Фробениусовы эндоморфизмы пространств матриц

Оглавление
Введение.....................................................................б
1 Отображения, сохраняющие нули матричных многочленов над полями 34
1.1...............................................................Введение.............................................................34
1.2 Многочлены с ненулевой суммой коэффициентов.....................37
1.2.1 Доказательство теоремы 1.2.2.................................40
1.2.2 Доказательство следствий.....................................50
1.3 Многочлены с нулевой суммой коэффициентов......................57
1.3.1 Доказательство теоремы 1.3.3.................................59
1.3.2 Доказательство следствий.....................................63
1.4 Завершающие замечания и примеры ...........................64
2 Монотонные отображения матриц 67
2.1 Введение.......................................67
2.1.1 Частичные порядки, не являющиеся регулярными.................72
2.2 Линейные монотонные отображения...........................73
2.2.1 Редукция к фробениусовым эндоморфизмам для матриц неполного ранга.....................................................74
2.2.2 Характеризация линейных фробениусовых эндоморфизмов пространства МШП(ПГ), монотонных относительно ряда
регулярных порядков .........................................77
б СП
2.3 и ^-порядки.........................................................85
2.3.1 Отображения, сохраняющие одновременную
диагонализуемость............................................86
2.3.2 Характеризация линейных монотонных отображений,
$ СП
сохраняющих <- и <-порядки...................................95
2.4 Аддитивные монотонные отображения.........................100
2.4.1 Монотонность относительно регулярных порядков...............100
2.4.2 Приложения: характеризация аддитивных монотонных
фробениусовых эндоморфизмов.................................103
2.4.2.1 Порядок Дрейзина....................................103
2.4.2.2 Левый и правый ^-порядки............................105
2
2.4.2.3 Бриллиантовый порядок.............................................................................106
2.4.2.4 Сингулярные порядки.......................................107
2.4.2.5 /-порядки.................................................108
3 Ранговые свойства матриц и их фробениусовы эндоморфизмы 109
3.1 Сохранение границ в неравенствах для ранга произведения матриц . 109
3.1.1 Фробениусовы эндоморфизмы для <2з..............................110
3.1.2 Фробениусовы эндоморфизмы для д4..............................114
3.1.3 Фробениусовы эндоморфизмы ДЛЯ йз..............................116
3.2 Сохранение перестановочности ранга.......................................120
3.2.1 Определения и обозначения.........................................120
3.2.2 Биективные отображения, сохраняющие перестановочность
ранга.............................................................120
3.2.3 Вырожденный случай................................................124
3.2.4 Примеры ..........................................................128
4 Фробениусовы эндоморфизмы матриц над полукольцами 130
4.1 Введение в линейную алгебру над полукольцами.............................130
4.1.1 Исторический обзор................................................130
4.1.2 Матрицы и определители............................................132
4.1.3 Вырожденпость и определитель .....................................135
4.1.4 Полумодули. Базис и размерность...................................138
4.1.5 Функции ранга.....................................................142
4.1.6 Связь между различными ранговыми функциями........................146
4.1.7 Арифметические свойства ранговых функций .........................151
4.2 Общие результаты о линейных отображениях матриц над
антинегативными полукольцами............................................157
4.3 Теоремы Фробениуса и Дьедонне для матриц над полукольцами . . . 161
4.3.1 5-вырожденность...................................................161
4.3.2 Би-определители...................................................163
4.3.3 72-вырожденность .................................................167
4.4 Линейные отображения, сохраняющие случаи равенства з ранговых неравенствах..........................................................171
4.4.1 Фробениусовы эндоморфизмы для Т\..............................172
4.4.2 Фробениусовы эндоморфизмы для Тчв .............................174
4.4.3 Фробениусовы эндоморфизмы для Тчк.............................176
4.4.4 Фробениусовы эндоморфизмы для Т$..............................178
4.4.5 Фробениусовы эндоморфизмы для ....................................180
4.4.6 Фробениусовы эндоморфизмы для Т\в.............................182
4.4.7 Фробениусовы эндоморфизмы для Так .............................183
4.4.8 Фробениусовы эндоморфизмы для Т$..............................185
3
4.5 Отображения, сохраняющие нули многочленов над полукольцами . . 187
4.5.1 Введение....................................................187
4.5.2 Вспомогательные леммы ......................................188
4.5.3 Фробениусовы эндоморфизмы для V{P2k), к >2..................189
4.5.4 Фробениусовы эндоморфизмы для V(Pm) для та > 3..............192
4.5.5 Фробениусовы эндоморфизмы для V(PTOl,...fTO|>) над Z+ .... 195
5 Фробениусовы эндоморфизмы и комбинаторные свойства матриц 198
5.1 Характеризация операторов, сохраняющих примитивность наборов матриц.................................................................198
5.1.1 Введение....................................................198
5.1.2 Предварительные сведения....................................200
5.1.3 Матрицы над бинарным булевым полукольцом....................202
5.1.3.1 Случай к = 2........................................206
5.1.3.2 Случай к > 2........................................214
5.1.4 Матрицы над антинсгативными полукольцами без делителей нуля...............................................................221
5.2 Фробениусовы эндоморфизмы для регулярных турнирных матриц и граничного ранга 1.....................................................223
5.2.1 Введение....................................................223
5.2.2 Фробениусовы эндоморфизмы для матриц граничного ранга 1
с нулевой диагональю........................................225
5.2.3 Фробениусовы эндоморфизмы для регулярных турнирных матриц.............................................................233
5.3 Идемпотентные матрицы и мажорирование..............................239
5.3.1 Введение....................................................239
5.3.2 Характеризация идемпотеитных булевых матриц ................246
5.3.3 Мажорирование идем потентным и матрицами ...................253
6 Фробениусовы эндоморфизмы над некоммутативными кольцами 257
6.1 Введение...........................................................257
6.2 Введение в линейную алгебру над некоммутативными кольцами . . . 259
6.2.1 Некоммутативные определители................................259
6.2.2 Линейная алгебра над некоммутативными локальными кольцами ..........................................................261
6.2.3 Определитель над некоммутативным локальным кольцом . . 265
6.2.4 Определитель Аджамагбо......................................267
6.3 Полулинейные отображения матриц над локальными кольцами, сохраняющие вырожденность..............................................269
6.3.1 Сохранение вырожденности над локальными кольцами .... 273
6.3.2 Сохранение вырожденности над телами.........................274
4
6.4 Полулинейные отображения матриц над телом, сохраняющие определитель Дьедонне................................................274
6.5 Полулинейные отображения матриц над локальным кольцом, сохраняющие определитель Дьедонне....................................276
7 Фробениусовы эндоморфизмы пространств многочленов,
сохраняющие положительность 280
7.1 Введение и основные результаты..................................280
7.2 Вспомогательные результаты......................................284
7.3 Случай диагональных преобразований..............................289
7.4 Обыкновенные линейные дифференциальные операторы конечного порядка..............................................................294
7.5 Обыкновенные линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами...........................................299
Список литературы......................................................302
Публикации автора по теме диссертации..................................319
5
Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования
Исторический обзор
Задачи характеризации фробениусовых эндоморфизмов пространств матриц, т.е. отображений, сохраняющих матричные свойства или инварианты, постоянно возникают как в качестве естественных алгебраических задач, так и в связи с различными приложениями. Неслучайно в последнее время происходит особенно бурное развитие этой теории.
Отображение Т : Мп(Я) -> Мп(Я) матриц фиксированного порядка п над кольцом Я называется фробеииусовым эндоморфизмом для некоторого свойства V (говорят еще, что Т сохраняет свойство “Р), если из условия: матрица Л обладает свойством V следует, что ее образ — матрица Т[Л) — также обладает свойством V. Оказывается, что зачастую этой информации совместно с некоторыми данными об отображении Т, например, линейность или сюръективность, достаточно для полной характеризации отображения Т. Разработка вопроса характеризации фробениусовых эндоморфизмов, сохраняющих матричные инварианты, является основным предметом исследования данной диссертационной работы.
Изучение фробениусовых эндоморфизмов восходит к следующему вопросу, который поставил Дедекинд в 1880, см. [95]. Пусть (7 — конечная группа порядка п. Рассмотрим конечное множество независимых попарно коммутирующих переменных Групповой матрицей группы (7 называется квадратная
матрица Хс порядка п, столбцы и строки которой заиндексированы элементами группы (7 так, что (д, Л)-тый элемент матрицы есть хдь-1. Определитель матрицы Хс — это однородный многочлен степени п от переменных {хд}дес- Дедекинд назвал этот многочлен групповым определителем и установил, что если (7 —-абелева группа, то ее групповой определитель раскладывается в произведение линейных множителей над полем комплексных чисел С. Более того, коэффициент при переменной хд в каждом линейном множителе совпадает со значением группового характера на элементе д 6 (7. Например, если С = 7Ь$ — циклическая группа порядка 3, то ее групповая матрица имеет вид
б
е а а2
X У 2
е X У 2
а 2 X У
а2 У 2 X
Таблица характеров для группы такова:
Йз е а а2
XI 1 1 1
Х2 1 £ £2
Хз 1 £2 £
здесь е = е2™/3. Разложение для группового определителя выглядит следующим образом:
х у г г х у у г х
Откуда видно, что любая строка таблицы характеров группы определяется однозначно по соответствующему множителю в разложении для группового определителя.
Для некоторых некоммутативных групп, в частности, для симметрической группы третьего порядка 5з и для группы кватернионов Дедекинд также разложил их групповые определители в произведение неприводимых множителей, среди которых были уже нелинейные. Однако общая ситуация оставалась неясной и Дедекинд поставил вопрос о разложении для группового определителя конечной неабелевой группы в произведение неприводимых множителей. Работая над этой проблемой, Фробениус создал несколько новых плодотворных теорий: одной из них была теория представлений конечных групп, а другой — теория линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, которой посвящена данная работа. В качестве приложения своих идей Фробениусу [115) удалось полностью решить проблему Дедекинда.
Фробениус доказал, что групповой определитель конечной группы С? разлагается над полем комплексных чисел в произведение вида Р}1 • • • Р£к, где многочлены Ру, у' = 1,..., Лт, — неприводимы и у = с!е^(Ру), Э = т. е.
кратность вхождения каждого неприводимого многочлена в разложение совпадает со степенью этого многочлена. Более того, любой неприводимый многочлен в этом разложении соответствует некоторому неприводимому представлению группы С и размерность этого представления совпадает со степенью соответствующего неприводимого многочлена. Для того, чтобы установить, что класс эквивалентных представлений соответствует единому множителю в разложении для группового определителя, Фробениусу понадобилось охарактеризовать биективные линейные
= (х +у -К г)(х 4 еу 4 е2г)(х 4 е2у 4 ег) .
7
преобразования, сохраняющие определитель матриц над полем комплексных чисел. Легко видеть, что транспонирование и подобие являются фробениусовыми эндоморфизмами для определителя. Определим на основе этих двух примеров следующий класс стандартных преобразований.
Пусть Min%n{R) обозначает множество матриц порядка тп х п с кольцом коэффициентов R. В случае, когда m — п, Mn(R) обозначает пространство квадратных матриц Mrti„(i7), GLn(R) обозначает группу обратимых матриц.
Определение 1. Линейное преобразование Т : МтДF) —> Мт>п(¥) называется стандартным, если оно представимо в следующем виде: найдутся матрицы Р 6 (jLm(F), Q Е GLn(T) такие, что Т(Х) = PXQ для всех матриц X G Mmin(F). В случае m = п преобразование Т(Х) = P(X*)Q для всех X Е Mn(F), где X1 обозначает транспонированную матрицу, тоже называется стандартным.
Следующая теорема Фробениуса 1897г. дает полную характеризацию линейных отображений, сохраняющих он редел итель.
Теорема 2. [115, Фробениус) Пусть Т : Мп(С) -» Мп(С) -- биективное линейное преобразование, для которого detT(X) = detX для всех матриц X Е Мп(С). Тогда преобразование Т стандартно и det (PQ) = 1.
В 1925г. Шур [220] обобщил теорему Фробениуса: он заменил условие инвариантности определителя на условие инвариантности всех миноров некоторого фиксированного порядка г. Приведем формулировку его теоремы, принадлежащую Маркусу и Мэю [175]. Для произвольной матрицы X Е Мт%п(С) рассматривается r-ая матрица дополнений Cr(X) Е С), состоящая из
миноров матрицы X порядка г, упорядоченных лексикографически по строкам и столбцам.
Теорема 3. [220, Illypj Пусть Т : Mmn(C) —> Мтп(С) — биективное линейное преобразование. Для заданного параметра г, 2 < г < min{m,n}, предположим, что существует такое биективное линейное преобразование S : ^ (С) —>
что для любой матрицы X Е МШ]П(С) справедливо СТ(Т{Х)) = S(Cr[X)). Тогда преобразование Т — стандартное.
Теорема Фробениуса имела сложное комбинаторное доказательство. В 1949г. Дьедонне [99] предложил новый подход к классификации фробениусовых эндоморфизмов, базирующийся на основной теореме проективной геометрии. Дьедонне получил стандартную характеризацию биективных линейных отображений, сохраняющих вырожденные матрицы над произвольным полем.
Теорема 4. [99, Дьедонне] Пусть F — произвольное поле и Т — обратимое линейное отображение на Mn(W), удовлетворяющее условию: из detX = 0 следует detT(JC) = 0. Тогда отображение Т стандартно.
В работе [16] Е.Б. Дынкин получил теорему Фробепиуса и серию связанных с ней результатов в качестве следствия своей классификации максимальных подгрупп классических групп. В основе этого метода лежит следующее построение. Пусть F — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Стандартные линейные преобразования образуют подгруппу Stn(F) в группе GLn2(F) всех обратимых линейных преобразований пространства матриц. Группа Stn(F) имеет структуру сплетения Stn(F) = GLn(¥) Wr где — группа, порожденная транспонированием. Для данного подмножества S С Ми(F) обозначим через Fix S множество всех линейных отображений Т, оставляющих множество S инвариантным, т. е. T(S) С S. Легко видеть, что множество Fix S имеет структуру моноида по отношению к операции композиции. В общем случае, моноид Fix S не является подгруппой в GLn2(F), так как включение T(S) С S необязательно влечет равенство T(S) = S. Однако равенство справедливо достаточно часто. Например, в случае алгебраического подмножества S С Мп(F) Д. Диксоном, см. например [202], было показано, что выполняется равенство T(S) — S. Следовательно, в этом случае, моноид FixS имеет структуру группы. Таким образом, классификация линейных отображений, сохраняющих множество 5, может быть сведена к анализу башни подгрупп Stn(F) С Fix S Ç GLn(F). Теперь, с помощью списка всех таких подгрупп G} для которых St„(F) CGC GLn(F), т. e. с использованием классификации Дыикина нетрудно дать ответ на следующие вопросы:
• Пусть S — фиксированное подмножество в Мп(F) и Т — биективное линейное отображение, взаимооднозначное на S. Какая именно группа G из списка совпадает с Fix S' ?
• Какие группы G из списка совпадают с FixS хоть для какого-нибудь Т-инвариантного множества S ?
Этот метод многократно использовался и широко развивался, см. [202, глава 8.4].
Приведенные выше результаты открыли столетие интенсивного и плодотворного изучения фробеииусовых эндоморфизмов. В течение последних несколькими десятилетий эти вопросы изучались особенно активно и как фундаментальное направление, и в связи с многочисленными приложениями. Полученные для линейных отображений результаты подытожены в ряде обзоров, в том числе. [171, 170, 202] и монографии [187]. В настоящей работе развиты новые методы и подходы к изучению фробеииусовых эндоморфизмов над полями, кольцами и полукольцами, позволившие перейти от изучения линейных отображений к нелинейным и даже неаддитивным отображениям и решить целый ряд важных задач и открытых вопросов.
Общая постановка задачи классификации фробеииусовых эндоморфизмов может быть сформулирована следующим образом. Пусть Т : Mn(R) -> Mn(R)
9
— отображение матриц некоторого фиксированного порядка п над некоторой алгебраической системой Д. Рассмотрим подмножество 5 С Мп(Я) или функционал р : Мп(Я) —> <2, где ф — заданное множество (р может быть определителем, следом, рангом, перманентом и т. д.) или свойство матриц V (нильпотентность, идемпотентность, вырожденность и т. д.) или отношение Д, заданное на множестве матриц (подобие, коммутативность, отношение порядка и т. д.). Предполагается, что отображение Т сохраняет одно из перечисленных свойств в следующем смысле: в нервом случае, условие X € 5 влечет условие Т(Х) е 5. Во втором случае, р(Х) = р(Т(Х)) для всех матриц X € МП(Я). В третьем случае, если матрица X удовлетворяет свойству “Р, то матрица Т(Х) также удовлетворяет свойству Р. В последнем случае, условие Т(Х)ЯТ(У) следует из условия ХЯУ. Основная задача исследования фробениусовых эндоморфизмов состоит в полной характеризации отображений, сохраняющих 5, р, Р или Р.
Аналогичным образом определяются фробеииусовы эндоморфизмы других линейных пространств.
Задача классификации фробениусовых эндоморфизмов имеет фундаментальное значение в теории матриц. По своей постановке, проблема, сформулированная выше, является обратной классической задаче теории инвариантов, т. е. задаче классификации орбит и инвариантов заданного действия. В нашем случае, требуется восстановить действие по его инвариантам. Оказывается, что уже такого малого количества информации во многих случаях достаточно для характеризации соответствующего отображения. Например, рассмотрим линейное отображение Т : Мп (С) —> М„(С), определяемое формулой Т(Х) = аРХР 1 + и* (Х)В или формулой Т(Х) = аР(1Х)Р'1 -Ь 1;г(Х)£ для некоторой невырожденной матрицы Р £ Мп(С), произвольной матрицы В 6 Мп(С) и ненулевого элемента а 6 С. Прямая проверка показывает, что отображение Т переводит множество нильпотентных матриц в себя. В 1980г. Ховард, см. [147, 202] показал, что отображениями такого вида исчерпываются все биективные линейные преобразования на Мп(С), оставляющие множество нильпотентных матриц неподвижным.
Приложения фробениусовых эндоморфизмов. Первые вопросы, связанные с фробениусовыми эндоморфизмами пространств матриц, были вызваны различными проблемами общей алгебры. Классификация Фробениуса линейных отображений, сохраняющих определитель, потребовалась для нужд теории представлений конечных групп, см. [115]. Теорема Дьедонне о сохранении вырожденности возникла из теории классических групп и квадратичных форм, см. [99]. Далее демонстрируется, что такие задачи естественно возникают в самых разнообразных контекстах.
Методы вычислений. Для данного матричного инварианта структура и количество линейных отображений, его сохраняющих, являются мерой сложности
10
этого инварианта, т. е. они характеризуют и, в некотором смысле, определяют количество арифметических операций, необходимых для вычисления этого инварианта. Действительно, большинство методов вычисления определителя, ранга и других матричных инвариантов основаны на приведении матрицы к некоторому подходящему виду преобразованиями, не меняющими данный инвариант, таким образом, эти методы основаны на применении линейных фробеииусовых эндоморфизмов для данного матричного инварианта. Например, известно, что квадратную матрицу с коэффициентами из произвольного поля можно привести к диагональному виду, где на диагонали стоят только нули и единицы, преобразованием, сохраняющим ранг. Это позволяет найти простой алгоритм вычисления ранга квадратной матрицы порядка п, требующий 0(п3) операций. Аналогичный факт верен и для определителя. С другой стороны, простейший метод вычисления перманента квадратной п х п-матрицы (формула Райзсра) требует (п- 1)(2п — 1) операций умножения. Такое различие в сложности вычислений обусловлено тем, что очень мало линейных отображений сохраняют перманент: единственными линейными отображениями, сохраняющими перманент, являются транспонирование и домноженис на обратимые матрицы Р и С} с двух сторон, где обе матрицы Р и С} являются произведениями диагональной матрицы и матрицы, полученной из единичной, перестановкой строк и столбцов, тогда как в случае линейных отображений, сохраняющих ранг и определитель, Р и С) — почти произвольные обратимые матрицы, см. [202].
Нормированные пространства. Многие задачи математики и ее приложений требуют изучения различных норм на лилейных пространствах. Два нормированных пространства можно идентифицировать, если существует изометрический изоморфизм (изометрия) между ними, т. е. такая линейная биекция соответствующих линейных пространств, что первая норма прообраза равняется второй норме образа. Таким образом, линейные отображения, сохраняющие матричные нормы, могут быть рассмотрены как специальные случаи изометрий. Знание группы изометрий помогает найти изометрические изоморфизмы между нормированными пространствами и, следовательно, распознать различные и совпадающие нормы, см. [202].
Теория групп. В [155, проблема 1] К. Джонсон поставил следующую проблему о групповых определителях. Могут ли две неизоморфные конечные группы иметь одинаковые групповые определители? Ответ на этот вопрос был дан Е. Форманеком и Д. Сибли в [110]. Они показали, что групповой определитель определяет конечную группу с точностью до изоморфизма. Ключевой идеей их доказательства был подъем теоремы Дьедонне о линейных отображениях, сохраняющих вырожденность, на прямое произведение матричных алгебр.
Центральные простые алгебры. Напомним, что если А — центральная простая алгебра размерности п2 над полем К, то функция нормы N{0)
11
(определитель оператора левого умножения х —> ах) всегда удовлетворяет формальному тождеству N(a) = (RN(a))n для подходящей функции RN, называемой редуцированной нормой. Например, на матричной алгебре порядка и редуцированная норма RN(A) совпадает с определителем detA Аналогично предыдущему примеру можно поставить вопрос: определяет ли редуцированная норма центральную простую алгебру с точностью до изоморфизма? Наиболее простой способ доказательства того, что редуцированная норма определяет центральную простую алгебру единственным, с точностью до изоморфизма образом, основан на некотором обобщении теоремы Фробениуса о линейных отображениях, сохраняющих определитель.
Приведенный список приложений не является исчерпывающим. В последнее время важные приложения фробениусовых эндоморфизмов матриц над кольцами и полукольцами возникают, например, в теории оптимального управления. Также существует много матричных отношений, возникающих в теории динамических систем и математической статистике, для исследования которых важна классификация соответствующих им фробениусовых эндоморфизмов.
Актуальность темы исследования. В настоящее время теория фробениусовых эндоморфизмов активно развивается математиками разных стран. Современный уровень развития теории нашел отражение в нескольких тысячах печатных работ в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в том числе, 33-й и 48-й тома журнала “Linear and Multilinear Algebra” (“Линейная и полилинейная алгебра”) целиком посвящены обзору результатов о линейных фробениусовых эндоморфизмах, см. |1б5], в работе многочисленных международных конференций по этой тематике. В частности, в ежегодных конференциях, проводимых международным сообществом линейной алгебры (International Linear Algebra Society), есть отдельная секция, работа которой посвящена фробениусовым эндоморфизмам пространств матриц. Интерес к этой области математики активно поддерживается и усиливается благодаря многочисленным приложениям. Несмотря на большое число давно поставленных, но все еще открытых проблем, в настоящий момент развитие этой области математики достигло того уровня, когда особый интерес представляют уже не столько отдельные результаты, сколько разработка общих методов исследования, особенно в случае матриц над кольцами и полукольцами и в случае нелинейных отображений. Таким образом, тема работы является актуальной.
Цель работы и основные задачи. Цель данной диссертационной работы состоит в создании новых универсальных методов исследования фробениусовых эндоморфизмов, позволяющих решить вопросы характеризации фробениусовых эндоморфизмов, в том числе известные открытые проблемы, и отыскать взаимосвязи между фробениусовым и эндоморфизмами, возникающими в различных областях математики. Основными задачами диссертации являются:
12
решение проблемы Капланского-Уоткинса (1970г.) характеризации линейных отображений, сохраняющих нули матричных многочленов нескольких переменных, в случае полилинейных многочленов; внедрение и развитие метода элементарных операторов, позволяющего сводить нелинейную задачу к нескольким линейным; характеризация сюръективных, возможно нелинейных и даже неаддитивных отображений, сохраняющих нули полилинейных многочленов; характеризация отображений, монотонных относительно регулярных порядков и некоторых порядков, заданных групповой обратной матрицей; изучение аддитивных и линейных фробениусовых эндоморфизмов, связанных с ранговыми свойствами матриц, в частности, с инвариантностью ранга произведения матриц относительно заданной перестановки этих матриц и с граничными равенствами в классических матричных неравенствах для рант произведения матриц — решение проблемы Бисли (1999г.); изучение матричных инвариантов над полукольцами и классификация аддитивных фробениусовых эндоморфизмов матриц над полукольцами; расширение классических теорем Фробениуса и Дьедонне на отображения матриц над полукольцами; характеризация аддитивных фробениусовых эндоморфизмов матриц над полукольцами для комбинаторных свойств матриц, в том числе, регулярности и почти-регулярности турнирных матриц, примитивности наборов матриц; распространение классической теоремы Фробениуса о линейных отображениях, сохраняющих определитель, на матрицы над телами; характеризация линейных отображений пространств многочленов, сохраняющих свойство положительности, неотрицательности или эллиптичности многочлена.
Основные методы исследования. В работе используются классические методы и результаты структурной теории колец, линейной алгебры над полями и кольцами, теории классических групп, метод матричных деформаций, разработанный в кандидатской диссертации автора работы, а также новые методы, в том числе метод элементарных операторов и метод цепей, разработанные автором.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
• Разработка метода элементарных операторов и классификация с его помощью сюръективных отображений матриц над полями, сохраняющих множество Е1улей однородного полилинейного многочлена (теоремы 1.2.1, 1.2.2, 1.2.6, 1.3.3). В частности, получено решение проблемы Капланского-Уоткинса 1976г.
• Классификация адаптивных отображений матриц над нолем, монотонных относительно регулярных отношений частичного порядка (теорема 2.4.2), в том числе,
- минус-порядок,
13
— *-порядок Дрейзина,
— левый и правый *-порядки,
— бриллиантовый порядок,
— порядки, заданные сингулярными значениями матрицы.
• Доказательство биективности ненулевых аддитивных отображений матриц над полем комплексных чисел, монотонных относительно каждого из *-порядков и бриллиантового порядка (теоремы 2.4.5 и 2.4.8).
• Доказательство существования небисктивного ненулевого аддитивного отображения матриц над полем комплексных чисел, монотонного относительно минус-порядка.
• Классификация линейных отображений матриц над полем, монотонных относительно частичного порядка, заданного групповой обратной матрицей, или относительно его обощения, связанного с нильпотентиым разложением матрицы (теоремы 2.3.30 и 2.3.32).
• Характеризация линейных и аддитивных фробениусовых эндоморфизмов матриц над нолями для следующих множеств, связанных с ранговыми свойствами, в том числе, решение проблем Бисли:
— множество матриц, удовлетворяющих граничным равенствам в классических верхних и нижних оценках ранга произведения матриц над полями (теоремы 3.1.5, 3.1.10, 3.1.17 и 3.1.18),
— множество матриц, для которых выполняется свойство инвариантности ранга произведения некоторого набора матриц относительно заданной перестановки матриц внутри набора (теоремы 3.2.13 и 3.2.15).
• Разработка комбинаторных методов линейной алгебры над полукольцами, в том числе,
— введение и сравнение друг с другом комбинаторных ранговых функций, использующихся при изучении неотрицательных матриц, матриц над макс-алгебрами и другими полукольцами (предложения 4.1.68, 4.1.72, 4.1.75 и 4.1.79),
— характеризация линейных отображений матриц над полукольцами, сохраняющих граничные случаи в арифметических неравенствах для факторизационного ранга матриц (теоремы 4.4.3, 4.4.5, 4.4.7, 4.4.9, 4.4.11, 4.4.12, 4.4.15, 4.4.16, 4.4.20, 4.4.21, 4.4.23 и 4.4.26).
— характеризация линейных отображений матриц над полукольцами, сохраняющих нули многочленов (теорема 4.5.17),
14
- структурная характеризация идемпотентиых матриц и матриц, мажорируемых идемпотентной матрицей в смысле минус-порядка (теоремы 5.3.37 и 5.3.49, соответственно),
- характеризация аддитивных отображений матриц над антинегативными полукольцами, сохраняющих примитивные наборы матриц (теорема 5.1.61),
- характеризация аддитивных отображений матриц над антинегативными полукольцами, сохраняющих регулярные и почти-регулярные турнирные матрицы (теорема 5.2.27).
• Аналоги теорем Фробениуса и Дьедонне о характеризации линейных отображений матриц над полями, сохраняющих определитель и множество вырожденных матриц, соответственно, для - матриц над антинегативными полукольцами (теоремы 4.3.2, 4.3.8 и 4.3.10).
• Развитие метода матричных деформаций, классификация с его помощью сюръективных полулинейных отображений матриц над телами, сохраняющих определитель Дьедонне (теоремы 6.3.8 и 6.4.2).
• Исследование линейных отображений конечномерных и бесконечномерных пространств многочленов с вещественными коэффициентами, сохраняющих одно из следующих свойств многочленов: положительность, неотрицательность, эллиптичность. В частности, доказано отсутствие линейных дифференциальных операторов конечного порядка к. сохраняющих каждое из указанных свойств на пространствах многочленов степени большей 2к, получена характеризация линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, сохраняющих эти свойства. Последняя задача восходит к работе Полна и Шура 1914г. (теоремы 7.1.5, 7.1.9, следствие 7.1.6).
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах линейной и полилинейной алгебры, теории колец, математической статистики, вычислительных методов, теории управления.
Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах: кафедральный семинар кафедры Высшей алгебры МГУ; семинар “Кольца и модули” в МГУ; семинар “Избранные вопросы алгебры” в МГУ; семинар “Теория матриц и ее приложения” в МГУ; кафедральный сомина!; кафедры Дифференциальной геометрии и топологии МГУ; семинар Института вычислительной математики РАН; семинар Института проблем управления РАН; семинар проф. Гобера, Эколь Политехник. Париж, Франция, 2006, 2008гг.; семинар “Макс-алгебры”, ШША, Париж, Франция, 2005,
15
2006, 2008гг.; семинар университета г. Стокгольма, Швеция. 2007г.; семинар университета г. Дортмунд, Германия, 2003, 2004, 2005 гг.; семинар университета г. Копенгаген, Дания, 2005г.; семинар проф. Вутковича, универитет г. Бирмингем, Великобритания, 2005г.; семинар проф. Бака и семинар проф. Эльшнера в университете г. Белсфельда, Германия, 2004, 2005гг.; семинар университета г. Падуя, Италия, 2008г.; семинар университета г. Упсала, Швеция, 2007г.; семинар университета, г. Нант, Франция, 2006 г., семинар университета г. Брауншвейг, Германия 2004, 2005гг.; семинар университета г. Тампере, Финляндия, 2004, 2005гг., семинар университета г. Лкжд, Швеция, 2007 г., семинар университета г. Лиссабон, Португалия, 2003; семинар проф. Рана, университет г. Амстердам, Голландия, 2003г.; семинар университета г. Порто, Португалия, 2003; семинар технического университета г. Берлин, Германия, 2005г и др;
на заседании Московского математического общества, 2003г.; на пленарных заседаниях: Международной алгебраической конференции, посвященной
100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Россия, Москва, 2008; 5-ой международной конференции но линейной алгебре, Словения, Любляна, 2008; Международной конференции “Идемпотентная и тропическая математика и проблемы математической физики”, Россия, Москва, 2007; 2-ой международной конференции по матричным методам и операторным уравнениям, Россия, Москва, 2007; Конференции по квазидетерминантам и универсальной локализации, Испания, Барселона, 2007; Международной конференции по теории групп и универсальным алгебрам, Израиль, Иерусалим, 2005; Международной конференции по некоммутативной геометрии, Бельгия, Антверпен, 2004; Международной алгебраической конференции, Россия, Москва, 2004; ХИ-оЙ международной конференции по матрицам и статистике, Германия, Дортмунд, 2003; 3-ей международной конференции по линейной алгебре, Словения, Блед, 2003; на многочисленных секционных докладах на конференциях, в том числе, на всемирных конгрессах математиков в Пекине в 2002г. и Мадриде в 2006г.; на регулярных конференциях, проводимых международным сообществом линейных алгебраистов в 2006, 2004, 2001гг.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 30 статьях, список которых приведен в автореферате и в диссертации. Тезисы докладов не включены в этот список.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав, разбитых на параграфы, (нумерация параграфов подчинена нумерации глав, нумерация теорем подчинена нумерации параграфов), списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Полный объем диссертации 321 страница, библиография включает 246 наименований.
Краткое содержание работы.
Глава 1 посвящена решению следующей проблемы Капланского-Уоткинса (174,
16
233, 234] 1976г.:
Пусть р(а?ь..., хк) — произвольный элемент свободной ассоциативной алгебры степени ск^р > 1 над алгебраически замкнутым нолем № нулевой характеристики и пусть Т : Мп(¥) Мп(¥) —- возможно, линейное, отображение пространства
п х п-матриц с элементами из поля Р. Предположим, что для любого набора матриц (А\,... ,Ак), удовлетворяющего условию р(А\,...,Ак) = 0, справедливо р(Т(Л.1),.. .}Т(Ак)) = 0. Требуется доказать невырожденность таких отображений и/или охарактеризовать их структуру.
В представленной диссертационной работе проблема решена для произвольных однородных полилинейных многочленов с ненулевой суммой коэффициентов и однородных полилинейных многочленов с нулевой суммой коэффициентов специального вида, исключающего полиномиальные тождества матричной алгебры. Для решения этой проблемы предложен новый метод — метод элементарных операторов, позволяющий получить ответы на оба вопроса сразу: доказать невырожденность рассматриваемых операторов и получить их общий вид, причем ответить на вопрос в более общей постановке, а именно, отказаться от требования линейности рассматриваемых отображений. Также преимуществом предложенного метода является то, что он работает над полем произвольной характеристики, отличной от двух, и применим не только к полной матричной алгебре, но и ко многим ее подмножествам.
Зафиксируем произвольный однородный полилинейный многочлен р(х 1,..., хк) := 53 1) • ■ • Хо{к), € Р, удовлетворяющий условию £ аа ф 0,
<765*:
здесь и далее — группа перестановок, действующая на множестве {1,..., к}.
Основным результатом главы 1 является следующий.
Теорема 5. (Теорема 1.2,1) Пусть ¥ — алгебраически замкнутое поле, сЬагР ф 2, п > 4; к > 3. Предположили, что сюръективнос огпобрасисение Т : МП(Е) —> Мп(¥) строго сохраняет пули многочлена р{х\,... ,хк), т.е. р(А\,...,Аь) = 0 тогда и только тогда, когда р(Т(Л1),... ,Т(Ак)) = 0. Тогда существуют такие изоморфизм поля : 1? —> ¥, функции у : Мп(Т)\{0} —» ¥*, где ¥* = Р\{0}; и ц : Мп(¥) —>¥, а также обратимая матрица 5, что
(1) Т(А) — 7(Л) БА^Э^1 4- р[А) I для всех А € Мп(¥) или
(и) Т(А) = ч{А) Б (А*)15-1 + ц(А)1 для всех А € Мп{¥), здесь
через XV обозначена матрица, элементы которой получаются применением автоморфизма к элементам матрицы X, через X1 — транспонированная матрица, через I — единичная матрица.
Теорема 5 решает проблему Каплаиского-Уоткинса, см. [174, 233, 234|, для отображений, строго сохраняющих нули однородных полилинейных многочленов с ненулевой суммой коэффициентов. В конце главы 1 приведены примеры, показывающие существенность предположения о строгом сохранении нулей
17
многочлена как для доказательства невырожденности, так и для характеризации рассматриваемого отображения.
Однако предложенный метод позволяет в ряде случаев отказаться от некоторых введенных ограничений. Для многочленов специального вида удалось избавиться от предположения сюръективности отображения Т и доказать следующее утверждение:
Теорема 6. (Теорема 1.2.6) Пусть для многочлена р справедливо, что матрица
обратима в М*( ВТ). Допустим, что в предполоо/сепиях теоремы 5 несюръективное отобрао/сение Т : Мп(¥) —> Мп(F) строго сохраняет пули многочлена р. Тогда заключения (i), (ii) справедливы, однако, гомоморфизм поля tp : F —> F может не быть сюръсктивным.
В случае к = 2 отображение Т может не иметь определенной структуры: например, для многочлена р == х\х% любое отображение, действующее произвольной перестановкой на множестве обратимых матриц, строго сохраняет нули р. Однако на множестве матриц ранга 1 предложенный метод позволяет получить следующую характеризацию:
Теорема 7. (Теорема 1.2.2) Пусть F = F, n > 3, к > 2. Предположим, что сюръективпое отобрао/сение Т : Afn(F) -> Mn(F) строго сохраняет пули многочлена p(rci,..., Xk), т.е. р(А\, ..., А^) = 0 тогда и только тогда, когда p(T(i4j),... ,T(Ak)) = 0. Тогда существуют автоморфизм поля <р : F —» F, функция 7 : Mn(F)\{0} -»F* и обратимая матрица S G Mn(F) такие, что:
Т(А) — 7(Л) SAvS~l для всех матриц А ранга 1 или
Т(А) = 7(Л) S (А^У 5“1 для всех матриц А ранга 1.
В частности, в случае аддитивного отображения Т получаем:
Следствие 8. (Следствие 1.2.7) Пусть F = F, n > 3, к > 2, Т : Мп(F) -> Мп{F) — аддитивное биективное отобрао/сение, сохраняющее пули многочлена р(х\,..., ац). Тогда существуют элемент 7 G F, обратимая матрица S G Mn(W) и автоморфизм поля <р : F —>■ F, такие, что Т(А) = 7SA^S'1 для всех A G Mn(F) или Т(А) = 7S(Av>)tS~1 для всех A G Mn(F).
Следующее утверждение отвечает на вопрос Капланского о невырожденности рассматриваемых отображений для многочленов с ненулевой суммой коэффициентов, см. [174], где получен ответ на этот вопрос в случае п = 1:
Следствие 9. (Следствие 1.2.8) В условиях теоремы 5 или теоремы 7 отобрао/сение Т невырождено, т.е. имеет нулевое ядро.
18
Замечание 10. Все приведенные результаты доказаны в диссертационной работе также при более слабых ограничениях па отобраэюеиия, а именно, для отобраэ/сений Т : 2) і —> где 5)1,2)2 С Мп (Р) — произвольные подмпооюества, као/сдое из которых содержит все матрицы ранга 1 и все идемпотенты ранга п —
1. В этом случае заключение имеет место для всех матриц А Є 511 (кроме теоремы 7, где заключение верно только для матриц ранга 1).
Для многочленов с нулевой суммой коэффициентов ситуация усложняется тем, что среди таких многочленов содержатся тождества матричной алгебры, сохранение нулей которых не накладывает никаких ограничений на отображение Т. Например, согласно теореме Амицура-Левицкого, см. [25], многочлен
тождественно равен нулю на МЛ(Р), значит, его нули сохраняются всеми отображениями. С другой стороны, строение идеала тождеств матричной алгебры при п > 2 — открытая проблема, см. [103, проблема 3.2.1], поэтому не существует конструктивного способа исключить из рассмотрения все тождества. В связи с этим в диссертационной работе рассмотрен более узкий класс однородных полилинейных многочленов, где суммирование ведется но следующему множеству допустимых перестановок:
Определение 11. Пусть к > 2. Множество перестановок 3 С 5* называется допустимым, если выполнены следующие условия: (\) существует такое t Е {1 что каждая перестановка а € Е фиксирует первые 2 — 1 элемент, но
(т{{) ф (11) существуют такие числа ги,и,и Е {1,..., А:}, и < у, что а(ги) = V и о (и) + 1) = и для всех <7 € Н.
Например, для любой перестановки а ф гф множество Н :=- {сг} является допустимым. Также допустимо множество всех перестановок из 5*, переставляющих 1 и 2.
Применение разработайного метода позволяет получить следующий результат, решающий проблему Капланского-Уоткинса для биективных отображений, сохраняющих нули однородных полилинейных многочленов с нулевой суммой коэффициентов, задаваемых допустимой перестановкой.
Теорема 12. (Теорема 1.3.3) Пусть Л? — произвольное поле и |¥| > 2, п > 3, к > 2 — целые числа. Пусть 3 С 5* — фиксированное допустимое множество перестановок,
Тогда произвольное биективное отображение Т : Мп (ІР) МП(1Р), сохраняющее множество нулей р, сохраняет коммутативность.
19
В работе доказано также следующее уточнение теоремы 12:
Теорема 13. (Теорема 1.3.3, следствия 1.3.5 и 1.3.6) 1. Пусть два однородных полилинейных многочлена
Р1(^*1. • • • > •£&) ' Хк ^ ^ ОДг£<г(1) • • • ха^, 01а Е ,
<т€Е
р2(^Ь • • • > -= ' * * % к / ] (За%а( 1) ’ * * Дт ^ ^
аеН
удовлетворяют условию 53 сха — 1 = ^ Д** Тогда произвольное биективное
<?£— <т£“.
отображение Т : Мп (Р) -> Мп(Щ, переводящее мпоо/сестоо пулей р! в
мнооюсство нулей р2, сохраняет коммутативность.
2. При дополнительном предполооюении Т(1) ф 0 заключение теоремы 12 справедливо такоюе и в случае = Ъ^.
3. При к > 3 и при условии, что рДЛь..., Ак) = 0 тогда и только тогда, когда р2(Т(Л1),... ?Т(Л^.)) = 0, заключение теоремы 12 справедливо даже без требования ишективпости Т.
Последний пункт приведенной теоремы решает проблему невырожденности рассматриваемых отображений для многочленов с пулевой суммой коэффициентов.
В аддитивном случае получается следующий результат:
Следствие 14. (Замечание 1.3.7) Пусть Р — произвольное поле с |0?| > 2, п > 3, к >2 — целые числа. Пусть Е С б* — фиксированное допустимое мнооюсство перестановок, а многочлены
р! (Х1,...,хк) =®1 •... -Хк - • £<,(*), ас 6 Ш',
а€Н
Р2(Ж1, • • • ,®к) = XI ■ ... Хк ~ ' ' ' ' ’ *»(*)> Ра £ Р,
сг€Е
удовлетворяют условию 53 а<7 = 1 = 53 Д?* Тогда биективное аддитивное
огпобраэ/сепие Т : Мп(?) —> Мп(№), переводящее мпооюество пулей многочлена р1 в мпоэюество нулей многочлена р2 имеет вид Т(А) = 7 + /(Л)1 или
Т(А) = 7 Б (А4*)1 Б~1 / (А) I, где 76?, — автоморфшзм, / : МП(Р) —> F
— аддитивная функция, 5 Е Мп{F) — обратимая матрица.
В параграфе 1.4 построены примеры, демонстрирующие существенность условий теорем 5 и 7, а значит, показывающие, что результаты главы 1 неулучшаемы.
Предложенный в данной диссертационной работе метод элементарных операторов возможно применить также для классификации фробениусовых
20
эндоморфизмов относительно неоднородных многочленов специального вида, а также для классификации фробениусовых эндоморфизмов пространств симметрических, эрмитовых, треугольных матриц и др.
В главе 2 исследуются линейные и аддитивные отображения, монотонные относительно регулярных частичных порядков на матричной алгебре и частичных прорядков, заданных групповой обратной матрицей, т.е. отображения, сохраняющие эти порядки. В частности, доказано, что аддитивные, монотонные относительно порядка Дрейзина, отображения автоматически биективны.
Введено общее определение регулярного порядка.
Определение 15. Порядок -< на Мтп(¥) называется регулярным, если:
(1) порядок ■< унитарно инвариантен;
(й) порядок -< слабее порядка Дрейзина;
(111) если А < В. то гк А < гк В;
ру) если А -< В и ткА = ткВ, то А = В.
Разработан метод целей, позволяющий классифицировать все аддитивные фробениусовы эндоморфизмы, монотонные относительно регулярных порядков, и доказана следующая теорема.
Теорема 16. (Теорема 2.4-2) Пусть -< — регулярный частичный порядок. Предполоо/сим, что Т : МШ|П(Р) —> Мт|П(Р) — аддитивное отобраэюение, монотонное относительно порядка Тогда Т имеет одну из следующих (форм:
1) Т([х{Л) = Р[Ф(х^)\(Э для всех X = [х^] £ Мт>п(¥), где ф : ¥ -+ ¥ — эндоморфизм поля, Р, С) — обратимые матрицы подходящих размеров,
2) если т = п, Т([жу]) = Р[Ф(^)]ЬЯ для всех X = где ф :
¥ —> 1Р — эндоморфизм поля, Р,() £ СЬп(¥) — группа обратимых п х п матриц с элементами из Р.
3) Т([х^]) = 0 для всех X = [ж^-] € ЛГШ>П(Ж).
В некоторых случаях эту теорему удается значительно усилить, в частности,
а) описать те и только те отображения, которые монотонны относительно рассматриваемого отношения частичного порядка;
б) доказать автоматическую биективность ненулевых монотонных отображений. Например, получены следующие результаты:
Теорема 17. (Теорема 2.4-6) Аддитивное преобразование Т : Мп(<£) —> Мп{С) монотонно относительно порядка Дрейзина тогда и только тогда, когда Т = О или существуют и, V £ С/п(С) и 0 ^ а £ С, такие, что Т имеет одну из следующих форм:
1) Т([а^]) = ск1}[х{^]У для всех X = [жщ-] £ Мп(С),
21
2)Т([хі^]) — аи[хї^]У для всех X = [ггщ-] Є Мп(С), здесь и далее х обозначает комплексно-сопряженное число для х £ С,
3) Т([х^]) = аЩх^]1У для всех X = [ж^] Є Мп(С),
4) ТЫ) = схЩЩ^У для всех X = [хц] Є Мп(С).
В этом, как и в следующем, случае, так как матрицы 17 и V обратимые, легко видеть, что ненулевое отображение автоматически биективно.
Теорема 18. (Теорема 2.4.8) Аддитивное преобразование Т : Мп(С) —> МП(С)
о
является монотонним относительно <-порядка тогда и только тогда, когда либо Т = 0, либо существуют матрицы 17, V £ Пп(С) и 0 ф а Є С, такие, что Т имеет одну из следуют,их форм:
1) Т([ж,^]) = а17[х^]У для всех X = [жг-^] Є Мп(С),
2) Т([ж^-]) = схи\х^]У для всех X = [х^-] £ Мп(С),
3) Т([х,^-]) = аЩхі.^У для всех X = [хг-і;] Є Мп{С),
4) Т([хіЛ) = для всех X = [хг-Д Є Мп(С).
Существуют ненулевые небиективные аддитивные отображения, монотонные относительно мипуе-норядка. Однако из теоремы 16 следует, что ненулевые линейные отображения монотонные относительно любого регулярного порядка являются биективными автоматически.
Для нерегулярных порядков метод цепей не работает. Однако в случае порядков, порожденных групповой обратной матрицей, удалось установить связь между монотонными отображениями и отображениями, сохраняющими одновременную диагонализуемость наборов матриц, к которым применим метод цепей. В итоге, для монотонных отображений получена следующая характеризация.
Теорема 19. (Теорема 2.3.30) Пусть — произвольное поле, п > 3. Линейное
$
биективное отоираоїсепие Т : Мп(¥) —> Мп(¥) мопотоушо относительно < (или
СП
< )-порядка тогда и только тогда, когда существует матрица Р £ СЬп (Т) и ненулевой элемент а Є Е, такой, что Т имеет вид Т(Х) = аРХР~1 для всех матриц X Є Мп(¥) или Т[Х) — аРХ1Р~1 для всех матриц X Є МП(Р).
Развивая далее введенный метод, удалось еще усилить эту теорему, заменив условие биективности на условие строгой монотонности:
Теорема 20. (Теорема 2.3.32) Пусть Р — произвольное поле, п > З, Т : Мп(¥) -*• Мп(¥) — линейное отпобраоїсение. Огпобраэюение Т строго монотонно 3 СП
относительно < (или < )-порядка тогда и только тогда, когда существует матрица Р Є СЬп(¥) и ненулевой элемент а Є ^ такой, что Т имеет вид Т{Х) = аРХРдля всех матриц X Є Мп(¥) или Т(Х) = аРХ1Р~1 для всех матриц X £ Мп(Щ-
22
Аналогичный результат получается для отображений Т : Мп(F) —> Mn(F),
J СП
удовлетворяющих условию: А < В => Т(А) < Т(В).
Замечание 21. Заметим, что не существует биективных линейных
СП
отображений Т : Mn(F) —»■ Mn(F), удовлетворяющих условию: из А < В
jj
следует, что Т(А) < Т(В).
Отметим также, что существуют примеры “нестандартных” линейных
$ СП
биективных фробепиусовых эндоморфизмов для < и < порядков, если |F| = тг = 2:
Пример 22. При |F| = п = 2 существуют биективные линейные отображения, монотонные относительно рассматриваемых порядков, но не являющиеся композицией подобия и умножения на скалярные матрицы. Примером может служить отображение, задаваемое так: Т(Ец) = Ец, T(Eij) — I + Еу.
Глава 3 посвящена изучению аддитивных и линейных отображений матриц над полями, сохраняющих различные свойства матриц, определяемые в терминах функции ранга. Обозначим
Qi = {(Л, В) | rk (А + В) = rk (А) + rk (В)};
Q2 = {(А, В) | rk (А + В) = |rk (Л) - rk (5)|};
Q3 = {{А, В) | rk (АВ) = min{rk (А), rk (В)} };
Q4 = {(А, В) | rk (АВ) = rk (X) + гк (В) - п}; и
25 = {(А, В, С) | rk (АВ) + гк (ВС) = гк (ABC) + rk (В)}.
В 1999г. вопрос характеризации фробениуеовых эндоморфизмов для каждого из перечисленных множеств был сформулирован в докладе Л. Бисли на конференции “Linear Preserve Workshop” в Лиссабоне (Португалия). Поскольку задачи изучения линейных и аддитивных отображений, сохраняющих Q\ или Й2> легко сводятся к задачам изучения линейных, соответственно, аддитивных, отображений, сохраняющих вычитаемость ранта, или, что тоже самое, минус-порядок, которые были решены в главе 2 представленной диссертационной работы, параграф 3.1 посвящен исследованию операторов, сохраняющих множество Q3, Q4 или Qr0. Кроме того, в параграфе 3.2 рассмотрены семейства матриц, для которых справедливо свойство перестановочности ранта произведения матриц.
Основными результатами этой главы являются следующие.
Теорема 23. (Теорема 3.1.5) Если F — произвольное поле, иТ : Мп(F) —> Мп(F) — обратимое линейное отображение, то отобраоюение Т сохраняет множество 23 тогда и только тогда, когда Т(Х) = аРХР~г для некоторой обратимой матрицы Р € Mn(F) и ненулевого скаляра а € F.
23
Также приведены примеры, демонстрирующие существование большого класса несюръективных линейных фробениусовых эндоморфизмов ДЛЯ <2з.
Теорема 24. (Теорема 3.1.10) Пусть Ш* — произвольное поле. Тогда линейное биективное отобраоїсение Т : Мп{¥) —> Мп(¥) сохраняет множество 24 в том и только том случае, когда Т(Х) = аРХР~} для некоторой обратимой матрицы Р Є Ми(¥) и ненулевого скаляра ос Є Р.
Более того, доказано, что если поле ? алгебраически замкнуто, то фробениусовы эндоморфизмы для 24 являются автоморфизмами.
Теорема 25. (Теорема 3.1.17) Пусть Е — произвольное поле и отображение Т : Мп (ІР) —>■ Мп (Т) является биективным и линейным. Тогда Т сохра'няет множество 2о в том и только в том случае, когда Т(Х) = аРХР~г для некоторой обратимой матрицы Р Є Мп(¥) и ненулевого скаляра абР.
Следующее утверждение показывает, что при некоторых дополнительных ограничениях па основное поле, ненулевые линейные фробениусовы эндоморфизмы ДЛЯ 2з биективны.
Теорема 26. (Теорема 3.1.18) Пусть поле У содержит, по крайней мере, три элемента, и Т : Мп (Т) —> Мп (Т) — линейное отобраоїсение. Тогда отобраоїсение Т сохраняет множество 2у о том и только том случае, когда Т(Х) = аРХР~1 для некоторой обратимой матрицы Р Є Мп(¥) и скаляра ос Є Р.
Используя также идеи, предложенные в параграфе 1.3 главы 1, удалось охарактеризовать фробениусовы эндоморфизмы и для перестановочности ранга произведения матриц.
Теорема 27. (Теорема 3.2.13) Пусть ]Р — произвольное поле нулевой характеристики, п,к > 2 — целые числа и а Є 5* — фиксированная
петооісдественнал подстановка, отобраоїсение Т : Мп (Т) —» Мп (Л?) является
аддитивной биекцией. Тогда Т переводит набор матриц, удовлетворяющий соотношению
гк {Аі ■ ■ ■ Ак) = гк (Аат ■ ■ ■ Аа(к)), (*)
о набор матриц, удовлетворяющий этому оісе соотношению, в том и только
том случае, когда существует матрица Р Є СЬП(У), ненулевой скаляр а Є ¥, и автоморфизм поля ф :¥ —> ¥, такие, что Т имеет одну из следующих форм:
Г (А) = аРАфР~1 для всех А Є Мп(¥)
или, в случае, <т(г) = к — і 4-1 для всех і, 1 < г < к,
Т(А) = аР{АФуР~1 для всех А Є Мп(¥).
24
В этом случае также удается отказаться от требования биективности, но для этого необходимо, чтобы отображение Т строго сохраняло отношение (*), т.е. переводило в себя как множество наборов матриц, удовлетворяющих (*), так и его дополнение. Отображение линейных пространств называется почти-сюръективпым, если линейная оболочка его образа совпадает со всем пространством-образом. Для аддитивных почти-сюръективных отображений получено следующее усиление теоремы 27:
Теорема 28. (Теорема 3.2.15) Пусть F — произвольное поле, charF = 0, п > 2у и Т : Mn(F) —> Mn(W) — почти-сюръективпое аддитивное преобразование. Отображение Т строго сохраняет отношение (*) тогда и только тогда, когда существует матрица подобия Р £ GLn(F), ненулевой скаляр ос 6 F, и ненулевой гомоморфизм полей ф : F ч> F, такой, что Т имеет одну из следующих (форм:
Т(А) = аРАфР~1 для всех А € Мп(F) vau, в случае <7 (г) = k — i + 1 для всех г, 1 < * < к,
Т(А) = аР(Аф)1Р_1 для всех А 6 Mn(F).
Отметим, что инъективность отображения Т следует автоматически из того, что Т строго сохраняет отношение (*), поэтому в линейном случае требование иочти-сюръективности оказывается излишним. Показано, что накладываемые ограничения неулучшаемы, в частности, приведены примеры почти-сюръективных аддитивных отображений, нестрого сохраняющих отношение (*), для которых заключение теоремы 28 не выполняется.
Главы 4 и 5 посвящены изучению фробениусовых эндоморфизмов матриц над полукольцами. При переходе от полей к полукольцам многие классические матричные инварианты теряют смысл, а эквивалентные над полями определения, например, различные определения ранга матриц, перестают быть эквивалентными. Многочисленные приложения линейной алгебры над полукольцами требуют изучения разнообразных матричных инвариантов. В начале главы 4 приведены наиболее часто используемые определения линейной независимости и матричных инвариантов над полукольцами, изучены их свойства. Доказана следующая теорема, описывающая связи между различными ранговыми функциями матрицы над макс-алгеброй.
Теорема 29. (Предложения 4-1.68, 4-1 -72, 4-^75 и 4-1-79) Основные ранговые функции матриц над макс-алгеброй удовлетворяют следующим неравенствам} приведенным в виде диаграммы, на которой пути соединяют сравнимые величины и из двух ранговых функций, соединенных ребром, больше та, которая располооюена выше. Отметим, что все приведенные неравенства являются строгими.
25
слабый тг\(А) строчный ранг
строчный г [А) = вг(А) и обертывающий строчный ранги
тщ(А) слабый
столбцовый ранг
1,(А) граничный ранг
с(Л) = .9с(Л) столбцовый и
обертывающий столбцовый ранги
/(А) факторизационный ранг
в
сильный строчный ранг тпгз(А) = 1гор(А) тропический ранг
Приведенная теорема полностью решает вопрос сравнения различных функций ранга для матриц над полукольцами. В качестве приложения эта теорема позволяет оценивать такие трудно-вычислимые комбинаторные инварианты, как факторизационный ранг и ранг Гондрана-Мину, через ранговые функции, которые считаются сравнительно легко. На основе выявленных связей между ранговыми функциями доказаны следующие аналоги теорем Фробениуса и Дьедонне.
Чтобы их сформулировать, приведем определения вырожденности над полукольцами, поскольку эти понятия не являются общеизвестными. Пусть £ — полукольцо, через 5” обозначим иолумодуль столбцов длины п с элементами из «5.
Определение 30. Матрица А Є Мтп(8) называется 6-вырожденной, если Ах =
(1е1 (А) детермипантный ранг
строчный ранг тг^А)
смысле
тс2(А) столбцовый ранг в смысле Гондрана-Мину
26
О или хА = 0 для некоторого ненулевого вектора х Є £п. Матрица А Є Мтп(3) называется Я-невырожденной, если она не является 5- вырожденной.
Определение 31. Если 5 подполукольцо некоторого коммутативного кольца Я, то матрица А Є Мтп(3) называется Я-вырожденной, если Ах = 0 или хА = О для некоторого ненулевого вектора х Є Яп. Матрица А Є Мтп(£) называется И.-невырожденной, если она не является Р-вырожден ной.
Определение 32. Преобразование Т называется (Р, С), В)-оператором, если существую'!’ перестановочные матрицы Р и С) и матрица В без нулевых элементов, такие, что Т(Х) = Р(Х о В)С) для всех X Є МтуП(5) или, если т = п, Т(Х) = Р(Х о £)*ф для всех X Є МщуП(Е); (Р, (5, В)-оператор называется (Р, <2)-оператором, если В = 3, здесь и далее через 3 обозначена матрица, все элементы которой равны единице.
Теорема 33. (Теорема 4.3.2) Пусть Т : Мп(«5) —> Мп(Б) — аоръективный линейный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. Оператор Т сохраняет- множество «5-вырожденных матриц.
2. Оператор Т сохраняет множество 5-певыроэюденпых матриц.
3. Оператор Т — (Р, С), В)-оператор и элементы матрицы В обратимы в полукольце
Теорема 34. (Теорема 4-3-10) Пусть Т : Мп(5) -» Мп(с>) — сюръективпый линейный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. Оператор Т сохраняет миоэ/сество Я-вырождеппых матриц.
2. Оператор Т сохраняет мнооісество Я-невыроо/сденных матриц.
3. Оператор Т имеет вхід Т(Х) — РВХЕС) для всех X Є Мп(3) или Т(Х) = РОXіЕС) для всех X Є Мп(6), где Р и С) ~ некоторые матрицы перестановки, В и Е — обратимые диагональные матрицы.
Здесь матрицы Р, О определены единственным образом, а матрицы В, Е определены единственным, с точностью до обратимого скалярного множителя, образом.
Теорема 35. (Теорема 4-3.8) Пусть отображение Т : Мп($) —> Мп(5) является сюръективным и линейным. Тогда би-определитель (||Т(ЛГ)||+, ||Т(Х)||“) =
(||Х||+, ||Х||_) для всех X Є Мп(6) в том и только том случае, когда отобрао/сепие Т имеет вид Т(Х) = РВХ ЕС) для всех X Є МП(Р) или Т(Х) = РВХ*ЕС) для всех X є Мп(<!>), где Р и С) — некоторые матрицы перестановки одинаковой четности, В и Е — обратимые диагональные
27
матрицы, удовлетворяющие условию (||£>.Е||+, ||jDi£||“) = (1,0). Матрицы
Р, Q определяются единственным образом, а матрицы D, Е определены единственным образом с точностью до обратимого скалярного множителя.
Определитель является многочленом от элементов матрицы. Перейдем к рассмотрению фробениусовых эндоморфизмов для многочленов от матриц. Остановимся на случае собственных многочленов, т.е. представимых в виде произведения длинных коммутаторов.
Теорема 36. (Теорема 4-6.17) Пусть атпинегативпос полукольцо S содержит полукольцо неотрицательных целых чисел Z+,
fix 1, . . . , Xmf) = [[... [[^i, xf\, £3],. . .], ***[[••• ®m*_i+2]) • • •]>
многочлен с целыми коэффициентами, f+(x — многочлен,
состоящий из всех мономов с полоэюитслъными коэффициент.ами, входящих в многочлен /, f-{x\,... — многочлен, состоят,ий из всех мономов
многочлена /, имеющих отрицательные коэффии.иепты,
v(Pmi = ,xmk)e{Mn(S))m*\u(xu... ,xmt) =
T : Mn(S) —> Mn(S) — биективное линейное отображение. Пусть отобраэюение Т сохраняет мноо/сество V(Pmij...>mJ- Тогда существует матрица перестановки Р Е Mn(S), такая, что Т(Х) = РХР~г для всех X Е Mrl(S) или Т(Х) = РХ1Р~1 для всех X Е Mn(S).
В главе 5, на основе развитой в предыдущей главе техники, характеризуются аддитивные отображения матриц над полукольцами, сохраняющие комбинаторные свойства матриц, а именно, примитивность наборов матриц для отображений декартовой степени пространства матриц в себя и свойство матрицы быть регулярной (почти-регулярной) турнирной матрицей.
Пусть Mk(S) = Mn(S) х ... х Mn(S), Мп(В/°) обозначает множество матриц
к раз
с нулевой диагональю над бинарным булевым полукольцом.
Для примитивных наборов матриц доказана следующая характеризация фробениусовых эндоморфизмов:
Теорема 37. (Теорема 5.1.61) Пусть 2 < к < п иТ : Mk(S) —> Mk(S) является сюръективпым аддитивным отобрао/сением, которое сохраняет примитивность наборов матриц, тогда найдутся матрицы перестановок P,Qi,i = 1 перестановка g : {1,2,..., А:} —> {1,2и матрицы Д Е Mn(S),i = 1, все элементы которых являются ненулевыми, такие, что Т(Х^) =
[Р(Х оКо Вг)Р‘ Q,(X О / О Яг)£')И>0) дм ecex г = 1,..., к или Т(Х^) = \p(XtoKoBr)Pt + Qr(.XoIoBr)Qtr)Wr)) для gccx г — 1 где [Х^) € М*(5)
обозначает набор матриц, в котором матрица X Е Mn(S) располоо/сепа в г-той позиции, а матрицы во всех остальных позициях нулевые.
28
Для регулярных (почти-регулярных) турнирных матриц доказано, что, если п > 3 и Г: МП(В)(°) —> МП(В)^ является сюръективным аддитивным отображением, которое сохраняет регулярные турнирные матрицы, в случае нечетного гг, и почти-регулярные турнирные матрицы, если п — четное число, то отображение Т является (Р, ./^-оператором (см. теорему 5.2.27).
Глава 6 посвящена полулинейным отображениям, сохраняющим неко м му тати вн ы й оп редел ител ь.
В этой главе модифицирован метод матричных деформаций, ранее использовавшийся только для изучения фробениусовых эндоморфизмов матриц над полями. Предложенное развитие метода матричных деформаций позволило в случае матриц над некоммутативными кольцами свести задачу характеризации полулинейных отображений, сохраняющих вырожденность, к задаче характеризации полулинейных отображений, сохраняющих ранг один, решенной в работе Хуа |150] в 1951г., и получить следующий некоммутативный аналог теоремы Дьсдонне:
Теорема 38. (Теорема 6.3.8) Пусть Р — тело, являющееся К-алгеброй над некоторым полем К, отличным от В2.
Рассмотрим биективное, о-полулинейное над К отобрао/ссние Т : Мп(Б) —> Мп(П), взаимооднозначное на множестве выроо/сденных матриц.
Тогда отображение Т имеет вид Т(Х) = РХ^С^ для всех матриц X Е Мп(В) или имеет вид Т{Х) = Р{Х^)10 для всех матриц X Е Мп(П). Здесь Р, (5 Е 6гТп(1)), д — автоморфизм в первом случае или анти-автоморфизм — во втором — тела V, а-полулинейный над К, причем матрицы Р и() определены единственным, с точностью до обратимого скалярного мноо/сигпеля, образом, д единственен с точностью до внутреннего автоморфизма тела И.
В качестве следствия из этой теоремы получен также аналог теоремы Фробениуса для матриц над телом:
Теорема 39. (Теорема 6.4-2) Пусть В — тело, являющееся алгеброй над некоторым полем К, отличным от ?2. Пусть Т : Мп(В) —> Мп(В) — о-полулинейиое над К отображение, сохраняющее определитель Дьедонпе. Если О является бесконечномерным расширение. К, прсдполоо/сим, что отобрао/ссние Т является сюръективным.
Тогда отображение Т имеет такой о/се вид, как в теореме 38, причем с1е1 (Р<3) = I.
Фробениусовы эндоморфизмы изучаемого пространства в большой степени играют роль его симметрий. Итогом исследований, представленных в предыдущих главах, является характеризация ряда фробениусовых эндоморфизмов пространства матриц. В частности показано, что пространство матриц допускает
29
достаточно большое семейство таких симметрий. В главе 7 на примере пространства многочленов продемонстрировано, что в других классических линейных пространствах ответ может быть принципиально другим. Как соответствующие результаты, так и методы доказательства, требуют матричного подхода и формулируются в матричных терминах.
Рассматриваются следующие типы многочленов от одной переменной:
Определение 40. Многочлен р(х) Є Е[я] называется
- гиперболическим, если все его корни являются вещественными;
- эллиптическим, если он не имеет вещественных корней;
- положительным, если р(х) > 0 для всех х Є Е;
- неотрицательным у если р(х) > 0 для всех х Є Е.
В главе 7 исследованы линейные операторы на пространстве всех многочленов с вещественными коэффициентами, которое обозначается через М[аф или на пространстве многочленов степени не выше ті с вещественными коэффициентами, обозначается Еп[аф которые сохраняют один из классов многочленов, введеных выше. А именно, мы будем называть линейный оператор, действующий на пространстве К[х] или Еп[ж], отображением, сохраняющим гиперболичность, эллиптичность, положительность, неотрицательностъ, если оно сохраняет множество гиперболических, эллиптических, положительных, неотрицательных многочленов, соответственно. Проблема характеризации фробениусовых эндоморфизмов пространства многочленов восходит к работе Полиа и Шура [205] 1914г. В частности, в этой работе ими доказана следующая характеризация диагональных линейных отображений, сохраняющих гиперболичность:
Теорема 41. [205] Пусть А : N —> Е — последовательность вещественных чисел, линейный оператор Т : Е[г] -» Е(г] задан на стандартном базисе пространства
ос
многочленов формулой Т(г/:) = Х^гк. Обозначим, Ф(г) = £ ті** — производящая
к=о
функция последовательности {Ад-}. Тогда следующие условия эквивалентны:
• Т сохраняет, гиперболичность,
• Ф(г) определяет целую функцию, являющуюся пределом, равномерным на компактных подмножествах,последовательности многочленов, все корпи которых являются вещественными числами одного знака,
• Ф(^) или Ф(—г) — целая функция, которую можно записать в виде Сгпеаг Пїь:і(1 + <***)> гдеп Є N. С € Е, а, а* > 0, 5^=1 а* < оо,
• \/п > 0 мпого'член Т ((г + 1)п) гиперболичен и его пули имеют один знак.
В дальнейшем это направление интенсивно развивалось. Изложение современного состояния вопроса и существенные обобщения теоремы Полиа-Шура можно найти в работах (61, 62, 63, 90, 91].
30