Полугрупповые многообразия и сплетение полугрупп

Содержание
0.1 Актуальность темы.................................... 5
0.2 Цель работы.......................................... 9
0.3 Решенные проблемы .................................. 10
0.4 Публикации ......................................... 11
0.5 Объем и структура работы ........................... 11
0.6 Содержание работы .................................. 12
О различных определениях сплетения полугрупповых многообразий 24
1.1 Сплетения и полупрямые произведения полугрупп . . 25
1.2 Гомоморфизмы и сплетения............................ 28
1.3 Различные определения сплетения многообразий ... 30
1.4 Алгоритмическая разрешимость проблемы истинности
тождества н сплетении полугрупп .................... 34
1.5 Неаесоциативность стандартного сплетения полугрупповых многообразий............................................. 38
1.6 Один пример разложения полугруппового многообразия
в моноилное сплетение многообразий.................. 41
1.7 Достаточное условие совпадения моноидно1Т> и общего
сплетений многообразий.............................. 42
Упорядоченный моноид полугрупповых многообразий относительно сплетения 44
2.1 Введение............................................ 44
2.2 Первая структурная теорема.......................... 16
2.3 Предварительные сведения............................ 49
2.4 Доказательство первой структурной теоремы .... 54
2.5 Вторая структурная теорема ......................... 59
2.6 Индексы нильпотентности классов кручения моноида
многообразий....................................... 65
2
2.7 Описание делителей нуля в моноиде полугрупповых многообразий относительно сплетения.................... 69
2.8 Заключительные замечания.......................... 74
3 Сплетения полугрупп, полуархимедовы многообразия
и многообразия конечног о индекса 76
3.1 Введение 76
3.2 Полуархимедовы многообразия полугрупп 80
3.3 Обобщенные многообразия 82
3.4 Доказательство результатов о иолуархимедовых
многообразиях полугрупп 86
3.5 0 существенной бесконечной базируеыости сплетений
многообразий 92
3.6 Полугрупповые многообразия конечного индекса . . . 95
3.7 Доказательство результатов о многообразиях конечного
индекса 96
3.8 Замечание о полугруппах, порождающих многообразия
конечного индекса 106
3.9 Приложение к моноидам эндоморфизмов 110
4 Простота сплетения полугрупп с фиксированной пассивной полугруппой 113
4.1 Введение..........................................113
4.2 Предварительные сведения..........................115
4.3 Степень левой простоты полугруппы.................116
4.4 Степень кратности деления в полигоне..............119
4.5 Достаточные условия простоты сплетения полугрупп 123
4.6 Простые полугруппы с максимальными главными
правыми идеалами .................................124
4.7 Простые полугруппы с минимальными левыми
идеалами..........................................127
4.8 Доказательство основной теоремы...................131
4.9 Вполне простые многообразия.......................133
5 Сплетение атомов решетки полугрупповых многообразий 135
5.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов 135
5.2 Вычисление базисов тождеств сплетения полугрупповых
многообразий......................................140
3
5.3 Вычисление решеток подмногообразий сплетения атомов ................................................155'
5.4 Дополнительная информация о решетке £(81\у^) . 17(5
5.5 Порождаемость сплетения атомов конечной полугруппой 190
•1
Введение
0.1 Актуальность темы
Как известно, конструкция сплетения групп возникла в работе Калужнина Л.А., Краснера М. [70] в 1951 голу. В 1960 голу конструкция стандартного сплетения полугрупп была применена в теории полугрупп Нейманом Б.Х. для доказательства теорем вложения в полугруппах [82]). В частности, он дал новое доказательство теоремы Эванса о вложении произвольной счетной полугруппы в двухпорожденную полугруппу, доказал теорему о вложении любой конечной полугруппы в конечную двухпорожденную полугруппу, а также некоторые другие теоремы вложения [82]).
Проблема исследования операции сплетения полугрупповых многообразий привлекает алгебраистов-исследователей с середины 70-х годов. Этот интерес возник из двух основных источников. Во-первых, благодаря фундаментальным трудам алгебраической школы Роудэа, и теории строения конечных полугрупп, имеющей своим истоком знаменитую теорему Крона - Роулза о декомпозиции конечных автоматов и конечных полугрупп, опубликованную в 1965 году [76], ( см. также литературу по этому вопросу в переведенной книге [22]). Во-вторых, интерес к исследованию сплетения многообразий мотивируется тем фактом, что операция произведения групповых многообразий может быть определена через сплетение групп и показала свою плодотворность при изучении групповых многообразий (см., например, [39]).
В дальнейшем развитии первого направления сыграла важную роль книга С.Эйленберга [62]. Именно в последней книге была определена операция полупрямого произведения псевдомногообразий, которая интенсивно исследовалась в
&
последующие годы. Кроме того, в этой книге была доказана важная теорема, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между псевдомногообразиями (конечных) моноидов и потоками рациональных языков (см. также [35. теорема 5.11]). Аналогичная теорема верна и для псевдомногообразий полугрупп и потоков рациональных языков, заданных на свободных полугруппах, а не на свободных моноидах (см. [35]). Таким образом, развиваемая теория имеет непосредственное влияние на теорию формальных языков, возникновение и развитие которой, в частности, в настоящее время мотивируется бурным развитием программирования и вычислительных задач.
В 1987 году Б.Тилсон отмечает, что при переходе от рассмотрения моноидных многообразий и псевдомногообразий к полугрупповым более правильной является операция сплетения полугрупповых многообразий, которая им введена в работе [89]. Это мнение Б.Тилсон мотивирует лучшими возможностями его определения сплетения полугрупповых многообразий при обобщениях на некоторые категории, содержащие полугруппы. Более точно Б.Тилсон отметил, что полу прямое произведение в смысле Эйленберга, которое является вполне подходящим для псевдомногообразий моноидов, не является подходящим для многообразий полугрупп, так как доказанная им ’’теорема о задержке” для многообразий моноидов, перестает быть верной для многообразий полугрупп. Впрочем, обе операции близки, хотя и не совпадают (см. [89]).
Отметим также, ч то параллельно с полупрямым произведением в литературе рассматривались и другие произведения псевдомногообразий моноидов, например, двустороннее полупрямое произведение, произведение Шютценберже (см. [61, 79]).
В частности, рассматривался и другой аналог произведения групповых многообразий, а именно, ыальпевское щюиэведеиио (см., например, [49, 52]). Группоид полугрупповых многообразий отнеительно мальцевского произведения был изучен на классе идемпотентных полугрупп Е.В.Сухановым в [88]. В частности, выяснилось, что мальпевское произведение в этом случае, как правило, неассоциативно. В литературе обсуждались и случаи совпадения полуирямого произведения и мальцевского
г.
произведения псевдомногообразий [65].
В теории Крона - Роулза уже рассматривались сплетения полугрупп преобразований, что позволило предложить ассоциативную конструкцию сплетения и явилось дальнейшим обобщением сплетения. В 1979 году Скорняков Л.А. [86] рассмотрел сплетение моноидов с помощью полигона, что явилось еще некоторым расширением конструкции Крона -Роудза. Такое сплетение было применено им для изучения моноида эндоморфизмов свободного полигона над моноидом. В дальнейшем различные модификации сплетения с успехом применялись Кнауэром У. и Михалевым A.B. для изучения моноидов эндоморфизмов полигонов (см., например. (71. 72, 73]).
Здесь важно отметить, что при переходе от групп к полугруппам могут возникать различные определения сплетения полугрупповых многообразий, как это и было исторически. Однако, здесь существенно отметить, чго вариант определения 'Гилсона, является, по-видимому, оптимальным. Это мотивируется на наш взгляд двумя следую!цимим факторами. Во-первых, тем, что операция сплетения полугрупповых многообразий ассоциативна (см. [89]). Это не так для стандартного сплетения полугрупповых многообразий, которое определил 10.Г.Кошелев в 1976 году. Во-вторых, эта операция для периодических групповых многообразий совпадает с операцией произведения групповых многообразий. Это не так для произведения многообразий полугрупп, которое предложил рассматривать Ю.Г.Кошелев в 1989 году [33]. Для непериодических групповых многообразий о таком совпадении думать не приходится, так как непериодические групповые многообразия уже не являются полугрупповыми многообразиями. При этом операция сплетения для непериодических (над коммутативных) полугрупповых многообразий является слишком грубой, гак как сплетение двух надкоммутативных многообразий равно многообразию всех полугрупп.
Вопрос об описании структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения возник в связи с известной теоремой А.Л.Шмелькина к Б.X.Нейман, X.Нейман. 11.М.Нейман, а также известного описания всех илемпотентов относительно
7
сплетения полугрупповых многообразий (см. [39, теоремы 23.32 и 23.4] и [31]). Теорема А.Л.Шмелькииа и трех Нейманов утверждает, что полугруппа всех нетривиальных групповых многообразий относительно сплетения является свободной полугруппой.
Вопросы, связанные с изучением сплетения периодических полугрупповых многообразий возникли как вопросы наиболее актуальные при изучении операции сплетения многообразий в связи с полученными результатами о структуре моноида полугрупповых многообразий. Одновременно с этим возник интерес к выяснению, при каких условиях сплетение полугрупповых периодических многообразий обладает тем или иным хорошим свойством. Рассматриваемые классы многообразий вводились при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи обсуждались с М.В.Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 • в третьем выпуске Свердловской тетради [47].
При изучении сплетения полугрупповых многообразий оказалось полезным решение задач, выясняющих при каких условиях сплетение полугрупп обладает тем или иным хорошим свойством. Такие вопросы начинают изучаться в литературе, начиная с середины 60-х годов. Хантер в 1966 году нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне простой полугруппой (см. [68]). В 1969 году Мур [81] нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы коммутативной полугруппой. В 1972 году Макнайт и Садовский Е. [80] отметили наличие ошибки в доказательстве Хантера и дали другое доказательство его теоремы. При этом они доказали также, что сплетение И' вполне простых полугрупп всегда удовлетворяет равенству И'2 = И/3. В 1976 году Ю.Г.Кошелев нашел
необходимые и достаточные условия для того, чтобы сплетение полугрупп принадлежало бы одному из следующих классов полугрупп: инверсные, регулярные, простые слева (справа),
8
левые (правые) группы, группы, полурешетки, идемпотентные и т.н. (см. [29, 30]). Позднее Л.А.Скорняков предложил другие необходимые и достаточные условия регулярности сплетения моноидов [86].
Проблема Б.И. Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий идеальной простоты сплетения полугрупп была сформулирована Ю.Г.Кошелевым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38 [46].
В [63] отмечено, что если полугруппа конечна, то псевдомногообразие сю порожденное, совпадает с псевдомногообразием, заданным множеством тождеств этой полугруппы. Это означает, что такое псевдомногообразие есть пересечение многообразия, порожденного этой полугруппой с классом всех конечных полугрупп. Как следует из результатов главы 5, почти все сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий порождаются конечными полугруппами. Следовательно, результаты этой главы могут рассматриваться и как результаты, непосредственно относящиеся к теории псев лом ногообразий.
0.2 Цель работы
Цель работы - исследование операции сплетения полугрупп и, в первую очередь, ее применение при изучении моноидного сплетения полугрупповых многообразий для решения следующих задач.
1. Нахождение описания структуры моноида полугрупповых многообразий с помощью разложения в иолурешетку подполугрупп, и получение информации об этих подполугруппах.
2. Нахождение необходимых и достаточных условий на сплетаемые многообразия, при которых их моноидное сплетение является:
а) многообразием всех полугрупп; б)многообразием конечного индекса; в)полуархимедовым многообразием; г)вполне простым многообразием.
3. Нахождение необходимых и достаточных условий на пассивную полугруппу сплетения для того, чтобы при фикси|Х)пашшой пассивной полугруппе сплетение полугрупп было
9
Г)ы простой полугруппой, если в качестве активной полугруппы взять произвольную простую полугруппу.
4. Вычисление базисов тождеств и решеток подмногообразий для сплетения атомов решетки нолугрупповых многообразий с целью сопоставления операции моноидного сплетения полугрупповых многообразий и их решеточного объединения. В частности, решаются вопросы а) конечной базируемости сплетения; б) конечности решетки подмногообразий сплетения; в) порождаемости конечной полугруппой сплетения многообразий в рассматриваемых случаях.
0.3 Решенные проблемы
1. Проблема Нейманов — Шмелькина для полугрупповых многообразий, возникшая как задача описания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с известной теоремой А.Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман. X.Нейман. П.М.Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий.
2. Задача М.В.Сапира о выяснении необходимых и достаточных условий, при которых сплетение полугрупповых многообразий является многообразием конечного индекса или полуархимедовым многообразием. Эти классы многообразий возникли при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи были высказаны М.В.Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в Свердловской тетради [47].
3. Решена проблема Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях идеальной простоты сплетения полугрупп в случае, если активная полугруппа сплетения есть объединение своих максимальных главных правых идеалов, а также в случае если активная полугруппа сплетения содержит минимальные левые идеалы, а само сплетение стандартно. Проблема была сформулирована 10.Г.Кошелевым во втором издании Свердловской
Ю
тетради как проблема 2.38. Эти результаты обобщают теорему Хантера, которая давала необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне простой полугруппой [68].
4. Решена ’'ослабленная проблема Б.И.Плоткина”, а именно, найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы при фиксированной пассивной полугруппе, сплетение двух полугрупп было бы идеально простой полугруппой при любой активной простой полугруппе.
5. Выяснено, в каких случаях решетка подмногообразий моноидного сплетения полугрупповых многообразий, каждое из которых является атомом решетки полугрупповых многообразий, является конечной. При этом конечные решетки вычислены в явном виде во всех случаях, кроме случая, когда первое из сплетаемых многообразий есть многообразие полурешеток, а второе — многообразие полугрупп с нулевым умножением.
0.4 Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах, перечисленных в конце диссертации. Среди них одна является совместной. Результаты диссертации докладывались на XIX Всесоюзная алгебраической конференции (Львов, 1987), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, Барнаул, 1991. Санкт-Петербург, 1997), на международных конференциях по теории полугрупп и ее приложениям в Санкт-Петербурге в 1995 и в 1999 году, на Международном алгебраическом семинаре в МГУ (Москва, 1999). Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули” в МГУ, на научно-исследовательском семинаре по алгебре в МГУ и на семинаре ’’Алгебраические системы” в Уральском государственном университете в Екатеринбурге.
0.5 Объем и структура работы
Работа состоит из введения, пяти глав и занимает около 200 страниц компьютерного текста. Список литературы содержит 90
и
наименований. Имеется 12 рисунков и 2 таблицы.
О.С Содержание работы
Исследования, проведенные в диссертации можно разделить на три группы вопросов. Во-первых, изучение структуры моноида полугрупновых многообразий относительно операции сплетения. Во-вторых, нахождение необходимых и достаточных условий на сплетаемые полугруппы (или многообразия), при которых их сплетение обладает одним из указанных выше хорошим свойством. В-третьих, в последней части диссертации вычисляются сплетения многообразий, которые являются атомами решетки С полу групповых многообразий. Такие вычисления производятся для того, чтобы оценить, насколько сильно сплетение полу групповых многообразий отличается от их решеточного объединения. Вес группы вопросов связаны общим предметом и методологией исследования. В основе применяемого метода исследования лежат комбинаторное вычисление тождеств сплетения полугрупп и использование структуры рассматриваемых полугрупп. Опишем теперь содержание диссертации по главам.
Отметим, что в работе принята следующая система ссылок: ссылка на теорему 1.4.2 означает, что это теорема 4.2, сформулированная в разделе 4 главы 1. При этом при ссылке внутри одной главы первая цифра, означающая номер главы, как правило, опускается.
В главе 1 обсуждается выбор определения этой операции из уже возникавших в литературе. Выбирается операция сплетения полугрупновых многообразий, введенная в 1987 году Б.Тилсоном [89]. Одновременно разрабатывается техника определения, истинно ли заданное тождество в сплетении полугрупп, если мы умеем определять истинно ли тождество в сплетаемых полугруппах.
Операцию сплетения полугрупновых многообразий, которую впервые определил Тилсон, мы называем моноидным сплетением в отличие от общего и стандартного сплечения многообразий, которые рассматривал Ю.Г.Кошелев (см. [33, 31}). Операция моноидного сплетения полу групповых многообразий была определена в [89, 7]. Обсуждение возможных определений
12
сплетения многообразий, которые возникали в литературе, и разработка техники вычислений тождеств сплетения полугрупповых многообразий проводится в главе 1. Предпочтение моноидному сплетению многообразий отдается на том основании, что оно ассоциативно в отличие от стандартного сплетения полугрупповых многообразий и совпадает с групповым произведением периодических групповых многообразий в отличие от общего сплетения полугрупновых многообразий.
Основным результатом главы 1 является теорема 1.4.2 и алгоритм 1.4.1, позволяющие определять, справедливо ли данное тождество в сплетении полугрупп при условии, что мы умеем проверять справедливость тождеств в сплетаемых полугруппах. Из этих результатов выводятся необходимые и достаточные условия истинности тождества в моноидном сплетении полугрупповых многообразий (теорема 1.4.5). Приведен пример, показывающий, что стандартное сплетение полугрупповых многообразий неассоциативно уже на подгруппоиде, порожденном двумя атомами решетки полугрупповых многообразий.
Кроме того, техника вычислений тождеств сплетения полугрупп и полугрупповых многообразий, разработанная в главе 1, используется в дальнейшем на протяжении всей диссертации.
В главе 2 решается проблема Нейманов — Шмель кина для полугрупповых многообразий, возникшая как задача описания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с известной теоремой А.Л.Шмелькинаи Б.Х.Нейман, X.Нейман, П.М.Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий (см. [39, теоремы 23.32 и 23.4) и [31]).
Отметим, что моноид полугрупповых многообразий имеет существенно более сложную структуру, чем моноид групповых многообразий, который является просто свободным моноидом континуального ранга с внешне присоединенным нулем. В главе содержится ряд важных результатов о структуре этого моноида, которые лают представление об этом моноиде в целом. Отдельные части моноида получают полное или же достаточно ясное описание. О других же частях показано, что они имеют сложную структуру, а также установлены их отдельные свойства. Прояснение структуры
13
моноида нолугрупповых многообразий ставит дальнейшие задачи по его исследованию.
Дадим теперь точные формулировки основных результатов диссертации. Для этого введем ряд обозначений. Пусть ОС — множество всех надкоммутативных многообразий, I — множество, состоящее из одного многообразия Т всех тривиальных полугрупп, О — множество всех периодических групповых многообразий, ЫЯ — множество всех периодических многообразий, состоящих из нильпотентиых слева полугрупп, XI — множество всех периодических многообразий, которые содержат хотя бы одну полугруппу, не являющуюся группой и нильпотентной слева полугруппой. Очевидно, что разложение
МУ = / и IДг и С и XI и ОС (*)
есть разложение XIV в объединение попарно не пересекающихся подмножеств.
Теорема 2.2.2 (Первая структурная теорема). Моноид XIV нолугрупповых многообразии может быть разложен в пятиэлементную полурешетку (*) своих подполугрупп /, 1/№, О, XI, ОС, причем
ОС < XI, XI < Ь:\, М < С, ЫЯ </,<?</.
При этом ОС — идеал с нулевым умножением в АIV мощности континиума, О — свободная полугруппа континуального ранга, £ДГ разложима в счетную полурещетку конечных нильпотентиых подполугрупп Т(1^,1П){т > 1,0 < I < т), М —
полугруппа без идемпотентов, содержащая подполугруппу С', изоморфную свободной полугруппе континуального ранга, по не удовлетворяющая закону ни правого, ни левого сокращения.
Первая структурная теорема дает разложение в полурешетку моноида XIV всех нолугрупповых многообразий относительно моноид нот сплетения. Кроме того, очевидно, что компоненты I, ОС не требуют дополнительного описания. Компонента С совпадает со свободной полугруппой всех групповых периодических многообразий и результаты, связанные с се описанием и, в частности, различные серии примеров неразложимых многообразий имеются в книге (39]. Компонента /,ЛГ описывается во второй
14
структурной теоремо с помощью дальнейшего разложения ее в полурешетку уже полурсшеточно неразложимых конечных нилыютентных полугрупп.
Теорема 2. 5.2 (Вторая структурная теорема).Класс кручения Т(Ь].|1|), где т > 1, 0 < ) < т, содержит наименьшее многообразие Цуш, которое может быть задано следующим набором тождеств:
При этом Т{Ц%т) совпадает с решеточным отрезком [из,т;Ц т] и является подалгеброй алгебры {МУ, \у,П, V,) .
Что касается последней компоненты А/, то она является полугруппой без идемпотонтов, и ее исследование с помощью дальнейшего разложения в полурешетку подполугрупп но является эффективным инструментом изучения. Пока здесь она не имеет достаточно ясного описания, но сложность ее структуры характеризуется информацией, указанной первой структурной теореме, а именно: она содержит с одной стороны, в качестве подполугруппы свободную полугруппу континуального ранга, а с другой стороны, она не удовлетворяет закону ни правого, ни левого сокращения. Этот факт показывает, что пока мы можем только эффективно описывать не всю эту компоненту, но лишь какие-либо ее части.
В связи с этим, далее решаются задачи о нахождении необходимых и достаточных условий на сплетаемые многообразия, при которых их моноидное сплетение является: а)многообразием всех полугрупп; б) многообразием конечного индекса;
в) иолуарх имедовьш многообразием; г)вполне простым многообразием. Решение этих задач тесно связано с решением соответствующих задач для сплетения полугрупп, которые также рассматриваются в диссертации.
*1. •. х^уі... ут_, = х\... х}г\...
хі.. .х}уг = х\...Х}ху
хух = хухг,
хух = ху~,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
15
Кроме первой и второй структурной теоремы в главе 2, вычислены индексы нильпотентности полугрупп Тот (т > 1) (теорема 2.6.1). В частности, из этого результата следует, что индексы нильпотентности полугрупп Туп не ограничены в совокупности (следствие 2.6.9).
Наконец, в последнем разделе 7 найдены необходимые и достаточные условия, при которых сплетение двух полугрупповых многообразий равно нулю моноида, т.е. совпадает с многообразием всех полугрупп (теорема 2.7.1).
Как следует из результатов главы 2, сама операция сплетения полугрупповых многообразий для непериодических (или в других терминах надкоммутативных) многообразий тривиальна, так как совпадает с многобразием всех полугрупп. Поэтому интерес представляет случай, когда по крайней мере одно из сплетаемых многообразий периодическое. В частности, если оба они периодические.
В главе 3 изучается вопрос, при каких условиях полугруппы сплетения периодических полугрупповых многообразий обладают хорошими структурными свойствами. Более точно, решаются вопросы, при каких условиях на сплетаемые многообразия, их моноидное сплетение является периодическим полу архимедовым многообразием или многообразием конечного индекса. Оба класса периодических полугрупповых многообразий были выделены в [45], хотя первый из названных здесь классов там именуется нематричными многообразиями. Ответы даны в терминах как структурной, так и эквациональной теории полугрупп. В частности, при решении первой задачи решена полностью проблема 3.56, поставленная автором в третьем выпуске Свердловской тетради [47] (теорема 3.2.3). В качестве приложения развитой техники доказано, что моноидное сплетение многообразия полурешеток и многообразия абелевых групп экспоненты п есть существенно бесконечно базируемое многообразие для любого натурального числа « > 2 (теорема 3.5.3).
Теорема 3.2.4.Эквивалентны следующие условия: 1) моноидное сплетение и\\'У многообразий полугрупп является периодическим полуархшледовым многообразием; 2) и и V — периодические полуархимедовы многообразия и, кроме того, либо и архимедово,
16
либо V состоит только из полуреитпок левых нилъполугрупп.
Кроме того, теорема 3.2.4 содержит ответ и в терминах эквашюнальной теории, который здесь не приводится.
Теорема 3.5.3.Моноидмое сплетение 81\\гАп многообразия 81 полурешеток и многообразия А„ абелевых групп экспоненты п является существенно бесконечно базируемый многообразием Эля любого натурального числа п > 2.
В разделе 6 главы 3 находятся необходимые и достаточные условия на полугруппы, при которых их расширенное стандартное сплетение порождает многообразие конечного индекса (теорема 3.6.1). Выбор этих классов многообразий обусловлен тем. что среди периодических многообразий полугруппы этих классов обладают хорошими структурными свойствами разложимости в полурешетку архимедовых полугрупп. При этом архимедовы полугруппы в периодическом случае являются нильрасширениями вполне простых полугрупп. Более того, в случае многообразий конечного индекса они являются нильпотентными расширениями вполне простых полугрупп.
Теорема 3.6.1. Моноидмое сплетение и\уУ полугрупповых многообразий является многообразием конечного индекса тогда и только тогда, когда и и V являются многообразиями конечного индекса и имеет место один из следующих четырех случаев: 1)ли6о V состоит из левых нильпотентных полугрупп; 2)либо и и V состоят из нильпотентных расширений вполне простых полугрупп; 3)либо и состоит из нильпотентных расширений прямоугольных групп, а объединение С?г5 всех подгрупп любой полугруппы 5 €■ V есть правый идеал; 4)либо и состоит из нильпотентных расширений прямоугольных связок.
В разделе 8 главы 3 устанавливается структурная характеризация полугрупп, порождающих какое-либо многообразие конечного индекса, т.е. /Т -полугрупп, которая дополняет теорему Салира - Суханова [45, 52]. Найденная характеризация оказалась полезной при рассмотрении примеров. В главе указан также пример пятиэлементной полугруппы, которая не является П-полугруппой. Данный пример послужил отправной точкой для характеризации многообразий полугрупп конечного индекса на языке ” запрещенных делителей” в совместной работе автора и
17
Волкова М.В. [10]. Позднее эта же полугруппа была использована в недавней работе Алмейда Ж. для решения одной из задач, касающихся исевдомногообразий [58]. Результаты раздела 8 использованы и разделе 9.
Наконец, в разделе 9 указано применение сплетения полугрупп и результатов о многообразиях конечного индекса к исследованию свойств моноида эндоморфизмов свободного левого 5 -полигона над моноидом 5. А именно, дается ответ на вопрос, при каких условиях моноид эндоморфизмов свободного левого полигона над моноидом порождает многообразие конечного индекса.
Теорема 3.9.1. Моноид эндоморфизмов ЕпдзР(Х) свободного левого 5 -полигона с множеством образующих X для произвольного моноида 5 есть П -полугруппа тогда и только тогда, когда либо 1) [,¥| = 1 и 5 есть П -моноид, т.е. это моноид, который является ЕI -полугруппой; либо 2) |А'| =2 и 5 есть группа.
Отметим, что применение сплетений для исследования свойств моноидов эндоморфизмов было начато в [86], а затем продолжено в серии работ [71, 72, 73].
В главе 4 в связи с изучением свойств, которыми обладает моноидное сплетение полугрупповых многообразий, а также сплетение полугрупп, рассматривается задача Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий на сплетаемые полугруппы, при которых их сплетение является (идеально) простой полугруппой. Очевидным необходимым условием
простоты сплетения является простота как активной, так и пассивной полугруппы сплетения. Более точно, в главе 4 решается проблема Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях простоты сплетения полугрупп в ряде важных случаев при дополнительных предположениях об активной полугруппе сплетения, а именно: 1) если активная полугруппа простая и каждый ее главный правый идеал вкладывается в максимальный главный правый идеал (в частности, это так для простых полугрупп с единицей) (теорема 4.(5.1); 2) если активная полугруппа простая, содержит минимальные левые идеалы и сплетение стандартное (теорема 4.7.1). В частности, проблема решена в случае, если активная полугруппа содержит единицу. Проблема Б.И. Плоткина об (идеальной) простоте
!8