-2 —
Содержание
0 Введение 3
1 Краевые и внешние краевые задачи 16
1.1 Общие свойства эллиптических дифференциальных операторов второго порядка.................................. 16
1.2 Задача Дирихле.................................... 24
1.3 О задаче Дирихле па римановых многообразиях специального вида............................................. 28
1.4 О взаимосвязи между разрешимостью краевой и внешней краевой задач........................................ 31
1.5 О разрешимости краевых задач для уравнения Шрёдингера
при изменении коэффициента с(х) ..................... 40
2 Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях специального вида 45
2.1 О разрешимости краевых задач уравнения Шрёдингера 45
2.2 О разрешимости краевых и внешних краевых задач на
римановых многообразиях специального вида............ 78
2.3 Примеры............................................. 82
3 О поведении ограниченных решений на римановых произведениях 92
3.1 Некоторые краевые задачи для уравнения Шрёдингера 92
3.2 О разрешимости задачи Дирихле на римановых произведениях .................................................ИЗ
-3 —
Глава О Введение
В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решений некоторых эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, в частности, уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных ученых математиков: М. Андерсона, Е.М. Ландиса, Л. Нирен-бсрга, O.A. Олейник, H.H. Уральцевой, С.Л. Соболева, Д. Сулливана, С.Т. Яу, A.A. Григорьяна, В.Г. Мазьи, В.М. Миклюкова, Н.С. Нади-рашвили, П. Ли, А.Г. Лосева и ряда других авторов. Обзор классических и современных методов теории эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными представлен в известных монографиях Р. Куранта, Д. Гильберта [18], O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой [19], Л. Херман дера [42], Е.М. Ландиса [20], Д. Гилбарга, Н. Трудингера [8].
Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является достаточно новым направлением в современной математике и лежит на стыке дифференциальной геометрии, математического анализа, теории случайных процессов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространства ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии.
Классическая теорема Лиувилля утверждает, что всякая ограни-
ченная гармоническая в R" функция является тождественной постоянной. Однако класс полных многообразий, на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические функции, достаточно широк. Так, например, М.Андерсон [1] и Д.Сулливан [41] показали, что на полном односвязном многообразии с секционной кривизной, заключенной между двумя отрицательными константами, существует бесконечномерное множество нетривиальных ограниченных гармонических функций и, более того, разрешима задача Дирихле о восстановлении гармонической на таком многообразии функции по непрерывным граничным данным для случая идеальной границы.
В этой связи, важным является изучение на римановых многообразиях поведения решений уравнения Аи — \и = 0,A = const>0. Известно (см. [14]), что существование ненулевого ограниченного решения этого уравнения эквивалентно стохастической неполноте рассматриваемого многообразия (многообразие стохастически полно, если стохастический процесс, ассоциированный с римановой структурой многообразия, имеет бесконечное время жизни).
В работах ряда авторов П. Ли, С.Т. Яу [21], A.A. Григорьяна [10], [11], A.A. Григорьяна, Н.С. Надирашвили [12], A.A. Григорьяна, У. Хансена [13], А.Г. Лосева [23], М. Мурата [37], [38] — решались аналогичные задачи для линейных эллиптических уравнений более общих, чем уравнение Лапласа-Бельтрами, в частности, для стационарного уравнения Шрёдингера
Lu = А и — с(х)и = 0, (0.1)
где с{х) — вещественнозначная неотрицательная функция.
Особый интерес представляет взаимосвязь между разрешимостью внешних краевых задач и структурными свойствами многообразия. Одним из важных результатов, относящихся к данному направлению, является теорема A.A. Григорьяна и Н.С. Надирашвили [12] об эквивалентности следующих условий:
а) на римановом многообразии М существует ограниченное отличное от постоянного решение уравнения (0.1);
б) на М \ В (где В — компакт в М с гладкой границей дВ, М\В связно) существует ограниченное отличное от по-
стояпного решение внешней краевой задачи Неймана
dv
Av - c(x)v = 0, —
ov
= 0.
дв
В [12] также установлена зависимость свойств решений уравнения (0.1) на римановых многообразиях от изменения функции с(х). Доказано, что если 0 < с(я) < Ас\(х), где А = const > 0, с(х) ф 0, то из выполнения теоремы Лиувилля для уравнения А и — с(х)и = 0 следует ее выполнение и для уравнения Av — c\(x)v — 0.
По проблематике диссертационная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является дальнейшее исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и поведением ограниченных решений уравнения Шрёдингера на таких многообразиях, получение необходимых и достаточных условий разрешимости задачи Дирихле для этого уравнения на некомпактных римановых многообразиях.
В настоящей работе предлагается новый подход к постановке краевых задач на некомпактных римановых многообразиях, основанный на введении понятия класса [/] эквивалентных на многообразии М непрерывных ограниченных функций. Заметим, что в условиях, когда существует каноническая геометрическая компактификация многообразия М (например, на многообразиях отрицательной секционной кривизны), добавляющая границу на бесконечности, данный подход естественным образом приводит к постановке задачи Дирихле, как она понимается в работах [1], [38], [41], [43] и др.
Следующие результаты диссертации являются новыми.
1. Установлена взаимосвязь между разрешимостью краевых и внешних краевых задач для уравнения Шрёдингера на произвольных гладких связных некомпактных римановых многообразиях.
2. Получены условия разрешимости краевых задач на произвольных некомпактных римановых многообразиях при изменении функции с(х) в уравнении (0.1).
3. Получены необходимое и достаточное условия разрешимости задачи Дирихле на римановых многообразиях, имеющих концы специального вида.
Наряду с широким применением техники априорных оценок решений эллиптических уравнений второго порядка в работе используются теоретико-функциональные методы, связанные с исследованием поведения решений уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях специальноо вида.
Основные результаты диссертации докладывались на IV Международной конференции женщин-математиков (г. Волгоград, 1996 г.), на Всероссийских школах-конференциях ’’Алгебра и анализ” (г. Казань, 1997 г.), ’’Современные проблемы теории функций и их приложения” (г. Саратов, 1998 г.), ’’Современные методы в теории краевых задач” (г. Воронеж, 1998 г.), на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (1995, 1996, 1998 гг.), на ’’Международной конференции по анализу и геометрии” (г. Новосибирск, 1999 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (1997-1999 гг.), на научном семинаре ИМ СО РАН (апрель, 1996 г., рук. проф. Копылов А.П.), в разнос время на семинарах Вол-ГУ ’’Нелинейный анализ” (рук. проф. Миклюков В.М.) и ’’Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка на римановых многообразиях” (рук. проф. Ткачев В.Г.).
Работа ”0 поведении ограниченных решений уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях” на IV Межвузовской конференции студентов и молодых ученых Волгоградской области по направлению ’’Физика и математика” заняла призовое место.
Основные результаты опубликованы в [25]- [35]. Все результаты из совместных статьей, использованные автором в диссертации, получены им самостоятельно.
Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе вводятся понятия краевой и внешней краевой задач для уравнения Шрёдингера на произвольном гладком связном некомпактном рима-новом многообразии М и установливается взаимосвязь между разрешимостью краевых и внешних краевых задач. Кроме того, в первой главе получены условия разрешимости краевых задач в зависимости от изменения коэффициента с(х) в уравнении (0.1). Во второй и третьей главах изучается поведение ограниченных решений уравнения (0.1) на римановых многообразиях специального вида, рассматривается вопрос о постановке и разрешимости задачи Дирихле на таких
многообразиях.
Перейдем к точным формулировкам.
В работе изучается поведение ограниченных решений уравнения (0.1), где с(х) >0 — гладкая на римановом многообразии функция.
Пусть М — произвольное гладкое связное некомпактное римано-во многообразие без края, {Дь}^ — исчерпапие многообразия М, то есть последовательность нредкомпактиых открытых подмножеств ри-манова многообразия М таких, что В к С Дь+ь М = U^Дь
Пусть fi(x) и f2(x) непрерывные ограниченные на М функции. Будем говорить, что функции f\(x) и f2(x) эквивалентны на М и обозначать fi(x) ~ f2{x), если для некоторого исчерпания {Bk}kLi мпого-образия М выполнено
lim \\fx{x) - f2(x)\\co(M\Bk) =
К * ОО
где ||/(ж)1Ь(С) = supG|/(x)|.
Введенное понятие не зависит от выбора исчерпания. Класс эквивалентных / функций будем обозначать через [/].
Пусть В С М — произвольное компактное подмножество с гладкой границей и В С Вк для всех к. Ясно, что отношение эквивалентности характеризует поведение функций вне произвольного компакта G С Му и, если изменить значение функции лишь па компакте, то новая функция будет эквивалентна исходной.
Будем говорить, что для уравнения (0.1) на М разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/], если на М существует решение и(х) уравнения (0.1) такое, что и 6 [/].
Будем говорить, что для уравнения (0.1) на М\В разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/], если для любой непрерывной на дВ функции Ф(х) на М\В существует решение и(х) уравнения (0.1) такое, что и £ [/] и и\дв = Ф|55.
Заметим, что если многообразие М имеет компактный край дМу то данная постановка краевой задачи эквивалентна классической постановке задачи Дирихле.
Пусть {Дь}*^ — исчерпание многообразия М с гладкими границами дВк. Обозначим Vk — решение уравнения (0.1) в Вк\В9 удовле-
творяющее условиям
ук\дВ = *■» ук\дВк ~
Последовательность функций {^}ь=1 сходится на М \ В к решению уравнения (0.1)
V = Нш 0 < V < 1, V\дв = 1.
к~* оо
При этом функция V не зависит от выбора исчерпания
Функцию V будем назвать Ь-потенциалом компакта В относительно многообразия М.
Для уравнения Лапласа Бельтрами функция V есть не что иное, как емкостный потенциал компакта В относительно многообразия М (см. [9], [11]).
Многообразие М будем называть многообразием параболического типа, если для некоторого компакта В его емкостный потенциал тождественно равен 1. Многообразие, на котором существует нетривиальный емкостный потенциал, будем называть многообразием непараболического типа.
Если многообразие М устроено так, что впешность некоторого компакта В С М состоит из р компонент связности , £>2,..., Вр с некомпактными замыканиями, то для каждой области Д- понятие парабо-личности и непараболичпости типа определяется аналогичным образом.
Многообразие М будем называть Ь-строгим многообразием, если для некоторого компакта <2 С М существует //-потенциал и такой, что и € [0], (если £=Д, то многообразие будем называть Д-строгим).
Будем говорить, что многообразие М является Ь-точным, если на нем существует решение и уравнения (0.1), удовлетворяющее условию «€[1].
В первой главе диссертационной работы устанавливается взаимосвязь между разрешимостью краевых и внешних краевых задач для уравнения (0.1) на М. Основные результаты главы содержатся в следующих утверждениях.
Теорема 1.1. Пусть на М\ В для любой постоянной на дВ функции Ф(х) существует решение и(х) уравнения (0.1) такое, что и Е [/]
и u\dH — Ф|^й. Тогда па М для уравнения (0.1) разрешима краевая задача с граничными условиями из того же класса.
Следствие 1.3. Пусть на М \ В для уравнения (0.1) разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/]. Тогда на. М для уравнения (0.1) разрешима краевая задача с граничными условиями из того же класса.
Теорема 1.2. Пусть на L-строгом многообразии М для уравнения (0.1) разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/]. Тогда на М\В разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/].
Далее в первой главе наряду с уравнением (0.1) рассматривается уравнение
L\U = Лгі — C\(x)u = 0, (0.2)
где 0 < Сі (я) < с(х), с(х) — гладкая на М функция.
В [12] доказано, что из выполнения теоремы Лиувилля для уравнения L\U — 0 при С\(х) ф 0 следует ее выполнение и для уравнения Lu = 0.
Многие результаты настоящей работы можно охарактеризовать следующим образом. Очевидно, что выполнение на многообразии М теоремы Лиувилля для данного эллиптического уравнения автоматически влечет тривиальность класса решений краевых задач для ограниченных решений этого уравнения, в том числе и задачи Дирихле. В этой связи интерес представляют задача о массивности класса граничных данных, допустимых для разрешимости краевых задач (или о следах целых решений), а также вопрос о разрешимости краевых задач для уравнения Шрёдингера при различных коэффициентах с(х).
Следующий результат дополняет и уточняет сформулированную выше теорему работы [12] для случая краевых задач.
Теорема 1.3. Пусть на L-точном многообразии М для уравнений Lu = 0 и А и = 0 на М \ В разрешимы внешние краевые задачи с граничными условиями из класса [/]. Тогда на М\В разрешима внешняя краевая задача для уравнения L\u = 0 с граничными условиями из класса [/].
Как следствие из теоремы 1.3, имеет место следующее утверждение.
Следствие 1.5. Пусть выполнены условия теоремы 1.3. Тогда на
— 10 —
М разрешима, краевая задача для уравнения Ь\и = 0 с граничными условиями из класса [/].
Во второй главе изучается поведение ограниченных решений уравнения (0.1) на римановых многообразиях, устороенных следующим образом. Пусть полное риманово многообразие М представимо в виде М = В и Д и Д и ... и Д,, где В — некоторый компакт, области Д попарно не пересекаются, а каждая область Д изометрична прямому произведению Я+ х (где 11+ = (0,+оо), £, — компактные римановы многообразия без края) с метрикой
— метрика на 5г-.
Будем говорить, что на многообразии М разрешима задача Дирихле для уравнения (0.1), если для любого набора (Фі($і),Ф‘2(02), • • • , Фр(#Р)) непрерывных на 5,- функций Фг(0,) существует решение и(х) уравнения (0.1), удовлетворяющее в каждой области Иг; условию
Всюду во второй главе предполагается, что в каждой области Д выполнено
сД2 = Н](г)дг2 + д1(г)д0}.
Здесь Ні(г) и р,(г) — положительные, гладкие на 11+ функции, а дв}
с(гД) = с,(г).
Введем обозначения:
где
Обозначим также
оо
Кі= / кі{і)дІ'п(і) Л,
ГО
где г0 > 0, П = СІІІП М, і = 1,. .. ,р.
- Київ+380960830922