Содержание
Введение 3
1 Предварительные сведения 5
1.1 Первичный радикал групп 5
1.2 Кольца с инволюцией 6
1.3 Теорема Голубчика—Михалёва 9
1.4 Элементарные подгруппы унитарной группы над кольцом с
инволюцией 10
1.4.1 Ортогональная группа над кольцом г инволюцией . . 12
1.5 Нётеровы и Р1-кольца 13
1.6 Системы корней 14
1.7 Конечномерные полупростые алгебры Ли 19
1.8 Группы Шевалле 21
1.8.1 Группы Шевалле и аффинные алгебраические группы 23
1.8.2 Центральные расширения 28
1.9 Аффинизация конечномерной алгебры Ли 30
1.10 Аффинные группы Шевалле 31
2 Первичный радикал унитарной группы над кольцом с инволюцией 35
3 Первичный радикал присоединённой группы Шевалле 58
4 Первичный радикал группы Шевалле над коммутативным
кольцом 100
5 Первичный радикал аффинной группы Шевалле над коммутативным кольцом 111
Введение
Начиная с тридцатых годов, теория обобщённых разрешимых и нильио-тентных групп активно и углублённо развивается во многих направлениях, среди которых заметную роль играет теория радикалов. Понятие радикала в теории групп, пережив ряд редакций, окончательно оформилось к началу шестидесятых годов в определении, предложенном А. Г. Курошем в работе [8]. Почти в это же время А. Г. Курош обратил внимание на замечательную аналогию между разрешимыми нормальными подгруппами и нильпотентными идеалами, позволившую его ученику К. К. Щукину ввести определение первичного радикала групп (см. [13]).
В отличие от наиболее часто используемого локально нильпотентного радикала (см. (10. 11]). характеризация первичного радикала группы как множества строго энгелевых элементов крайне близка к его кольцевому прототипу, давно и успешно применяемому в теории ассоциативных колец и алгебр. И связи с этим вполне естественно возникает вопрос о соотношении между первичным радикалом кольца с 1 и первичным радикалом подгрупп группы его обратимых элементов. Первый положительный отпет на него был получен А. В. Михалёвым и И. 3. Голубчиком в теореме о первичном радикале линейной группы над ассоциативным кольцом, ставшей отправной точкой данного исследования.
Диссертация ставит своей целью вычисление первичного радикала:
1. для расширений элементарных подгрупп в унитарной группе над ассоциативным кольцом с инволюцией.
2. для расширений элементарной группы Шевалле, построенной при помощи присоединённого представления конечномерной простой алгебры Ли над ассоциативным кольцом.
3. для аффинной групповой схемы Шевалле Демазюра над коммутативным кольцом,
4. для бесконечномерных аналогов элементарных групп Шевалле, соответствующих нескрученным аффинным алгебрам Каца Муди.
Используются методы и результаты структурной теории колеи, теории классических групп над ассоциатииными кольцами, теории алгебраических групп п аффинных схем, теории конечномерных и бесконечномерных алгебр Ли.
Результаты диссертации являются новыми н состоят в следующем:
• в каждом из рассматриваемых случаев 1-4 получено описание первичного радикала соответствующей группы в виде центра по первичному радикалу кольца коэффициентов (теоремы 2.0.1. 2.0.3, 2.0.4. 3.0.5, 4.0.6 и 5.0.7),
• установлены критерии существования максимальной разрешимой нормальной подгруппы (разрешимого радикала) (теорема 2.0.2. следствия
2.0.3, 3.0.5, 4.0.7, 5.0.8).
Отметим, что доказанные результаты близки по характеру к структурным теоремам в терминах идеалов для линейных групп и групп Шевалле, хотя последние требуют, как правило, значительно больших ограничений на используемое кольцо коэффициентов (см., например, (15, б, 31, 32]).
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в алгебраической А' теории, в теории классических групп и групп лиевского типа над ассоциативными кольцами.
Результаты настоящей работы докладывались на международной алгебраической конференции, посвяшённой памяти А. Г. Куроша (Москва, май 1998 г.), на международном алгебраическом семинаре, посвящённом 70 летию кафедры Высшей алгебры МГУ (Москва, февраль 1999 г.), на семинаре по алгебре кафедры Высшей алгебры под руководством проф. А. 11. Кострикина на механнко математическом факультете МГУ (“Ломоносовские чтения", апрель 1999 г.), на семинаре “Теория колец" кафедры Высшей алгебры под руководством проф. В. Н. Латышева, проф. А. В. Михалева и проф. В. А. Артамонова.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце библиографии (33, 34, 35].
Диссертация состоит из введения и пяти глав. Текст диссертация изложен на 123 страницах. Список литературы содержит 35 наименований.
•1
Глава 1
Предварительные сведения
1.1 Первичный радикал групп
Определение 1.1.1. Нормальная подгруппа О группы Л называется первичной, если в факторгруппе .4/1) централизатор каждой неединичной нормальной подгруппы тривиален. Пересечение г;и!(.4) всех первичных нормальных подгрупп группы Л называется первичным (П1* разрешимым) радикалом группы .4.
Замечание 1.1.1. Первичный радикал группы .4 совпадает с множеством всех её строго энгелевых элементов,
Замечание 1.1.2. Первичный радикал группы .4 тривиален в том и только в том случае, когда .4 не содержит неединичных норлимьшлх. абелевых (разрешимых) подгрупп ([13)).
Лемма 1.1.1. Пусть N = {п,}^0, М = {т,-}^0 — последовательности целых чисел, и, > 1, т, > 0 при всех / > 0. Тогда
Доказательство. Пусть .4 не содержит нетривиальных нормальных абелевых подгрупп, е ф «о € .4, В<* подгруппа в .4, порождённая всеми [... [ло, <?|]..-9*], .. ,0л- 6 .4, к > I. Поскольку для любых а, Ь. с £ .4
я[6,ф‘ = [<>,&][&, ас]. Воь <] .4. Предположим, что Ц,/?(,„.] = {с}. Тогда
Ь [«о. 0] = йо у (9 1 Ь у) <*0 1 у 1 = [«о. у] Ь
при всех Ь 6 В(|>1о, з £ С. Отсюда (Д)п0,Дц) = {е}. Точно также. если [Д;„„. Д,*] = {«} ДЛЯ некоторого к > 1,
при всех к > 1. В частности, Bq,Iu — нормальная абелева полгруппа п .4. Следовательно, В0П[1 = {е}% [Вопо-ьДьи-i] = {«}, Дт0-1 = {<-) и Т-Д- R итоге В(\\ = {с} И Û0 = е- Противоречие.
Итак, существует а' = [[...[ao,6i]...6„J»eo] ф с. По том лее причинам мы можем получить .элементы я],... а*, £ А
для любого А: > 1. Следовательно, поскольку ао — произвольный элемент группы А, гас1,у)АГ(Л) = {е}.
Таким образом, с учётом замечания 1.1.2, гас1.у,л/(А) С га(1{.4) для произвольной группы .4. Рассмотрим включение в обратную сторону. Пусть имеется цепочка 113 определения гаДу.д{[А), а, ф с для всех Ис-
пользуя лемму Цорна, мы можем рассмотреть максимальную нормальную подгруппу Р из .4. не содержащую элементов цепочки {«;}. Тогда достаточно показать, что Р первичная подгруппа в .4. Действительно, в противном случае в .4 существуют нормальные подгруппы А? такие, что Р С А, ф Р. [.4),.4о| С Р. В силу максимальности Р. а*, € .4, для некоторых кСледовательно, для всех к > к^к^. «д. € -4| ПЛг» <ц.+ | € [.41, .4г] Я Р-Противоречие. □
Определение 1.1.2. Будем говорить, что группа .4 обладает разрешимы.« радикалом, если о .4 существует максимальная разрешимая нормальная подгруппа И(.4).
Отмстим, что И(.4) — единственная макси.матьная разрешимая нор-матьная подгруппа группы .4. При этом В(.4) = га<1(.4).
1.2 Кольца с инволюциой
Все рассматриваемые ниже кольца, если не оговаривается дополнительных условий, предполагаются ассоциативными, содержащими единицу.
6
Определение 1.2.1. Идемпотент с называется плотным в кольце Я, если порождённый нм двусторонний идеал совпадает с Я. Я = Ке Я.
Определение 1.2.2. Пусть Я — кольцо с 1, Е = {е»}к»-<а — система идемпотентов в кольце Я. Система Е называется полной в кольце Я, если 1 = £,-=1 ей Если — <$уе,- (6у — символ Кронекера) при всех 1 < /.} < к, тогда система идемпотентов Е называется ортогональной.
Определение 1.2.3. Пересечение .)(Я) всех максимальных идеалов кольца Я называется радикалом Джекобе она кольца Я.
Замечание 1.2.1. Пусть Я кольцо с 1. Тогда .!{/?) — наибольший среди всех идеалов {.)) в Я, I + ./ С ОЬ(Я) ((1), с.77, предложение 4).
Определение 1.2.4. Отображение * кольца Я в себя называется инволюцией, если (а + Ь)ш = а‘ + Ь'. (оЬу — Ь'а'; (о*)’ = а для любых а, Ь Е Я. Кольцо Я с фиксированной инволюцией * называется * кольцом. Идеал I кольца Я называется * идеалом (I * <Я), если I* — I.
Отметим, что факторкольцо Я/1 кольца Я с инволюцией * по »-идеалу I является * кольцом.
Определение 1.2.5. Идеал (*-и<)еал) I кольца (* кольца) Я называется первичным (* первичным), если для произвольных идеалов (* идеалов) и -К кольца Я. ..1\ Я С Л Я 1 для по крайней мере одного * = 1,2. Сово-
купность всех первичных (* -первичных идеалов) кольца Я обозначается через Брес(/?) (5рес*{Я)).
Определение? 1.2.6. Кольцо (* кольцо) Я называется первичным (* первичным), если {()} Е 8рес(7?) /'{()} Е Вре<*(/?)//. Кольцо. не содержащее ненулевых нильпотентных идеалов, называется полупервичным.
Замечание 1.2.2. *-кольцо Я полупервично тогда и только тогда, когда Я не содержит ненулевых нильпотентных * идеалов.
Доказательство. Предположим, что »-кольцо Я не содержит ненулевых нильпотентных * идеалов, I — нильпотентный идеал + кольца Я, Г = {0} для некоторого а > 1. Тогда Г < Я, (/*)" = {0}, 1+1' — »-идеал кольца Я. При этом (/ + р)2'1-1 = {0}. Следовательно, / + /* = / = {()}. □
Определение 1.2.7. Пересечение На<1(/?} всех первичных идеалов кольца Я называется первичным радикалом кольца Я.
Замечание 1.2.3. Первичный радикал кольца Я совпадает с множеством всех его строго нпльпотентных элементов,
Нас!(/?) = {лг € П | V {я,-}£о, хо = л*, Хм € /?.г,- Ях, Я, 3;', ) > О, х} = 0} ([II, с-43, следствие 5).
Замечание 1.2.4. Пусть А/„(Я) — кольцо матриц размера пхп над коль -цои Я с 1. Тогда Эр ес(Л/„(Я)) = {Л/„(/) | / € Брее (Я)}. Я частности, Нас!(А/„(Я)) = ЛШагЦЯ)).
Замечание 1.2.5. Первичный радикал * кольца Я с 1 совпадает с пересечением всех его * первичных идеалов.
Доказательство. Пусть а Е Н;к1(Я). Рассмотрим произвольную цепочку {в'Шо* п которой йо = «Л о 1+1 € Яя.Яа.Я для всех * > 0. Тогда <*5 — а, й*+] € Яй*Яд*Я. Поэтому а) = я; = 0 при некотором } > 0. Таким образом. 1Ъи!(Я) * <]Я.
Отметим, что (5рес(Я))4 = {Я* | Я € Ярес(Я)} = 8рес(Я). Пусть Я € 8рес(Я), .4|, .4-2 — «-идеалы кольца Я такие, что .4| .4-2 С ЯП Я*. Следовательно, .4, С Я, .1, = .1* С Я П Р* при по крайней мере одном *. Отсюда ЯП Я* € 8рес*(Я), П^рес^Я)^ С На<1(Я).
Предположим, что существует а Е Иас!(Я) \ Пр^рос*!«)^- Тогда а, а* £ Р' для некоторого Р1 Е 8рес4(Я). Покажем, что а + а* 6 Я*. Действительно. если 6(1 = а + й* ^ Я', тогда ЯбдЯ * <Я, Я6оЯ6»Я 2 Р'* &(,;/,)60 £ Я' при некотором г/ц 6 Я. Поэтому либо 6) = 60(#о + )Лг, ^ Р',
либо 6о(2/в + 2/о)*о € Я'. Пусть 6о(»/о + Уо)^о € Я'. Рассмотрим «-идеал ./ = Я6о!/о*о Я + Я6о(х/о + Уо)6о Я £ Я. Поскольку (Я6оу06о Я)2 £ Я'. 6о!й)6о^1*оУоЬо £ Я' для некоторого 2] е Я. Положим у\ = уьбо^боУо- Следовательно, или &1 = 60(у1 + у1)Ьц д р\ или существует у-2 = г/1бог26ог/ь &0.У2&0 0 Я' для соответствующего г2 Е Я. Повторяя описанное рассуждение достаточное число раз, можно получить элемент Ь\ — Ь\ Е 60Я60 \ Я' за конечное число шагов (в противном случае мы построим бесконечную цепочку {#1+1 = #»6ог,-+1&о!/;} С Па<1(Я) \ Я1, что невозможно).
Точно также можно определить элемент 62, 62 = Ь\ € 6]Я6] \ Р1 и т.д. В итоге будет найдена бесконечная цепочка {6;} с ИасЦЯ) \ Г1. Противоречие. Таким образом, 6о = а 4- о* € Я".
Положим ао = а. 1(1 = Я а(( Я + Я (ад + а*0) Я * <Я. Тогда £ Р'. (Я«о И)- <£. Р', «I = йоМп £ Я' для некоторого £1 € Я. Затем можно найти элемент я2 Е я.|*20| Е Пай (Я) \ /у и т.д. Следовательно, существует бесконечная цепочка {й;}, в которой п,-+1 = а,/;+]<», Е Ва<1(Я) \ Я' для всех * > 0. Противо[)ечие. □
8
Замечание 1.2.6. Ненулевые элементы центра первичного кольца не могут. быть делителями нуля.
Замечание 1.2.7. Пусть П — *-первичное кольцо с 1. а ф 0 — элемент центра 2(Я) кольца Я. Предположим. что либо а' = ±л, либо а = 1 + Ь для некоторого Ь. ЬЬ* = 1. Тогда и не является делителем, пуля.
Доказательство. Предположим, что для некоторого 0 ф с £ /?, ас = 0. Тогда произведение * идеалов Я а Я + Я. а* Я и Я с Я + Я с* Я равно нулю (во втором случае 0 = Ь*ас = а*с = (ас)* = а'с* = Ьа*с4 = ас* = 0). Противоречие. □
Замечание 1.2.8. Пусть Я полупервичное кольцо с 1. О ф а £ Я.
Тогда существует г £ Я. агага ф 0.
Доказательство. Предположим, агага = 0 при всех г Є Я. В этом случае araza — —агага, агагога = 0 для произвольных г, г Є Я. Следовательно, ога = 0 (г Є /?). а = 0. Противоречие. □
1.3 Теорема Голубчика—Михалёва
Определение 1.3.1. Для произвольных подгрупп В и В' группы А множество С{В. В') = {и Є В | [а,Ь] € В' УЬ £ В} называется центром подгруппы В по В'.
В частности, центр группы СТ(Я) обратимых элементов кольца Я по подгруппе С ЦЯ) П 1 + /. соответствующей идеалу /, будет обозначаться для простоты как С (Я, /).
Замечание 1.3.1. Пусть Я — кольцо (*-кольцо) с 1. Тогда
С(Я,И,а\(Я)) = С[Я,Р) = П^е8ргс-(/{) С(Я,Р).
Достаточно воспользоваться определением 1.2.7 и замечанием 1.2.5.
Замечание 1.3.2. В кольце Я с 1 для произвольной подгруппы П в ОЦЯ) СЩ. 1 + На<1(/?)) С гас1(Л).
Доказательство. Пусть а = 1+х, а-1 = 1+Х|, где х\ — — х — Х\Х £ Ях Я. Тогда для любого Ь € С ЦЯ)
Х2 — [6,в]—1 = (1 + х)(1 + Ьх\Ь~1) — 1 £ ЯхЯ, *3 = [я,6) — 1 = (1 + яД-1 - 1 € ЯХ2 Я С Ях Я,
9
1 + 0 = [[ь, а],а] = [1 -Ь х2.1 + *] = (1 + ^)(1 + *)(1 + ^з)(1 + *0 =
1 + (х-2х + ххл + x2xz$)(l + x-i). у € RxRxR.
Таким образом, все элементы группы C(D. 1 + Rad (Я)) сторого энгелевы (замечание 1.2.3). □
Теорема (Голубчика — Михалёва). Пусть G — {е\,е^,еф) — полная ортогональная система, плотных идемпотентов в кольце П с 1, А подгруппа в GL{R) такая, что E{G. R) = (l+e,TCj | 1 < iФ j < 3, г е R) С А. Тогда rad(.A) = С(.4,1 + Rad(/?)).
Следствие 1.3.1. Пусть R — кольцо с 1. Тогда при любом, п > 3 rad {GLn[R)) = C(M„(R), Mn(Rad( Д))).
Доказательство. Пусть 1 = 1» — единичная, {Ер,} —элементарные матрицы кольца Mn(R). Положим ел = £(Ь е2 = £■#, е3 = Е**- Тогда
при всех « Ф j, .4 = (аи) е M„(R)
I + eiAcj = tpqfan) € E{G,Mn(R)),
BppCitEqqCjTtO
где {t^{b) = / + Ep<Jb | b £ /?} элементарные трансвекции. □
1.4 Элементарные подгруппы унитарной группы над кольцом с инволюцией
Определение 1.4.1. Пусть f — плотный в *-кольце R идемпотент. Будем говорить, что / имеет гиперболический ранг строго больше 1 (h*(/) > 1), если в кольце R существует система элементов Ef = {с^}+=1 такая, что еи = f, е*и - е22, е-п = е44. е]2 = -вц, е\3 = елъ eye*, = Sjkeif
для любых г, j, k, s (см. также [4, 5}).
Определение 1.4.2. * -кольцо R называется кольцом с о системой, если в R существует система элементов Е = {e,»,e24ij>e./j+i}i=i, j= 1,3 та‘
кая, что е], = ej+lj+ll e*jj+l = -е;;+j, e*j+lJ = RcjjR = R для
любого j = 1,3. е,*етп = Skmeit, при всех i, j. т. и.
Пусть R — «-кольцо с е системой. Для произвольных 1 < t ф j < 4, eii Ф ejj рассмотрим все возможные конечные наборы пар {(с,*,г»)} элементов R такие, что е„ = £ r^e^rj;. Пусть пу — минимальная мощность такого набора. Положим N(E) = min{»ty,В частности, N(E) = 1, если существует идемпотент / € Я такой, что 1Г(/) > 1 и Е С Е/.
in
- Київ+380960830922