Методы квантовой теории углового момента в задаче нескольких тел

Содержание
Введение ............................................................. б
Глава 1. Отделение коллективных угловых переменных в уравнении Шрёдингера для системы Лг тел.................................20
1.1. Метод вращающихся координатных систем и колебательно-вращательное разложение гамильтониана .................................23
1.1.1. Отделение коллективных углов в методе вращающихся координатных систем ..........................................25
1.1.2. Колебательно-вращательное разложение гамильтониана 33
1.1.3. Общее определение вращающихся координатных систем 37
1.1.4. Калибровка мгновенных главных осей инерции .............44
1.1.5. Калибровка д-связи ....................................-19
1.1.6. Примеры радиальных уравнений для задач трех и четырёх тел ......................................................53
1.2. Калибровка Экарта .............................................58
1.2.1. Производящие функции, векторы и матрица Экарта . . 61
1.2.2. Вычисление базисных векторов и матрицы Экарта . . . 63
1.2.3. Вращательный и кориолисов гамильтонианы.................68
1.2.4. Предел абсолютно твёрдого тела для системы Экарта . 70
1.2.5. Планарные системы.......................................73
1.2.6. Задача трёх тел ........................................76
1.2.7. Задача четырёх тел .....................................80
1.3. Метод минимальных биполярных гармоник .........................83
1.3.1. Разложения но минимальным биполярным гармоникам . 85
1.3.2. Задача трёх тел ........................................88
2
1.3.3. Задача N тел.................................................91
1.4. Метод устранения калибровочных расходимостей .......................94
1.5. Выводы.............................................................102
Глава 2. Мультипольные разложения континуума трёх свободных частиц и волновые функции волчка .............................105
2.1. Мультипольные разложения волновой функции континуума трёх
тел ...............................................................106
2.2. Разложение произведения двух плоских воли .........................112
2.2.1. Калибровка половинного угла ................................116
2.2.2. Калибровка ггх .............................................120
2.2.3. Связь мультиполей, соответствующих разным калибровкам, и интегралы с функциями Бесселя.........................123
2.3. Кинематическая модель трёхчастичного распада ......................126
2.3.1. Диаграммы Далитца ..........................................128
2.3.2. Распад трёхчастичиого волчка................................130
2.4. Выводы.............................................................136
Глава 3. Четырёхмерные мультипольные разложения и симметрия Фока атома водорода .......................................140
3.1. Стереографические проекции и матричные элементы с водородными волновыми функциями 141
3.1.1. Матричные элементы в импульсном пространстве .... 141
3.1.2. Свойства стереографической проекции ........................144
3.2. Мультипольные разложения гиперсфер»'ческой гармоники . . . 147
3.2.1. Тензорная форма мультипольних разложений....................148
3.2.2. Явные выражения для мультипольных разложений . . . 149
3
3.3. Выражения для матричных элементов ........................154
3.3.1. Явный вид матричных элементов .....................154
3.3.2. Диполыюе приближение ..............................150
3.4. Выводы....................................................158
Глава 4. Параметризация угловых распределений в процессах однофотонной фрагментации......................................101
4.1. Параметризация дипольной амплитуды ТУ-частичной фрагментации ........................................................101
4.1.1. Общие выражения для амплитуды фотофрагментации . 103
4.1.2. Полная фрагментация молекулы водорода .............108
4.2. Недішальные эффекты в двухэлектронной фотоионизации атомов ...................................................172
4.2.1. Параметризация амплитуды с учётом нединольиых поправок ...................................................174
4.2.2. Недипольные поправки к ионизации гелия.............170
4.3. Выводы....................................................183
Заключение .......................................................186
Приложения........................................................188
A. Неприводимые тензоры и их свойства........................188
Б. Отделение координат вектора центра масс в задаче N тел . . . 190
B. Приложения к Главе 1 192
В.1. Дифференциальные операции с матрицами конечных вращений ....................................................192
В.2. Параметры для калибровки 2-связи.....................195
4
В.З. Вычисление действия оператора Лапласа на разложения
по минимальным биполярным гармоникам................197
В.4. Градиенты минимальных биполярных гармоник............199
В.5. Дифференциальные операции в пространстве внутренних переменных системы четырёх тел........................202
Г. Приложения к Главе 3 205
Г.1. Вычисление сумм в (3.33)............................ 205
Г.2. Явные выражения для функций , 207
Г.З. Функции в частных случаях ..................208
Г.4. Рекуррентные соотношения для функций Рп$п%т^ • • • .212
Литература .......................................................214
5
Введение
Изучение малочастичных квантовых систем имеет большое значение для понимания структуры ядер, атомов и молекул. Диапазон задач, в которых приходится иметь дело с малочастпчиыми системами чрезвычайно широк: от изучения ядерного гало (1, 2] и мюонпого катализа ядерного синтеза [3-5| до исследования полупроводниковых наноразмерных структур - квантовых точек [6-8]. Как правило, в кван товых системах нескольких тел межчастичные корреляции велики, и методы вычислений, основанные на приближении самосогласованного ноля, неприменимы. Таким образом, в данном случае необходимо решать уравнение Шрёдингера напрямую, что связано с большими трудностями численного решения уравнения в частных производных в многомерном пространстве. Поэтому, развитие аналитических методов, позволяющих уменьшить количество переменных в уравнении Шрёдингера, представляется весьма важной задачей. Возможность такого понижения размерности вытекает из симметрии изолированной системы относительно коллективных трансляций и вращений.
Квантовая теория углового момента является одним из важных инструментов теоретических исследований систем нескольких тел. Коротко говоря, квантовая теория углового момента представляет собой науку о неприводимых тензорах. В трёхмерном пространстве, неприводимый тензор ранга / есть совокупность (21 + 1) компонент, преобразующихся при вращениях системы координат по линейному закону. Одно из преимуществ неприводимых тензоров заключается в том, что в трёхмерном пространстве число их компонент линейно растёт с увеличением ранга /, в отличие от обычных (декартовых) тензоров, где рост 3/ экспоненциален. Простейшим примером неприводимых
6
тензоров1 являются сферические гармоники У/,„(г) = У/т(0. ф), где 0,ф- сферические углы единичного вектора г.
Важность теории углового момента для приложен»А обусловлена тем обстоятельством, что для изолированной системы Лг тел сохраняется полный момент количества движения (момент импульса). В квантовой механике это означает, что волновая функция системы N тел в отсутствие внешних нолей является собственной функцией оператора полного углового момента .Т. Как известно, собственные функции оператора Д являются неприводимыми тензорами |9—111. Для простоты, всюду в диссертации нренебрегается эффектами спин-орбитального взаимодействия, так что сохраняется полный орбитальный момент количества движения Ь.
Неролятнвнстскос квантовомеханическое описание движения N частиц подразумевает решение уравнения Шрёдингера,
• • •к") - ф(р)(И-ь К-2,... б,у) = о, (1)
где Е - энергия системы, V* - оператор градиента относительно радиус-вектора Ы, частицы с массой га,-; Ф^(Кх, Н*>,... Кдг) - полная волновая функция системы А' тел, квантовое число р описывает чётность состояния, р = 0,1 для чётного и почётного состояний, соответственно. Уравнение (1) является дифференциальным уравнением в частных производных относительно 3N переменных - компонент радиус-векторов частиц И,,-.
Уже для трёх тел размерность уравнения (1) равна девяти, что делает практически невозможной любую попытку его прямолинейного численного решения. Однако, задача упрощается в случае изолированной системы, т.е. при отсутствии внешний полей, действующих на частицы. В этом случае потенциальная энергия, и следовательно уравнение (1) в целом, инвариантны
'Основные свойства неприводимых тензоров приведены в Приложении А, см. также книги 19-11).
относительно пространственных трансляций и вращений совокупности частиц. При этом удобно перейти к следующей параметризации переменных в (1): три компоненты радиус-вектора По центра масс (ц.м.) частиц плюс три угла {}. описывающих ориентацию всей системы как целого в пространстве, плюс три величины £ = (si * £2? чз)? описывающие относительное положение трёх частиц. Данная параметризация легко обобщается на случай задачи N тел, при этом число внутренних переменных равно 3N — б, т.е. £ = • • >Сзлг-в)-
Тот факт, что для изолированной системы потенциальная энергия V зависит только от внутренних переменных позволяет устранить из уравнения Шрёдингера шесть коллективных степеней свободы. Три из них описывают движение ц.м. и могут быть устранены из уравнения (1) несколькими способами. Одним из наиболее употребительных является использование набора векторов Якоби [12-15]. (Необходимый минимум информации об этом методе содержится в Приложении Б.) Преимущество данного метода в том. что в записи через векторы Якоби оператор кинетической энергии относительного движения имеет диагональный вид. Отметим, что диагопальнооть кинетической энергии сохраняется также и при использовании координат Радо (Radau coordinat.es, см. [12, 16—18)).
В Приложении Б показано, что при использовании масс-масштабированных векторов Якоби уравнение Шрёдингера можно представить в виде“.
Сохранение полного углового момента позволяет отделить в уравнении (2)
2Здеоь, и далее и тексте диссертации, если иное не огоиоремо особо, используются единицы Л = 1.
(Н - Е) Ф(г,)(гь г »,... г„) = О,
ц=ЛГ-1
(2)
еще три коллективные переменные, которые описывают ориентацию системы в пространстве. Существует целый ряд методов отделения коллективных угловых переменных. Можно показать [19|, что все они основаны на разложении волновой функции по угловому базису, которое для состояния с определённым значением углового момента 1тп имеет вид,
<>(Г1, г2. • • • г„) = £ <}(0 ЗЙ?(П). (3)
д=-1
где (П) - набор базисных функций, зависящих от трех коллективных углов П; независящие от коллективных углов функции Ф$(£) будем называть обобщёнными радиальными функциями. Цель главы 1 диссертации состоит в отыскании обобщённых радиальных уравнений па функции (£) при различных вариантах выбора углового базиса Т/^(П). Отметим, что удачный выбор углового базиса может существенно упростить решение системы радиальных уравнений [20], что объясняет важность поставленной задачи. В диссертации не затрагивается вопрос о способах решения радиальных уравнений в задаче нескольких тел. Данный вопрос тесно связан со свойствами рассматриваемой задачи и представляет собой отдельную сложную проблему (см., например, книгу [14]).
В молекулярной физике часто используется метод вращающихся координатных систем (ВКС) [12. 21], в котором коллективные углы определены как углы поворота системы координат, связанной с частицами, относительно осей неподвижной лабораторной координатной системы (ЛКС). При этом в (3) в качестве базисных функций используются матрицы конечных вращений (МКВ), которые при параметризации поворота углами Эйлера известны как /^-функции Вигнера у). Существует, очевидно, бесконечно мно-
го вариантов выбора ВКС, так что каждый конкретный выбор ВКС можно
рассматривать как “калибровочное соглашение” |12|.
Известно [191, что мвт°А ВКС эквивалентен представлению гамильтониана системы в виде суммы колебательной #о, кориолпсовой Нсог, и вращательной IIrot частей [22—28|. Колебательный гамильтониан Я0 описывает относительное движение частиц, вращательный гамильтониан lIrot, соответствует вращению системы как целого, и кориолисов гамильтониан Нсог (обозначенный в работе (19) как колебательно-вращательный гамильтониан HVib) описывает взаимодействие между относительным движением частиц и вращением системы. Выбор калибровки определяет относительную величину гамильтонианов Нсог и Я rot, но не влияет па Hq. Отмстим, что малость относительной величины кориолпоова гамильтониана означает независимость вращения и колебаний, и в этом случае вращение системы подобно вращению твёрдого тела. Отыскание ВКС, в которой минимизируются кориолисовы члены гамильтониана является важной задачей теории несферических ядер [20, 28-38].
В разделе 1.1 развит общим метод отыскания обобщённых радиальных уравнений, основанный на технике векторного дифференцирования неприводимых тензорных произведений, развитой в работах [19, 39 41]. Метод является универсальным и применим к отысканию радиальных уравнений для любых калибровок. В разделах 1.1-1.3 показано, что использование разложения (3) приводит к возникновению в радиальных уравнениях членов, расходящихся при определённых положениях частиц. Расходимости такого типа называют “калибровочными” [12, 42), поскольку они зависят от выбора углового базиса (т.е. калибровки). В практических вычислениях проблему калибровочных расходимостей можно обойти сшивкой решений, соответствующих нескольким калибровкам, расходимости которых не пересекаются. Тем Fie менее, представляет интерес вопрос о существовании такого метода отделения
10
коллективных углов, при котором калибровочные расходимости не возникали бы вообще [12). Ответ на этот вопрос дан в разделе 1.4, где предложен метод отделения коллективных углов, свободный ог калибровочных расходимостей. Метод основан на применении переполненного углового базиса муль-типолярных гармоник [19|. Цена, которую приходится платить за отсутствие расходимостей в данном методе - быстрый рост числа радиальных уравнений с увеличением числа частиц и/или полного углового момента системы.
В квантовой проблеме нескольких тел особую сложность представляет теоретическое описание процессов с участием нескольких (IV > 3) частиц в непрерывном спектре. Примерами таких задач могут служить двухэлектронная фотоионизация атомов и молекул [43-46), ионизация атомов электронным ударом [47-50), трёхчастичная диссоциация (51-54). Одна из трудностей заключается в том, что волновая функция задачи рассеяния не является собственной функцией оператора полного углового момента. Действительно, волновая функция рассеяния характеризуется квантовыми числами асимптотических импульсов частиц, их энергией и спиральностыо. Например, квантовые числа волновой функции трёх тел в непрерывном спектре составляют асимптотические импульсы3 Р1 и Р2, полная энергия Хд=1 щ/тл и спины ^1^25з (в пренебрежении спин-орбитальными эффектами). Таким образом, волновая функция рассеяния в задаче трёх тел зависит от шести пространственных переменных, представляющих собой компоненты векторов Якоби Г1 и го в системе координат, связанной с импульсами Р1 и Р2, наблюдаемыми на эксперименте.
Хотя волновой функции рассеяния нельзя приписать определённое значение углового момента, её можно разложить по набору собственных фупк-
-,Ц.м. предполагается неподвижным, так что Р1 Г Рг 4 Рз = 0.
11
ций оператора намного углового момента. Такого рода разложения называют мультнпольными [9, 10|. Несмотря на то, что мультипольные разложения представляют собой бесконечные ряды, часто в практических приложениях достаточная точность достигается при учёте сравнительного небольшого числа мультиполей [55, 56|. Существуют, конечно, задачи в которых скорость сходимости мультипольных разложений недостаточна. Такая ситуация, например, имеет место в задаче о рассеянии быстрых электронов атомами.
В классической задаче рассеяния полный момент импульса сохраняется и определяется массами частиц и прицельным параметром. Известно, что точность классического описания рассеяния, при данной скорости частиц, улучшается с увеличением их масс. Поэтому использование мультипольных разложений в задачах молекулярного рассеяния и диссоциации, как правило, весьма эффективно. Кроме того, часто лишь конечное число членов мультипольных разложений даёт вклад в амплитуду из-за наличия правил отбора, вытекающих из особенностей рассматриваемой задачи. Например, трехатом-ная предиссоциация молекулы Пл [51, 53, 54|, описывается матричным элементом перехода между начальным состоянием молекулы, характеризующимся определёнными квантовыми числами углового момента, и конечным состоянием непрерывного спектра. При этом оператор перехода является скаляром [57], откуда следует, что ненулевой вклад в амплитуду будут давать только те мультиполи разложения конечного состояния, угловой момент которых равен угловому моменту начального состояния. Похожая ситуация имеет место п в однофотонной двухэлектронной ионизации атома, где в амплитуду дают вклад мультиполи конечного состояния с угловым моментом, отличающимся от момента начального состояния на единицу (см. главу 4).
В главе 2 рассмотрен вопрос о выборе базиса для разложения волновой
12
функции непрерывного спектра в задаче трёх тел. В задаче трёх тел часто используется разложение по базису биполярных гармоник4 (БГ), т.е. тензорных произведений сферических функций, зависящих от углов векторов Якоби. Разложение по БГ эквивалентно разложению волновой функции по базису одночастичных состояний, что приводит к возникновению дополнительного бесконечного суммирования, сходимость которого нс всегда достаточна. В главе 2 в качестве углового базиса выбраны 19-функции Вигнера, описывающие поворот от системы координат, связанной с импульсами рь р2 (это неподвижная система, т.е. Л КС), к системе координат, связанной с векторами Якоби (вращающаяся система, ВКС). Коэффициенты в разложении зависят от трёх внутренних переменных £, которыми могут быть, например, длины векторов Якоби и угол между ними: £ = г1? го, в.
В качестве примера, в разделе 2.2 рассматривается мультиполыюе разложение произведения двух плоских волн, которое представляет собой волновую функцию трёх невзаимодействующих частиц. Математически, коэффициенты такого мультипольного разложения эквивалентны импульсному представлению волновой функции жёсткого трёхчастичного симметричного волчка. Если рассмотреть задачу о предиссоциации молекулы типа симметричного волчка на три нейтральных фрагмента, то, в нулевом приближении, амплитуду процесса предиссоциации состояния с нулевыми колебательными квантовыми числами можно представить как интеграл перекрытия между начальным состоянием симметричного волчка и конечным состоянием невзаимодействующих частиц. Таким образом, мультнпольные коэффициенты разложения произведения плоских волн можно рассматривать как “кинематическую модель’* процесса предиссоциации (см. раздел 2.3). Если кинетическая
4Определение см. формулу (А.4) Приложения А.
13
энергия частиц велика но сравнению с межчастичным взаимодействием, то потенциал взаимодействия можно учитывать по теории возмущений. Коллективные мультипольные разложения поправочных членов и матричные элементы с ними, рассмотрены в статье |58|.
Как было отмечено выше, квантовая теория углового момента обычно используется в задаче нескольких тел для отделения коллективных (или одночастичных) угловых переменных. Интересно, что существует задача двух тел, которую можно полностью решить методами квантовой теории углового момента. Это задача об атоме водорода - В.А. Фок в работе |59] показал, что нерслятивистскпе волновые функции атома водорода в импульсном пространстве пропорциональны четырёхмерным гиперсферическпм гармоникам (ГСГ). Другими словами, оказывается что задача об атоме водорода обладает симметрией группы 0(4). Такое свойство квантовой кулоновской задачи двух тел связано с наличием дополнительной сохраняющейся величины оператора Лапласа-Рунге-Ленца.
Приложения симметрии Фока весьма обширны. В работе [60| симметрия Фока использовалась для вычисления лэмбовского сдвига в атоме водорода. Теоретико-групповые свойства 0(4)-спмметрии атома водорода изучались в (61]. Швингер [62] получил простое выражение функции Грина атома водорода в терминах четырёхмерных ГСГ. Симметрия Фока использовалась для вычисления эффектов запаздывания в двухфотонных связанно-связанных переходах в атоме водорода |63]. В работах [64 67, 67-76] четырёхмерные ГСГ использовались в качестве штурмовского базиса в многоцентровой кулопов-скоп задаче. Недавно метод фоковских проекций был применён в физике конденсированного состояния к теории анизотропных экситонов |77|.
Л ибер (М. Lieber, |60|) отметил, что основная трудность применения фо-
14
ковской симметрии состоит в зависимости аргументов ГСГ от энергии. Это не позволяет использовать теорему Вигнера-Экарта для вычисления матричных элементов с водородными волновыми функциями. В некоторых случаях данную проблему можно обойти, используя набор штурмовских функций [66, 67, 72). Эти функции в основном совпадают с водородными волновыми функциями; их отличие состоит в том. что аргументы ГСГ, соответствующих штурмовскпм функциям, одинаковы для всего набора. Как следствие, для вычисления интегралов со штурмовскими функциями, принадлежащими одному множеству, можно использовать стандартные методы теории угловою момента в четырёхмерном пространстве [67, 78).
При вычислении интегралов со штурмовскими функциями из разных наборов, возникает та же проблема, что и при вычислении водородных матричных элементов между состояниями с разной энергией. Дело в том. что теорема Вигнера-Экарта применима только для интегралов с ГСГ, имеющими одинаковые аргументы, которые указывают па одну и ту же точку 4-сферы. Однако, водородные функции с 'разной энергией (или штурмовские функции из разных наборов) соответствуют разным точкам на 4-сфере.
В главе 3 диссертации показано, что использование полученных в (79) мультипольных разложений ГСГ позволяет эффективно вычислять водородные (и штурмовские) матричные элементы. Математически это означает, что удалось установить соотношение между ГСГ, соответствующим различным стереографическим проекциям. А именно, 4-гармонику, зависящую от некоторой точки 4-сферы можно представить в виде ряда ГСГ, зависящих от точки 4-сферы, соответствующей другой стереографической проекции трехмерного пространства на 4-сферу. Причём коэффициенты такого ряда можно интерпретировать как форм-факторы атома водорода. Форм-факторные ин-
15
тегралы известны также как “обобщённые силы осцилляторов” (ОСО). ОСО играют важную роль в теории рассеяния быстрых частиц атомами и молекулами. Начиная с пионерской работа Бете [80], к настоящему времени имеется обширная литература, посвящённая ОСО атома водорода (см., например, обзор [81]). В книге [82] даны компактные выражения для водородных ОСО. соответствующих переходам 15, 2в —► пЛ. В {заботе [83] представлены водородные ОСО для переходов между произвольными связанными состояниями в терминах комбинаций гипергеометрических функций двух переменных. Водородные матричные элементы оператора электромагнитного взаимодействия вычислялись в работе |84| с использованием параболических координат. Выражения для водородных связанно-свободных матричных элементов можно найти, например, в статьях [85, 86|. Во всех цитированных выше работах проводились прямые вычисления трёхмерных интегралов в сферических координатах. В главе 3 получено представление ОСО в виде комбинации мультипольных коэффициентов, каждый из которых выражается в компактном замкнутом виде, содержащем производные элементарной функции. Такое дифференциальное представление весьма удобно для анализа различных свойств матричных элементов, например, их асимптотического поведения. С помощью дифференциальных представлений удобно получать рекуррентные соотношения, связывающие радиальные интегралы с различными квантовыми числами.
В последние десятилетия достигнут значительный прогресс в экспериментах по изучению угловых распределений нескольких частиц в схеме совпадений [43, 46, 51, 52|. Сравнение результатов эксперимента с теорией усложняется большим количеством параметров, определяющих вид угловых распределений фрагментов. Данное обстоятельство делает актуальной задачу об
16
отыскании удобных параметризаций амплитуд и сечений соответствующих процессов. Например, для интерпретации экспериментов по двухэлектропиой фотоионизации гелия (см. обзор (43|) в работах [39, 87, 881 были получены параметризации, позволившие установить ряд правил отбора для амплитуды процесса двойной фотоиопизации.
Б существующих подходах, однако, для каждого процесса фотофрагментации параметризацию приходится выводить заново. Иными словами, имеющиеся параметризации не являются универсальными. В главе 4 получена инвариантная параметризация амплитуды однофотонной фрагментации, основанная на разложении вектора поляризации фотона по базису пары век торов асимптотического импульса фрагментов (раздел 4.1). Предлагаемая параметризация применима для описания произвольных процессов многочастичной фотофрагментации. В качестве примера, в п. 4.1.2 рассматривается полная фрагментация молекулы водорода.
Далее, в разделе 4.2, рассматривается параметризация амплитуды двухэлектронной фотоионизации с учётом недипольных поправок. Данная задача представляет интерес в связи с экспериментами по ионизации гелия фотонами о энергией 529 [89]. В п. 4.2.1 на основе метода вычисления тензорных произведений, развитого в работах [39 41], получены выражения для динамических факторов амплитуды, не зависящих от поляризации фотона. Динамические факторы представлены в виде рядов, содержащих производные от многочленов Лежандра с весами в виде комбинации приведённых матричных элементов операторов дипольного и квадрупольного моментов. В п. 4.2.2 рассматривается двойная ионизация атома гелия. Там же указаны условия, оптимальные для наблюдения недипольных эффектов в угловых распределениях. Приведены правила отбора для квадрупольной амплитуды, показывающие,
17
что её вклад обращается в ноль при ортогональной геометрии эксперимента. когда векторы импульсов фотоэлектронов перпендикулярны направлению фотонного пучка. Результаты расчёта амплитуды с помощью теории возмущений по межэлектронному взаимодействию показывают, что недипольные эффекты можно наблюдать при надпороговой энергии фотона ~ 80 эВ, см. |90-92).
Положения, выносимые на защиту.
• Предложен универсальный метод отделения коллективных угловых переменных в квантовой задаче N тел. Рассмотрены различные варианты выбора углового базиса. Детально изучены свойства вращающейся системы координат Экарта, минимизирующей корполисовы члены гамильтониана вблизи положений равновесия. Указан способ, позволяющий обойти проблему калибровочных расходимостей при отделении коллективных углов.
• Проведён анализ вариантов выбора углового базиса мультипольных разложений волновых функций непрерывного спектра системы трёх тел базис биполярных гармоник и базис /^-функций Вигнера. Получено коллективное мультипольное разложение произведения двух плоских волн, установлены его свойства симметрии.
• Развита техника, позволяющая применять четырёхмериую симметрию Фока к задачам вычисления матричных элементов с водородными волновыми функциями. В результате получено компактное дифференциальное представление для радиальной части форм-факторного интеграла. Для данного интеграла получены замкнутые выражения при
18
нескольких маетных значениях квантовых чисел, а также выведены реку ррентн ые СООТНОІ1ІЄНИЯ.
• Построена универсальная параметризация амплитуд процессов однофотонной многочастичной фрагментации атомов и молекул. В качестве примера рассмотрен процесс полной фотофрагментации молекулы водорода. Изучена роль недипольных эффектов в двухэлектронной фотоионизации атома гелия, указаны условия их наблюдения в угловых распределениях.
Список сокращений Ц.М. - центр масс,
ВКС - вращающаяся координатная система; система координат, связанная с телом,
Л КС - лабораторная координатная система; неподвижная система координат,
СЭ - система Экарта, т.е. ВКС, удовлетворяющая условию Экарта (1.98),
БГ - биполярные гармоники, определение см. формулу (А.4),
МБГ - минимальные биполярные гармоники, см. формулу (А.9),
МКВ - матрицы конечных вращений, см. формулу (А.1),
ГСГ - гиперсферические гармоники.
В диссертации используются стандартные обозначения алгебры углового момента, принятые в книге |1()|.
19
Глава 1
Отделение коллективных угловых переменных в уравнении Шрёдингера для системы N тел
В данной главе рассматривается проблема отделения трёх коллективных угловых переменных в уравнении Шрёдингера, описывающем систему N частиц в отсутствие внешних нолей. Для простоты, спин-орбитальные эффекты предполагаются несущественными, так что справедливо приближение ЬБ-связи и волновая функция может быть представлена в виде произведения пространственной и спиновой части. Всюду, где не оговорено особо, перестановочная симметрия волновых функций не рассматривается.
Математически, процедура отделения коллективных углов состоит из двух этапов: на первом выбирается коллективный угловой базис, по которому разлагается волновая функция состояния с определёнными значением полного углового момента /; второй этап состоит в отыскании уравнений на коэффициенты разложения, которые будем называть обобщёнными радиальными функциями (или просто радиальными функциями). Последние зависят от набора Зп — 3 = ЗДГ —0 внутренних переменных £, описывающих относительное положение частиц.
Различные варианты выбора углового базиса анализировались в обзорной работе [19|. В настоящей главе рассматриваются два вида базиса. В разделах 1.1-1.2 в качестве углового базиса выбраны матрицы конечных вращений (МКВ), при параметризации поворотов углами Эйлера известные как 1)-функции Вигнера (см. Приложение А). В данном подходе необходимо дополнительно фиксировать связь осей вращающейся координатной системы
20
(ВКС) с векторами Якоби, что можно понимать как калибровочное соглашение [12]. Отмстим, что, хотя вид радиальных уравнений зависит от калибровки, полная волновая функция и энергетический спектр системы от выбора калибровки зависеть не должны.
Члены в радиальных уравнениях, возникающие в результате действия оператора кинетической энергии на функции углового базиса, зависят от выбора калибровки и потому их называют калибровочными потенциалами. В задаче двух тел роль калибровочного потенциала1 играет центробежная энергия ~ /(/ -Ь 1)/г2. Это выражение расходится при столкновении частиц, что имеет определённый физический смысл. Калибровочные потенциалы в задаче нескольких тол имеют более сложный вид, но также содержат расходимости. Причём, положение расходимостей в конфигурационном пространство зависит от калибровки, что лишено физического смысла. Кроме того, структура расходимостей в задаче двух и N тел различается. Например, в задаче четырёх тел (см. рис. Б.1 на стр. 191), расходимость возникает при коллинсарной конфигурации трёх частиц частиц из-за наличия членов ~ (74 ьш#т>)“2.
Расходимости центробежного типа г“2 называют точечными; они зависят от выбора векторов Якоби и возникают не только в калибровочных потенциалах, но и в выражении для кинетической энергии относительного движения. Угловые расходимости, связанные с взаимной ориентацией частиц (в указанном выше примере это (бт^г)"2), представляют собой поверхности в конфигурационном пространстве2 и целиком обусловлены выбором калибровки. Они не имеют аналогов в задаче двух тол и далее обозначаются термином “калибровочные расходимости”. Отметим, что в задаче трёх тел калибровоч-
1В задаче двух тел вопроса о калибровке не возникает, т.к. единственным целесообразным выбором ннляется базис сферических фупкцнП, зависящих от сферических углом вектора, соединяющего частицы.
2Тем самым, угловые расходимости “хуже” точечных.
21
ныс расходимости эффективно сокращаются, см. п. 1.3.2. Однако, при N > 3 калибровочные расходимости неустранимы (в обычных подходах).
В разделе 1.1 рассматриваются две часто используемые координатные системы: система мгновенных главных осей инерции (п. 1.1.4), и калибровка 2-связи (п. 1.1.5). в которой ось 2 В КС направлена вдоль одного из векторов Якоби. При этом получены явные выражения для калибровочных потенциалов. Там же обсуждается их калибровочные расходимости.
В разделе 1.2 рассмотрена схема выбора вращающихся осей, предложенная Экартом [22] и популярная в молекулярной физике [17, 93, 94, 96-117].
Далее, в разделе 1.3, в качестве углового базиса используется набор минимальных биполярных гармоник (МБГ). Метод МБГ является обобщением подхода, развитого первоначально в рамках теории атома гелия (118, 119|. На возможность использования базиса МБГ для разложения любых неприводимых тензоров целого ранга было впервые указано в работе [40]. Позже аналогичный вывод был независимо получен в работе [120]. В методе МБГ также возникает вопрос о калибровке, что соответствует свободе выбора пары реперных векторов, входящих в определение МБГ. Преимуществом МБГ является то. что в отличие от метода ВКС, калибровочные расходимости в задаче трёх тел изначально отсутствуют.
Интересно, что существует способ отделения коллективных углов, при котором калибровочные расходимости не возникают вообще. Такой метод предложен в разделе 1.4. Предлагаемый метод основан на использовании переполненного базиса минимальных мультпполярных гармоник и впервые был предложен в работе [121].
22