Оглавление
Обозначения ...................................................... 3
Введение ......................................................... 4
ГЛАВА I. Функция Эйлера и числа, свободные от к-ых степеней 16
§1. Вспомогательные утверждения........................... 16
§ 2. Суммирование значений функции Эйлера на множестве
натуральных чисел, свободных от к-ых степеней........... 21
§ 3. Суммирование значений функции Эйлера на множестве
пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое от /-ЫХ
степеней................................................ 26
§ 4. Суммирование значений произведения функций Эйлера
<р(п) и #>(п+1) на множестве натуральных чисел «,
свободных от А>ых степеней.............................. 36
§ 5. Суммирование значений произведения функций Эйлера
(р(п) и (р{п+1) на множестве пар последовательных натуральных чисел п и и+1, одно из которых свободно от
к-ых степеней, другое от /-ых степеней.................. 43
ГЛАВА II. Функция суммы делителей натурального числа и числа,
свободные от к-ых степеней.............................. 54
§ 1. Вспомогательные утверждения............................ 54
§ 2. Суммирование значений функции суммы делителей
натурального числа на множестве натуральных чисел,
свободных от к-ых степеней.............................. 58
§ 3. Суммирование значений функции суммы делителей
натурального числа на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых
степеней, другое от /-ых степеней....................... 63
§ 4. Суммирование значений произведения функций суммы
делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве
натуральных чисел и, свободных от к-ых степеней 71
§ 5. Суммирование значений произведения функций суммы
делителей натурального числа о(п) и о(п-Н) на множестве пар последовательных натуральных чисел п и л+1, одно из которых свободно от /:-ых степеней, другое от 1-ых степеней................................................ 77
Литература ........................................................ 89
2
Обозначения
N - множество натуральных чисел.
С - поле комплексных чисел.
Р - множество простых чисел. р - простое число.
є - положительная сколь угодно малая постоянная.
Мк - множество всех натуральных чисел, свободных от &-ых степеней, целое к > 2.
logs - натуральный логарифм х.
Запись d\n означает, что п кратно d.
Запись а = b (mod га) означает, что т\Ь — а.
Запись А В означает, что существует постоянное с > 0 такое, что \А\ < сВ. Тот же смысл имеет обозначение А = О(В).
(а, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
[а, Ь] - наименьшее общее кратное чисел а и Ь.
[а] - целая часть числа а.
р(п) - функция Мёбиуса от натурального числа п.
(р(п) - функция Эйлера от натурального числа п.
т(п) - количество натуральных делителей натурального числа п.
(т[п) - сумма натуральных делителей натурального числа п.
£(s) - дзета-функция Римана.
3
Введение
Одной из основных задач в аналитической теории чисел является задача изучения асимптотического поведения величины
£/(«)
п<х
при х —Ь оо с мультипликативной функцией / : N -> С.
Первый результат в этом направлении для функции Эйлера
*»)-»£# (і)
d\n
принадлежит Мертенсу [1], доказавшему в 1874 г., что
^2<р{п) = —r + 0(N\ogN).
П-1
Первый результат для функции суммы делителей натурального числа
Дп)= Yld
d\n
принадлежит Дирихле [2], доказавшему в 1849 г., что
N 2
y£°(n) = ^N2 + 0(NlogN).
Т1= 1
Опираясь на оценки тригонометрических дзетовых сумм, полученные И.М. Виноградовым и Н.М. Коробовым в 1958 г., А.З. Вальфиш [3] и
А.Н. Салтыков [4] улучшили результат для функции Эйлера с оценкой остаточного члена в виде
О (jV(logA02/3(loglogA01+£) •
Оценки тригонометрических сумм дали возможность улучшить результат для функции сг(п) с оценкой остаточного члена в виде
o(iV(logA)2/3).
4
В диссертации решаются задачи по исследованию асимптотики суммы
53/(**)>
п<х ПЄ А/
где /(п) - заданная арифметическая функция, М - некоторое заданное подмножество множества натуральных чисел.
В настоящей работе в качестве функции /(тг) рассматриваются функции ір(п), (р(п) •<р(п +1), <т(п), <т(п) -сг(п+1). В качестве множества М -множество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней (при к > 2). Обозначим его через Мк. А также в роли М выступает множество таких натуральных чисел п, что п свободно от к-ых степеней и (п+1) свободно от 1-ых степеней (при к > 2 и / > 2).
Натуральное число тг называется числом, свободным от к-ых степеней (при к > 2), если для любого простого р выполняется условие рк \ п.
Приведем некоторые утверждения о числах, свободных от к-ых степеней.
Доказано (см., например, [5]), что характеристической функцией множества Мк является функция
Ыя)=53^)- (2)
йк\п
Определим величину
Як{х) = 531
п<х
пЄМк
- количество натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, не превосходящих х. Применяя формулу (2), получим
&(*) = 5353^)= 53 /*(<0 Н =
П<х <|*|п (1<Х1/к
5
E4t0H = 5it0M'
/t /
где £($) - дзета-функция Римана. Первый результат на эту тему опубликовал Гегенбауэр [б] в 1885 г., который доказал, что при к = 2
В асимптотической формуле для <5*(я) можно получить более точную оценку остаточного члена в виде
с некоторой константой с(к) > 0, применив оценку суммы значений функции Мёбиуса
где возрастающая функция д(х) согласно [3] (см. также [7]) имеет вид
В конце сороковых годов XX века Л.Мирский [9], [10] рассматривал арифметическую задачу, которая состоит в следующем. Пусть даны s различных целых положительных чисел її, Найти асимптотику величины .F(x) - количества натуральных чисел п, не превосходящих х и таких, что все числа п + /і, ...,п + 18 свободны от А;-ых степеней. Мир-ский получил асимптотическую формулу для F(x), главный член которой имеет порядок х, а остаток оценил как 0(х2^к+1^+е). Доказательство основано на представлении характеристической функции множества натуральных чисел, свободных от к-ых степеней в виде формулы (2).
Исследование подобных задач продолжалось и в последующие годы. Так, P.P. Хэлл [И] получил асимптотическую формулу количества
^2(*) ~^їх+0 №) ■
(3)
(log*)3/5
д(х) = Є dogiog*)l/s (с > 0).
(4)
б
тех натуральных чисел п, не превосходящих х, для которых числа п + /і,...,п + /5 являются бесквадратными. Остаточный член при я > 2 был
В 1932 г. Л. Карлиц [13] рассматривал несколько иную задачу, а именно нахождение асимптотики количества бесквадратных чисел п, не превосходящих х, и таких, что п +1 также бесквадратно. Элементарным ме-
[14] посредством метода решета усилил результат Карлица с оценкой
Т.К. Иконниковой [5], а именно получена асимптотика количества натуральных чисел п, не превосходящих х, свободных от к-ых степеней, и таких, что п + 1 свободно от 1-ых степеней. Главный член асимптотики
Хорошо известна бинарная аддитивная задача с числами, свободными от А;-ых степеней. В 1931 г. Т. Эстерман [15] доказал асимптотическую формулу для количества представлений натурального числа п в виде суммы двух слагаемых а и 6, каждое из которых свободно от к-ых степеней. Эта асимптотика имеет вид
тодом он оценил остаточный член как 0(х2^є). Позднее Д.Р. Хиз-Браун
остаточного члена в виде 0(x7'n(logx)7). Более общая задача решена
также имеет порядок х, а остаточный член оценен как О (х*^*6
* = П(1-2Р~к) •
Р
Более точную оценку остаточного члена в виде 0(п2^ log2 х) получил Е.
7
- Київ+380960830922