2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Основные обозначения, принятые в диссертации 4
2. Введение 6
3. Основное содержание работы 17
4. Итоги и выводы 43
Глава I. Представление уравнений номограммами нулевого жанра 46-131
§ 1. Классификация номограмм нулевого жанра. Канонические формы 46
§ 2. Предварительное условие номографируемости. Необходимые условия 55
§3. Графы, определяющие для заданного уравнения единственные номограммы или однопараметрические семейства номограмм нулевого жанра 60
§ 4. Графы, определяющие для заданного
уравнения по две нспроективные номограммы 90
§ 5. Граф, определяющий для заданного урав-
нения четыре непроективные номограммы нулевого жанра 104
§ 6. Приведение уравнений /4 = /(/,,/2,/3) к каноническим формам /(0)-К/7/{0). Несовме-
ж *21
стность и полнота канонических форм
Глава II. Представление уравнений номограммами первого жанра с прямолинейной 132-201
ответной шкалой
§ 1. Проективная классификация номограмм
г
3
T}. Канонические формы 133
§ 2. Условия и методы представления уравнений номограммами /; 140
§ 3. Условия и методы представления уравнений номограммами первого жанра с криволинейной шкалой /3 166
§ 4. Приведение уравнений /4 = к ка-
ноническим формам 70> - IVНесоамест-
, 187
ность канонических форм
Глава Ш. Представление уравнений номограммами первого жанра с криволинейной ответной шкалой 202-243
§ 1. Предварительные условия номографируемости. Необходимые условия 202
§ 2. Проективная классификация номограмм 7\. Канонические формы. Условия и методы номографирования 213
§ 3. Приведение уравнений /4 - /(/,,/*,/3) к каноническим формам /(4)-/К(4). Несовме-
, 236
стность канонических форм
Глава IV. Представление уравнений некоторыми вилами номограмм второго, третьего и четвёртого жаров 244-265
§ 1. Классификация номо]рамм второго и четвёртого жанров. Канонические формы 245
§ 2. Классификация номо1рамм третьего жанра. Канонические формы 256
Список авторских теорем 266-268
Цитируемая литература 269-278
4
Таблицы Страница Таблицы Страница
Таблица 1 20, 122 Таблица 8 200-201
Таблица 2 123 Таблица 9 237
Таблица 3 130-131 Таблица 10 242-243
Таблица 4 139 Таблица 11 258-259
Таблица 5 189 Таблица 12 264
Таблица 6 190 Таблица 13 265
Таблица 7 198-199
1. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ
То Номограмма нулевого жанра (носителями шкал переменных являются прямые линии) 16
р, Краткое обозначение функции Р1 (/,) 18
т, Номограмма первого жанра с криволинейной шкалой ',(/=/-<0 26
Т(\2) Одному коническому сечению принадлежат шкалы /,, /2, а шкалы *3,/л - прямолинейны. 30
IV Частное значение функции w{t|9tJ ) при /, = 32
т* (34) 102) Номограмма четвертого жанра: одному коническому сечению принадлежат шкалы /,,/2, другому коническому сечению - шкалы /3, /4. 34
Номограмма третьего жанра: шкала /2 криволинейна, прямолинейна, а шкалы переменных /3,/4 лежат на одном и том же коническом сечении. 37
5
Обозначения Впервые на странице Обозначения Впервые на странице
Л,-М м~М (о; ’ (о; 16 р_ СЫАВ\ 2М(1пМ)" 150
, Л mV Л = ln — 1 мл 58 Р = 1 2 t | [ммлв\ + (мл/?)' 1 МО • (ln м)" J 155
я = (1пМ4); 58 /г- '2(Ш4 174
с = В - Л = (ln мл)' 58 [мЛ-(|пМ)'| МА 210
D = +fe(\nMMAß)', 58 Н _ « 2(|пМУ, 220
Е = +VC(ln ММАС)[ 58 б = +1 Js- (In MS); +5 + -=(lnS)( j 225
6
2. ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. Тема работы связана с тремя важными разделами математики: геометрией ткани, номографией и проблемами приведения уравнений к каноническим формам.
Согласно идее Ф. Клейна геометрия изучает инварианты относительно тех или иных групп преобразований. Эта точка зрения применима и к дифференциальной геометрии.
В.Бляшке предложил рассматривать «топологическую» дифференциальную геометрию, т.е. изучать дифференциально-геометрические (локальные!) свойства различных объектов, инвариантные относительно произвольных взаимно-однозначных и взаимно-непрерывных (топологических) преобразований.
Изменение целей исследования отразилось и на его объекте. Изучаемые в классической дифференциальной геометрии кривые и поверхности устроены в «малом» в каждой своей (обыкновенной) точке топологически одинаково - малый отрезок любой линии не отличается от отрезка прямой, а небольшой участок поверхности — от плоской площадки. Поэтому кривые и поверхности не имеют топологических свойств, позволяющих отличать одну из них от другой.
Также и «сети» на плоскости или на произвольной поверхности, т.е. двухпараметрические семейства линий, такие, что через каждую точку определённой области проходят две (не касающиеся в этой точке!) линии, топологически эквивалентны - все они устроены как сеть координатных линий в декартовой системе координат.
По другому обстоит дело, когда от сети переходят к «3-ткани», т.е. к трёхпараметрическому семейству линий на плоскости или на поверхности, такому, что три (не касающиеся друг друга!) линии трёх различных семейств 3-ткани уже мог>гт быть устроены топологически различ-
7
но: далеко не каждую такую ткань можно отобразить, скажем, на ткань, образованную прямыми трёх фиксированных направлений.
Аналогичная ситуация имеет место, если рассматривать 4-ткань в трёхмерном пространстве, образованную четырёхпараметрическим семейством поверхностей. Подобные «ткани» и родственные им объекты - основной предмет изучения в «геометрии тканей».
«Геометрия тканей» как новое направление в дифференциальной геометрии появилось на рубеже 20-30-х г.г. XX века в трудах виднейшего геометра, руководителя Гамбургской математической школы В. Бляшке, его многочисленных учеников и сотрудников. Однако, и до настоящею времени остаётся большое число вопросов, на которые не получены ответы. Формулируя нерешённые проблемы, относящиеся к тканям, в том числе, образованными поверхностями, В.Бляшке [1] назвал фундаментальной проблему отыскания необходимых и достаточных условий спрямляемости тканей, т.е. условий, при выполнении которых ткань была бы топологически эквивалентна ткани, образованной плоскостями. При этом отметил, что непосредственное нахождение условии спрямляемости представляется безнадежным. Несколько более доступным кажется доказательство следующего предложения об однозначности”, аналогичное гипотезе Гронвэлла (Г.Н.ОгопуаИ (1912 г.)): “Образованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до колтшеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостей ". В.Бляшке ставит также вопросы о проективной классификации тканей, видах их уравнений, о преобразованиях, допускаемых уравнениями тканей [I, с.с.59, 62, 111].
В.Бляшке в своих работах указал на связь геометрии тканей с номографией. Если ткань спрямляется, то двойственным образом спрямлённой ткани будет номограмма из выравненных точек. Такие номофаммы нашли широкое применение в различных отраслях знаний.
Номографией называют область математики, в которой рассматривается теория и практика построения номограмм - особых чертежей, служащих для
8
решения различных уравнений, в том числе и со многими переменными. Каждая формула, для которой строится номограмма, выражает обычно закон течения какого-либо процесса или закон, по которому изменяются различные переменные величины, входящие в данный расчет. Номограмма - графическое изображение этого закона. Пользование этими чертежами уже не требует никаких дополнительных построений. Искомая величина отыскивается непосредственно на самой номограмме путем прикладывания линейки к чертежу или другим столь же простым приемом. Ценными свойствами номограмм является их большая наглядность, удобность и эффективность для анализа и прогнозирования положенных в основу номограмм зависимостей [1 1,87, 102]. Отмстим, что название раздела математики “Номография “ установлено в 1890 г. на Международном математическом конгрессе в Париже
[7].
В 30-90 г.г. прошлого столетия широкий круг теоретических проблем и прикладных задач эффективно решался с помощью номограмм. Исследователи отдела номографии ВЦ АН СССР, различных научных школ и семинаров в Москве, Ленинграде, Иваново, Свердловске, Новосибирске, Чебоксарах, Липецке, Чимкенте, Батуми, Алма-Ате, Кзыл-Орде, Ереване, Душанбе, Риге и других городах СССР, а также в Германии, Франции, Болгарии, Румынии, Польше, Италии и других странах успешно занимались различными вопросами, связанными с номографией.
В современных условиях ЭВМ способны выполнить расчеты функциональных зависимостей со многими переменными и выдать их в виде таблиц (как правило, объемных, с многочисленными входами). Но по таким таблицам затруднительно исследовать влияние одних параметров, входящих в формулу, на другие; невозможно дать наглядную геометрическую интерпретацию каким-либо свойствам номографируемой формулы; по таким таблицам практически невозможно установить ранее неизвестные особенности изучаемой зависимости, но что позволяет делать построенная номограмма [6].
Основными проблемами теоретической номографии являются проблемы представимости и единственности [1-5,7,12,20].
Суть первой проблемы: можно ли данное уравнение привести к определенной детерминантной форме и, если возможно, то указать алгоритм такого приведения. “В настоящее время получены решения этой проблемы для некоторых уравнений. Они сложны и на практике не применяются” [7, с.331].
Вторая проблема состоит в разрешении вопроса: единственным ли способом приводится изучаемая зависимость к детерм инантной форме, и если не единственным, то указать все возможные способы и установить возможности преобразования номограмм в- каждом из них. Для использования результатов решения этой проблемы не требуется знать теорию их получения. Эти результаты сразу становятся достоянием практики.
Вопросами геометрии тканей и теоретической номографии занимались и занимаются многие отечественные и зарубежные исследователи. Для уравнений с тремя переменивши решение отдельных вопросов указанных проблем можно найти в работах Т.Гронвэлла (T. Gronwall) [2], C.B.Бахвалова [4], Г.С. Ховапского[5-7], П.В.Николасва [13-17], М.В.Пентковского[20,21],
С.В.Смирнова [26], Г.Е. Джемс-Леви [33], В.В.Гольдберга [90-92], М.А.Акивиеа [89], Г.А.Толстихиной, А.М.Шелехова [93] и др. авторов. Не до конца решенным остаётся лишь обший случай, когда в номограмме носители всех трёх шкал переменных ti (і - / -і) криволинейны. Me доказано и предложение об однозначности, высказанное Гронвэллом. В терминах геометрии тканей гипотеза Гронвелла означает, что если нешестиугольиая ткань спрямляема, то ее реализация в виде прямолинейной ткани единственна (с точностью до коллинеаций) [1,2]. Боль (G. Bol) и Борувка (О. Boruvka) показали в 1938 г., что число проективно различных реализаций нешестиугольной ткани не больше 16. В. Бляшке считал эту оценку “явно завышенной’^ I,с.63]. Гуйдо (V.Guido) в 1961 г. улучшил этот результат, показав, что число таких реализаций не больше 11.
10
Решением проблем, связанных со спрямляемостью тканей и номофафи-рованием уравнений с большим числом переменных, занимались В.Бляшке
[1], T.Gronwall [2], H.A. Глаголев [3], Г.С. Хованский [8,9,10], И..В. Николаев [12], С.В.Смирнов [22,23,25], Е.Н. Кузьмин [29,30], E.Hösel [32], E.Goursat
[34], О.В.Ермолова [35], М. Czyzykowski [37], J. Wojtowicz [38], V.Guido [42], R. Mehmke [45], Adams Douglas [50], Bai Lascu [53], Ю.И. Боголюбов [54, 55], Р.Петров [67] , Radô Francise [94], Г.С. Прокопьев [69,72], Г.А.Мазаева [78-79], Г.М.Плотникова[80-83], Mihoc Maria [84] и др. Однако и до настоящего времени в вопросах представимости уравнений той или иной номограммой и проблеме единственности остается много нерешенных вопросов. В.Бляшке утверждает, что эти проблемы номофафии являются примерами вопросов, которые теоретически нс сложны, но фактическому решению которых препятствуют вычислительные трудности [1, С.63].
В диссертационной работе дается решение поставленных вопросов для уравнений с четырьмя переменными в трёхмерном пространстве. Многие авторы занимались такими уравнениями и посвятили свои исследования различным вопросам как геометрии тканей, так и теоретической номографии. Следует назвать В.Бляшке, H.A.Глаголева, С.В.Смирнова, Е.Н. Кузьмина,
О.В. Ермолову, Г.С. Хованского, Л.Я. Нейшуллер, В.В. Казьмина, M.D. Ocagne, E.Hösel, Mihoc Maria, Т.Н.Солнцеву, С.И. Буланова, Ю.И. Боголюбова, Р.Петрова, И.С.Глазырину и др.
Вопрос о представимости уравнений той или иной номофаммой, той или иной спрямлённой тканью часто решается в зависимости от приведения данного уравнения к определённой канонической форме [1,6, 29-31, 58, 86). В связи с этим важной становится задача об условиях и методах такой приводимости.
Вопросу приведения уравнений с четырьмя переменными t4 =/(/,.t2’h) к каноническим формам, в частности, разделению переменных по одному или на различные нары, посвятили свои труды Н.А.Глаголев [3], Г.С.Ховапский [8,10], Л.Я. Нейшуллер [36], Ласку Бал [52], Ю.И. Боголюбов [53], А.М.
11
Бухвалов [61], Нгуен Ши Туэн [63], Р.И.Новобранова [66], О.В. Ермолова
[35], Г.С. Прокопьев [71], Mihoc Maria [84,85] и др. И этот вопрос оказался тесно увязанным как с проблемами спрямляемости тканей [1], так и с вопросами теоретической номографии.
'Гак, H.A. Глаголев [3] привёл ряд уравнений с четырьмя переменными:
/,+/>+ /з+/, =0; + -!- + — +— = 0; ~ /, + /2 =Ä;Ä + JL = JL;
3 /. А A A fi А А А /з А
J\ ’fi +/з */»А + А ’#i -А +А '8з* "Г"®-,'
(где есть краткое обозначение функций для которых воз-
можны плоские составные номограммы из выравненных точек. Он указал также отдельные виды номограмм, которыми представляются каждое из приведённых уравнений.
Е Гурса[34], О.В. Ермолова[35], Л.Я. Нейшуллер[36] и др. исследовали вопрос об условиях разделения переменных в уравнении с четырьмя переменными. Эти условия могут рассматриваться как необходимые для представления указанных уравнений пространственными номограммами из выравненных точек.
Жижиковски [37] получил необходимые и достаточные условия представления функций F(iltt2,l3,tJ в виде F(t,,t2tt3,tJ= (/=/--/).
Пространственные номограммы из выравненных точек для уравнений с четырьмя переменными в простейших случаях были рассмотрены также в работах D. Адамса [50] и С.Н. Буланова [51], которые использовали методы начертательной геометрии для изображения на плоскости некоторых частных видов пространственных номограмм из выравненных точек.
Вопросу приведения уравнений к некоторым каноническим формам посвящены работы и других авторов. В частности, Войтович [38] дал необходимые и достаточные условия существования анаморфозирующих множителей, приводящих уравнение F(il>t2,t3,t4) = 0 к уравнениям
/«+Л+Л+Л-А /,+Л+Л-Л-о»
12
где / =у](7|у). Для каждого из этих случаев указаны формулы для определения анаморфозирующих множителей.
Л. Матеева [27] нашла необходимые и достаточные условия представимости уравнения 2 = /„7, где п >2, в виде А(г) = £/,(!,).
1=1
Цель работы. Работа автора посвящена решению теоретических проблем номографии, геометрии тканей, каноническим формам для уравнения с четырьмя переменными. Ставится задача найти не только условия представимости уравнений =/(/,./,,/3) составными шкальными номограммами с прямолинейной немой шкалой, но и указать эффективные методы такой представимости. Изучается возможность выделения канонических форм уравнений (2), представимые такими номограммами, и найти условия приводимости уравнений к этим каноническим формам с указанием конечных формул элементов этих форм, рассмотрев и вопрос о возможных преобразованиях найденных функций. Целью работы является и решение вопросов единственности представлений рассматриваемых в работе номограмм. Таким образом, ставится задача довести решения поставленных задач теоретической номографии до практической реализации.
Указанные вопросы в работе решаются для случаев представления уравнений 14 =/(//,/*,о) составными шкальными номограммами нулевого и первого жанров, а также для некоторых типов номограмм второго - четвертого жанров, с прямолинейной немой шкалой.
В области геометрии тканей ставится цель найти условия спрямляемости соответствующих пространственных тканей и рассмотреть проблемы единственности таких преобразований. Изучается и вопрос о видах уравнения =/(/|,/,,о) для некоторых шестиугольных и нешестиугольных пространственной ткани, нашедших большое практическое применение.
Методы исследования. Основными методами исследования явились:
- номографические методы исследования,
- методы геометрии тканей,
13
- многие разделы классических областей математики,
- полнота и замкнутость системы функций,
- теория непрерывных фупп преобразований,
- методы проективной и дифференциальной геометрии,
- Пфаффовы уравнения и пфаффовы системы,
- теория графов.
Научная новизна и практическая ценность. Все представляемые к защите результаты получены автором. Их новизна, в частности, характеризуется т ем, что впервые
В области номографии:
1. Проведена проективная классификация рассматриваемых типов номограмм. Доказаны теоремы о существовании точно 15 проективио различных графов номограмм нулевого жанра.
2. Получены необходимые и достаточные условия представимости уравнения :4 =/((,,12,13) номограммами рассмотренных типов.
3. Приведены конечные формулы (в квадратурах) вычисления неизвестных функций в уравнении (3), соответствующих рассмотренным но-мофаммам, и их возможные преобразования.
4. Выделены графы номограмм, определяющие для заданного уравнения
- единственные номофаммы нулевого жанра;
- однопараметрические семейства номофамм нулевого жанра ;
- графы номофамм, определяющие по две непроективпые номо-грамммы нулевого жанра;
- графы номофамм, определяющие для заданного уравнения четыре непроективные номофаммы нулевого жанра.
5. Номофаммам нулевого жанра соответствует точно восемь канонических форм их уравнений, обладающих свойством полноты и несовместности.
6. Рассмотрены типы непроективных номофамм более высоких жанров (см. Таблицу 11 диссертации), эквивалентные в малом \ \\ рассмот-
ренным 15 типам номограмм нулевого жанра. Это номограммы, в которых носителями шкал переменных, лежащих в одной плоскости, являются прямые линии, тогда в другой плоскости носителем шкал является одно коническое сечение (номограммы второго жанра), или в обеих плоскостях носителями двух шкал являются конические сечения (номограммы четвёртого жанра). Их количество 31, для них указаны условия представимости, они обладают свойством полноты и несовместности
7. Аналогичные исследования проведены и с номограммами первого жанра. Их оказалось точно по пять непроективных графов номограмм для каждого из четырех случаев номограмм первою жанра.
8. Для номограмм первого жанра существуют в точности 16 канонических форм уравнений, образующих полную и несовместную г руппу.
9. Рассмотрены типы номограмм третьего жанра, эквивалентные в малом рассмотренным номограммам первого жанра.
В области геометрии тканей:
10. В геометрии тканей получены условия шестиугольности тканей. Найдены типы шестиугольных тканей, условия их спрямляемости. Определены канонические уравнения рассмотренных шестиугольных пространственных тканей, изучены проблемы единственности. Условия теоремы [1.3.1] являются условиями октаэдричности пространственных тканей [1], выраженные через функцию тканей. Указаны девять эквивалентных в малом [1] октаэдрических пространственных тканей.
11. Найдены 46 шестиугольных пространственных тканей. /Для них найдены условия спрямляемости.
12. Получены условия спрямляемости пространственных нешестиугольных тканей. Найдены канонические уравнения таких тканей. Исследована проблема единственности. Приведены результаты, впервые опро-
всргающие гипотезу о единственности спрямляемости нешсстиуголь-ных тканей, сформулированную В. Бляшке в 1959 году.
В области капрничсских форм:
13. Доказано, что для составных шкальных номограмм нулевого жанра существуют в точности восемь канонических форм уравнений 14 =/(о»/2»0), представимых такими номограммами. Найденная система канонических форм полна и несовместна. Для всех канонических форм указаны дополнительные возможности их преобразования.
14. Для всех рассмотренных в работе 82 непроективных типов номограмм и тканей найдено ядро канонических форм уравнения /., =/(//.*3,/*), состоящее из 24 уравнений, обладающих свойствами полноты и несовместности.
15. Для каждой из 24 канонических форм найдены условия и указаны методы приводимости уравнений /4 = /(//.^з) к этим формам. : ”
16. Рассмотрен класс типов номограмм более высоких жанров (второго, третьего, четвёртого), и двойственных к ним тканей, уравнения которых приводятся к какой-нибудь из 24 канонических форм, и при том оказалось, что к какой-либо другой из них не приводятся.
17. Все полученные результаты без каких-либо дополнительных исследований пригодны для практики.
18. Теория, представленная в диссертационной работе, может быть использована для построения специальных курсов для сгудентов и аспирантов математических факультетов. Приведёнными в работе методами можно продолжить исследования по представлению уравнений с четырьмя переменными номограммами второго-четвертого жанров общего вида кривых - носителей шкал переменных составной номограммы, и связанных с ними проблем геометрии тканей. Доказательства фундаментальных предложений на этот счет приведены в работе (теоремы [1.2.1], [3.1.1], следствия |1.2.1], |3.1.1], |3.1.2|).
16
Диссертационная работа является результатом собственных исследований автора. Вместе с тем следует отметить, что первые задачи и начала исследований по теме были предложены автору моим учителем профессором Петром Владимировичем Николаевым (1902-1970 г.г.).
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались или публиковались в трудах различных конференций: Первой Всесоюзной номографической конференции (Москва, 1965 г.), на научных конференциях в г.г. Казани (1967 г.), Ярославле (1968 г.), Свердловске (1967 г.), Челябинске (1970 г.), Иваново (1973, 1975 г.г.), Тюмени (1966 г.), Душанбе (1978 г.), на семинарах , проводимых ВЦ АН СССР совместно павильоном “ Вычислительная техника” на ВДНХ (г. Москва) (1969 ,1972 , 1973,1974, 1986 г.г.), семинарах кафедры геометрии Свердловского педагогического института (1964-1969 г.г.), кафедры высшей математики Тюменского индустриального института (1965-1988 г.г.), кафедры высшей математики Тюменского архитектурно-строительного университета (1999-2005 г.г.), семинаре института математики и механики УрО РАН (2006 г.), международных конференциях в г.г. Пущино (2007 г.), Твери (2007 г.), Чебоксарах (2007 г.), Дубне ( 2008 г.), Москве (МГУ, мат. инст. им. Л. С. Стеклова (2008 г.)).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 30 статей и тезисов конференций, две работы депонировано, выпущена одна номография.
Объём и структура работы. Диссертация объёмом 270 страниц, состоит из Введения, четырёх глав, 15 параграфов. В работе изложено 64 авторских теорем (см. с. 260-262) и 16 следствий, помещено 13 таблиц. Список литературы содержит 127 наименований. В работе приведены примеры.
Отметим следующее. В приведённых исследованиях много говорится о двойственных образах спрямлённых тканей - о номограммах, поскольку лексика, терминология, алгебра, графическое изображение, наконец, достаточно разработанная номографическая теория, часто более наглядны и удобны в
17
изложении материала работы. Другими словами, с одной стороны, используя номографические методы, удалось найти много неизвестного в геометрии тканей, с другой стороны, используя различные алгебраические многообразия геометрии тканей, найдено немало новых результатов в теоретической и практической номографии
3. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Известно, что уравнение
называется номографируемым в некоторой области С изменения переменных tl 0=1,2,..,п-1), если существует дегерминан гное уравнение
обращающееся в тождество в силу (я,). При этом важно:
1) найти условия, при которых для уравнения (а,) существует в области С уравнение (а2);
2) указать методы отыскания элементов /п уравнения (а2)\
3) исследовать вопрос о единственности номограмм из выравненных точек (с точностью до проективных преобразований), допускаемых уравнени-ем {а,).
В нас гоя щей работе дается решение поставленных вопросов для уравнений с четырьмя переменными.
Рассматривается совокупность четырех семейств поверхностей
определяющая ткань трёхмерного пространства. Исключение х,у,г из (1) приводит к уравнению ткани; возьмём его в виде
/*(/|
(*■)
("?)
о,у,*) = /,= Сот!., (./ = 1-4)
(1)
1
(2)
18
Для номографии представляют интерес те случаи, когда ткань (1) с известным уравнением (2) является спрямляемой. В.Бляшке показал [I], что в этих случаях коррелятивное преобразование пространства преобразует ткань из плоскостей в номограмму из выравненных точек, определяемую уравнением
IЛ (О;/«(',);/ДОН И о = 1-4).
В данной работе рассматривается случай, когда коррелятивный образ спрямлённой пространственной ткани даст номограмму из выравненных точек, состоящую из четырёх плоских шкал, лежащих попарно в двух плоскостях. Для определённости будем считать, что шкалы принадлежат координатной плоскости у = 0, а шкалы /,,/4 - плоскости г = 0, чего, очевидно, можно достигнуть надлежащим проективным преобразованием пространства. При этих условиях, как показал Соро, дстерминантное уравнение (уравнение Массо) номограммы имеет вид:
= 0 (/ = 1,2; £ = 3,4),
(3)
Пространственная номограмма с этим уравнением допускает плоский эквивалент - составную номограмму из двух подномограмм с общей прямолинейной немой шкалой а:
/р /,2»1 = 0, Л., /*2* 1 |
а 0 1 а 0 1 |
= 0,
(3')
где /)Г - сокращенное обозначение функции ) (у = 1 - 4; г = 1,2).
Указанные выше проблемы общей анаморфозы решаются в данной работе для случая представления уравнения (2) номограммами (3) нулевого и первого жанров (в первых грех главах) и определённого вида номограмм второго, третьего и четвёртого жанров (в четвёртой главе).
Что касается теоретико-функциональных условий, то в дальнейшем будем считать, что однозначная функция /(/,,/;>,/3) обладает в прямоугольной облас-
19
ти С непрерывными частными производными достаточно высокою порядка и отличными от нуля производными
!_.//, (/=1-з).
<3/,
Отсюда следует, что вводимые всюду функции
Г — г
М = -^-у М (4)
л л
будут достаточно гладкими и не обращающимися в нуль в точках области (7. Относительно неизвестных функций )\},уравнения (3) будем предполагать,
что они обладают производными необходимого порядка.
Первая глава (Представление уравнений номограммами нулевого жанра) посвящена вопросу представления уравнения (2) номограммой (3), когда носителями всех шкал переменных /,,/* являются прямые линии. Такие номограммы обозначим Т0.
Коррелятивным образом таких номограмм являются ткани, образованные четырьмя пучками плоскостей, причём носители пучков переменных принадлежат плоскости у = 0, носители пучков переменных /3,Г4 - плоскости 7=0. Их также будем обозначать Т0 (см. рис. 1, 2).
Рис.1 Рис.2
Проведена проективная (с точностью до параметризации шкал) классификация графов номограмм (и тканей)^. При этом две номограммы с уравнением (3) называем проективными с точностью до параметризации шказ, если найдётся пространственная коллинеация, совмещающая прямолинейные
СПРЯМЛЁННАЯ ТКАНЬ
СОСТАВНАЯ НОМОГРАММА ИЗ ВЫРАВНЕННЫХ ТОЧЕК НУЛЕВОГО ЖАНРА
20
носители первой номограммы с соответствующими прямолинейными носителями второй.
Доказана теорема 11.1.1] о существовании точно 15 типов проективно различных (с точностью до параметризации шкал) графов номограмм Т{), причем один из них представляет однопараметрическое семейство, две номограммы У0 которого проективны (с точностью до параметризации шкал) лишь при одном и том же сложном отношении абсцисс точек пересечения носителей шкал переменных (у = 1-4) номограмм (3) с немой шкалой а.
Показано (теорема [1.1.2]), что этим 15 типам номоірамм Т() отвечает не более восьми канонических форм уравнений (2): 1Л - • Результаты
теоремы отражены в таблице I.
Таблица I
Допускаемый тип номограмм т„ №№ Каноническая форма
[(^1 >^4 )*(^2’^з)]» [(/2,/,),(/,,/3)] Ло> /7 + /^ + /7 + /.■ = 0
; (/о > ^3 > ^4 )> (^ | )]> [(^| Тз»^4 )> 2 )] /л*, Я, + /г, = • к.
(^1 )1 [(^ 1 у І 2 > ^4 )> (^3 )] "'<0, ^ ^ = н + ^
[(^1» ^2 )> (^3 > ^4 )] 'И», —!— = /? + р2
К^'зНОЛО! [('2>ОЛОЛ'з)1 [(л ’ п )> (^2)»(^з )1 [01 у )»(^2)»(л)] По» +1 = ^ • /> ;
[(^3 * П )» (*1 )» (*2 )] "(0, —!— = /? -р, + і /Г1 + П1
[(^1 * ^2 )’ (*3 )» (*4 )] "Л., ^ ^ 11 ^ + г2
ЫШМ] ЮТ,о> ^ +1 ~ х -1+ Р' Р-
Здесь FJ - краткое обозначение функции FJ ). В последней форме сложное отношение X конечно и отлично от 0; I.
21
Из таблицы видно, что некоторые номограммы Т0 с уравнением (3) с непроективными графами допускают одинаковые канонические формы уравнения (2). Так, например, к канонической форме /(0) приводятся уравнения (2)
номограмм Т0 с графами трех проективно различных типов:
1(^1 > ^2 »^3» ^4)]» [(^Р ^з)» (^2»^4 )]’ [(А»Л)>(^2>^з)]> имеющих, соответственно, следующие геометрические изображения:
§§ 2—5 первой главы посвящены условиям представимости уравнений Л, = f(t, ,t2 ,/0 номограммами Г0.
В § 2 {Предварительное условие номографируемости. Необходимые условия) доказана теорема, дающая необходимые и достаточные условия номографируемости уравнения (2); эти условия даны в виде системы дифференциальных уравнений, выражающих функции Л/, М (4) через неизвестные функции уравнения (3) и их производные.
Теорема [1.2.11. Уравнение = /(/|,/2,/3) представимо в области G номограммой (3) любого жанра, но с прямолинейной ответной шкалой , тогда и только тогда, когда при заданных функциях М и М (4) существует решение относительно функций frj (/* — 1 — 3 ; у = 1,2) системы дифференциальных уравнений:
\4 _ /12 f(/i I ~ fl\ )(/12 ) 2~ (/12 ~ fil ){fl\ ) 2 ]
~Ы/и -/В)(Л.)1Г
JÇf - ^11-^22 ~~/12/21 ){(/11/22 "/12/21)(/32)3 Ч'(/|2 ~ Лг)!/?! (/32)3 ~ -/32 С/з 1 )з ] } \
/22 (У, 1 “ /21 )C/l2 )| “ С/12 ” /22 )(/l 1 )| ]/з|/з2 Коррелятивным образом номограммы (3) является пространственная ткань с уравнением /4 = /(/,,/2,/3). Она образована четырьмя семействами
плоскостей гу, причем семейства плоскостей /,,/2 принадлежат одной связке; другой связке принадлежат семейства плоскостей /3,/.} (см. рис.3,4).
СПРЯМЛЁННАЯ ТКАНЬ
Вычисляя кривизны тканей, высекаемых на плоскостях любого семейства плоскостями остальных трёх семейств, учитывая результаты теоремы 11.2.1) и шестиугольность ткани, являющейся коррелятивным образом номограммы Т09 используя условие Дюбурдье [ 1 ] получены следующие необходимые условия номографируемости:
Теорема 11.2.21. Для представления уравнения (2) номограммой (3) нулевого жанра необходимо, чтобы функции ММ (4) удовлетворяли в области G условиям:
А/'= 0, (1пМ);;=0, (ln Л7)[з = 0- (6)
Заметим, что условие М3 -0 эквивалентно условию Л.Я.Нейшуллера [36| разъединения переменных в уравнении (2) на пары: (следст-
вие [1.2.1)).
Далее отыскиваются эффективные необходимые и достаточные условия, указываются методы и исследуется вопрос о единственности представления уравнений номограммами нулевого жанра 7~0.
В § 3 (Графы, определяющие для заданного уравнения единственные номограммы или однопараметрические семейства номограмм Т0) рассмотрены графы номограмм Т0, относящиеся к канонической форме /(0):
НОМОГРАММА ИЗ ВЫРАВНЕННЫХ ТОЧЕК ЧЕТВЕРТОГО ЖАНРА
23
Г(^1 > ^2 > ^3 ’ ^4 )3* К',.', )» (^2 »^4 )]> [(^1>^)>(^2’^з)3 *
Теорема 11.3.11. Для представления уравнения (4 = з) номограм-
мой любого из указанных графов необходимо и достаточно соблюдения в области С условий:
М'}= О, (1пМ)"=0, (1пЛ?Х=0, (6)
Теорема [1.3.21. Уравнение (2) при условиях теоремы [1.3.1] допускает единственную (с точностью до коллинеаций) номограмму с графом [(/,,/2,/3,^)], и однопараметрическое (с точностью до коллинеаций) семейство номограмм с каждым из графов [(/1, /3), (Г2,/,)], [(/,, /4), (/2»)3 • ДРМ этом элементы номограмм (3) определяются с помощью лишь квадратур.
Рассмотренные номограммы Т0 (3) с графами
)]’ [('р'зМ'2Л)]> [(^1 ’^4 )»(^2 »^3 )] не проективны (теорема [1.1.11 ). В то же время, уравнение (2): и - /(*!»*з>*з)> представимое каждой из указанных графов номограмм, имеют одни и те же условия представимости. Встает вопрос о возможности по известным элементам одной из указанных номограмм находит!» элементы остальных двух номограмм, что представляет интерес для практической номографии. В работе показано, что если / - элементы номофаммы 7’0 с графом [(/,,/2,/3,/4)], то элементы номограмм Ги (3) с графами [(/,,/3),(/25/4).|, [(/|,/4),(/2,/3)]определяются, соответственно, по формулам:
где а - параметр.
Замечание (1.3.1). В случае графа [(/, ,/Д(/2 )] соответствующая система
24
дифференциальных уравнений (5) допускает четырёхпараметрическую непрерывную группу преобразований
/2= *33/2" э /з=^22/з“
*11
и с точностью до преобразований этой группы номограмма Т„ с указанным графом будет определяться единственным образом.
Точно так же в случае графа [(г, ,/3),(/2 ,tA)] такой непроективпой фуппой
преобразований будет: /1=азз/| » Л=~/2 > /з= ^22-/3,
а,,
и с точностью до этих преобразований номограмма с графом [(Л >^з)>(^2 з ^4)] будет также определяться единственным образом.
Третий параграф заканчивается рассмотрением аналогичных вопросов, связанных с представлением уравнений (2) номограммами Т{) (3), с графами, соответствующим каноническим формам II^ - У(0) (см. таблицу 1). Результаты этих исследований приведены в таблице 2.
§ 4 первой главы (Гиафы, определяющие для заданного уравнения по две
непроективные номограммы нулевого э/санра) посвящен изучению номо-
грамм с графами [(/,,/J,(/,),(t2)] [(/,,/,),(/,),(/,)]
> »
приводящие, соответственно, к шестой и седьмой каноническим формам (см. табл.!).
Так при изучении номограмм 7J, типа
КллИ'эЖ)!. (в)
относящейся к канонической форме VII(O), получены следующие результаты :
Теорема f 1.4.31. В случае представления уравнения (2): t4 = f(t, ,t2 ,t}) номограммой T0 с графом (8) , функции М, М (4) вместе с условиями (6) удовлетворяют условию
25
Е = +^С-{}пММАС\ =0
? 1 г \ /
А = 1п-= I , С = (1пМАУ
V М).
(9)
Теорема [1.4.41. Условия теоремы [1.4.3] являются не только необходимы-
две системы элементов номограммы, однозначно определяющихся (с точностью до проективных преобразований пространства) с помощью лишь квадратур.
В силу теоремы [1.2.1] следует, что условия (6), (9) являются не только необходимыми, но и достаточными для представления уравнения = /(/,, г2> г3) номограммой Т0 нулевого жанра с графом [(/, ,*2)>(*з)>(0]* Уравыения шкалы (4 найдутся но шкалам /, (/ = 1 - 3) из уравнения (2).
Следствие 11.4.21. Для уравнения Г., = /(/,, t2, /3) все номограммы Т{) с графом [(/, , /2), (/3), (/4)] (если они существуют) могут быть двух проективно ' различных видов.
Таким образом, получены условия представимости уравнений 1а -/(*!» ^2 ’ ) номофаммами Т0 типов, отвечающих каноническим формам
/(м) - VIII^ (§§ 1- 5 главы I). Во всех случаев задача представления решается
с помощью лишь квадратур и даются конечные формулы для вычисления неизвестных функций / (у = 1 — 3; г = 1, 2) уравнения (3).
При исследовании вопроса о единственности оказалось, что уравнение (2), приводимое к канонической форме /(0), допускает (с точностью до кол-
линеаций) одну номограмму Тп с графом и по одному одно-
параметрическому семейству номограмм Т0 с графами К*|»*зМ*2»0]»
ми, но и достаточными для представления уравнения /., = /(/, ,/2) номограммой нулевого жанра с графом [(/, , /2), (/3), (/4)]. При этом существуют
),(/,,/3)] (теорема [1.3.2]).
- Київ+380960830922