ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ .................................... 4
ВВЕДЕНИЕ........................................................ 6
Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
§ 1.1. Теорема об умножении ............................... 39
§ 1.2. Лемма о линеаризации аналитических функций---------42
§ 1.3. Лемма Гензеля о подъеме решения .................50
§ 1.4. Модифицированная лемма о разбиении суммы
5Г/л;р")........................................... 52
Глава II. СУММЫ ГАУССА ПОРЯДКА N И ОЦЕНКА ИХ МОДУЛЯ
§ 2.1. Суммы Гаусса Б (а; ра) и оценка их модуля
п
сверху ............................................ 59
§ 2.2. Оценка модуля сумм Гаусса Б (а; ч) ..................67
П
§ 2.3. Оценка сумм Гаусса третьего и четвертого порядка .........................................................76
Глава III. ОЦЕНКА ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО СРАВНЕНИЯ § 3.1. Теоремы о равносильности полиномиальных сравнений но примарному модулю........................................78
§ 3.2. Оценка числа решений сравнения (3.2).................89
§ 3-3. Частный случай и уточнение оценок для числа решений сравнения (3.2) ..................................... 95
2
Стр
Глава IV. ОЦЕНКИ ПОЛНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ § 4.1. Оценка |Б(Х; х: Р°)1 о учетом кратности корней
Х'(х) в ноле Р ......................................101
Р
§ 4.2. Оценка числа решений сравнения Х(х) =а(то<1ра) 108
§ 4.3. Оценка IБ(Г; х; р“)1. Лемма о разбиении в
модификации Смита. Частный случай ...................113
§ 4.4. Оценка IБ(Г; х; р*)1. Леша о разбиении в
модификации Смита. Общий случай .....................122
§ 4.5. Контрпример к работе Локстона и Вона ................126
ПРИЛОЖЕНИЯ .....................................................128
Литература .....................................................139
3
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
N - множество натуральных чисел;
Z - кольцо целых рациональных чисел;
Q - поле рациональных чисел;
R - поле действительных чисел;
С - поле комплексных чисел;
q , п , а є Z, q 21, п 21 , ос а/ , р -простое ЧИСЛО,*
О - кольцо целых р-адичееккх чисел;
р
Q - поле р-адических чисел;
р
Fp - конечное поле из р элементов (поле вычетов по модулю р); Z[x) и О [г] -кольца многочленов, соответственно, над Z и О ;
р р
ord 0 -р-адический показатель 0, где 0 е Qp ; п .
f=f(x)=Y. aki' , /є Zlx) или / є 0 їх); u»o "
deg/ - степень многочлена /, где / *0. Если cin*0, то deg/ =п; deg f= mox{ P. IQs P. s n, pin, } - степень многочлена по modp;
Р *
1сГ/; =а - старшій коэффициент / ;
П
С(/)=НОДСа0,...,ап) - содержание / ;
р^и 0 равносильно равенству г =■ ord 0, где 0 *0, 0 cZ или
Р
0 € Ор;
( 1, если т la ,
6 (а) = где а, т *1 - целые;
m І О, если п fa ,
[t], (t} - целая и дробная части числа t, соответственно; e(t)= exp(2Jllt), где і еС , I2 =-1 і
X - либо характер Дирихле по mod q, либо единичный характер:
•V
\(х) * 1. В последнем случае х обозначим через 1;
е - произвольное малое положительное число;
Са>, С ($,и,некоторые положительные КОНСТЭНТЫ, зависящие, соответственно, от параметров I, з, и,...; с3, с4,..абсолютные положительные константы, в разных
утверждениях, вообще говоря, разные;
при положительном А соотношение В «А означает, что
131 5 сА;
О -имеет тот же смысл, что и « ;
Нумерация формул в каждой главе своя, нумерация утверждений и определений в каждом параграфе своя.
Ссылки на литературу обозначаются квадратными скобками.
5
ВВЕДЕНИЕ
Постановка задачи
Настоящая диссертация посвящена оценкам сверху модуля полных рациональных тригонометрических сумм вида
S(f; х; q) = Е x(x)e(f(x)q~l), (1)
х«1
где / <=Z(:r], q eN, х - числовой характер, e(t) = eaRtt.
В частности, оцениваются суммы вида
S(f; q) - i e(f(x)q"1). <1')
X — 1
Замечание 1. Известно, что случай составного модуля q в (1') сводится к случаю модуля ра (например, (38], или (6], теоремы об умножении). Задача оценки величины IS(f; ра)\ тесно связана с задачей оценки числа решений полиномиального сравнения но moiipa (например, 141). Поэтому наряду с основной задачей в работе рассматриваются вопросы оценки числа решений полиномиальных сравнений.
Актуальность темы.
ч о ,
Впервые суммы вида £ е(ах q ), где а е Z, (a,q) = 1
X — 1
q j
изучал К.Ф. Гаусс [8],и получил, что £ e(xzq~l) - ^-(1 +
I X=1
+ l)(1 * i'4;qa. Со времен К.Ф. Гаусса до наших дней вопросам
оценки сумм вида (1), (1') посвящено большое количество работ. Этими вопросами занимались в разное время такие известные зарубежные и отечественные ученые как Харди и Литтльвуд, Л. Морделл, Л. Вейль, Л.К. Хуа, С.Б. Стечкин, Н. М. Коробов,
6
A. В. Малышев, В. И. Нечаев, А. А. Карацуба, Г. И. Архипов,
B.Н. Чубариков, Р. Смит, Дк. Локстон, Д. А. Митькин и многие другие.
Задача оценки тригонометрических суш вида (1), (1') остается актуальной и в наше время.
Краткий исторический обзор.
Останов1,шея на основных результатах, полученных разными авторами в направлении решения задачи.
Используя метод Г. Вейля оценки тригонометрических суш, Харди и Литтльвуд иокзали, что если (вп*<7) = 1 • то Для любого е >0
|$г/;дЛ * л1(п,е)я1 -3' п*£ .
Более того, Харда и Литтльвуд рассмотрели суммы Гаусса порядка п
q
5п(а; д) = £ е(агпд~1;, аег, (а,д) =1, (2)
х= 1
и показали, что имеют место следующие оценки
15/а; р)\ 5 (а - 1)р1/г , (2 =(п, р -/), (3)
\Sjci; д)1 5 Аз(п) д1 п .
Л. Морделл [61] в 1932 г. при р > п получил оценку
1£С/; р)\ 5 2п//п-п/р2п_1/гр -Это позволило Л.К. Хуа [54], [38] получить в дальнейшем оценку
15{/>9Л * с^П'О-я Отметим, в частности, что в 1940 г. Л.К. Хуа (см.[54], или (38], или [6], лемма 6, с.37) впервые рассмотрел корни
7
сравнения
p~lf'(x) = о (mod р), (4)
где fix) = £ a i,k cZls], ргн(гга а ). Для многочлена
к = 0 1
fix) с условием рНа ,... ,а ) при а г21 + 2 Хуа Л.К.
1\ 1
удалось показать, что
S(f;pa) = 0(pa(i ”1/n) *с где константа в О зависит только от п, степени многочлена /, и от с.
В 1940 г. Л. Вейль [70] доказал (др. доказательства см. в [46], (35)), что если р > п, ptan, то IS(f; рД s
i/2 ”
(п *■ d - i )р , где d =0, ес.ии х =1 и d =1, если х -характер Дирихле по modp, поэтому
IS(f; р)\ * (п - 1)р1/г. (5)
Далее в оценке
.(1 - -)
IS(f: pe)i s op n (6)
последовательно уточняли постоянную с =c(f,p) как отечественные математики: В.И. Нечаев, С.Б. Стечкин, Г.И. Архипов, A.A. Карацубя, В.Н. Чубариков, так и зарубежные ([29]. (551. 150], 130], [37], 157], 132], [60], [3]). В итоге (ср. [30], леммы 5, 6) выкристаллизовалась лемма о разбиении суммы S(f;pa) в следующей формулировке.
П
Для всех f(x) = Е о Xх €Zlx], р|(а а ), а г
к-o п
г 21 *2 справедливо равенство Sif:pa ) = Е eif(b)p'a)‘
O^bSp-l,
•Е в((/(х) -Т(Ь))ршв). (7)
х*Ь(р)
Это позволило при п * 3, р|(ап,...#а1) Стечкину С.Б., [37], уточнить константу с в формуле (6). В [3] (с, 56) константу с заменили на с{9 где
(п -1)п3/п при р « п; п3/п при п < р < (п - 1)П/ІП "2>;
гг3/п при (п - 1)п/іп '2)* р < (п - 1)гп/(п -2»;
1 при р г (п - 1)2п/1п -2*.
На основе этого в работе ІЗ] доказана следящая теорема:
Пусть п і 3 - целое число и /(х) = а хп + ...+ ах + а -
п 1 О
многочлен с целыми коэффициентами, (а , а а) = 1, ц -
П 9*9
натуральное число. Тогда имеем
1S(f;q)\ £ с(п) ях " 1/п, (8)
где
V
■I
exp(4n) при n £ 10, c(n) - 4 (9)
ex.ç(nA(n)) при 3 s n s 9;
ЖЗЗ = 6,1; Ai 4) = 5.5; A(5) = 5; A(6) = 4,7; A(7) = 4,4; A(8) = 4,2; A(9) = 4,05.
Там ке (или n [41], лемма 5) получена оценка IS(/;pl )\ £ V “ 1.
где I и J определяются исходя из корней сравнения (0.4) специальным образом, рассуадая подобно тому, как Хуа1> .
15//ыа Loo-Keng. On the number of solutions of Tarry's problem // Acta. Set. Sinica.-1952.-V. 1, V 1. P. 1-76.( или в Hua Loo-Keng. Selected papers, 33. by H. Halberstam, N-Y, Berlin: Springer'-Vet'lag, 1983. P. 201-276.
9
Суммы Гаусса определяются формулой (2), их свойства доказаны в І22Ї, обзор можно найти в [361, где С.Б. Стечкин показал, что для (a,q)
\Sn(a; q) І *ехр(с(п/$(п))г) ■ qi'’l/n , (10)
где с >0 - абсолютная постоянная, $(...) - функция Эйлера.
В случае л =2 суммы Гаусса от нескольких переменных подробно изучены A.B. Малышевым [27]. Н.М. Коробов ((22), с. 40) доказал оценку
і - ±
\SJa;q) I s c(n)q n , (11)
6 p .
где c(n) = n" . И.Е. Шпарлинокий1 в 1991 г. доказал, что
-і * і
lim max max IS (a;q)\q n = 1.
rr* 00 q^l ai (a,q)=l
Л.К. Xya [39) впервые заметил, что
a fl - —Цо 4 t
S(f;pa) = 0(p m+1 ), (12)
где п - наивысшая кратность корней сравнения (4), а константа в О зависит только от / и от с.
В 1980 г. Р. Смит [69), полагая х = у + psz, где 5 =
= [а/2], у = ot - б, получил лемму о разбиении S(f;pa) в виде
Sf/;p“ ) = ps-l e(f(u)p-°), . (13)
0^u<p ,
Г'(и)»0 (tsod р^)
откуда для / et[x] с ненулевым дискриминантом D(f') производной многочлена f'(x) получил
\S(f;q)\ s qt/z{D(f,).q)-dn_l(q)t (14)
где d (q) - число представлений о в виде произведения п v , . —
2) Епарлинский И.Е. Об оценках сухл Гаусса //Иателап. эалетки. -1991. - Т. 50, N 1.-С. 122 - 130.
10
сомножителей.
В 1982 г. Дж. Локстон и Р. Смит С58J приняли во внимание все корни f‘(x). Пусть е - максимальная кратность корней f'(x) над полем комплексных чисел. Авторы, используя лемму о разбиении (13), показали, что
iS(f;q)[ ч' ■1/(2e,(A,g)1/<2e,.dn_1fg;, (15)
где А - полудискриминант многочлена
f(x) = па -її(х - Ç)
равный
А = (па )2п "2п (Ч - п Л*”. (16)
В 1983 г. Я.А. Митькин [28], развивая идеи Хуа^', обобщил лемму о разбиении и получил следующую оценку
а(\ ——;
|Sf/;pe )\ < 2ns/2 р , (17)
В 1984 г. С.Л. Степанов4) получил оценку рациональных тригонометрических сумм вдоль кривой для случая составного модуля.
В 1983 г. Г.И. Гусев [11], используя канонические представления функций многих переменных в полях р-адических чисел, получил оценки сверху для достаточно широкого класса тригонометрических сумм. В частности, им показано, что если
/(х) = £ а зР - степенной ряд с целыми р-адическими ковф-
_________k=t __________________
31 Hua Loo-Keng. On exponential sums. Science record.-1957.-V. 1, II 1P. 1 - 4. ( или в Hua Lco-Keng. Selected papers, Ш. by H. Halberetam, N-Y, Ber'ltn: Springer-Verlag, /983. P. 277-280.)
4> Степанов С. А. Рациональные тригонометрические сил.т вдоль кривой// Зап. науч. семинаров ЛОМИ.-1984, Т. 134. С. 232-251.
фициентями такой, что 11m la I = О и если г обозначает
к-» » к р
максимальную кратность целых р-адаческих корней производной f'(x), то существует (локальная; постояешэя С , зависящая
р
только от fix), такая, что при всех положительных а с IN справедлива оценка
l£ e2*ir(x)/p“| s с «а - i/<i> ♦ \))
Позже Г.И. Гусев (12) для оценок суммы S(f;pa) использовал метод, называемый в работе изометрическим. Кратко об втом методе.
Отображение ір: О -» О , для которого тлеет место ра-
Р Р
венство чх.уе.О : ord (ф(х) - f(y)) = ord {х - у), называется
Р Р Р
изометрическим преобразованием О . Эта формула, очевидно,
Р
эквивалентна следующему: для любых х, ує 0р и любых целых а, а * 0 таких, что х * yfmodp“;, всегда имеет место сравнение <f(x) = pfyKmod ра; и обратно. Изометрическим преобразованием является, например, отображение (см. (10], Формула (2))
х' = ex * pf(x)t где с - р-адическая единица, т.е. є eU , а fix) - много-
Р
член над О .
р
Два многочлена Р(х) и Q(x) из О (х) называются
р
изометрически эквивалентными: Р(х) z Q(x), если существует
такое изометрическое преобразование fl: О •» О , что
Р Р
Р(Х) = Q(f[x))’e(x), где е(х) -функция, определенная на О , область значений
Р
которой содержится В О .
р
Заменой многочлена Р(х) на изометрически ему вквива
12
- Київ+380960830922