Оглавление
0.1 Введение........................................................... 2
1 Предварительные сведения об Ах -(пред)-категориях и теории
Муавра-Картана 9
1.1 Предварительные сведения об А^ -(пред-) категориях................. 9
1.1.1 Неупитальные А^ -алгебры и А^ -категории.................... 9
1.1.2 Тождесггвенные морфизмы.................................... 11
1.1.3 А^ -пред-категории.......................................... 12
1.2 Теория Муавра-Картана для про-нилыютентных DG алгебр Ли ... 15
1.3 А0о -структуры и формальные поли векторные поля............ 18
2 Доказательство гипотезы Концевича-Сойбельмана 22
2.1 Основная теоіюма.................................................. 22
2.1.1 От существенно малых к малым................................ 22
2.1.2 Минимальные модели......................................... 23
2.1.3 Когомологии Хохшильда малых градуированных пред-категорий 24
2.1.4 Основная лемма............................................. 25
2.1.5 Лоо- структуры на градуированной пред-категории............. 29
2.1.6 Теорема инвариантности..................................... 31
2.1.7 Доказательство основной теоремы............................ 34
2.2 Скрученные комплексы над А^- пред-категориями..................... 35
2.2.1 Группоид Муавра-Картана и тео|>ема инвариантности.......... 37
2.2.2 Корректность определения скрученных комплексов и их инвариантность относительно квази-эквивалентностей 44
1
3 Гомологическая зеркальная симметрия для кривых рода д > 3 47
3.1 Классификационная лемма для поливекторных полей.................... 47
3.2 Классификационная теорема для -структур............................ 50
3.3 Категории особенностей и матричные факторизации.................... 55
3.4 Минимальная А^ -модель для В\у .................................... 57
3.5 Теорема о восстановлении .......................................... 60
3.6 Эквивалентность двух Ьв моделей.................................... 64
3.7 Общие сведения о категориях Фукай.................................. 67
3.7.1 Определение................................................. 67
3.7.2 Генераторы в категориях Фукай................................. 71
3.7.3 Дополнительные Z -градуировки................................. 72
3.7.4 Категории Фукай орбиобразий................................... 73
3.8 Категория Фукай кривой рода д > 3.................................. 74
3.9 Аппендикс ......................................................... 79
0.1 Введение
Гомологическая зеркальная симметрия — это гипотетическая категорная интерпретация зеркальной симметрии, предложенная М. Коицевичем [Ко1]. Подход состоит в том, чтобы связать с симплектической и алгебраической стороной некоторые триангулированные категории (с Л» -оснащением), и затем доказать эквивалентность этих категорий.
Изначально, она была предложена Коицевичем [Kol] для многообразий Калаби-Яу. Пусть X — проективное алгебраическое многообразие Калаби-Яу, а X — зеркально симметричное симплектическое многообразие. Тогда с многообразием X можно связать производную категорию когерентных пучков Db(X). Замечательная конструкция К. Фукай [F] связывает с симплектическим многообразием X ( Z или Z/2 )градуированную А^- категорию. Ее объекты — это Лагранжевы подмногообразия с некоторыми дополнительными структурами. В этом случае гипотеза утверждает эквивалентность
Db(X) = Dn(^F(X))t (0.1.1)
2
где 1)"(^Г(А')) — категория совершенных комплексов над Д» -категорией Т(Х). В такой формулировке она была доказана в некоторых частных случаях [АЭ, РЪ> БеЗ].
Вскоре, был предложен аналог этой гипотезы для многообразий Фано. В этом случае зеркалом является модель Ландау-Гинзбурга — гладкое алгебраическое многообразие с регулярной функцией. Частные случаи гипотезы были доказаны в работах [АК01|, [АК02]. Более общо, ожидается, что можно также рассматривать многообразия с эффективным аити-каноническим дивизором [Ага].
Кацарков [Ка, ККР, ККОУ] предложил обобщение гомологической зеркальной симметрии, которое включает некоторые многообразия общего типа. Зеркалом к такому многообразию является модель Ландау-Гинзбурга. Одно направление гипотезы Кацаркова было доказано Зайделем для кривой рода 2 [Зе1].
Строго говоря, если М — это симплектическое многообразие, то Т(М) — это не настоящая Акатегория, так как пространства морфизмов определены только для трансверсальных пар лаграпжевых подмногообразий, а высшие умножения определены только дня трансверсальных последовательностей лагранжевых подмногообразий. На самом деле, Р(М) — это А«, -пред-категория в смысле Концевича и Сойбельмана [К$]. Различные версии и аспекты пред-категорий Фукай систематически изложены в книге [Бе2].
/1дя -того, чтобы доказать гипотезу о гомологической зеркальной симметрии в некоторых частных случаях, следует сначала заменить А^- пред-категорию Фукай на квази-эквивалентную настоящую Ах- категршо. Ясно, что каждая Ах- категория (со слабыми тождественными морфизмами) может рассматриваться также как Ах- пред-категория. Концевич и Сойбсльман [КБ] сформулировали следующую естественную гипотезу.
Гипотеза 0.1.1. ((КБ!)Пусть к — градуированное коммутативное кольцо. Тогда классы квази-эквивалентности А«,- пред-категорий над к находятся в биекции с классами квази-эквивалентности А«,- категриий над к с сильнъикш (или слабыми) тоо/сдествеппыми морфизмами.
Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.
• Доказательство гипотезы Концевича и Сойбельмана о биекции между классами эквивалентности существенно малых А-б(х:конечность пред-категорий над
3
полем, и классами квази-эквивалентности существенно малых А-бесконечность категорий со слабыми (или сильными) тождественными морфизмами.
• Построение Аоо- пред-категорий скрученных комплексов ДЛЯ Аоо- пред-категорий. Доказательство инвариантности этой конструкции относительно квази-эквивалентностей.
• Доказательство гомологической зеркальной симметрии для кривых рода д > 3, рассматриваемых как снмплектические многообразия.
• Доказательство теоремы о восстановлении для гииериоверхностных особенностей: формальный тип особенности (т.е. многочлен с точностью до формальной замены переменных) восстанавливается но классу квази-изоморфизма БЄ алгебры эндоморфизмов структурного пучка особой точки в триангулированной категории особенностей.
Теперь опишем содержание и структуру диссертации.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.
В первой главе вводятся основные понятия и формулируются факты, которые будут использоваться в диссертации.
Первый параграф посвящен предварительным сведениям об А«, -(нред)-категориях. Мы определяем А^- категории, сильные и слабые тождественные морфизмы, квази-эквивалентности, и Апред-категории, следуя [КБ].
Второй параграф посвящен теории Муавра-Картана. Мы напоминаем уравнение Муавра-Картана, про-нильпотентиые Бв алгебры Ли, действие калибровочной группы на решениях уравнения Муавра-Картана в про-нильпотентных БС алгебрах Ли. Сформулирован важный результат об инвариантности множества классов эквивалентности решений уравнения Муавра-Картана относительно фильтрованных Ьоо -квази-изоморфизмов про-нильпотентных Бв алгебр Ли. Также теория Муавра-Картана проиллюстрирована на примере описания минимальных Асо -структур на градуированной ассоциативной алгебре.
В третьем параграфе мы напоминаем теорему формальности Концевича в нужной нам формулировке. В частности, мы напоминаем БС алгебры Ли поливекторпых
4
полей и коцепей Хохшильда.
Вторая глава посвящена доказательству гипотезы Концевича-Сойбельмана, а также конструкции скрученных комплексов для Аоо -категорий.
В первом параграф мы доказываем следующую теорему.
Теорема 0.1.2. Пусть к — поле. Тогда классы квази-эквивалент) юсти существенно малых Л^- пред-категорий над к находятся о биекции с классами квази-эквивалентности существенно малых Аж- категрий над к с сильными (или слабыми) тождественными морфизмами.
Мы ограничиваемся А со- (нред-)категориями над полем, так как нам потребуется переходить к минимальным Ато- (прсд-)категориям (т.е. с гп\ = 0 ). Далее, мы ограничиваемся существенно малыми А«,- (пред-)категориями по чисто теоретико-множественной причине: нам потребуется иметь дело с когомологиями Хохшильда градуироваш і ых (иред-)кагсгори й.
Доказательство устроено следующим образом. Вначале мы переходим от существенно малых А«,- (пред-)категорий к малым. Далее, мы переходим от малых к малым минимальным Л,»- (пред-)категориям.
Затем, мы вводим когомологии Хохшильда для градуированных пред-категорий. Грубо говоря, препятствия к построению Аоо- структур И Аоо- морфизмов лежат в этих пространствах когомологий.
Далее, мы формулируем и доказываем основную лемму (лемма 2.1.4) об инвариантности когомологий Хохшильда относительно квази-эквивалентностей градуированных категорий. Это утверждение нетривиально в отличие от случая обычных ГЮ и А;*,- категорий, и является, фактически, ключевым местом в доказательстве теоремы 0.1.2. Здесь мы используем язык локальных систем па симплициальных
множествах.
Затем, мы вводим множества классов эквивалентности минимальных Аэо- структур на градуированных лред-категориях, и развиваем простую теорию Препятствий для ПОДНЯТИЯ Асо- структур И Аоо- ГОМОТОІІИЙ. После ЭТОГО мы применяем основную лемму, чтобы доказать инвариантность множества классов эквивалентности минимальных А«,- структур на градуированных прсд-категорнях. В итоге, мы доказываем теорему 0.1.2, используя результат об инвариантности.
Второй параграф посвящен конструкции прсд-триангулированиой оболочки
для Л«,- пред-категорий над произвольным градуированным коммутативным кольцом. Определение в целом аналогично случаю А0а -категорий. Мы проверяем, что эта конструкция корректно определена и инвариантна относительно квази-эквивалентностей. Для этого вводится группоид Муавра-Картана для нильпотсит-ных Л ос -алгебр, строится теория препятствий, и доказывается теорема о его инвариантности относи тельно фильтрованных Л<*, -квази-нзоморфизмов. В случае обычных Лоо -категорий, мы получаем стандартные пред-триангулированные оболочки, введенные в [ВК] для ОС категорий, и обобщенные на случай Л^ -категорий в [Ко1].
Вторая глава посвящена в основном доказательству гомологической зеркальной симметрии для кривых рода д > 3, рассматриваемых как симплектические многообразия. Также доказана теорема о восстановлении для гиперповерхностных изолированных особенностей.
Мы воспринимаем кривые рода д > 2 как симплектические многообразия, и связываем с ними категории Фукай. Далее, модели Ландау-Гинзбурга рассматриваются алгебро-геометрически. Ассоциированные с ними категории — это категории особенностей особых слоев [Ог1].
Пусть М — симплектическая компактная ориентированная поверхность рода д > 3. Зеркально симметричная модель Ландау-Гинзбурга (ЬС для краткости) XV : X —* С имеет размерность три. Единственный особый слой Н := Хо С X является объединением (д + 1) неприводимых компонент, имеющих простые нормальные пересечения.
Мы обозначаем через Р(М) Л«, -категорию Фукай поверхности М, и через П*(Р{М)) категорию совершенных комплексов над Р{М). Далее, пусть Д,*(#) —■ категория особенностей поверхности Н , и обозначим через Ояд(Н) ее карубиеву оболочку. Основным результатом второй главы является следующая теорема.
Теорема 0.1.3. Триангулированные -категории 0*(^(А/)) и Пзд(Н) эквивалентны.
Первый параграф посвящен техническому результату о решениях уравнения Муавра-Картана в (модифицированной) ОС алгебре Ли иол и векторных полей. Доказано, что если элемент Муавра-Картана удовлетворяет некоторому условию, то этим условием он определен однозначно с точностью до эквивалентности.
6
- Київ+380960830922