2
Оглавление
Перечень определений и условных обозначений.............................3
Введение...............................................................11
Общая характеристика работы............................................15
Глава 1. Общая характеристика работы...................................19
Глава 2. Предварительные сведения......................................37
2.1. Методы доказательств............................................37
2.2. Используемые результаты.........................................37
Глава 3. Решетки классов Фиттинга......................................43
3.1. Алгебраические решетки кратно О-расслоенных классов Фиттинга 43
3.2. Решетка тотально канонических классов Фиттинга..................50
3.3. Алгебраические решетки кратно оз-веерных классов Фиттинга.......52
3.4. Индуктивные решетки кратно О-расслоснных классов Фиттинга.......56
3.5. Булевы решетки кратно О-расслоенных классов Фиттинга............61
Глава 4. Произведения классов Фиттинга.................................73
4.1. Произведения кратно со-веерных классов Фиттинга.................73
4.2. Произведения кратно О-расслоенных классов Фиттинга..............78
4.3. Однопорожденные произведения кратно со-локальных классов Фиттинга...........................................................83
4.4. Однопорожденные произведения кратно О-биканонических классов ФиТТИНГа...........................................................89
Заключение.............................................................95
Список используемых ИСТОЧНИКОВ.........................................96
3
Перечень определений и условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок определения и обозначения по теории групп можно найти в [25-27,48,61], по теории классов групп в [6,28,32,50,52], по теории решеток в [1,18,29].
Класс групп - совокупность групп, содержащая со всякой своей группой и все группы, изоморфные ей. р, Я, г - некоторые простые числа.
{?, 9Я, ф - некоторые классы групп.
Х-группа - группа, принадлежащая классу групп 26.
тс(С) - множество всех различных простых делителей порядка группы
в.
7Г(Х) - объединение множеств 7Г(С) для всех 3:-групп в.
К (в) — класс всех простых трупп, изоморфных композиционным факторам группы в.
К(26) - объединение классов К(в) для всех 26-групп в.
(в) - оасс всех групп, изоморфных группе в.
со - непустое подмножество множества всех простых чисел (Р, со'=(Р\о).
О - непустой подкласс класса всех конечных простых групп £5,
аг=3\о.
со-группа - группа в, где 7с(0)ссо.
О-группа - группа, где К(0)сО.
0 - пустое множество.
(1) - класс всех единичных групп.
© - класс всех групп.
31 - класс вех абелевых групп.
£Яр - класс всех р-групп.
©*> - класс всех о-групп.
©п - класс всех О-групп; ©А=@(А) для Ае §>.
4
1 - единичная группа.
АлЛЗ - регулярное сплетение ipyrui А и В.
Комонолитическая группа - группа G с нормальной подгруппой М (комонолит группы) такой, что G/М - простая группа и NçzM для любой собственной нормальной подгруппы N группы G.
G3 - S-радикал группы G, то есть подгруппа, порожденная всеми нормальными 55-подгруппами из G.
Grjf- S-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп N из G, для которых G/NgS-
0"(G)=G®“, Fp(G)=Gslp®p'.
On(G)=G0n, On,n (G)= G®a0n'.
Классовое отображение С - отображение класса групп в класс групп.
СЗ: - результат отображения С, примененного к классу Зс.
CiC2£= С,(С2Зех C,C2...Csi= C,(C2...CS*).
Замкнутая операция С - классовое отображение С, если для классов Зс и ф удовлетворяются следующие три условия: 1) £сСЗс9 т.е. С является расширяющимся; 2) СХ=С(СХ), т.е. С является идемпотентным; 3) если Хсф, то СХсСф, т.е. С является монотонным.
С-замкнутый класс - такой класс Зс, что Зс=СЗс .
GeSn3c - G вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую 3:-группу.
GgR3c - G совпадает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных Х-подгрупп.
GgQX - G является гомоморфным образом некоторой X-группы.
GgR03: - G имеет нормальные подгруппы Nb N2,..., Nt (t>2) такие, что nNi=l, G/Njg#, i= 1,2,...,t.
5
Класс Фиттинга - класс групп, одновременно 8п-замкнутый и Я-замкнутый.
Формация - класс групп, одновременно (^-замкнутый и Яо-замкнутый. ©Я-функция - функция С сои {со'}-»{классы Фиттинга групп}.
РЯЯ-функция - функция ф: Р-»{непустые формации Фиттинга}.
©Я(£ф) (©-веерный класс Фиттинга (©Я-класс Фиттинга)) с со-спутником Г и с направлением ср - класс Фиттинга 5=(С: 0го (в)^©') и
в^еГф) для всех ресопл(О)), где f и ф - ©Я-функция и РЕЯ-функция соответственно.
соАЯ(1) (со-полный класс Фиттинга (соА-класс Фиттинга)) - класс Фиттинга соЯ(Г,ф), где ф(р)=©р* для любого ре Р. р0 - направление со-полного класс Фиттинга.
соЬЯф (со-локальный класс Фиттинга (©Ь-класс Фиттинга) - класс Фиттинга соЯ(Г,ф), где ф(р)=5Яр@Р' для любого ре Р. р! - направление со-локального класса Фиттинга. р-направление ©-веерного класса Фиттинга - направление ф, где
ф(р)=ф(р)©р' для любого ре Р.
п-направление ©-веерного класса Фиттинга - направление ф, где ф(р) не содержит простых неабелевых рс!-групп для любого ре Р.
а-направление ©-веерного класса Фиттинга - направление ф, где
греф(р) для любого ре Р.
п-кратно ©-веерный класс Фиттинга с направлением ф - ©-веерный класс Фиттинга с направлением ф, имеющий хотя бы один ©-спутник, все непустые значения которого являются (п-1)-кратно ©-веерными классами Фиттинга с тем же направлением ф; 0-кратно ©-веерный класс Фитинга с любым направлением ф - всякий класс Фиттинга.
Тотально ©-веерный класс Фиттинга с направлением ф - класс Фиттинга, п-кратно ©-веерный с направлением ф при всех натуральных п.
К1<к2 для ©Я (РЕЯ)-функций кь к2 - К1(р)ас2(р) для всех ре©и{©'}
(реР).
6
- такая соЯ-фуакция Г, что Г(р)=г\€111(р) для всех ресои{со'}. Минимальный со-спутник со-веерного класса Фиттинга 55 с направлением ф - минимальный элемент множества всех со-спутников класса Фиттинга О.
Внутренний со-спутник со-веерного класса Фиттинга {у с направлением ф - такой со-спутник Г класса Фиттинга 55, что Г(р)с5у для всех ресои{со'}.
Максимальный внутренний со-спутник со-веерного класса Фиттинга [у с направлением ф - максимальный элемент множества всех внутренних со-спутников класса Фиттинга ?у.
ГЖ-функция - функция Г: Пи{П'} ~-> {классы Фиттинга 1рупп}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из О.
РЯ-функция - функция со: д’ {непустые формации Фиттинга}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из П.
ПЩТ,ф) (П-расслоенный класс Фиттинга (ПЯ-класс Фиттинга)) с П-спутником I' и направлением ср - класс Фиттинга гУ=(0: Оп(0)еГ(П') и для всех АеПпК(С)), где Г и ф - некоторые ПЯ-функция и РЯ-функция соответственно.
ПРгЯ(Г) (П-свободный класс Фитгинга (ПРг-класс Фиттинга)) - класс
Фиттинга ПЯ(1Т,ф), где ф(Л)=©А- для любой Ае 35.
ц/о - направление ^-свободного класса Фиттинга.
ПВЯ([) (П-биканонический класс Фиттинга (ПВ-класс Фитгинга)) -класс Фиттинга ПЯ(рф), где ф(А)=©д. для любой неабслевой Аед и ф(А)=©А@А' для любой абелевой Ае 3’.
Фг - направление П-биканонического класса Фиттинга.
ПКЯ(0 (П-каноничсский класс Фиттинга (ПК-класс Фиттинга)) - класс Фиттинга ПЯ(рф), где ф(А)=@а@а. для любой Ае 3-\|/г - направление канонического класса Фиттинга. г-направление П-расслоенного класса Фиттинга - направление ф, где ф(А)=ф(А)®д' для любой Ае 5’.
7
п-направление О-расслоенного класса Фиттинга - направление <р, где А^ф(А) для любой неабслевой группы Ае $>.
Ь-направление П-расслоеиного 1сласса Фиттш!га - направление ср, где ср(А)=©дф(А) для любой абелевой группы Ае £5.
п-кратно П-расслоенным класс Фиттинга с направлением ф - П-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф, имеющий хотя бы один О-спутник, все непустые значения которого являются (п-1)-кратно П-расслоенными классами Фиттинга с тем же направлением ф; 0-кратно О-расслоенный класс Фитинга с любым направлением ф - всякий класс Фиттинга.
Тотально О-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф - класс Фиттинга, п-кратно ^-расслоенный с направлением ф при всех натуральных п.
К]<к2 для £Ж (И1)-функций кь к2 - К1(А)ск2(А) для всех АеПиф'} (Ае.^).
- такая £Ж-функция £ что Г(А)=п^1^(А) для всех рейи{й'}.
Минимальный П-спутник ^-расслоенного класса Фиттинга 8 с направлением ф - минимальный элемент множества всех Л-спутников класса Фиттинга I?.
Внутренний П-спутник П-расслоенного класса Фиттинга 5 с направлением ф - такой П-спутник { класса Фиттинга что Г(А)с;8 для всех Аеаи{Пг}.
Максимальный внутренний Й-спутник со-расслоенного класса Фиттинга 8 с направлением ф - максимальный элемент множества всех внутренних й-спутников класса Фиттинга 8.
Произведение 9Лф классов групп 9Л и ф - класс всех таких групп в, что в имеет нормальную подгруппу N6 9Л с в/ЫЕф.
Произведение 9Л0ф классов Фиттинга 9Л и ф - класс всех таких групп С, что СЛЗялеф.
Полная решетка классов Фиттинга - такая непустая совокупность классов Фиттинга 0, что 0 и (У принадлежат 9 и пересечение любой совокупности классов Фиттинга из 0 снова принадлежит 0.
0-класс Фиттинга - класс Фиттинга, принадлежащий 0. юЯф- множество всех со-веерных классов Фиттинга с направлением (р. Далее для наглядности приведем соответствующие определения для со-локальных классов Фиттинга.
ОЬ - множество всех со-локальных классов Фиттинга. соЯ(Х,ф) - пересечение всех соЯф-классов Фиттинга, содержащих X. соЬЯ(Х) - пересечение всех соЬ-классов Фиттинга, содержащих X. соЯ^ (соЯ^) - множество всех п-кратно (тотально) со-веерных классов
Фиттинга с направлением (р.
соЬп (соЬ00) - множество всех п-кратно (тотально) со-локальных классов Фиттинга.
соЯп(Х,ф) (соЯ°°(Х,ф))- пересечение всех соЯ£, (соЯ^)-классов Фиттинга, содержащих X.
соЬ"Я(Х) (соЬссЯ(Х)) - пересечение всех ооЬ" (соЬ^-классов Фиттинга, содержащих X.
соЯф0 - множество всех со-веерных классов Фиттинга с направлением ф, обладающих хотя бы одним 0-значным со-спутником.
соЬО - множество всех со-локальных классов Фиттинга, обладающих хотя бы одним 0-значным со-спутником.
соЯ0(Х,ф) - пересечение всех соЯ<р0-классов Фиттинга, содержащих X.
соЬ0Я(Х) - пересечение всех соЬО-классов Фиттинга, содержащих X.
соЯ^0 (соЯ^0) - множество всех п-кратно (тотально) со-веерных
классов Фиттинга с направлением ф, обладающих хотя бы одним 0-значным со-спутником.
соЬп9 (соЬда0) - множество всех п-кратно (тотально) со-локальных классов Фиттинга, обладающих хотя бы одним 0-значным со-спутником.
- Київ+380960830922