Ви є тут

Условия конечности в полугруппах, полугрупповых кольцах и полигонах

Автор: 
Кожухов Игорь Борисович
Тип роботи: 
Докторская
Рік: 
2000
Артикул:
1000302261
179 грн
Додати в кошик

Вміст

Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ ДЛЯ КОНГРУЭНЦИЙ ПОЛУГРУПП 20
1.1. Обзор результатов................................................. 20
1.2. Конечная порожденность полугрупп с условием максимальности .... 23
1.3. Полугруппы с правыми конгруэнциями конечного индекса.............. 30
1.4. Полугруппы со слабым условием такси мал ьности.................... 40
ГЛАВА 2. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ПОЛИГОНАХ 46
2.1. Определения и обозначения. Обзор результатов...................... 46
2.2. Полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются двухэлементными ....................................................... 50
2.3. Полугруппы, над которыми все полигоны резидуально конечны......... 55
2.4. Полугруппы с ограниченными в совокупности порядками подпрямо неразложимых полигонов............................................ 63
ГЛАВА 3. АРТИНОВЫ, СОВЕРШЕННЫЕ И ПОЛУПРИМАРНЫЕ ПОЛУГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 72
3.1. Основные определения и обозначения. Предварительные результаты . . 72
3.2. Совершенные и полупримарные полугрупповые кольца.................. 78
3.3. Артиновы группойдные кольца....................................... 85
ГЛАВА 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ПОЛУГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 91
4.1. Необходимые условия алгебраической компактности полугруппового кольца.......................................................... 92
4.2. Достаточные условия алгебраической компактности полугруппового кольца..........................................................114
4.3. Полугрупповые кольца, являющмеся гомоморфными образами алгебра-
ически компактных колец............................................121
2
ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ И ЛИНЕЙНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛУ-ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 129
5.1. Линейно компактные иолугрупповые кольца ............129
5.2. Некоторые необходимые и некоторые достаточные условия линейной компактности полугрушювого кольца........................142
5.3. Компактные полугрупповые кольца.....................147
ГЛАВА 6. САМОИНЪЕКТИВНЫЕ ПОЛУГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 153 ЛИТЕРАТУРА 164
3
ВВЕДЕНИЕ
Условия конечности в тех или иных классах универсальных алгебр играют важную роль в общей алгебре. Им посвящена обширная литература. В частности, огромное число работ посвящено артиновым и нетеровым кольцам и модулям. Интерес к объектам, удовлетворяющим условиям конечности, объясняется их распространенностью среди изучаемых математических объектов (скажем, конечномерные алгебры над полем - ото одно из ключевых понятий теории представлений групп), а также возможностью построения для этих объектов содержательной структурной теории (ках, например, теория Веддерберна - Артина полупростых артиновых колен или теория Сушкевича - Риса вполне 0-простых полугрупп).
Под условием конечности подразумевается любое условие, которому удовлетворяют все конечные алгебры. Полугруппы с условиями конечности всегда занимали важное место в структурной теории. Первоначально эго были периодические и конечкопорожденные полугруппы, нильпотентные и нилыюлугруппы. Вошедшая в учебники теорема, описывающая строение конечнопорожденных абелевых групп, стимулировала соответствующие исследования в коммутативных полугруппах. Это позволило Редей (в 60-х годах) получить полное описание конечнопорожденных коммутативных полугрупп. До конца выясненным можно считать строение вполне 0-простых полугрупп, т.е. 0-простых полугрупп, имеющих хотя бы один минимальный ненулевой идемпотент - действительно, такая полугруппа изоморфна рисовской матричной полугруппе, у которой сэндвич-матрица но имеет нулевых строк и столбцов, см. [14], гл. 2. Общая концепция условий конечности в полугруппах и обзор некоторых результатов изложены в ([35], гл. IV, п. 6.2), в [34] получена теорема о строении полугрупп, удовлетворяющих целому классу (достаточно широкому) условий конечности.
Известна роль в теории групп условий максимальности и минимальности для подгрупп. Хотя группы с этими условиями (даже группы, удовлетворяющие обоим из этих условий) могут быть устроены довольно сложно (см. пример АЛО.Ольшанского: [22], теорема 28.1), при наложении дополнительных условий строение таких групп может оказаться простым. Так, например, разрешимые группы с условием максимальности - это в точности полициклические группы (см. [17], §59), а минимально-
4
сти - конечные разрешимые расширении конечных прямых сумм кваоициклических групп ([17], §59).
Условие минимальности или максимальности для подгрупп группы или идеалов кольца может быть обобщено на полугруппы несколькими различными способами. Во-первых, таким обобщением может служить условие минимальности или максимальности для подгрупп. Важные результаты для полугрупп с этим условием получены Л.Н.Шевриным. Наиболее сильны из них состоит в том, что для широкого класса в условий конечности полугруппа удовлетворяет этому условию в том и только том случае, если она имеет конечное число идемпотентов, конечное число негрупповых элементов и все ее подгруппы удовлетворяют условию 9. Другим обобщением артииовости или нетеровости является условие минимальности или максимальности для (левых, правых, двусторонних) идеалов полугруппы, а также аналогичное условие для главных идеалов (последнее равносильно условию обрыва убывающих или возрастающих цепей 71- или »7-классов полугруппы. Интересные связи между этими условиями отмечены в [14], гл. 6 и [47]. Отметим также более ранние работы Левицкого, Фишера, Шоке.
Кроме того, аналогами артиновых и нетеровых колец могут служить полугруппы с условием минимальности или максимальности для односторонних конгруэнций. Полугруппы с этими условиями изучались Хотцелем ([47], [48]) и автором [15], [53]). Хотцелем было доказано, что полугруппа с условием минимальности для левых конгруэнций имеет лишь конечное число левых идеалов, и является конечной, если она не содержит бесконечных подгрупп. Судах [19] охарактеризовал коммутативные полугруппы с условием максимальности для конгруэнций; оказалось, что это в точности конечно порожденные коммутативные полугруппы. Автором были получены ([15], [53]) необходимые и достаточные условия выполнения условия минимальности или максимальности (для левых конгруэнций) в инверсной и во вполне 0-простой полугруппе. В частности, инверсная полугруппа удовлетворяет условию максимальности (или минимальности) для левых конгруэнций в том и только том случае, если она имеет лишь конечное число идемпотентов и удовлетворяет условию максимальности (или минимальности) для подгрупп. Как видно, для инверсных полугрупп условия максимальности (минимальности) для правых и для левых конгруэнций совпадают. В работе [48] Хотцель доказал конечную порожденность полугруппы с
5
условием максимальности для правых конгруэнции в предположении, что всякий ее ,7-класс является классом некоторой конгруэнции. Там же был поставлен вопрос: верно ли это для произвольной полугруппы с условием максимальности? В настоящей диссертации получен положительный ответ на этот вопрос для дуо (слева или справа) полугрупп и для полугрупп, удовлетворяющих одновременно обоим условиям максимальности, правому и левому. Круг вопросов, относящихся к условиям конечности в полугруппах, разумеется, не исчерпывается теми, о которых говорилось выше. К ним относятся также проблемы бернсайдовского типа (см. [19], гл. 10), финитной аппроксимируемости полугрупп и т.д.
Категория полигонов над полугруппой, как и категория модулей над кольцом, несет большую информацию о строении кольца. Например, если все циклические полигоны над моноидом являются плоскими, то моноид регулярен (М.Кильп, 1970, см. [52]). Наоборот, моноиды специального строения имеют категорию полигонов, обладающую интересными свойствами. Гомологической классификации моноидов посвящены работы М.Кильпа [13], Л.А.Скорнякова [26]. Недавно вышедшая монография [52] содержит многие из полученных результатов о полигонах над полугруппами. Теория полигонов имеет тесные связи с изучаемой в дискретной математике теорией абстрактных автоматов.
Подпрямо неразложимые алгебраические системы играют важную роль в общей алгебре, являясь ’’строительным материалом”, из которого можно получить любую алгебраическую систему той же сигнатуры: действительно, известная теорема Биркгофа [38] утверждает, что всякая универсальная алгебра является подпрямым произведением подпряио неразложимых алгебр. Многообразия универсальных алгебр, все подпрямо неразложимые алгебры которых обладают тем или иным свойством, составляют интересные классы алгебр, а в ряде случаев они могут быть полностью описаны. Изучение этих классов тем легче, чем больше мы знаем о подпрямо неразложимых алгебрах данного многообразия. Б.М.Шайн в 1960 г. описал подпрямо неразложимые коммутативные полугруппы, еще в 1945 г. Мак-Кой [57] описал подпрямо неразложимые коммутативные кольца,Ранкин, Рейс и Тьеррен "68] доказали ряд утверждений о строении подпрямо неразложимых справа полугрупп (т.е. полугрупп, являющихся подпрямо неразложимыми правыми полигонами над собой). Далее, Ежик и Имре [47] описали коммутативные подпрямо неразложимые
б
полигоны над произвольными полугруппами; следствием этого результата является упоминавшийся выше результат Шайна.
Многообразия универсальных алгебр, все алгебры которых финитно аппроксимируемы (по-другому: все подпрямо неразложимые алгебры конечны), изучались в работах [58], [59]. В [61] были исследованы резидуально малые многообразия, т.е. такие, у которых мощности подпрямо неразложимых алгебр пграничены в совокупности. Резидуально конечные многообразия полугрупп были описаны в [5]. В настоящей диссертации автор исследует полугруппы, над которыми все правые полигоны резидуально конечны, а также более узкий класс полугрупп: полугруппы, над которыми все подпрямо неразложимые правые полигоны имеют порядки, ограниченные в совокупности натуральным числом.
Групповые и полугрупповые кольца с условиями конечности - объект, интенсивно изучавшийся в последние десятилетия. В 1963 году Коннэлл доказал [42], что групповое кольцо Яй является артиновым справа в том и только том случае, если кольцо Я артиново справа, а группа С конечна. Попытки обобщения этой теоремы проводились по нескольким направлениям, из которых отметим следующие: 1) замена группы (7 на полугруппу, 2) замена артиновости более слабым условием конечности, 3) замена группы (7 неассоциативным группоидом, 4) рассмотрение вместо обычного группового кольца скрещенного (полу)группового кольца или кольца, градуированного (иолу)группой. В 1977 году, используя технику РГалгебр, Е.И.Зельмановым [12] было доказано, что если полугрупновое кольцо ЯЯ артиново слева, то кольцо Я артиново слева, а полугруппа 5 конечна, а в случае, когда полугруппа 5 имеет единицу, верно и обратное. В 1978 году автор получил принципиально другое доказательство этого результата, использующее свойства полугрупп с условием минимальности для правых конгруэнций.
В 1971 году Рено [70] и Вудс [83] доказали (см. также [11]), что групповое кольцо #(7 совершенно справа в том и только том случае, если кольцо Я совершенно справа, а группа (7 конечна. О.И.Доманов [6,7] и Окнинский [64,65] рассмотрели условия совершенности полугрупповых колец Яв. Вопрос о совершенности кольца ЯЯ (если Я нерадикальио) был сведен к соответствующему вопросу для колец Я5, в которых 5 -вполне 0-простая или нильполугруппа. В случае вполне 0-простой полугруппы Дома-
7
нов свел вопрос о совершенности Я5 к наличию в некотором подкольце этого кольца полиномиального тождестза и решил его для случая, когда нольцо коэффициентов есть поле характеристики 0 [7]. Окнииский получил характеризацию совершенных (сжатых) полугрупповых колец Я5, где Я - поле, используя введенное им отношение р—эквивалентности на множестве идемпотентов полугруппы 5 (см. [64], гл. 14, теор.21 или [65]). Автор и М.Я.Финкелыитейн получили более прозрачную характе-' риэацию этих колец.
В [51] были рассмотрены условия совершенности и полупримарности колец, градуированных полугруппой. В [41] получено значительное усиление упоминавшейся выше теоремы Зельманова. А именно, доказано, что если кольцо , градуированное полугруппой 5, артиново справа и 5 не содержит бесконечных подгрупп, то Яа = 0 для почти всех а. Предположение об отсутствии бесконечных подгрупп существенно ввиду построенного Пассманом [66] примера скрещенного группового кольца Яр£ бесконечной группы (7, являющегося полем, а значит, артиновым кольцом. В противоположность этому для широкого класса колец Яс, градуированных группой, Саорин [12] доказал, что группа (7 конечна, если Яс артиново.
Гораздо более сильным условием, чем артиновость, является алгебраическая компактность. Алгебраически компактные кольца и модули имеют тесные связи с логикой и топологией (см. [77], [86]). В 1982 г. Циммерман доказал [87], что групповое кольцо ЯО алгебраически компактно справа в том и только том случае, если кольцо Я алгебраически компактно справа, а группа 67 конечна. Эта теорема обобщает упоминавшуюся ранее теорему Коннэлла об артиновых групповых кольцах. Кроме того, из теоремы Циммермана следует, что точно такое же утверждение справедливо для линейно компактных (в дискретной топологии) групповых колец. В противоположность групповым кольцам, алгебраическая компактность полугруппового кольца Я5 не влечет конечность полугруппы Я, но накладывает сильные ограничения на ее строение. В частности, полугруппа 5 оказывается периодической, удовлетворяет условию обрыва цепей идемпотентов и т.д. Линейная компактность кольца Я5 влечет конечность полугруппы 5. Автором в работах [102], [103] сделан обзор результатов по условиям конечности в полугрупповых кольцах.
Инъективность модуля и самоинъективность кольца не являются, вообще говоря,
8
условиями конечности, но близость этих условий к условиям конечности, если мы имеем дело с групповыми или полу групповыми кольцами, является несомненной. В частности, теорема Рено см. [70], [11)) утверждает, что групповое кольцо 1Ю является самоинъективным справа в том и только том случае, если кольцо Я самоинъек-тивно справа, а группа £ конечна. В случае полугруппового кольца ЯЯ, влечет ли его самоинъективность конечность группы (Я, является открытым вопросом. Фа-унтэн ошибочно утверждал, что полу групповое кольцо счетной полугруппы левых нулей над полем является самоинъективным справа. Автором была доказана конечность полугруппы Я самоинъективного справа кольца ЯЯ вначале в случае, когда Я - полурешетка, затем в случае инверсной полугруппы. Впоследствии Окнинский (см. [64]) доказал конечность полугруппы Я при условии, что ЯЯ самоинъективно слева и справа, а также в случае, когда ЯЯ самоинъективно с одной стороны, но Я - регулярная или, что более общо, полупростая полугруппа. Сравнительно недавно автору удалось доказать, что Я удовлетворяет условию минимальности для главных левых идеалов, порожденных идемпотентами.
Целью данной работы является систематическое исследование полугрупп и по-лугрупповых колец, удовлетворяющих условиям конечности, а также полугрупп, над которыми полигоны удовлетворяют условиям конечности. В диссертации рассматривается условие максимальности для односторонних конгруэнций полугрупп, финитная аппроксимируемость полигонов над полугруппами, а также различные обобщения артиновости для полугрупповых колец. Рассматриваемые условия тесно связаны друг с другом: выполнение условий конечности в полигонах над полугруппой влечет выполнение определенных условий (часто довольно сильных) в самой полугруппе, а условия, наложенные на полугрупповое кольцо ЯЯ, накладывают условия на полугруппу Я. Например, артшювость справа (или нетеровость справа) кольца ЯЯ влечет условие минимальности (или максимальности) для правых конгруэнций полугруппы Я.
В доказательствах применяются методы структурной теории полугрупп, структурной теории колец и комбинаторные методы. К главным результатам диссертации можно отнести следующие:
• Докапана конечная порожденность дуополугрупп (левых или правых), удовле-
9
творяющих условию максимальности для правых конгруэнций. Описаны полугруппы, все нетривиальные правые конгруэнции которых имеют конечный индекс. Исследованы полугруппы, удовлетворяющие слабому условию максимальности.
• Докапано, что полурешетки и только они обладают свойством, что все правые полигоны аппроксимируются двухэлементными. Доказана конечность нильпо-лугрупп, над которыми все полигоны финитно аппроксимируемы. Охарактеризованы коммутативные полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются конечными с ограниченными в совокупности порядками.
• Охарактеризованы совершенные справа и полупримарные полугрупповые кольца.
• Найдены условия алгебраической компактности полугруппового кольца. Доказано, что линейная компактность полугруппового кольца влечет конечность полугруппы.
• Доказано, что самоинъективиость полугруппового кольца влечет выполнение в полугруппе условия минимальности для левых идеалов, порожденных идемпотента-ми.
Все результаты диссертации являются новыми.
Перейдем теперь к изложению содержания диссертации по главам.
В первой главе диссертации рассматривается условие максимальности для односторонних конгруэнций полугруппы. Автор продолжил исследования, начатые в кандидатской диссертации, где были охарактеризованы инверсные и вполне 0-простые полугруппы с условием максимальности. Для групп условие максимальности (минимальности) для правых (или левых) конгруэнций равносильно условию максимальности (минимальности) для подгрупп. Группы с этим условием могут быть устроены довольно сложно, как показывают примеры из гл. 9 в [22], поэтому имеет смысл изучать эти условия в полугруппах ”с точностью до групп”. В [39] было доказано, что коммутативная полугруппа удовлетворяет условию максимальности для конгруэнций в том и только том случае, если она конечно порождена. В [48] Хотцелем был поставлен вопрос: является ли всякая полугруппа 5 с условием максимальности конечно порожденной? Там же был дан положительный ответ на этот вопрос в следующих случаях: (а) если полугруппа 5 слабо периодическая, т.е.
10
Уа 6 5 Зп ((51ап5т)2 = 5*ап51); (б) если в 5 всякий «7-класс является классом некоторой конгруэнции. Периодические полугруппы удовлетворяют условию (а), а коммутативные - условию (б), поэтому для этих классов полугрупп проблема Хотцеля решается положительно. Примеры полугрупп с условием максимальности, которые не были бы конечно порождены, автору неизвестны, но если они есть, их можно найти среди счетных полугрупп:
Теорема 1.1. Если существует полугруппа 5 с условием максимальности для правых конгруэнций, не имеющая конечного множества образующих, то существует счетная полугруппа с этим свойством.
В двух частных случаях мы получаем положительное решение проблемы Хотцеля:
Теорема 1.5. Полугруппа, удовлетворяющая условию максимальности для правых и левых конгруэнций, является конечно порожденной.
Теорема 1.8. Если 5 - правая или левая дуополугруппа и 5 удовлетворяет условию максимальности для правых конгруэнций, то 5 конечно порождена.
Произвольная полугруппа с условием максимальности для правых конгруэнций обладает следующим свойством ^-классов:
Предложение 1.2. 3-класс полугруппы с условием максимальности для правых конгруэнций является объединением конечного числа 71-классов.
Условие максимальности на правые конгруэнции полугруппы 5 заведомо выполняется, если 5 обладает свойством
все нетривиальные правые конгруэнции имеют конечный индекс. (*)
Характеризацию полугрупп, удовлетворяющих условию (*), дает
Теорема 1.25. Полугруппа 5 удовлетворяет условию (*) в том в т.олько том случае, если 5 конечна или 5 изоморфна подполугруппе аддитивной полугруппы
11
ZU{ —со}.
Следствием этой теоремы является тот факт, что в группе G все нетривиальные подгруппы имеют конечный индекс в том и только том случае, если G конечна или является бесконечной циклической группой. Для полугрупповых алгебр FS над полем F справедливо утверждение, аналогичное теореме 1.5:
Теорема 1.29. Все нетривиальные правые идеалы полугрупповой алгебры FS имеют конечную коразмерность над полем F в том и только том случае, если полугруппа S либо конечна, либо изоморфна подполугруппе аддитивной полугруппы Zü{ — со}.
Пусть Д = {(5,5) | я € S} - отношение равенства на полугруппе S. Для каждого а £ S положим р(а) = {(я, 2/) | < а. > хП < а > у ф 0}. Условие (*) можно ослабить до следующего:
Va £ S (р(а) ф Д => \S/p(a)\ < 00). (**)
Полугруппы, удовлетворяющие условию (**), составляют гораздо более широкий класс полугрупп, чем удовлетворяющие (*). В частности, условию (**) удовлетворяют: (а) конечные полугруппы, (б) нильполугруппы, (в) полугруппы левых (правых) нулей, (г) полурешетки с конечным нижним конусом, т.е. такие, что |aS| < 00 для всех а Е S. Полугруппы с условием (**), конечно, могут не удовлетворять условию максимальности для правых конгруэнций. По (**) также является условием конечности. Оно довольно сильное, как показывает следующая
Теорема 1.43. Пусть S - полугруппа с условием (**). Тогда:
(1) подполугруппа и гомоморфный образ полугруппы S также удовлетворяют (**);
(2) всякая бесконечная подгруппа полугруппы S является циклической;
(3) |б5| < оо для любого идемпотента е, не являющегося левой единицей;
(4) S удовлетворяет условию минимальности для главных левых идеалов, порожденных идемпотептами;
(5) всякий (О-)простой главный фактор полугруппы S вполне (0- jnpoem;
(6) если M°(G,/, Л, Р) - вполне 0-простой главный фактор полугруппы S, то либо |(7|, |Л| < оо, либо |/|, |А| < оо и G = Z, либо |С| = |/| = 1; аналогичное
12
утверждение верно для вполне простого главного фактора.
Во второй главе диссертации рассматриваются условия конечности для полигонов над полугруппами. Понятно, что по свойствам категории полигонов над данной полугруппой 5 можно судить о свойствах самой полугруппы 5 и наоборот (см.[26], [13] и серии работ Фляйшера, Буллмана-Флеминга и др.)- Естественно спросить: над какими полугруппами 5 все правые 5-полигоны резидуалыю конечны (в другой терминологии, финитно аппроксимируемы), т.е. аппроксимируются конечными полигонами? Положительный ответ на этот вопрос равносилен выполнению в полугруппе S следующего условия:
все подпрямо неразложимые правые 5 — полигоны конечны. (#)
Введем еще два условия:
мощности подпрямо неразложимых правых 5 — полигонов /мм\
э [frit)
ограничены одним натуральным числом
и
|A"| < 2 для всякого подпрямо неразложимого S — полигона X. (###)
В диссертации найдены необходимые и достаточные условия выполнения (###) для всех полугрупп и (##) для коммутативных и нилыюлугруни. Найдены некоторые необходимые и некоторые достаточные условия выполнения (#).
Теорема 2.7. Все правые S-полигоны аппроксимируются двухэлементными полигонами в том и только том случае, если S - полурешетка, т.с. коммутативная полугруппа идемпотентов.
В этой теореме не предполагается, что полугруппа 5 имеет единицу. Если же 5 -моноид (т.с. полугруппа с единицей) и все 5-полигоны предполагаются унитарными (т.е. а • 1 = а), то имеет место аналогичная теорема:
Теорема 2.8. Пусть 5 - моноид. Все унитарные правые S-полигоны аппроксимируются двухэлементными в том и только том случае, если S - коммутативный моноид идемпотентов.
13
Необходимым условием выполнения (#) является резидуальная конечность полугруппы 5 и всех ее гомоморфных образов. Достаточное условие - конечность полугруппы:
Теорема 2.9. Если |5| = п, то все подпрямо неразложимые правые, (и левые) Э’Полигоны состоят не более чем из 2П+1 элементов.
Необходимое условие выполнения (##) дает
Теорема 2.34. Если Х\ < п для любого подпрямо неразложимого правого 5-полигони X, то 5 - периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов.
Бесконечный циклический моноид и бесконечная циклическая полугруппа не удовлетворяют условиям (#), (##), а бесконечная циклическая группа удовлетворяет (#), но не удовлетворяет (##). Поэтому (#) и (##) неэквивалентны и периодичность полугруппы не является необходимым условием для (#). В случае нильполу-групп эти условия эквивалентны, как показывает
Теорема 2.26. Пусть 5 - нильполугруппа. Тогда условия (#) и (##) равносильны, и каждое из них равносильно конечности полугруппы 5.
Чтобы сформулировать теорему, описывающую коммутативные полугруппы с условием (##), введем некоторые обозначения. Пусть 5 - коммутативная полугруппа. Так как речь идет о выполнении условия (##), то ввиду теоремы 2.34 можно считать, что полугруппа 5 периодическая. Пусть Е - ее полурешетка идемпотен-тов. Тогда 5 = и{5в | е 6 Е}, где 5« = {.9 £ 5 | зт = е при некотором т}. Пусть <т : Е = Е' и Е" - разбиение множества Е. Обозначим через р(сг) наименьшую конгруэнцию на полугруппе 51 такую, что (5,1) 6 р(сг) для всех 5 <Е 5е при е £ Е' и (эе, е) € р(<г) при е € Е" и всех 5 £ 5.
Теорема 2.30. Существуют функции <р(п), ф(п) натурального аргумента п такие, что для любой коммутативной полугруппы 5 верны утверждения:
(Л) если зп = з2п для всех 5 € 5 и 151/р(<т)| < п для всех разбиений а : Е = Е'иЕ”,
14
то І Л! < <р(п) для любого подпрямо неразложимого в-полигопа А;
(Б) если \Л\ < п для всякого подпрямо неразложимого 5- полигона А, то зп! =
$2п[ для всех з Є 5 и |51/р(^)І < Ф(ТІ) для любого разбиения а : Е — Е' и Е".
Третья глава диссертации посвящена условиям артиновости, совершенности и полупримарности полугрупповых колец. Для формулировки результата введем некоторые обозначения. Пусть Є * конечная группа и п - неотрицательное целое число. Тогда Єп = {1}, если п = 0 или п - составное число, и Сп - наибольшая нормальная р-подгруппа группы (?, если п = р - простое число. Далее, для (А х /)-матрицы Р с элементами рл» € С и {0} пусть Р = '|рм||, где 0 = 0 и д - образ элемента д € Є при гомоморфизме С? —► <?/£п. Имеет место
Теорема 3.12 Сжатое полугрупповое кольцо ЯБ совершенно справа (соотв., полупримарно) в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:
(1) Я - исчезающее слева (соотв., пиль потентное) кольцо;
(2) Я - совершенное справа (соотв., полу примарно е) нерадикальное кольцо, а полугруппа 5 обладает свойствами:
(а) все подгруппы полугруппы 5 конечны;
(б) Я имеет ряд идеалов 0 = 5о С Зі С ... С 5т = 5, факторы которого 5і/5;_і (і = 1,...т) - исчезающие слева (соотв., нильпотентные) или вполне 0-простые полугруппы;
(в) если £»/&_і = Л/0(£, /, Л, Р) - вполне (0)- простая полугруппа и п = с/тг(Я/7(Л) то матрица Рп имеет лишь конечное число попарно неравных строк.
Если отказаться от ассоциативности, т.е. рассматривать группоидные кольца (где С? - группоид), то артиновых колец станет гораздо больше. Имеют место следующие теоремы:
Теорема 3.13. Пусть Б - поле и й - группоид. Тогда существует группоид ЯЗС такой, что группоидное кольцо БН имеет ровно три правых идеала: 0, Л(ЯЯ) (фундаментальный идеал) и БЫ.
Теорема 3.14. Пусть Б - поле рациональных чисел и (2 - группоид с правым
15