛЕМЕНГу С ПОЛИМЕРНЫМ ЭЛЕКТРОЛИТОМ)
4. Операторный метод в модели электромагнитных и
СЛАБЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
4.1. Смешивание кварков и экспоненциальная форма матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава
4.2. Смешивание кварков в Стандарт! юй модели и
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВРАЩЕНИЯ
4.3. Смешивание нейтрино и экспорте! сциальиая форма матрицы
ПОШЕКОРВО-МаКИ-НаКАГАВА-СЛКАТА
5. Процессы электромагнитных и слабых
ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ И ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ
5.1. Основные уравнения квантовой электродинамики в пространстве с размерностью (2+1)
5.2. Поляризационный оператор фотона в (2+1)-мерной квантовой электродинамике
5.3. Радиационный сдвиг энергии электрона в (2+1)-мерной квантовой электродинамике
5.4. Дейст вие, нарушающее четность, в SU(2)xU(1)-kbлнтовой ТЕОРИИ при конечной температуре
5.5. Ассоциативное рождение хиггсовского бозона лептонлми в
ПОПЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
5.6. Влияние внешнего поля, конечной температуры и плотности НА радиационные ПОПРАВКИ в (2+1)-мерной квантовой электродинамике и теории Янга-Миллса
Заключение
Литература
200
210
223
223
237
244
257
257
264
270
278
285
290
294
299
3
Введение—основные вопросы, исследованные в диссертации
В последние годы развитие науки и технологии потребовало разработки новых источников синхротронного излучения (СИ) и лазеров на свободных электронах (ЛСЭ). Эго определило повышенный интерес к исследованию излучения ультра-релятнвистских частиц, движущихся во внешних магнитных полях. Дальнейшее развитие техники ускорителей и сферы применения синхротронного и ондуляториого излучений требует более строгого и математически выверенного описания их свойств с учетом особенностей источников излучения. В настоящей диссертации получены аналитические решения на основе модифицированных специальных функций, учитывающие влияние ондуляторных параметров, а также дополнительных полей, например, магнитного поля Земли или остаточного магнитного поля в ондуляторе. Полученные решения позволяют проанализировать вклад каждой, из компонент поля и вынести практические рекомендации но улучшению конструкции,* компенсации искажений спектра и изменению параметров устройств с целью подавления нежелательных гармоник и усиленной генерации нужных частот.
Похожая ситуация, требующая применения и. развития современных аналитических методов теоретических- расчетов, складывается- и в других областях науки и техники. Действительно, с одной стороны, в связи с возросшими возможностями вычислительной техники моделирование различных процессов и явлений как в фундаментальной науке, так и в се прикладных отраслях часто проводится с помощью численных методов. При этом можно получить численное или соответствующее графическое описание поведения системы. Тем не менее, для глубокого понимания происходящих явлений и правильного объяснения и описания исследуемых процессов необходимо рассмотреть аналитические решения.
В связи с этим в диссертации отдельная глава посвящена развитию теоретических методов на основе операторного подхода, включающих разложение в ряды по полиномам Эрмита, функциям Бесселя и Эйри. Новые, расширенные и модифицированные формы этих функций, как показано в диссертации, особенно полезны при рассмотрении физических проблем, связанных с движением и излучением заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле. Для решения широкого круга задач используются экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих. В работе также подчеркнута необходимость
4
и полезность аналитического подхода к решению проблем в физике и в прикладных отраслях при моделировании физических явлений, включая технологические проблемы с учетом вопросов охраны окружающей среды.
Хорошо известно, что при построении моделей физических систем и анализе связанных с ними процессов на основе методов теоретической физики удается получить аналитические результаты с помощью точных решений как классических, так и квантовых уравнений движения. Достаточно вспомнить ставшие уже классическими работы А. А. Соколова и И. М. 'Гернова, Н. Б. Нарожного, А. И. Никишова и А. И. Ритуса по теории синхротронного излучения (см., например, [I]) и связанных с ним квантовых процессов. Подчеркнем, что подобные решения выражаются через различные специальные функции или ряды. Часто при решении проблем, связанных с излучением и взаимодействием релятивистских заряженных частиц, возникают обобщенные формы специальных функций и полиномов. Их применение позволяет аналитически решать такие задачи, в которых обычно приходилось ограничиваться численными методами. Точные компактные аналитические решения, полученные с применением операторного метода, специальных функций, интегральных и дифференциальных преобразований позволили нам в данной диссертации выделить и проанализировать вклады отдельных физических факторов в различные физические явления, такие как, например, упомянутая выше проблема излучения ондуляторов, а также целый ряд проблем как физики высоких энергий, так и окружающей среды, рассмотренных в диссертации, например, моделирование процессов переноса массы и момента газов в многокомпонентной смеси с учетом молекулярных эффектов, изучение физических явлений в современных устройствах альтернативных источников электроэнергии, таких как водородные топливные элементы, задача о распространении волн в твердом теле с учетом начальных напряжений в земной коре и др.
Как известно, в последние годы были предложены различные обобщения Стандартной модели электрослабых взаимодействий. Например, В. Г. Кадышевским [2] было предложено введение в теорию новой физической постоянной (фундаментальной массы), связанной с радиусом кривизны импульсного 4-пространства Лобачевского. В то же время были разработаны новые эффективные методы расчета параметров элементарных частиц и их распадов в рамках Стандартной модели. Отмстим здесь применение КХД-мотивированной релятивистской кварковой модели, развиваемой Р.
Н. Фаустовым с сотрудниками и основанной на явно релятивистской трехмерной формулировке квазипотенциального метода Логунова-Тавхелидзе. При этом большое
5
значение придается дальнейшему развитию и уточнению методов описания свойств элементарных частиц и их взаимодействий в рамках Стандартной модели, в которой важную роль играют матрицы кваркового смешивания V и нейтринного смешивания
и, которые ответственны за различие между массовыми состояниями кварков и нейтрино и теми их состояниями, которые участвуют в слабом взаимодействии. Нарушению СР-симмстрии соответствует комплексная фаза у элементов матрицы смешивания. Нами предложена новая экспоненциальная параметризация матриц смешивания для кварков и для нейтрино, основанная на использовании операторной экспоненты. Показано, что она является наиболее общей формой матриц смешивания, на основе которой получаются все известные параметризации. Подобная параметризация может быть полезна при изучении вопросов нарушения симметрии во Вселенной, эволюция которой, по-видимому, проходила под воздействием нарушения СР-четности как в кварковом, так и в лептонном секторе. Отмстим; что параметризация с операторной экспонентой- дает геометрическую интерпретацию СР-нарушающей фазы, позволяет генерировать новые параметризации с выделенным нарушающим СР-четность матричным множителем и выделить соответствующий вклад в разложении по функциям Бссселя. Она также демонстрирует дополнительность смешивания кварков и нейтрино и позволяет продвинуться в поиске новых общих симметрий во Вселенной.
Низкоразмерные модели квантовой теории поля привлекли большое внимание благодаря целому ряду открытий, сделанных в конце 70-х — начале 80-х годов прошлого века. Упомянем лишь открытие целочисленного эффекта Холла, сделанное К. фон Клитцингом с сотрудниками в 1980 г., после чего подобные модели в (2+1)-мерном пространстве приобрели особенную популярность. В последнее время была выяснена тесная связь между предсказаниями низкоразмерной квантовой теории поля и целым рядом необычных эффектов, обнаруженных экспериментально в физике конденсированного состояния вещества. В диссертации на основе развитого теоретического подхода с учетом влияния сильного внешнего поля и конечной температуры проводится изучение влияния понижения размерности пространства-времени на вакуумные эффекты в квантовой электродинамике и теории полей Янга-* Миллса.
Таким образом, настоящая диссертация посвящена решению широкого спектра физических задач - от проблем физики окружающей среды до физики высоких энергий на основе развитых нами теоретических методов, основанных на операторном подходе.
1. Развитие математических методов решения УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В настоящей главе проведено развитие теоретических методов, основанных на операторном подходе, с помощью которых проводится анализ и решение широкого спектра математических задач, уравнений математической физики и соответствующих физических задач в различных областях физики. При развитии математических методов широко используется операторный подход, разложение в ряды по полиномам Эрмита, функциям Бесселя и Эйри. Новые, расширенные и модифицированные формы этих функций, как показано в данной главе и в дальнейших главах диссертации, особенно полезны при рассмотрении физических проблем, связанных с движением зарядов в магнитном поле-и излучением частиц. Для решения широкого круга задач используются экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих. Мы используем производящие функции и интегральные преобразования для получения модифицированных специальных функций и полиномов, зависящих от нескольких переменных и индексов. С помощью таких математических инструментов, как это продемонстрировано в следующих главах, оказывается возможным точное решение сложных математических задач в различных областях физики.
1.1. Операторные методы, полиномы Эрмита и родственные полиномы
В данном разделе развиты операционные методы для исследования широкого круга математических вопросов. С помощью операционных методов исследуются различные семейства полиномов, как, например, семейства полиномов Эрмита, Лагсрра, их обобщения и модифицированные полиномы со многими индексами и переменными. Эти семейства полиномов наиболее часто применяются при представлении специальных функций в виде рядов. Раскрываются новые возможности применения операторной техники для решения широкого класса дифференциальных уравнений в частных производных, включая уравнения
7
теплопроводности, переноса и диффузии, волновые уравнения и другие задачи, также включающие производные Лагерра второго порядка.
1.1.1. Определения и предварительные замечания
Хорошо известно, что при решении многих математических проблем используется разложение в ряды ортогональных и биортогональных' функций [3], таких как полиномы Эрмита, полиномы Лагерра и родственные им полиномы. Они используются при решении широкого круга физических задач и также имеют прямое отношение к специальным функциям, как, например, функции Бесселя, функции Эйри и их .многочисленные модификации и обобщения. Применения специальных функций при решении сложных математических задач и моделировании физических процессов настолько широко, что их важность трудно переоценить.
Обычные полиномы Эрмита и Лагерра являются хорошо изученными математическими объектами, которые могут быть заданы в виде рядов или операционных соотношений. Их обобщением являются соответствующие полиномы, зависящие от двух переменных. В дальнейшем мы покажем, как возможно конструировать семейства этих, а также родственных им ортогональных и биортогональных полиномов с помощью метода экспоненциального оператора, который сам по себе имеет важные применения при решении разных физических проблем широкого спектра. Это будет продемонстрировано в этой и в следующих главах. Многие не совсем обычные операторные определения и свойства полиномов Эрмита и Лагерра, которые будут показаны нами ниже, могут успешно применяться для решения сложных математических задач и проблем, возникающих при моделировании физических процессов (например, [4] и [5]).
Полиномы Лагерра и Эрмита, зависящие от двух аргументов, могут быть определены с помощью операционных соотношений (ср. [6]) (1.1.1), (1.1.2) и (1.1.4). Полиномы Эрмита с двумя аргументами также называют полиномами Эрмита-Кампс де Ферье (Негтйс-Катрс бе Бёпе1) или полиномами Эрмита двух переменных [6]:
и определяют также с помощью операторного соотношения (ср. [3])
(1.1.2)
8
Полиномы Эрмита двух аргументов могут быть приведены к хорошо известным полиномам Эрмита одного аргумента (1.1.3) согласно
X
гх > = .-(2уУПНе„
у/
Д,.(^у) = (-»)пу"/Х а полиномы Лагсрра
4 (*,) := -р(-«|^){^) = (1Л'4>
/ ’ X
к(х>У) = Уп 4 - и Ья(х) = у~п Ьп(ху,у) = Ьп(х, 1). (1.1.5)
\У)
В действительности введение второго аргумента в полиномы Лагсрра и Эрмита имеет смысл. Он следует из простого наблюдения того, что, записанные в виде функции двух аргументов, Нп{х,у) и Ьп(х,у) могут рассматриваться не только как полиномы, но и как решения определенных дифференциальных уравнений в частных производных. Действительно, обратные (1.1.1),(1.1.2) и (1.1.4) соотношения приводят к следующим дифференциальным уравнениям в частных производных с соответствующими начальными условиями:
дуЬп(х,У) = -(Эххд,){Ьп(:г,у)} (1.1.6)
с
4(х,о) = Ь£>1 0.1.7)
п!
для полиномов Лагерра двух аргументов Ьп(х,у) и
Э,Нп{х,у) = д\Н„(х,у) (1.1.8)
С
Нп(х,0) = хи (1.1.9)
для полиномов Эрмита двух аргументов Нн(х,у). В таком виде (1.1.6)—(1.1.9) представляют собой задачу с начальными условиями следующего типа:
,т) = А^ХуТ)}, /г(ж,0) = д(х), (1.1.10)
от
где А — заданный оператор, обычно дифференциальный. В случае, когда собственная
л
функция дифференциального оператора Л есть экспонента, решение задачи с начальными условиями (1.1.10) можно записать в следующем виде:
*'(х,т) = ехр(Ат){д(х)}. (1.1.11)
9
В этой и следующих главах мы покажем, как можно значительно продвинуться в решении разных сложных математических проблем при решении задач в частных производных, сочетая операторные методы с элементами теории специальных функций.
Хорошо известно, что с помощью операторного метода можно бистро и удобно получать решения дифференциальных уравнений. Пожалуй, наиболее хорошо известный оператор — это экспоненциальный оператор трансляции ехр(Лдх). Другой
важный оператор экспоненциального типа это оператор £, определенный как экспонента от производной второго порядка
позволяет решить операторным способом дифференциальное уравнение теплопроводности:
приходим к так называемому операционному соотношению Глейшера С01а1зЬег) (ср. [7], стр. 446, задача 12):
В нашем исследовании мы обратим особое внимание на применение операторной техники к разного рода представлениям полиномов Эрмита, Лагерра и родственным им обобщениям и соотношениям с участием этих полиномов, чтобы выявить их новые свойства. Будет показано, как применить их с успехом для решения уравнений в частных производных и соответствующих физических задач.
(1.1.12)
дуР(х,у) = д2хР(хуу)
(1.1.13)
со следующим начальным условием:
Т7 {х, 0) = р(я).
(1.1.14)
Действительно, применяя оператор 5 к функции начального условия д(х) в (1.1.14),
получаем следующее операторное решение:
(1.1.15)
(1.1.16)
(1.1.17)
10
1.1.2. Операторные методы и полиномы Эрмита
Полиномы Эрмита двух аргументов Нп(х*у) были впервые использованы и описаны в работе [3]» где было показано, как получить их с помощью производящей функции. Полиномы Эрмита двух аргументов Нп(х,у) могут быть выражены через хорошо известные полиномы Эрмита одной переменной Нп(х) и Яеп(х), как записано в (1.1.3) (см. [3], стр. 341, уравнение (23)).
С помощью операторной техники мы можем непосредственно построить семейство биортогональных полиномов Эрмита двух аргументов и семейство полиномов Эрмита одной переменной. Для этого рассмотрим вторую переменную как параметр и применим операторное правило (1.1.2) совместно с простыми операторными соотношениями и формулами, использую элементарные свойства экспоненциальных операторов. В терминах классических полиномов Эрмита Н„(х) и Не»(х)> можно легко получить из определения (1.1.1), что
Несмотря на очевидную связь полиномов двух переменных с полиномами Эрмита одной переменной (1.1.3) (см. [3], стр.341), использование второй переменной или параметра у в полиномах Эрмита Нп(х,у) оказывается удобно с точки зрения
применения этих полиномов для решения различных задач. Ранее полиномы Эрмита нескольких аргументов были определены и использованы с другой целью и рассмотрены в другом контексте и с другой точки зрения в работе Эрдейи (Ег<1ё1у1) [8].
Рассмотрим разложение функции /'’(х)в ряд по полиномам Эрмита двух переменных и ограничимся случаем, когда у < 0. Таким образом, рассмотрим только отрицательные значения переменной у, которую считаем параметром:
Определим коэффициенты разложения аи с использованием операторной техники и
представления (1-1.2), а также вышеупомянутых операторов. Применим
экспоненциальный оператор 5 из (1.1.12) к функции (1.1.19) и принимая во внимание операторное попределснис полиномов Эрмита (1.1.2), непосредственно получим:
(1.1.18)
Я(х) = £ап Яп(х,-|у|).
(1.1.19)
(1.1.20)
11
При помощи преобразования Гаусса-Всйерштрасса и действия оператора трансляции
е<а’ {/(*)} = Кх + а\
функция Ф(х) может быть записана в следующем виде:
Ф(ГС) = - Г
ехр
Г ■»'Ч
(г - (Х)2
4Ы >
(1.1.22)
Используя производящую функцию для полиномов Ни (х,у)
Е — я* (х»у) = ехр(а:/. + у?),
п=0 71.
мы получаем следующее выражение:
со _П
I ^ хп С __ О- I
Ф<і>=2^^п!ІЯ"[2Н’“4Н>
ехр -
4М,
(1.1.23)
Сравнивая его с (1.1.20), находим коэффициенты разложения:
а*~ *г~г~ї 1Я»[^~Т>~ТГТ «РІ-тпІ^ОгїАг.
2 • пц/*Щ Л иы 4Ы; I 4Ы;
(1.1.25)
Из последней формулы (1.1.25) следует, что функции
<рп (х) =
1
Н
1
ехр -
4Ы.
(1.1.26)
2'П\^[Щ Л2М’ 4Ы>
биортогональны полигюмам Эрмита Нп(х,-\у\). Соответствующее разложение в ряд по обычным полиномам Эрмита Нч(х) элементарно получаем из вышеприведенных формул, подставляя |у| = 1/2 и используя соотношение (1.1.18). Здесь и в дальнейшем мы придерживаемся следующего определения биортогональности полиномов Нтп(х,у), понимая ее как обычную биортогональность по двум парам индексов:
£ £ М.х,У)Нт.„(х>У)н„Лх>У) <*х лу = К К,’ (1.1.27)
где и>(х,у)—соответствующий вес и Аяу (п,и е 7У0)—- подходящие константы. Такой
тип функций и полиномов будет изучаться в последующих разделах, где будет показано, как операторные методы и мсгод экспоненциального оператора в частности прекрасно работают для непосредственного построения семейств ортогональных и биортогональных функций, таких как полиномы Эрмита и родственные им, и как эти методы могут быть успешно использованы для решения дифференциальных уравнений.
12
Итак, во вводной части мы проиллюстрировали возможности операторного метода при получении свойства ортогональности полиномов Эрмита непосредственным образом. Ниже мы покажем, как указанные операторные методы могут быть развиты и применены к широкому спектру полиномов и их семейств.
1.1.3. Многоиндексные полиномы Эрмита и ассоциированные биортогональные функции
Многоиндексные полиномы Эрмита и полиномы, зависящие от многих переменных, были впервые предложены Шарлем Эрмитом (1822-1901) в конце 19-го века; он также исследовал их ортогональные свойства (см., напр., [3]). В данном разделе мы не будем следовать методам, предложенным Эрмитом в своей работе, а используем операторный формализм, который даст более естественное и простое решение проблемы и помогает лучше понять ее и решить ее проще, чем с помощью методов 19-т века.
Операторное определение двух и более многойндексных полиномов Эрмита можно воспроизвести следующим образом:
IР) ~ £{*”»”}, (1.1.28)
где введен оператор
( д1 д1 д2 Л я = ехра_^_ + г . (1,.29)
•в ц111
£ — — Нтп (х,сг.у.у\0)- схр(хи + аи2 +уу + уь2 + 0иь) (1.1.30)
Это представление позволяет написать производящую функцию: ит V ~
т9п
и провести разложение в ряды:
пипрп.п) п1
Нлп„(х>а\у>у\Р) = т&п\ £ —-----------------—------------ //ш_,(х,«)#„_, (у,у). (1.1.31)
,-о 5’(т — в)!Сп -5)!
Рассмотрим функцию /г(х,?/) двух переменных и соответствующее разложение в ряд:
Ё а«.п ^и.п(®»-1а1;у,-|г||-|/Ч)- (1.1.32)
т,п=О
Определим коэффициенты атп разложения (1.1.32), следуя тому же методу, что был
приведен выше. Действительно, с помощью операторного представления (1.1.28) получим:
13
Ф(х,у) = E{F{x,y)} = атп х,л у\ (1.1.33)
in.n-0
Очевидно, что роль и свойства функции F(x,y) аналогичны функции F(.x),
предложенной в (1.1.19). Тогда остается разобраться в действии оператора Ё, и по аналогии с задачей с одной переменной найти подходящее обобщение преобразования Гаусса, использованного при получении равенства (1.1.22). Подразумевая что
mm(a,/?,y) > О,
мы можем опустить знак абсолютного значения в (1.1.29) и написать экспоненциальный оператор Е в (1.1.29) следующим образом:
Ё = схр
1 ß д } . А. ЛІ
ду
Рг
а\— + — — — +— ...
^дх 2 а ду) а ду
(1.1.34)
min (a,ßty) > О, А = уа - —,
с помощью интегрального представления
. ®
ехр(Яс2) = |ехр (-<т2 + 2(7у[я с) der, (1.1.35)
-«о
которое принимает следующий вид для оператора а = Jyd,:
! 00
exp(yö2) = — Jexp[-£2 +2^Vy Эа]с/£. (1.1.36)
Следуя правилу (1.1.35), примененному к оператору Ё (1.1.29) в виде (1.1.34), получаем требуемое интегральное представление для оператора Ё :
і . I ]ф „„{-(г' - гл ,(А . і I А)- ±|, ^
^шіп{а,Д/}>0; Д = /а--^.
(Здесь предполагается, что тіп{а,/?,/}> О, хотя мы и опустим это ограничение в дальнейшем.) Теперь действие экспоненциального оператора Ё на функцию Р(х,у) может быть легко получено с помощью (1.1.37) и хорошо известного оператора трансляции:
схр^а ^ + 6 -^^(а:,у) = ^(х + а,у + 6), (1.1.38)
который, совместно с (1.1.37), приводит к следующему равенству:
14
£{F(z,2/)} = i J d4J d/7 exp{-(^2 + T72)} f(x + 2 V« у + -A £ + 2^ rj
. (1.1.39)
x + 2 4a 4 = o\ y + -^r# + 2 M rj — Ту
-Ja \a
Тогда, делая замену переменных, как указано ниже:
(1.1.40)
получим обобщение преобразования Гаусса-Всйерштрасса на случай двух переменных:
ч «О «5
EF(х,у) = Jrfo- Jrfr х
;СХР(" 4Л 1-Г(Ж “(Т)2 “ //(:с “(Т)“ г) + «(У “ r)2]) F т)•
(1.1.41)
Теперь с помощью производящей функции (1.1.30) получим следующее явное представление для коэффициентов ат н в (1.1.32):
rZ-iv __L.£lzli - a
2Д ’ 4Л’ 2Д
а _Р_
4Д 4Д
(1.1.42)
Выражение (1.1.42), обобщая прежде полученный для одной переменной результат, позволяет заключить, что функции
1
2Д 4Д * 2Д
9т* (Х>У) =
а А)
~~4Д 4Д J
(1.1.43)
4п • т\ п\%Га
* СХР 4Л ^/Х2 ” ^ХУ + ^ ^
биортогональны полиномам Нпп (.х,-|а|;т/,-|у{ |-|^1) • Здесь биортогональность
понимается в том смысле, как определено в (1.1.27) — с двумя парами индексов и интегрированием по нескольким переменным. В нашем случае с двумя переменными и параметрами биортогональность была показана непосредственно с помощью формализма алгебры экспоненциального оператора. Другими словами, мы просто построили семейство функций Фт+Х^у), включающих полиномы Эрмита и экспоненциальный множитель, такое, что оно ортогонально полиномам #т,п(х»“1а1»У>“М Заметим еще раз, что выражение (1.1.43), определяющее
функции ртп(х,у), обобщает результат (1.1.26) для <ри(х) > полученный нами прежде с
помощью техники экспоненциального оператора.
Этот формализм может быть с успехом применен также для полиномов Эрмита высших порядков и их обобщений.
15
1.1.4. Полиномы Эрмита высших порядков
В этом разделе мы обсудим дальнейшие обобщения техники экспоненциального оператора, развитые выше, и рассмотрим применение свойств ортогональности, полученных нами. Как было указано в ([7], стр.76-77) в отношении полиномов Гулда-Хоппера (Gould-Hopper) д'“(х,у)> многие частные случаи полиномов Эрмита высших порядков и модификаций (х,у) заставили обратить на себя внимание заново не только в математике и в статистике, но и в физике и в инженерных науках ([9],[10]). Так, например, обобщенное уравнение теплопроводности
dj(x,£) = d:f(x,e) (1.1.44)
допускает решение в виде рядов полиномов Эрми га высших порядков tf‘m> (х,у) . Эти полиномы ЯГ (х,у) (или соответствующие им полиномы д" (х,у)), явно заданные в [11 ](стр.58, ф-ла (6.2)) могут быть записаны в виде следующего ряда:
[Ыт] X*-™ уг
ЯГ(2.у) = п.'Е 7-------------—=э:(*.у), (1-1.45)
Го С п- тгУ. г!
гдет- порядок полинома. Альтернатива определению в виде ряда это операторное определение:
НТ' (г,у) = ехрГу (1-1-46)
Оно особенно полезно, например, при получении производящей функции:
£ ЯГ (*. у) = exp (zi + уГ). (1.1.47)
п=0 П-
Можно легко заметить, как из определения (1.1.45) следует, что
Я„(0(х,у) = (х + у)" and Яп(2)(х,у) = Нп(х,у), (1.1.48)
где Нп(ху) - полиномы Эрмита двух переменных, определенные в (1.1.1).
Семейство функций, биортогональнос семейству полиномов Я‘т> (х, у), изучалось в [9] и [10] и затем, с помощью другой техники, в [12]. В нашей работе мы рассмотрим их биортогональность при помощи метода, развитого нами выше для случаев одной и двух переменных. Прежде всего, предположим, что существует разложение в ряд (подробности в [9], [10]):
16
F<i) = X o„ Я<2,)(*,(-1)’|у|), (1.1.49)
n-0
которое в частном случае <7 = 1 соответствует (1.1.19). Здесь, как и в дальнейшем, мы ограничимся рассмотрением случая, когда т - 2q, у ь» (-1)9 | у | в (1.1.49). Определим коэффициенты разложения atl в (1.1.49) из соотношения:
Ф(х | q) = ехр^(М)9+,|у| = £ ап хп. (1.1.50)
Существование аналога преобразования Гаусса-Всйсрштрасса в случае оператора высших порядков в экспоненте обеспечивается выполнением равенства (см., например [9], [Ю]):
ехр((-1Г'Лс3>)= £ехр(-с^)5,(^Д)^, (1.1.51)
где с— произвольный оператор и
s., (f. Л) = -i- ] exp (-Ли3' + iuÇ) du = S, (-#, Я).
-<o
Так, соотношение (1.1.50) с учетом (1.1.51) немедленно приводит к
3>Olî)= (1.1.52)
и после замены переменных: х - 4 = <г находим из (1.1.52), что
Ф (я 1 <l) = - JX (о* - ®»Ы) F(<т>d(T = “Z JSr Ы) F^ïdcr, (1.1.53)
_o n=0 n! _>
где S^n) ^y\y\)-d',S9(i;,\y\)/d^n. Из сравнения (1.1.49) с (1.1.53) становится очевидно, что функции
й, (*!<?) = С (*>Ы) (1.1 -54)
биортогональны полиномам Я^2,)(х,(—1)9|у|). Этот результат согласуется с заключениями работ [7], [12], которые были получены в другом контексте и на другой основе.
Итак, мы продемонстрировали, как общий метод с использованием экспоненциального оператора может быть применен для работы с разными семействами полиномов, родственных полиномам Эрмита. Полученные результаты, как и сам способ их получения — непосредственный и ясный в своих деталях — еще раз подтверждают важность, общность метода экспоненциального оператора, а также его возможности при рассмотрении семейств других полиномов.
17
Выше мы развили общую процедуру для построения ортогональных полиномов и применили се к широкому спектру семейств родственных полиномов Эрмита. Ес можно применить и к полиномам Лагсрра двух переменных, которые определены в виде рядов и через экспоненциальный оператор в (1.1.4) (ср. [3]). В свою очередь, они могут быть использованы для построения семейства ортогональных функций методом, развитым в настоящей работе и примененным выше к полиномам Эрмита. Также возможно применить этот метод для еще более сложных семейств полиномов, как, например, полиномы Эрмита с п индексами и п аргументами:
Л«.« ({£>, {а} | {/?}) = ехр
а2
.м
+уа
дх* % ^ дх} дх( уіох]
ГК"
А.-1
(1.1.55)
[{х> = а;,,..., хп; {«}=«„...,ап; (п) — п1,...,п(^
с небольшими модификациями технического характера, не затрагивающими концептуальною структуру и методологию, развитую нами.
Результаты исследований опубликованы в работах автора [4], [13].
1.2. Операторный метод и новое семейство интегральных
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ — ПРИМЕНЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
В данном разделе рассмотрено новое семейство интегральных преобразований, применимых к решению дифференциальных уравнений в частных производных с участием производной Лагерра второго порядка. Разработанная нами техника аналитического счета основана на применении операционных методов совместно со специальными функциями. Полученные результаты представляют интерес, как с точки зрения метода, так для решения различных прикладных математических проблем.
18
1.2.1. Производная Лагерра и связанная с ней операторная техника, уравнение диффузии Лагерра
Завершив исследование родственных полиномов Эрмита с помощью операторных методов, обратимся к применению этих методов и в особенности экспоненциального оператора к решению различных типов дифференциальных уравнений. Использование операторного метода совместно с расширенными формами специальных функций позволяет достаточно просто получить элегантные математические решения сложных задач. Продемонстрируем это, рассмотрев несколько типов дифференциальных уравнений с производной Лагерра.
Производной Лагерра была впервые введена в контексте мономиальных преобразований специальных функций в [14], в рамках которого простые полиномы Лагерра Ьп (я) рассматриваются как результат действия на одночлены (мономы) следующих операторов:
Р:^-±х± М-.= у-6;\ (1.2.1)
дх дх
которые играют роль операторов дифференцирования и умножения соответственно. Оператор — обратный оператор к оператору дифференцирования, или оператор
обратной производной, и его действие на данную функцию/определяется следующим образом:
ЙЛ/<*>} = 7~Тт](^)П"/т (п € N := {1,2,3,...}). (1.2.2)
При этом
Й°{/С*>} = /(Й, (1.2.3)
так что очевидно, что
Йг {1} = 4 (пем„ :=ЛГи{0}). (1.2.4)
П!
Рассмотрим полиномы Лагерра двух переменных Ьп(х,у); из определения (1.2.1) следует, что
» (.-ХУ уп~г ' '
(1.2.5)
где обозначения и соотношения с обычными полиномами Лагерра таковы:
Ьп (.х) 40) (х) = у~яЬп (ху,у) = Ьп (х,\), (1.2.6)
19
Ьп(х) — классические полиномы Лагерра порядка 0 и степени п по х (см. [7]).
Производная Лагерра Р и родственный ей оператор Т заданный ниже
Т := схр^-у^-з;^ = схр{уР\ (1.2.7)
встречавшийся ранее в (1.2.5), играют главную роль в теории полиномов Лагерра. В частности, оператор Т позволяет непосредственно получить операционное соотношение, известное как правило Гляйшнера [см. (1.1.17)]:
Т {схр (-ах)} = —-— ехр [-----]. (1.2.8)
1-ягу ^ 1 -ау)
Математический формализм, лежащий в основе вышеуказанных операторов, интересен сам по себе и позволяет решать многие математические задачи, связанные с такими физическими явлениями, как распространение волн, перенос и диффузия и другие (см., например, [16]). Легко показать [14], что:
[*£Ж] = -1. ([А,В\:=АВ-ВА), (1.2.9)
откуда получается следующее операторное соотношение между производной Лагерра и обратной производной:
(1-2Л0)
дх дх д [)х
Определение (1.2.10), значительно упрощает многие вычислительные процедуры решения дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в различных физических задачах (см., например, [16]). Рассмозрим следующую задачу с начальными условиями:
/(*»0 = ~ * 7“/(*.*)> /(*.0) = р<»>, (1.2.11)
о1 их их
являющуюся, по сути, уравнением диффузии с производной Лагерра по координате. В соответствии с уравнениями (1.2.9) и (1.2.10), решение задачи с начальными условиями (1.2.11) записывается следующим образом:
/(®,«) = схр
V э£>„ )
дСх), (1.2.12)
где для удобства мы обозначили
ф;‘){1} = г<*). (1.2.13)
и явная форма функции задана ин гегралом
20
«рСаО = £ ехр (-С)д(хС)(1£, (1.2.14)
при условии, что он сходится. Тогда из (1.2.12) получаем решение задачи (1.2.11) в виде:
/(*.«) = ИОх-г)0> ■ (1.2.15)
Рассмотрим пример:
д(х) = ехр(-т), (1.2.16)
тогда получим (комментарии см. в [14])
= (|х| <1) (1.2.17)
1 + X
и
^ = 7^7 ехрГ^г) ^<1^' (1.2.18)
Рассмофенная техника аналитических вычислений работает также в более сложных случаях. Выберем начальное условие в виде
д(х) = (-х2;2), (1.2.19)
где
К (*; := £ (т е Л-; п <= N.) (1.2.20)
г=0 г!(тг + н)! ' '
представляет собой частный случай функции Бесселя-Райта [7]. Тогда (1.2.14) дает
<р(.т) = ехр(-х2). (1.2.21)
Для получения решения (1.2.12) в явном виде используем соотношение:
1 *
ехр(Ла2) = |ехр(-£2 “ 2£<ь/я]с?£ (1.2.22)
на основании которого, напишем: /(*,0 = ехр
что приводит к
'ф ]ехр (-#’ - 2г4о:') {1} ^|, (1.2.23)
Л
где
/(х,0 = }ехр(-£2 + 2й4)С0(2{4х)<14 у (1.2.24)
21
«•*-£«£& 1'т
— функция Бесселя-Трикоми [15], [17], связанная с функцией Бесселя—Райта и с обычными широко известными цилиндрическими функциями Бесселя:
Сл <*> = И' (-х;1), Сп (х) = х-“72 (275Г), (1.2.26)
Отметим некоторые важные свойства оператора производной Лагерра Т, входящей в формулу (1.2.8), собственные функции которого представляют собой частный случай функции Бесселя-Трикоми (1.2.25):
Т{С0 (Г*)} = схр(гу) С0 (ух), (1.2.27)
где С0(х) могут быть записаны через обычные функции Бесселя ./0(х) с помощью формулы (1.2.26). Так, имеем
Т{ехр(-/?г)Л(27^)} = Т1^ехр^-^^^0[^^] (I Ру 1< 1)■ (1 2.28)
Интересные применения нашего формализма возможны в задачах, связанных с хаотическим светом и некоторыми статистическими проблемами. В этих задачах возникает следующее распределение:
Р(*,у;«) ~)' «р(- *)«(- ^)- (1-2.29)
Распределения, подобные (1.2.29), появляются также при изучении статистических свойств излучения лазероЕ* на свободных электронах (ЛСЭ) с большим усилением. Это увеличивает интерес к методу экспоненциальных операторов и его применению. Продемонстрируем применения этого метода на следующем примере.
Рассмотрим производящую функцию полиномов Лагерра двух переменных:
0(х,у,1) = ^-Ьп{х,у). (1.2.30)
п-0 п-
Из определений (1.1.4), (1.1.4) этих полиномов и из уравнения (1.2.27) вытекает следующее соотношение между производящей функцией (1.2.30) и оператором Т:
0(х,у-1) = Г = Т{С,(х1)} = ехр(уг)С0(т<). (12.31)
[п=0 )
Теперь рассмотрим билинейную производящую функцию:
в(хуу\гу'ш\Ь) = ^Г4(х,у)4(г,ш). (1.2.32)
п-0
22
Легко заметить, что в результате действия оператора Т на Є получаем
производящую функцию (1.2.32) в следующем виде:
С(х,у\гу\и\ї) = Т,{ехр(-шхЄ)С0(-2х/.)} . (1.2.33)
Откуда, используя (1.2.28), записанное в терминах функции Бссссля-Трикоми С0(х), с помощью (1.2.26) получим
в (х,у, г,иг,1) =
1
1 - \injt
ехр
1 — игу1 ) 41 ^ (1 — гау^)2 ^
Подстановка у = ги = 1 в (1.2.34) с учетом (1.2.6) и последующей замены г на у,
приводит к известной формуле Хилли-Харди (НШе-Нагс1у) для обычных полиномов Лагсрра Ья(х) [7]:
0{х,\-уХ£) := X гц,(х)1,м = 7^exp(-^lT7І)c»(-(JT^) (111< Ц- (]-2-35)
Теперь обобщим наше рассмотрение на случай присоединенных полиномов Лагерра с помощью следующего расширенного переопределения (1.1.4) и (1.2.5):
«г«.,»(12К)
Та := ехр(-у(т.а" + (а + 1)5,)).
Эти полиномы, по сути, представляют собой обобщение полиномов Ьи{х,у) в (1.1.4). Применяя развитый нами в начале этого раздела метод, получим следующее операторное соотношение:
21{езф(-®Є)} =
1
ехр -
ХІ
(1-у«Г ” 4 1-уО
которое приводит к обобщенному виду уравнения (1.2.27):
К {°а (г*)} = ехр (уу) са (ух). В то же время обобщенный вид уравнения (1.2.28) таков:
1
(1И<0>
Та{ехр (тРх)Са(ух)} =
уСГ*1
Ґ рх + ууЛ п / \ ух
1 \-~Pv ) а Щ ~ РуУ )
(1.2.37)
(1.2.38)
(1.2.39)
(1 -№
Таким образом, применив метод экспоненциального оператора, получаем для производящей функции
<?Ля>у;2>«';0 = Х
п!
^ Г (п + а +1)
ДГ (я. У) 4в> (I ЩИ 1< 0, (1-2.40)
следующее представление:
23
G„ (x,y;z,w;t) = f,| J г/„^+1ч “’>} = £ {e‘”*c« (“CT0} =
2 (1.2.41)
1 f (ira + yz)i) f ^ л 14
= 7, TT^exP “ -4 f-\Ca - 77 T7J QttfyM<l),
(і-іш/t) ^ l-wyt ; ^ (l-^yi) J
из которого в частном случае а = О, получается билинейная производящая функция (1.2.34). Что более важно, в случае у - w = 1 билинейная производящая функция (1.2.41) сводится к известной формуле Хиллс-Харди для присоединенных полиномов Лагерра 6;\х) (см. [7], стр. 84, ф-ла 1.11).
С помощью экспоненциального оператора S (1.1.12) можно получить следующую производящую функцию:
jr ~ //„ (х, у) 4 (г, ги) = exp (w2yt7 + wxt) HC0 [zr.t + Iwyzt2 + yz2i2), (1.2.42)
n:.Q
где
«с.(«) = £ (- (1-2.43)
r!(r + n)!
— функция Трикоми-Бесселя порядка п.
Как будет показано ниже, предложенный нами и продемонстрированный выше операторный метод может быть успешно расширен и применен к решению других задач.
1.2.2. Уравнение теплопроводности Лагерра
Напомним, что следующая задача с начальными условиями, включающая классическое уравнение теплопроводности:
/(М) = тт /(х>0> ДМ) = ^(2Г>’ at дх
может быть решена с помощью преобразования Гаусса-Вейерштрасса:
1 f ' "ч Л
exp
(«-4У
At
9(g) d£.
(1.2.44)
(1.2.45)
. в '
В настоящем разделе рассматривается решение следующего обобщенного уравнения:
/(«.0 е А2 /(*.0» /(*»0) = у(х), (1.2.46)
о1
24
при помощи техники, подобной преобразованию (1.2.45). Это уравнение типа теплопроводности включает производную Лагерра и поэтому естественно назвать его уравнением теплопроводности Лагерра.
Применяя результаты раздела 1.2.1, с учетом (1.2.9) и (1.2.11) представим решение уравнения (1.2.46) в виде:
41
(1.2.47)
Для ядра интегрального преобразования (1.2.47) можно написать следующее разложение по полиномам Эрмита:
ехр
4 і
■і \
{1} = ехр --
■ччмч^-ч
(1.2.48)
где Нп(х,у) — полиномы Эрмита двух переменных, определенные в (1.1.1) и (1.1.2).
Они также могут быть представлены через обычные полиномы Эрмита Ни (я) и Яе„ (х), как показано в (1.1.3), и для них существует производящая функция (1.1.23), написанная в разделе 1.1. Используя равенство:
Нп(х,у) = Нп(хг,уг2), (1.2.49)
которое легко проверить, из (1.2.48) найдем:
ехр
4t
«■Ч-S
(1.2.50)
что позволяет нам переписать ядро уравнения теплопроводности Лагерра (1.2.46) в следующем виде:
ехр
41
т-Ч4Ы-§.-Й
(1.2.51)
гдсиСи(х>У) — функции Эрмита-Ьссселя-Трикоми, изучавшиеся рамсе в других контекстах, в основном относящихся к теории синхротронного излучения и отдельных вопросов теории рассеяния (см., например, [14]):
to
н°п (*»?)••“ Е
иг
Г’-О
г!(п + г)!
#г (*»</), (neN0).
(1.2.52)
25
Таким образом, получаем преобразование Гаусса-Вейерштрасса для уравнения теплопроводности Лагерра (1.2.46) в следующем виде:
«с» [-§■
(1.2.53)
Интересное применение развитого выше метода касается обобщения операционного правила Гляйшнера [7]:
ехр у
дх7
ехр
М}-
1
==■ ехр { -
1 + 4 у
(1.2.54)
ТГ+4у
которое, в случае производной Лагерра 11)х, определенной в (1.2.1), принимает следующий вид:
ЄХрІ
і
(1.2.55)
>/Г+4у
Некоторые важные применения нашего метода включают, например, уравнение теплопроводности Лагерра (1.2.46) со следующими экспоненциальными начальными условиями типа Гаусса:
/(з,0) = р(х) = ехр(-х2). (1.2.56)
В этом случае отображение (р(%), полученное в соответствии с преобразованием (1.2.14), принимает следующий вид:
<р(£) = -П ехрГ —!-=■
2\4\ И#2
1-ЕгГ
1
и 144.
(1.2.57)
где ЕгГ(гс) — известная функция ошибок [7]. Теперь решение уравнения (1.2.46) с начальным условием (1.2.56) может быть без труда написано в виде интеграла (1.2.53), где функция (р определена в (1.2.57). Несколько примеров решений этой задачи для отдельных значений времени / показаны на рисунках Рис. 1.2—1 и Рис. 1.2—2 ниже.
I
26
Рис. 1.2—1 Решение уравнения теплопроводности Лагерра (1.2.46) для функции
д(х) = ехр(-х2) в различные моменты времени: £ = О — зелёная штриховая линия у £ - 0.5 —красная непрерывная, £ = 1 —синяя пунктирная.
Рис. 1.2—2 Решение уравнения теплопроводности Лагерра (1.2.46) для функции
д(х) = И^0(~х2;2) в различные моменты времени: £ = 0 —зеленая штриховая линия, £ = 0.2 — красная непрерывная линия, £ = 1 — синяя пунктирная линия.
Справедливость полученных решений была проверена с помощью хорошо известных методов, как, например, преобразования Лапласа. Однако, метод, предложенный нами, позволяет получить решение быстрее и проще.
Другим важным случаем уравнения теплопроводности Лагерра является задача (1.2.46) с начальным условием:
/(х,0) = диУ = М„(-хг-,2), (1-2.58)
27
которое уже рассматривалось нами в качестве начального условия для обычного уравнения теплопроводности. Действительно, образ функции 9(х), заданный преобразованием (1.2.14), оказывается экспоненциальной функцией типа Гаусса:
?>(£) = ехр(-£2). (1.2.59)
Это выражение приводит к следующему решению (1.2.46) с начальным условием (1.2.58):
«•■‘’-шЬ'Н’К)} (,г“)
Пример такой функции времени (и координаты х приведен на Рис. 1.2—3:
РОС,О
Рис. 1.2—3 Решение уравнения теплопроводности Лагерра с начальным условием
д(х) = И(|(-х2;2).
Заметим, что для рассмотренного выше в разделе 1.2.1 уравнения диффузии Лагерра (1.2.11) с начальным условием ехр(-х) представляет талжс интерес начальное условие типа функции Гаусса (1.2.56), подставляя которую в (1.2.14) и используя затем (1.2.15), получаем следующее решение [5]:
/(х,0 = Г ехр[-у(1 + У«2)]Х^т £;п{1} Ня[2уЧу-у2)<1у =
"-°я! (1.2.61) = £ ехр[-у(1 + у*2)] нС0{-2хуЧ,-х2уг)ёу,
выраженное через функцию Эрмита-Бесселя-Трикоми (см. (1.2.43)).
28
Еще более общее правило справедливо для функции, которая может быть разложена в ряд по простым полиномам Лагерра //„(х)и по их аналогам Ln(x,y), уже рассматривавшимся в предыдущих разделах.
Предположим, что функция <?(х) может быть разложена в ряд по обычным полиномам Лагерра Lu(x). Тогда решение /(х,£) может рассматриваться как результат действия экспоненциального оператора Лагерра на ряды простых полиномов Лагерра. Так мы получаем, что
/(х,t) = exp~ х -£:)|Z с» A. <*>} = Z с» А. (*> 1 + 0» (1.2.62)
где
= (1.2.63)
«■О
Соотношение (1.2.62) является простым следствием того, что в терминах полиномов Лагерра двух переменных Ln(x,y), входящих в формулы (1.1.5), (1.2.5), естественным образом возникает следующее равенство для этих полиномов:
6ХР(а Jx ^ ix)^" = Ь" (Х’У~ а^' (1-2.64)
которое следует из (1.1.4), (1.2.5). Аналогичные рассуждения справедливы для семейств функций, которые можно представить в виде ряда по полиномам Лагерра двух переменных. Завершая изучение полиномов Лагерра, обсудим возможность применения нашего мегода для решения уравнений интегрально-дифференциального типа, как, например следующее уравнение:
Yt f 0 = хЬ\ / (*, 0 + £/ (£, О. (/ (*»0) = 9 (х)). (1 -2.65)
В этом случае можно записать формальное решение как
f(x,t) - exp (Л + б){<7(х)}, (1.2.66)
где введены операторы
A :=tD2t и (1.2.67)
коммутатор которых
[ЯЛ] = тА^\ (m = 2tVi). (1.2.68)
Используя (1.2.68), мы можем расцепить операторные переменные в экспоненте (1.2.66) (см. [15], стр. 8, ф-ла (1.2.32)):
29