Новые методы и результаты в квантовой задаче трех тел

2
Оглавление
Введение 6
1 Гиперсферические эллиптические координаты и новая приближённая симметрия кулоновской задачи трёх тел 20
1.1 Система координат и кинетическая энергия...................23
1.1.1 Координаты Якоби и кинематическое вращение............23
1.1.2 Гиперсферические координаты и гиперугловой момент . 28
1.1.3 Разные наборы гиперсферических углов формы............30
1.1.4 Разделение движений по углам формы и ориентации во вращающейся системе координат..............................36
1.2 Потенциальная энергия......................................38
1.3 Гиперсферическое адиабатическое разложение.................44
1.4 Свойства гиперсферического адиабатического базиса в приближении раз делающихся переменных 46
1.4.1 Два интеграла движения задачи с разделяющимися переменными .................................................48
1.4.2 Гиперсферические эллиптические гармоники..............50
1.4.3 /? —> 0: связь с гиперсферически ми эллиптическими гармониками ..................................................60
1.4.4 Я —г ос: связь с параболическими координатами и вектором Лагіласа-Рунге-Ленца.................................63
1.4.5 7 -» 0: связь со сфероидальными координатами и двухцентровой кулоновской задачей..............................70
1.4.6 7 -> 7г/2: связь с квантовыми числами Херрика-Лина
для двухэлектронных атомов...........................75
1.4.7 Два способа выбора потенциальных функций а(т]) и &(£) 78
1.4.8 Численные иллюстрации.................................79
3
1.5 Классификация скрытых пересечений гиперсферических адиабатических потенциалов 83
1.6 Гиперсферическое разложение по базису с разделёнными переменными 91
2 Метод дискретизации медленной переменной 94
2.1 Основные уравнения.............................................96
2.1.1 Метод адиабатического разложения и его трудности . . . 97
2.1.2 Метод SVD..............................................100
2.1.3 Сравнение двух подходов и связь между ними.............102
2.2 Приложения к кулоновской задаче трёх тел......................103
2.2.1 Дискретный спектр......................................104
2.2.2 Резонансы..............................................113
2.2.3 Непрерывный спектр.....................................113
3 Теория псевдосостояний Зигерта 121
3.1 Одноканальный случай..........................................123
3.1.1 Основные результаты теории состояний Зигерта...........123
3.1.2 Псевдосостояния Зигерта и их свойства..................126
3.1.3 Функция Грина..........................................137
3.1.4 Волновая функция непрерывного спектра и матрица рассеяния ........................................................139
3.1.5 Асимптотика распределения собственных значений Зигерта .........................................................141
3.1.6 Примеры ...............................................143
3.2 Приложения к Кулоновской задаче трёх тел......................158
3.2.1 Применение теории SPS к расчёту резонансов в трёхчастичных кулоновских системах методом SVD.......................158
3.2.2 Общая картина распределения собственных значений SPS
на примере еер..........................................160
4
3.2.3 Резонансы в dtp .......................................162
3.2.4 Интерференционные эффекты в распаде резонансных состояний в трёх частичных кулоновских системах .... 164
4 Новый подход к квантовой теории химических реакций обмена лёгким атомом в трёхатомных системах 179
4.1 HSA задача па собственные значения для HLH трёхатомных систем...........................................................181
4.1.1 Адиабатическая разделимость движений по г\ и £ для HLH систем: качественное обсуждение..........................183
4.1.2 Внутренняя адиабатическая задача на собственные значения .......................................................186
4.1.3 Учёт неадиабатической связи движений по rj и £.........192
4.1.4 Состояния типа “маятника Капицы”.......................197
4.2 Учёт неадиабатической связи движений по R и (ц,0..............199
4.3 Иллюстративные результаты.....................................200
5 Теория кумулятивной вероятности реакции 202
5.1 Краткая история развития теории CRP...........................204
5.2 Одномерный случай.............................................207
5.2.1 Вывод выражения для CRP через функцию Грина .... 208
5.2.2 Построение функции Грина...............................214
5.3 Гиперсферическая теория процессов с перераспределением частиц ............................................................216
5.3.1 Предварительные замечания..............................216
5.3.2 Вывод выражения для CRP через функцию Грина .... 218
5.3.3 Собственные вероятности реакции........................228
5.3.4 Построени функции Грина 229
5.4 Примеры ......................................................230
5.4.1 Перезарядка в трёхчастичных кулоновских системах . . 231
5
5.4.2 Химические реакции в трёхатомных системах .........234
Заключение 240
Благодарности 243
Л Представление дискретной переменной 244
Л.1 Базис DVR................................................244
А.2 Приложения к решению задачи Штурма-Лиувилля..............247
А.З Применение базиса DVR в методе SVD.......................251
Список сокращений 254
Литература
255
о
Введение
Вряд ли можно сказать что-нибудь оригинальное о роли задачи трёх тел в физике. К этой задаче со времён Ныотона обращалось множество блестящих умов, черпавших из неё новые идеи об устройстве нашего Мира в масштабах от ядерного до астрономического, и этот процесс безусловно продолжится. И всё же, в качестве введения в круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, представляется уместным изложить, почему квантовая задача трёх тел кажется интересной и важной в контексте современного развития квантовой механики с точки зрения самого автора.
Очевидно, что сложность квантовомеханического описания физических систем быстро растёт с ростом числа степеней свободы. Одномерные задачи или задачи, сводимые к одномерным путём разделения переменных, допускают наиболее полный анализ и могут быть решены фактически с любой требуемой точностью. Результаты исследования таких задач составляют “золотой фонд” квантовой механики. Задачи со многими степенями свободы, как правило, не поддаются решению методами одной лишь квантовой механики и требуют привлечения подходов, относящихся к области статистической физики. Задачи же с несколькими (двумя, тремя, ...) степенями свободы занимают промежуточное положение. С одной стороны, достаточно полноное исследование таких задач объединёнными усилиями современных как аналитических так и вычислительных методов всё-таки представляется возможным. Следует отметить, что численный анализ играет при этом далеко не последнюю роль, фактически заменяя собой гораздо более дорогостоящий и трудоёмкий эксперимент, (если не ставить под сомнение само уравнение Шредингера, а лишь интересоваться многообразием его решений, то точное численное решение задачи вполне заменило бы собой эксперимент), и что возможности такого анализа в последнее время резко возросли благодаря стремительному
7
росту быстродействия современных компьютеров и их доступности. С другой стороны, такие задачи гораздо более содержательны, чем одномерные задачи, и их детальное изучение должно привести к пополнению того самого ‘“золотого фонда” новыми идеями и методами, которые затем могут быть использованы для решения ещё более сложных задач. Наиболее интересные с точки зрения приложений физические системы с несколькими степенями свободы — это системы нескольких тел, взаимодействующих друг с другом и с внешними полями, если таковые имеются. Именно через изучение этих систем проходит передний край современного развития квантовой механики. Учитывая, что задача двух тел решается точно (в указанном выше смысле), фундаментальная роль задачи трёх тел становится вполне очевидной.
Актуальность темы
Кроме приведённых выше общих соображений актуальность и практическая значимость квантовой задачи трёх тел диктуется ещё и вполне конкретной для приложений необходимостью знания численных значений различных характеристик разных трёхчастичных систем. Уточним, о каких характеристиках и о каких системах идёт речь. Характеристики — это энергии связанных состояний, положения и ширины резонансов, сечения всевозможных столкновительных процессов, включая упругое и неупругое рассеяние, столкновения с перераспределением частиц и фрагментацию, а также различные матричные элементы, представляющие локальные и интегральные свойства системы, например по отношению к радиационным процессам. Системы — это различные трёхчастичные квантовые системы, изучаемые в физике. Их можно разделить на кулоновские, молекулярные и ядерные в соответствии с типом взаимодействия между частицами. Кулоновские системы — это прежде всего традиционные для атомной физики двухэлектронные атомы (Н~, Не, 1л+,...) и одноэлектронные молекулы (Н2Ь, ННе2+, Не^', ...), но также и более экзотические системы, включающие в себя позитрон е+, мюон //, антипротон р и другие элементарные частицы. Потенциальная энергия взаимодей-
ствия между частицами в таких системах известна и равна сумме трех парных кулоновских потенциалов. О неугасающем интересе к изучению кулонов-ских систем можно судить по трудам любой из международных конференций по физике электронных и атомных столкновений (1СРЕАС), см. например [1]. Молекулярные системы — это системы трёх атомов, рассматриваемые в приближении Борна-Оппенгеймера, когда эффективная потенциальная энергия, определяющая межъядерное движение, получается в результате усреднения электронных степеней свободы. Такие системы активно изучаются в химической физике. Основной интерес при этом представляют химические реакции обмена, в теоретическом описании которых за последнее время был достигнут значительный прогресс [2, 3]. И, наконец, ядерные системы — это системы трёх нуклонов, эффективная потенциальная энергия взаимодействия между которыми определяется феноменологически в результате сложной процедуры фитирования совокупности экспериментальных данных модельными функциями. Такие системы изучаются в ядерной физике, и основной целью здесь является не столько получение самого теоретического предсказания, сколько уточнение параметров феноменологической модели путём достижения лучшего согласия теории с экспериментом [4]. Итак, квантовая задача трёх тел глубока и многогранна, а её приложения многочисленны и относятся к различным областям физики.
Цель работы и её содержание
Целыо настоящей работы является развитие новых методов решения квантовой задачи трёх тел и демонстрация их эффективности на примерах изучения некоторых конкретных трёхчастичных систем. Развитые в диссертации методы позволяют расчитывать весь спектр перечисленных выше характеристик за исключением сечений процессов трёхчастичной фрагментации и будут продемонстрированы вычислениями для ряда кулоновских и молекулярных систем. Следует отметить одно субъективное обстоятельство, объясняющее связь между рассматриваемыми в диссертации задачами. Активный
9
интерес автора к квантовой задаче трёх тел был инициирован работой [5], положившей начало развитию гиперсферического адиабатического (HSA)* метода. По мнению автора, предложенный в [о] подход является наиболее перспективным направлением развития квантовой теории систем нескольких тел, о чём высказывались также и другие авторы [б]. Некоторые из методов решения квантовой задачи трёх тел, о которых будет идти речь в диссертации, существенным образом связаны с HSA методом, некоторые же не имеют к нему никакого отношения. Однако все они объединены тем, что возникли в процессе осмысления возможностей, открытых предложенным в [5| подходом, и их численная реализация в диссертации была осуществлена на основе этого подхода.
Диссертация состоит из пяти глав и приложения. Хотя каждая глава написана. так, что может читаться независимо, численная реализация рассматриваемых в данной главе методов существенным образом использует методы и результаты всех предыдущих глав, так что на самом деле всё изложение является связанным. Несмотря на то, что численные расчёты, иллюстрирующие развиваемые в диссертации методы и подтверждающие справедливость тех или иных выводов и утвержденй, занимают довольно важное место, сами по себе численные процедуры, используемые з этих расчётах, в основном тексте обсуждаться не будут. Однако мы сочли уместным кратко изложить в приложении метод представления дискретной переменной (DVR), который является основным инструментом всех наших численных расчётов, во-первых, потому что этот метод очень красив и эффективен, а во-вторых, потому что используемый нами его вариант был разработан автором.
Содержание диссертации по главам следующее.
Глава 1 посвящена обсуждению новой приближённой симметрии кулонов-ской задачи трёх тел, связанной с приближённым разделением переменных
-Здесь и далее часто используемые термины заменяются сокращениями, список которых приведён на странице 254.
10
в USA задаче на собственные значения в гиперсферических эллиптических (HSE) координатах. В §1.1 вводится новая ортогональная система координат в пространстве углов формы на гиперсфере в шестимерном конфигурационном пространстве задачи трёх тел, получившая название USE системы координат. Обсуждается её связь с другими известными гиперсферически ми системами координат (координаты Делвиса и Смита-Виттена), используемыми для решения квантовой задачи трёх тел. В частности, показано, что при проекции на наше трёхмерное физическое пространство гиперсферические координаты Делвиса и Смита-Виттена переходят в сферические полярные координаты с разной ориентацией полярной оси, в то время как HSE координаты переходят в сферические эллиптические координаты. Получены выражения для кинетической энергии системы трёх тел в HSE координатах в классическом и квантовом случаях. HSE система координат определяется своей ориентацией и зависит от дополнительного параметра 7 — угла кинематического вращения. В §1.2 показано, что путём специального выбора ориентации и параметра 7 особые точки HSE системы координат, а значит и оператора кинетической энергии в этих координатах, могут быть совмещены с двумя притягательными кулоиовскими сингулярностями потенциальной энергии и что тип этих особенностей в кинетической и потенциальной энергиях совпадает. При этом параметр 7 оказывается зависящим только от масс частиц. В §1.3 кратко излагается общая схема метода HSA разложения [5]. В §1.4 исследуется приближённое разделение переменных в HSA задаче на собственные значения в HSE координатах. Это приближение получается путём замены точного кулоновского потенциала потенциалом специального вида, допускающим разделение переменных в HSE координатах одновременно с оператором гинеруглового момента. Интересуясь прежде всего спецификой кулоновского потенциала и учитывая, что вращение системы как целого зависит от межчастичного взаимодействия только косвенно, чарез силу Ко риолиса, дальнейший анализ в этой главе ограничен рассмотрением случая нулевого полного углового момента системы. Получены одномерные диффе-
и
ренциальные уравнения, описывающие задачу с разделяющимися переменными, и найден явный вид дополнительного интеграла движения этой задачи, соответствующего константе разделения. Для выяснения физического смысла этого интеграла и установления его связи с известными кулоновски-ми интегралами движения исследуется ряд предельных ситуаций. Сначала рассматриваются асимптотики HSA задачи на собственные значения в IISE координатах для малых и больших значений гиперрадиуса R. Построены USE гармоники, являющиеся собственными функциями оператора гиперуглового момента в USE координатах, а значит решениями HSA задачи на собственные значения для 11 = 0, и показана их связь с уравнением Гойна и с гиперсфе-рическими гармониками Делвиса. Показано, что при R —> оо в области локализации HSA канальных функций на гиперсфере HSE координаты переходят в параболические координаты, а дополнительный интеграл движения оказывается простым образом связанным с вектором Лапласа-Руиге-Ленца. Затем рассматриваются асимптотики HSA задачи на собственные значения в HSE координатах но отношению к массам частиц. Показано, что для систем, состоящих из двух тяжёлых и одной лёгкой частицы (7 0), USE координаты
переходят в плоские эллиптические координаты, HSA задача на собственные значения переходит в двухцентровую кулоновскую задачу, а дополнительный интеграл движения совпадает с интегралом константы разделения этой задачи. Показано, что в обратном предельном случае, то есть для двух лёгких и одной тяжёлой частицы (7 -э тг/2), HSE квантовые числа однозначно связаны с квантовыми числами Херрика-Лина, широко используемыми для классификации дважды возбуждённых состояний двухэлектронных атомов. Основной вывод всех этих аналитических результатов — HSA задача на собственные значения допускает приближённое разделение переменных в HSE координатах. Этот вывод подробно иллюстрируется численными расчётами. В §1.5 показано, что свойство приближённой разделимости переменных в HSA задаче на собственные значения в HSE координатах остаётся в силе и для комплексных значений гиперрадиуса R. Это позволяет построить клас-
12
сификацию точек ветвления многозначной аналитической функции, разные ветви которой при вещественных К совпадают с собственными значениями НБА гамильтониана. Известно, что точки ветвления этой функции играют ключевую роль в определении вероятностей неадиабатических переходов в квазиклассическом подходе. Показано, что в НЭА задаче на собственные значения существует два главных типа серий точек ветвления (скрытых пересечений), обобщающих известные 5 и Т типы серий скрытых пересечений в двухцентровой кулоновской задаче, и проанализированы соответствующие им неустойчивые периодические траектории. Наконец, в §1.6 предлагается новый подход к построению волновой функции кулоновской задачи трёх тел, а именно, гиперсферическое разложение по системе собственных функций введённой нами задачи с разделяющимися переменными. В силу обсуждавшейся выше приближённой симметрии кулоновской задачи трёх тел базисные функции в этом разложении очень близки по своим свойствам к Н8А канальным функциям, однако в отличие от последних они определяются одномерными дифференциальными уравнениями и обладают полным набором квантовых чисел. Поэтому это разложение гораздо более удобно как для качественного анализа, так и для точных расчётов, чем стандартное НЭА разложение, предложенное в [о). В простейшем приближении, когда оставляется только один член в этом разложении, все переменные в волновой функции разделяются. Это приближение может рассматриваться как обобщение приближения Борна-Оппенгеймера для волновой функции систем типа на трёхчастичные кулоновские систем с произвольными массами частиц, где межъядерное расстояние заменено на гиперрадиус, а сфероидальные координаты — на Н8Е координаты. Точность такого приближения иллюстрируется расчётами энергий связанных состояний ряда систем.
Глава 2 посвящена развитию и демонстрации нового подхода к построению волновой функции систем, гамильтонианы которых допускают адиабатическое разделение переменных. В §2.1 кратко излагается общая схема метода адиабатического разложения, являющегося стандартным подходом к
13
изучению таких систем. Физической основой этого подхода является разделение степеней свободы системы на “быстрые” и “медленные”, что обычно оправдывается наличием малого параметра, задаваемого отношением масс быстрой и медленной подсистем. Обсуждаются трудности его численной реализации, обусловленные необходимостью явного вычисления матричных элементов оператора неадиабатической связи и наличием узких областей квазипересечений адиабатических потенциальных кривых. Последняя трудность, очевидно, является артефактом адиабатического представления, поскольку полная волновая функция системы “не знает” о существовании квазипересе-чеиий. Эти технические трудности существенным образом усложняют реализацию метода адиабатического разложения и вследствие этого преобрета-ют принципиальное значение. Предлагается новый подход, получивший название метода дискретизации “медленной” переменной (БУИ). Этот подход основан на предположении о гладкости параметрической зависимости адиабатического гамильтониана от адиабатической переменной, которое заменяет собой традиционное для метода адиабатического разложения деление степеней свобод системы на “быстрые” и “медленные”. Для его реализации не требуется вычисления матриц неадиабатической связи; вместо этого необходимо вычислить матрицу перекрытия адиабатических канальных функций, взятых при некоторых специальных значениях адиабатической переменной (в квадратурных точках), что является технически гораздо более простой задачей. Кроме того, в методе БУБ восстанавливается гладкость зависимости полной волновой функции системы от адиабатической переменной, так что для его реализации не требуется знать местонахождения точек квазипересечений. Метод ЭУЕ) применим к широкому классу систем и может найти приложения в различных областях теории медленных атомных столкновений. В §2.2 обсуждаются приложения этого метода (совместно с методами, развитыми в главе 1) к решению кулоновской задачи трёх тел. Показано, что НБА гамильтониан для кулоновских систем благодаря своей линейной зависимости от гиперрадиуса идеально удовлетворяет условиям применимости
14
метода SVD. Приводятся примеры вычисления энергий связанных состояний, сечений упругого и неупругого рассеяния и сечений процессов с перераспределением частиц для ряда трёхчастичных кулоновских систем. Показано, что скорость сходи мост'и метода SVD по отношению к числу USA каналов такая же, как и в методе HSA разложения, однако при этом требуется решать HSA задачу на собственные значения для существенно (в десятки раз) меньшего числа значений гиперрадиуса. Относительная точность нашего подхода в расчётах энергий связанных состояний систем от И“ до HJ составляет ~ 10 , что уступает только вариационным методам. Однако в случае рассеяния точность нашего подхода не уступает точности лучших вариационных расчётов, что продемонстрировано на примере вычисления фазы упругого рассеяния электрона на атоме водороде. Некоторые из приведённых в §‘2.2 численных результатов (энергии метастабильных состояний второй группы в антипро-тонном гелии рНе+, сечения перезарядки d/j,(n) -К —>■ tf.i(n) +d между состояниями с п = 2) получены впервые в работах автора.
Глава 3 посвящена развитию и демонстрации нового подхода к теории резонансов. Отправной точкой этого подхода является особый класс решений уравнения Шредингера, имеющих только уходящие волны в асимптотической области и известных как состояния Зигерта (SS). SS удовлетворяют некоторой задаче на собственные значения, сформулированной на основе уравнения Шредингера, а соответствующие собственные значения совпадают с полюсами матрицы рассеяния в комплексной плоскости энергии. Развитие теории SS имеет длинную историю, а основные её результаты в той или иной мере отражены в большинстве учебников по квантовой теории рассеяния. В частности известно, что набор SS обладает определёнными свойствами ортогональности и полноты, и имеются разложения по этому набору для волновой функции непрерывного спектра, функции Грина и матрицы рассеяния. Однако все эти замечательные результаты до недавнего времени не имели никакого практического значения, поскольку не существовало эффективного метода построения SS. Наш подход основан на введении псевдосостояний Зигерта
15
(SPS), являющихся представлением SS в гильбертовом пространстве конечной размерности. С помощью оператора Блоха и процедуры линеаризации зигертовской задачи на. собственные значения задача построения полного набора SPS сведена к алгебраической задаче на собственные значения, которая может быть легко решена стандартными методами. SPS позволяют сформулировать теорию рассеяния единым образом для дискретного и непрерывного спектра. Эта программа полностью реализована для одноканального случая в §3.1. Здесь приводится вывод всех основных формул теории SS в терминах SPS, а также получен ряд новых соотношений. Такая переформулировка теории SS в терминах SPS не только “вдохнула жизнь’1 в давно известные результаты, но и впервые позволила продемонстрировать их чрезвычайно высокую численную эффективность. Так в одиоканальном случае с заданным потенциалом путём однократной диагонализации матрицы небольшого размера (~ 50 - 100) можно получить сразу энергии связанных состояний, положения и ширины резонансов и фазу упругого рассеяния для широкого интервала энергий. Рассмотрено несколько примеров, иллюстрирующих эффективность и точность этого подхода для разных модельных потенциалов. В полной мере формулировка теории рассеяния в терминах чисто дискретного набора SPS пока что развита только для одноканального случая. Однако теория SPS может использоваться как новый подход к расчёту резонансов и в случае многоканальных систем. Этот подход продемонстрирован в §3.2, где методом SPS проводятся вычисления положений и ширин резонансов в ряде трёхчастичных кулоновских систем. На примере хорошо изученой системы Н" показано, что метод SPS не уступает по точности наиболее точным расчётам другими методами. Рассмотрен также сложный случай системы dtßy для которой имеются результаты трёх независимых расчётов методом комплексного вращения ширин резонансов, лежащих ниже порога п = 2, отличающиеся друг от друга более чем на 3 порядка. Наши расчёты методом SPS для этой системы хорошо сходятся, и окончательный результат прекрасно согласуется с одним (наиболее надёжным) из этих трёх результатов. Проде-
IG
монстрировав таким образом высокую точность и надёжность метода SPS, далее в §3.2 изучается поведение положения и ширины низшего резонанса в семействе симметричных трёхчастичных кулоновских систем от II“ до Н.| как функций отношения масс составляющих систему частиц. Обнаружено, что ширина резонанса является осциллирующей функцией отношения масс. Эти осцилляции проинтерпретированы на основе к вази классического подхода и “конструкции Демкова” как результат интерференции двух путей распада резонансного состояния, один из которых напрямую ведёт в область фрагментации, а второй сначала проходит через точку поворота в открытом канале. В минимумах осцилляций численно полученная ширина резонанса имеет пренебрежимо малое значение, что указывает на интересную возможность создания “дискретного уровня” в континууме трёхчастичной кулонов-ской задачи путём непрерывной вариации какого-нибудь параметра.
Глава 4 посвящена изложению нового подхода к теории химических реакций обмена лёгким атомом в трёхатомных системах. Так же как и в случае трёхчастичных кулоновских систем этот подход следует общей схеме развитого в предыдущих главах варианта метода HSA разложения, основанного на использовании HSE координат (?;, £) и метода SVD. Однако имеется и существенная разница по сравнению с кулоновскими системами, обусловленная спецификой межатомного взаимодействия. В §4.1 проанализирована топография типичной поверхности потенциальной энергии для трёхатомных систем, состоящих из одного лёгкого (обычно это водород) и двух тяжёлых атомов (HLH системы) и показано, что движения по HSE координатам г; и £ в таких системах приближённо отвечают вращательному и колебательному движениям, соответственно. Учитывая большую разницу в масштабах времён этих типов движения, обычно свойственную молекулам, делается предположение об адиабатической разделимости переменных в HSA задаче па собственные значения между быстрым движением по £ и медленным по rj. Справедливость этого предположения демонстрируется расчётами для системі,i O-Cl-H для двух моделей поверхности потенциальной энергии. Адиабатическая раз-
17
делимость движений по 1) и £ позволяет прояснить некоторые механизмы химической реактивности в HLH системах. Если бы эта разделимость была точной, то реакции обмена лёгким атомом могли бы происходить только без изменения колебательного квантового числа. Но на самом деле имеется неадиабатическая связь между движениями по ?/ и £, которая и ответственна за изменения колебательного состояния при реакции. Неадиабатическая связь движений по ri и £ при решении HSA задачи на собственные значения учитывается с помощью метода SVD. Такой подход к построению HSA базиса для HLH систем оказался чрезвычайно эффективным. Проведённые расчёты HSA потенциалов для системы 0-С1-Н выявили существование особого типа состояний, волновая функция которых локализована на вершине потенциального барьера, разделяющего каналы СШ + 0 и ОН 4- 01. Стабилизация таких состояний в положении неустойчивого равновесия на вершине барьера осуществляется динамически за счёт движения по быстрой переменной, поэтому эти состояния названы состояниями типа “маятника Капицы”. Обсуждаемые в §4/2 дальнейшие шаги реализации рассматриваемого подхода осуществляются аналогично случаю кулоновских систем. В §4.2 в качестве иллюстрации приводятся результаты расчёта вероятностей реакции С1Н(ед) + 0 0Н(^/У/)-ЬС1 между состояниями с колебательными кванто-
выми числами V = О, 1 и 2 в интервале энергий вплоть до 0.9 эВ от основного состояния молекулы НС1.
И наконец, глава 5 посвящена, построению последовательной теории кумулятивной вероятности реакции (CRP) на основе стационарной теории рассеяния. CRP — это сумма квадратов абсолютных величин всех элементов матрицы рассеяния, соответствующих переходам с перераспределением частиц (реакциям) между различными состояниями заданных начального и конечного разбиений. Например, если говорить о реакциях обмена в трёхатомной системе ABC, то имеется всего три разбиения AB 4- С. ВС 4- А и СЛ 4- В, следовательно три типа реакций AB 4- С -н- ВС 4- А, ВС 4- А ++ С А 4- В и СА + В <г> AB 4- С, и три соответствующих CR.P. Понятие CR.P было введено
18
в квантовую теорию рассеяния относительно недавно; до сих пор оно используется в основном только в теории химических реакций, хотя на наш взгляд могло бы оказаться полезным и в теории атомных столкновений. Важность этого понятия определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, CRP это всё, что надо знать о системе для вычисления константы скорости соответствующей реакции. Другими словами, для вычисления константы скорости реакции нет необходимости знать множество отдельных элементов матрицы рассеяния — достаточно некоторой их комбинации, которая и называется CRP. Во-вторых, CRP может быть вычислена напрямую из уравнения Шре-дингера, то есть минуя предварительное вычисление матрицы рассеяния, и есть основания ожидать, что такой прямой подход позволит существенным образом упростить вычисления. Осознание этих двух обстоятельств послужило толчком к развитию теории CRP, краткая история которого изложена в §5.1. Основной целью этой теории является разработка прямых методов расчёта CRP. Хотя исходные посылки исследований в этом направлении были совершенно оправданы, подход, получивший наибольшее распространение в последнее время, на наш взгляд никак не может считаться удовлетворительным, поскольку он основан на использовании так называемых “поглощающих потенциалов”, что выводит его за рамки стандартной теории рассеяния. Нами был предложен новый подход к теории CRP. основные идеи которого кратко пояснены в §5.2 на простейшем примере задачи о прохождении частицы через одномерный потенциальный барьер. В §5.3, на основе HSA подхода к теории процессов с перераспределением частиц, получено точное выражение для CRP через функцию Грина системы, а также выражение для функции Грина через '1Z матрицу Вигнера-Айзенбада. Эти новые выражения позволяют вычислять CRP, во-первых, напрямую (минуя вычисления матрицы рассеяния), а во-вторых — стандартными методами квантовой теории рассеяния (без введения “поглощающих потенциалов”) и, таким образом, впервые последовательно решают основную задачу теории СНГ на основе стационарной теории рассеяния. Эффективность такого подхода проиллюстрирована
19
в §5.4 расчётами CRP для двух рассматривавшихся в предыдущих главах реакций в трёхчастичных кулоновской d\i -f- t tfi + d и молекулярной C1H -f О —> ОН 4- С1 системах. Эти результаты показывают, что прямой расчёт CRP на основе полученных нами выражений действительно позволяет существенно упростить вычисления.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах [7]-[26].
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Российском Научном Центре “Курчатовский институт”, в Объединённом Институте Ядерных Исследований, на кафедре квантовой механики физического факультета Санкт-Петербургского университета, Университета Электро-коммуникаций (Токио), Института Молекулярных Наук (Оказаки), Института Физических и Химических Исследований (RIKEN, Токио), на объединённом семинаре но теории атомных столкновений в Токио, на сессиях Физического Общества Японии, на международных конференциях по физике электронных и атомных столкновений (1СРЕАС) в Вистлере, Канада (1995), Вене, Австрия (1997), Сендае, Япония (1999), на международном семинаре по теории резонансов и фрагментации в трёхчастичных системах в Кембридже, США (1997), на международном семинаре по методу гиперсферических гармоник в атомной, молекулярной и ядерной физике в Сиэттле, США (1999), на 17-ой европейской конференции по физике систем нескольких тел в Эворе, Португалия (2000), на международной конференции по мюон ному катализу в Ши моде, Япония (2001).
20
Глава 1
Гиперсфсрические эллиптические координаты и новая приближённая симметрия кулоновской задачи трёх тел
Па наш взгляд, не будет преувеличением сказать, что основным действующим подходом к изучению квантовых систем с несколькими степенями свободы является сведение исходной многомерной задачи к набору одномерных задач путём точного или приближённого разделения переменных. Важно подчеркнуть, что если такое сведение возможно, то, как правило, анализ возникающих при этом одномерных подсистем не только полезен для качественного понимания динамики исходной системы, но и позволяет существенно упростить её количественное описание. Задач, допускающих точное разделение переменных, мало. Из них наиболее близкими к теме настоящей главы являются задача о движении частицы в центральном поле и задача о движении заряженной частицы в поле двух кулоновских центров. Для подавляющего же большинства представляющих интерес физических систем переменные могут быть разделены только приближённо. Можно выделить два типа приближений: симметрийное и адиабатическое. В первом случае для разделимости переменных необходимо пренебречь некоторым членом в потенциальной энергии системы. Мы называем это приближение симметрийным, поскольку получающаяся в его результате упрощённая задача обладает дополнительными интегралами движения, связанными с определёнными свойствами её симметрии. После решения этой задачи учёт отброшенного члена может проводиться по теории возмущений или же путём диагонализации гамильтониана исходной задачи в базисе с разделёнными переменными. Во втором случае для разделимости переменных необходимо пренебречь некоторым членом в
21
кинетической энергии. Точное решение исходной задачи при этом обычно ищется б виде разложения по системе собственных функций адиабатического гамильтониана, который получается из гамильтониана исходной задачи отбрасыванием кинетической энергии движения по одной из координат. Примером симметрийного разделения переменных в кулоновской задаче трёх тел являются различные варианты одноэлектронного приближения в теории атома Не, в частности, метод Хартри-Фока, а примером адиабатического разделения переменных — приближение Борна-Оппенгеймера (ВО) в теории молекулярного иона IIJ. Заметим, что в основе этих приближений лежат две упамянутые выше задачи, допускающие точное разделение переменных. До недавнего времени одноэлектронное приближение и приближение ВО были фактически единственными теоретическими подходами к анализу динамики общей кулоновской задачи трёх тел, а двухэлектронные атомы и одноэлектронные двухатомные молекулы являлись единственными представителями богатого семейства трёхчастичных кулоновских систем с произвольными зарядами и массами частиц, которые такому анализу поддавались. Эта ситуация изменилась с появлением работы [о], положившей начало развитию нового подхода к квантовой теории систем нескольких тел, называемого гиперсферическим адиабатическим (HSA) методом. HSA метод основан на приближённом адиабатическом разделении движений по гинеррадиусу Я и гиперугловым переменным П. Применительно к кулоновской задаче трёх тел его можно рассматривать как обобщение адиабатического подхода ВО на системы с произвольными массами частиц. При этом роль межъядерного расстояния играет гиперрадиус Я, роль электронных координат — гиперуглы О, а двухцентровая кулоновская задача заменяется на IISA задачу на собственные значения, описывающую движение по Û при фиксированном Я. Идея адиабатического разделения переменных Я и Q оказалась исключительно плодотворной, a USA метод к настоящему времени стал основным методом изучения различных трёхчастичных кулоновских систем, позволяющим единым образом рассматривать как Не и I1J, так и более экзотические системы,
22
включающие позитрон е+, мюон //, антипротон р и т. д., о чём свидетельствует большое и быстро растущее число его приложений, см. недавний обзор [27] и цитированную там литературу. Однако, HSA задача на собственные значения сама описывает движение с двумя или пятью степенями свободы для состояний с полным угловым моментом L — 0 или L ф 0, соответственно. В отличие от двухцентровой кулоновской задачи она не допускает точного разделения переменных ни в одной из известных систем координат, что, с одной стороны, затрудняет качественный анализ существенной части динамики, соответствующей движению по Q, а с другой сильно усложняет численную реализацию HSA метода. Эта проблема в значительной степени была решена в работе [7], где были введены новые ортогональные координаты (г/, £) в пространстве углов формы на гиперсфере в шестимерном конфигурационном пространстве, получившие название гиперсферических эллиптических (IISE) координат, и было показано, что для произвольных трёхчастичных кулонов-ских систем HSA задача на собственные значения допускает приближённое симметрийное разделение переменных г} и Заметим, что такое приближение оправдано только для кулоновских систем, что указывает на его связь с повышенной симметрией кулоновского взаимодействия. Возникающая при этом задача с разделёнными переменными является обобщением двухцентровой кулоновской задачи на. системы с произвольными массами частиц, а сами HSE координаты (??,£) — обобщением сфероидальных координат. Таким образом, HSA метод в комбинации с подходом, предложенным в |7], позволяют распространить приближение ВО для волновой функции систем типа , в котором все переменные разделены адиабатически или симметрийно, на произвольные трёхчастичиые кулоновские системы. В этой главе, следуя работам [7, 8, 11, 22, 24, 25, 26], мы обсудим этот новый подход к кулоновской задаче трёх тел.
23
1.1 Система координат и кинетическая энергия
В этом разделе мы введём HSE координаты в конфигурационном пространстве задачи трёх тел и приведём выражения для кинетической энергии в этих координатах, рассматривая параллельно классический и квантовый случаи. Для полноты изложения одновременно мы рассмотрим и другие известные гиперсферические системы координат, используемые в HSA методе, и обсудим связь между ними и с HSE координатами.
1.1.1 Координаты Якоби и кинематическое вращение
Рассмотрим систему, состоящую из трёх точечных частиц, пронумерованных индексом г = 1, 2, 3. Обозначим через пц массы частиц и через mlot = ту + rn2 + — полную массу системы. Введём декартову систему коорди-
нат, жёстко связанную со стенами лаборатории. Будем считать, что центр масс системы частиц неподвижен и совпадает с началом координат. Пусть векторы Г[ определяют положения частиц в этой системе координат. Тогда кинетическая энергия даётся выражением
есть импульсы частиц, канонически сопряжённые координатам г*. Введём также угловые моменты частиц,
(1.1)
где точка означает дифференцирование по времени, а
Pi = mri
(1.2)
I, = [г( х р;].
(1.3)
Векторы Г{ линейно зависимы,
з
(1.4)
« = 1
24
и поэтому двух из них достаточно для определения положения всех трёх
частиц. Таким образом, конфигурационное пространство системы является
шестимерным. Векторы р{ также являются линейно зависимыми,
3
£л = °- (1-5)
І— 1
Для устранения лишних степеней свободы введём новые координаты х и у, являющиеся такими линейными комбинациями Г/, что
Т=1(х2 + у2) = і(р2+ч2), (1.6)
где
р = х, Я = У (1-7)
есть соответствующие канонически сопряжённые импульсы. Любой набор (х,у), удовлетворяющий (1.6), будем называть координатами Якоби, а (р, ц) — импульсами Якоби. Введём также угловые моменты Якоби,
к = [х х р], 1 — [у х я]. (1.8)
Легко видеть, что если (х,у) — координаты Якоби, то и (х(7),у(7)), полученные в результате кинематического вращения [28]
х(л) \ I -СОБ7 -8ІП7 ^ / х
У (т) / \ вій 7 -соь7
также являются координатами Якоби. Очевидно, что импульсы Якоби (р, я) при преобразовании (1.9) меняются так же, как и координаты (х, у). Для выяснения трансформационных свойств угловых моментов Якоби (к, 1) рассмотрим пространство тензоров 3x3, являющихся прямыми произведениями векторов, взятых из плоскостей, натянутых на (х, у) и (р,я). Рассмотрим набор тензоров состоящий из
А = хя'-ур7’, (1.10а)
В = хрг + уяг, (1.10Ь)
С = хрг-уяг, (1.10с)
о = хяг + ург (1.10(1)
(1.9)
25
и Ат, Вг, Сг, Э7’, где Т означает операцию транспонирования, а а7 есть вектор-строка, полученная транспонированием из вектор-столбца а. Легко показать, что при кинематическом вращении А и В остаются неизменными,
А = іпу, В = іпу, а С и О меняются следующим образом
СОБ 27 БІЙ 27 - БІП 27 С08 27
(1.12)
Так же ведут себя и транспонированные тензоры. Указанный набор составляет базис із рассматриваемом пространстве. С другой стороны, интересующие нас угловые моменты Якоби связаны с кососимметричными тензорами, принадлежащими этому пространству. Действительно, установим соответствие между вектор-столбцом а и кососимметричным тензором а,
Тогда
(аА ' 0 «3 -а2 ^
а = а2 еэ а = -а3 0 а і (1.13)
V «2 -а і 0 і
к 1 03 >—ІІЙ*'! II Вг) + |(С- Ст), (1.14а)
1 •н> I = |(в - Вг) - 5(С- Ст). (1.14Ь)
Эти соотношения позволяют определить поведение векторов к и 1 при кинематическом вращении. В дальнейшем нам понадобятся симметричный тензор
К = А + Аг
(1.15)
и три кососимметричных тензора
Ь = к + 1 о Ь = В - Вт,
М = к - 1 <-> М = С - Сг,
N = [х х д] + (у х р] <н- N = Р - 0Г.
(1.16)
(1.17)
(1.18)