ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. 7
§1. Введение. 9
1.1. Основные определения. 10
1.2. Краткое содержание работы. 10
1.3. Расположение материала. 13
ГЛАВА 1. СИНГУЛЯРНЫЕ (г, к, р)-ЗАЦЕПЛЕНИЯ. 14
§2. Множество М(г,А;,р). 14
2.1. Структуры в множестве М(г, &,р). 14
2.1.1. Материал, нужный для п. 2.1.2 и 2.1.3. 15
2.1.2. Групповая структура в множестве М(1,к,р). 16
г
2.1.3. Действие группы фМ(1,А?,р) в множестве М(г9к9р). 17
2.1.4• Материал, нужный для п. 2.1.5. 18
2.1.5. Групповая структура в множестве М(г,к,р) при
р <2к — 1. 19
2.2. Редукция проблемы из 1.1 к ее частным случаям. 20
2.2.1. Разложение множества М(г, к}р). 20
2.2.2. Отображение <5. 21
2.2.3. Добавление. 22
2.3. Замечание. 22
§3. Группа др(т,А). 23
3.1. Определение группы Л). 23
3.2. Разложение группы бр(г, А). 24
3.3. Вычисление группы </р(1,0). 20
3.4. Короткая последовательность для группы бр(г.А). 27
3.5. Добавление к п. 3.4. 29
2
§4. Гомоморфизмы Ли(и отображения тг и р. 30
4.1. Гомоморфизм Л. 30
4.2. Гомоморфизм Ç. 30
4.3. Материал, нужный для п. 4.4. 31
4-3.1. Множество С (г, к) и отображение Л. 32
4.3.2. Базисные вложения. 33
4.3.3. Периферические вложения. 34
4-3-4- Основная лемма. 37
4.4. Отображение тг и множество 41
4.5. Отображения pt и р. 43
4.6. Добавление к п. 4.5 и замечание. 44
4.7. Отображение тг(и). 45
4.8. Короткая последовательность для множества £-1(гг). 46
4.9. Применение. 47
§5. Доказательства, пропущенные в §2. 49
5.1. Доказательство леммы из 2.1.1. 49
5.2. Лемма, нужная для п. 5.3. 52
5.3. Доказательство теоремы 2.2.1. 52
§6. Доказательства, пропущенные в §3. 54
6.1. Доказательство теоремы 3.2. 54
6.2. Доказательство лемм 1-3 и теоремы из п. 3.4. 57
6.2.1. Теорема, из которой следуют леммы и теорема и. 3.4. 57
6.2.2. Материал, нужный для доказательства теоремы 6.2.1. 58
6.2.3. Первый этап доказательства: последовательность для группы 7г'(р,г, Л). 61
6.2.4- Второй этап доказательства: последовательность для
группы тг"(р,г, Л). 66
3
6.2.5. Завершение доказательства теоремы 6.2.1. 69
6.2.6. Следствие. 70
§7. Доказательства, пропущенные в §4. 71
7.1. Доказательство леммы 4.3.4. 71
7.2. Материал, нужный для п. 7.3. 74
7.2.1. Пространство У. 75
7.2.2. Гомотопическая структура пространства У. 76
7.2.3. Применение. 76
7.3. Доказательство леммы 4.4.1. 81
7.4. Доказательство первой части теоремы 4.7. 85
7.4.1. Подготовительный материал. 85
7.4.2. Основная лемма. 86
7-4-3. Доказательство основной леммы. 88
7.5. Завершение доказательства теоремы 4.7. 90
7.5.1. Две леммы. 90
7.5.2. Вывод взаимной однозначности отображения 7?(и) из лемм предыдущего подпункта. 93
7.5.3. Доказательство леммы 7.5.1.2. 95
7.6. Доказательство теоремы 4.2. 101
ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ 1. Псевдогомотопические инварианты сингулярных (г,&,р)-зацеплений. 102
ГЛАВА 2. ЗАЦЕПЛЕНИЯ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ БОЛЬШИХ ДВУХ. 107
§8. Основные результаты главы 2. 107
8.1. Группы V и Р. 107
8.2. Гомоморфизм Е3. 108
4
8.3. Гомотопический материал. 109
8.3.1. Группа 7гр. 109
8.3.2. Сведения о группе 7гр. 110
8.3.3. Гомоморфизм Es. 111
8.3.4. Сведения о гомоморфизме Es. 112
8.4. Гомоморфизм д. 114
8.5. Гомоморфизм As. 115
8.6. Связь гомоморфизма с Ai. 116
8.7. Дополнение к п. 8.5 и 8.6. 117
8.7.1. Гомоморфизмы х$- И7
8.7.2. Связь гомоморфизмов \t с Хз- 118
8.7.3. Связь гомоморфизмов x.s с As. 119
8.8. Результаты, имеющиеся в литературе, и их связи с основными результатами п. 8.1-8.7. 119
§9. Пропущенные доказательства. 123
9.1. Характеристика элементов группы КегР8. 123
9.2. Доказательство корректности определения гомоморфизма Es. 124
9.3. Эпиморфность отображения 3. 125
9.4. Корректность определения гомоморфизма А5. 125
ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ 2. Псевдогомотопические инварианты зацеплений коразмерностей больших двух. 127
ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАЦЕПЛЕНИЯ ТИПА
(2к + 1,р) В 4к + 2-СФЕРЕ. 129
§10. Основные результаты главы 3. 129
10.1. Группа Мі (к, р). 129
10.2. Группа Пр(к). 129
5
10.3. Отображение д. 131
§11. Материал, нужный для доказательства теоремы 10.3. 133
11.1. Отображения в2к+г —> У4*'*'2. 133
11.1.1. Теорема аппроксимации. 133
11.1.2. Теорема существования. 133
11.1.3. Теорема. 134
11.1.4• Теорема. 134
11.2. Отображения 32к+1 х / —>■ Б4к+2 х I. 134
11.2.1. Теорема аппроксимации. 135
11.2.2. Теорема существования. 136
11.2.3. Теорема. 136
11.3. Замечания о теоремах 11.1.1, 11.1.2 и 11.2.1. 137
11.4. Доказательство теоремы 11.1.3. 137
11.5. Доказательство теоремы 11.1.4. 142
11.6. Элементарные модельные отображения /(2\ . 144
11.7. Обозначения, нужные для п. 11.8 и 11.10. 145
11.8. Доказательство теоремы 11.2.2. 146
11.9. Лемма. 149
11.10. Доказательство теоремы 11.2.3. 149
§12. Доказательство теоремы 10.3. 155
12.1. Предварительный материал. 155
12.2. Корректность определения, данного в п. 12.1. 155
12.3. Эпиморфность отображения д. 156
12.4. Инъективность отображения г). 157
Литература. 159
Приложение. 164
6
Предисловие
Теория сингулярных зацеплений относится к топологии многообразий. Она содержит в качестве своей важной части теорию классических (т.е. несингулярных) зацеплений, но не сводится к ней.
Основы современной теории сингулярных зацеплений были заложены около пятидесяти лет назад работами Р. Фокса [2] и Дж. Мил-нора [24]. За прошедшие годы усилиями топологов в первую очередь Англии, Германии, России и США в этой теории было получено много содержательных результатов. Тем не менее, в настоящее время положение в ней вряд ли следует считать удовлетворительным: методы недостаточно разработаны и, как следствие этого, многие результаты разрознены и иногда весьма специальны.
Псевдогомотопическая теория — одна из главных ветвей теории сингулярных зацеплений. Она возникла на стыке теории конкордиз-мов классических зацеплений, с одной стороны, и теории гомотопий, с другой. Основные результаты, содержащиеся в литературе, относятся к трем разделам псевдогомотопической теории, связанным друг с другом сравнительно слабо.
Первый раздел изучает множество псевдогомотопических классов одномерных классических и сингулярных зацеплений в К3 и 53. Он был разработан Милнором, А. Пленсом, Дж. П. Левином, Ш.-С. Линем и Н. Хабеггером.
Второй раздел теории относится к классическим и сингулярным сферическим зацеплениям в Мп и 5П, все компоненты которых имеют коразмерность большую двух. Результаты принадлежат главным образом У. Кошорке, У. С. Масси, Д. Ролфсену, Дж. П. Скотту, В. Г. Тураеву, Хабеггеру, У. Кайзеру, автору.
Наконец, третий раздел посвящен изучению двухкомпонентных
7
сингулярных сферических зацеплений в Еп и 5П, но крайней мере одна компонента которых имеет коразмерность не большую двух. Этот раздел теории развит в первую очередь работами П. Кирка, Кошорке, Г.-С. Ли. П. Тайхнера, Р. Фенна, Ролфсена, автора.
(Имеется еще один, четвертый, раздел теории, изучающий сингулярные сферические зацепления в многообразиях и сингулярные зацепления многообразий и полиэдров в Кп. Результаты, относящиеся к этому разделу, содержатся в работах Кирка, Кошорке, Милнора, А. Б. Скопенкова, Фокса.)
Фундаментальная проблема состоит в построении единой псевдо-гомотопической теории сингулярных зацеплений, содержащей в качестве составных частей упомянутые разделы.
Построению многомерной теории, включающей, насколько эго оказалось возможным, упомянутые выше результаты, развивающей их и составляющей вместе с теорией Фокса-Милнора одномерных сингулярных зацеплений единое целое, и посвящена, в первую очередь, настоящая работа.
Основные результаты этой работы были опубликованы в [27]-[40].
8
§1. Введение
Сингулярное зацепление тина (рх,... ,рг) в многообразии IV — это упорядоченный набор непрерывных отображений в И/Г сфер 5Р1, ..., 5Рг, образы которых попарно не пересекаются.
Теория сингулярных зацеплений начинает с того, что для любого IV разбивает сингулярные зацепления одного типа на классы гомотопности, псевдогомотопности, кобордантности и т. д. и организует их, когда это возможно, в группы посредством покомпонентного связного суммирования. После этого главной задачей становится изучение и вычисление этих множеств (соответственно групп) классов, нахождение связей между ними.
Есть лишь несколько ситуаций, в которых эта задача решена полностью или частично; см. [ 5, б, 12, 13, 15, 16, 19, 21, 47], а также п. 8.8 настоящей работы.
Как правило, решения подчинены схеме, которая стала в топологии уже классической. Она состоит в том, что исходная задача редуцируется к некоторой гомотопической задаче, к которой в свою очередь применяется аппарат алгебраической топологии. Главная трудность связана с отсутствием развитой методики построения редукции. Это объясняется сложностью самого предмета, а часто и отсутствием в литературе тех разделов теории гомотопий, на которые опираются соответствующие геометрические исследования.
Целью настоящей работы является создание метода изучения многомерных сингулярных зацеплений и применение этого метода к задаче псевдогомотопической классификации сингулярных и классических зацеплений. (В случае одномерных сингулярных зацеплений такой метод имеется: это метод Фокса-Милнора, основанный на использовании группы Фокса-Милнора одномерного зацепления, см.
9
[2, 24].)
1.1. Основные определения. В этом пункте введены определения, которыми мы будем пользоваться на протяжении всей работы.
Пусть п,г,р1,... ,рг — натуральные числа. Сингулярным зацеплением. типа (Р1,...,Рг) в Зп называется последовательность непрерывных отображений
Л : 5Р1 -> 5П,..., /г : -> 5П
с попарно непересекающим и ся образами. Если Д,..., /г — топологические вложения, то сингулярное зацепление (Д,...,Д) называется также (классическим) зацеплением типа (ръ- • - ,Рг) в 5П.
Сингулярные зацепления (Д,..., /г) и (/{,..., /') называются псев-догомотопными, если существует последовательность непрерывных отображений
£Р1 х 7 ->5П х х 7 -> 5П х /
с попарно непересекающимися образами, такая что
ЯМ) = (1г{х),0) и Ъ(х, 1) = (//(ж), 1)
для х 6 Бр* и г = 1,..., г.
1.2. Краткое содержание работы. В работе создан и разработан метод, который позволил нам построить псевдогомотопические теории сингулярных и классических зацеплений следующих типов.
([) Сингулярные зацепления типа р) в 52А+1, где
А: > 1. Для сингулярных зацеплений такого типа проблема псевдого-
могопической классификации может быть сведена в ряде случаев к
10
вычислению (вводимых нами) многомерных аналогов группы Фокса-Милнора. В благоприятных случаях эти аналоги удается вычислить в терминах гомотопических групп сфер и их образов при гомоморфизме надстройки.
Особо отметим, что наши основные результаты допускают переформулировку, удобную для сравнения с соответствующими результатами из теории одномерных зацеплений. В частности:
для р < Зк — 2 нам удается определить аналоги чисел Милнора р(г,Д и р(г,,;\г + 1) и вычетов Милнора /1 (г^,г 4- 1) из теории одномерных зацеплений;
для р = 2к — 1 иг = 3 удается определить аналог вычета Левина в из теории одномерных зацеплений;
наши теоремы о псевдогомотопической классификации сингулярных (?’, к, 2к — 1)-зацеплений с г =1, 2 и 3, оказываются аналогами теорем Милнора из [24] и Левина из [18] о классификации двух-, трех-и четырехкомпонентных одномерных сингулярных зацеплений.
(11) Сингулярные зацепления типа (2к + 1,р) в 54/е+2, где к > 1. Для сингулярных зацеплений этого вида построена псевдого-мотопическая теория, параллельная части построенной нами теории сингулярных (/с, р)-зацеплений в 52/с+1. В частности, проблему псевдогомотопической классификации сингулярных зацеплений указанного вида мы сводим к вычислению некоторых групп, являющихся многомерными аналогами группы Фокса одномерного узла.
(ш) Классические зацепления типа (рь... ,рг) в 5П, где п-рг > 2 (г = 1,..., г). Мы строим псевдогомотопическую теорию классических зацеплений такого вида, отправляясь от псевдогомотопической теории сингулярных (к,..., /с,р)-заценлений с р < 2к — 1, с одной
стороны, и теории конкордизмов классических зацеплений, с другой.
11
В частности, мы сводим проблему псевдогомотопической классификации зацеплений указанного вида к проблеме псевдогомотопической классификации почти тривиальных зацеплений такого же вида, т.е. таких зацеплений, которые превращаются в псевдогомотопически тривиальные после отбрасывания любой компоненты. В ряде случаев проблема псевдогомотопической классификации почти тривиальных зацеплений вида (ііі) сведена к вычислению гомотопических групп сфер.
Часть наших результатов допускает переформулировку, удобную для сравнения с соответствующими результатами из теории одномерных зацеплений. Так, для почти тривиальных классических зацеплений вида (ііі) определены аналоги чисел Милнора р(іі,... ,гг), после чего часть нашей теоремы об их псевдогомотопической классификации оказывается параллельной формулировке теоремы Милнора из [24] о гомотопической классификации почти тривиальных сингулярных одномерных зацеплений.
В заключение этого пункта замечу, что все результаты настоящей работы, относящиеся к сингулярным зацеплениям типа (к.р) в 52А>Н с р < Зк — 3, вида (і) с р < 2к — 1, вида (И) с р < 6к — 3 и вида (ііі) остаются верными после отбрасывания приставки “псевдо"’ в словах псевдогомотопия, псевдогомотонические и т.д. Это вытекает из следующей теоремы Лина-Кошорке-Мелихова-Тайхнера (см. [16, 20, 23, 47]).
Пусть
п~Рі> 2 (г = 1, ...,г)
или
г = 2, рі < р2> Зрі < 2п - 3, Зрі + Р'2 < Зп - 6.
12
Тогда сингулярные зацепления типа (рх, ... ,рг) в 5П псевдогомотоп-ны тогда, и только тогда, когда они гомотопны.
1.3. Расположение материала. Кроме предисловия и настоящего введения, диссертация содержит три главы и добавления к главам 1 и ‘2, а также приложение, в котором собраны все рисунки. Каждая глава начинается с одного или нескольких параграфов, в которых сформулированы основные результаты главы. Короткие доказательства, как правило, приводятся сразу после формулировок. Остальные параграфы посвящены изложению пропущенных (обычно, более громоздких) доказательств.
Поскольку перекрестных ссылок межд>г главами практически нет, главы можно читать в любом порядке.
13
ГЛАВА 1. СИНГУЛЯРНЫЕ (г, к, /^-ЗАЦЕПЛЕНИЯ
Сингулярным (г, к, р)-зацеплением мы называем (г + ^-компонентное сингулярное зацепление типа {к)... , к, р) в 52/с+1. Эта глава посвящена неевдогомотопической классификации таких сингулярных зацеплений. Мы будем заниматься только случаем к > 1. (По поводу случая к — р — 1 см. [6, 18, 24, 41].)
Эта глава содержит шесть параграфов. В §2 содержатся формулировки в основном геометрических результатов, 15 §3 — гомотопических результатов, в §4 — геометро-гомотопических результатов; имеются там и некоторые доказательства. Более громоздкие доказательства вынесены из этих параграфов в §5, 6, 7, соответственно.
На протяжении всей главы мы будем считать фиксированными натуральные числа к > 1, г и р.
§2. Множество М(г.к,р)
Множество М(г, /с, р) — это множество пссвдогомотопических классов сингулярных (г, А:, р)-зацеплений.
2.1. Структуры в множестве М(гук,р). Для любого натурального числа / положим
51 = 5* П Х|+1) €Кг+1 1*1 < 0}
И
5^ = Б1 П {(а?1,. •., я/+1) € М/+1 | > 0},
где, как обычно,
Б1 = {(хг.... ,^+1) € К<+1 | х\ 4--------------Ья/2+1 = 1}.
14
2.1.1. Материал, нужный для п. 2.1.2 и 2.1.3. Через inj мы будем обозначать стандартное вложение Rfc+1 —> M2fc+2 и через pt — точку (0,0,..., 0, — 1) Є s2_k+l n slk+1.
Пусть і — натуральное число, не превосходящее г. Сингулярное (г. А:,р)-зацепление (Д,..., Д, /) мы будем называть і-специальным, если:
0) fi{x) = inj (а?) для любого х € /, (IntS^.) С Int5^c+1;
(ii) f:l(Sk) С Int S2k+' для любого j ф і (1 < j < г);
(Hi) /(S*) = pt, /(Int 51) С IntSf+1.
Лемма, (а) Любое сингулярное (г, к, р)-зацепление псевдогомотоппо і-специальному сингулярному (г, к, р)-зацеплению.
(Ь) Если два і-специальных сингулярных (г, к, р) -зацепления псев-догомотопны, то существует такая связывающая их псевдогомо-топия (Fi,..., Fr, F), что:
(i) Fj(a;, t) = (кц(ж)Д) для любых x Є St ut Є /, Fi ((Int S*) x/) с (IntS£fc+1) x 7;
(ii) F^S* x 7) C (Int52*+1) x 7 для любого j ф і (1 < j < г);
(iii) F(SP_ x t) = (pt,t) для любого t € 7, F((Int5+) x 7) С (Int.5f+1) x 7.
Доказательство см. в it. 5.1.
Пусть / — натуральное число. Пусть
rot(I): Ri+1 —t Ri+1 — отображение, задаваемое формулой
(х\у х2, ж3,..., ) i-> ( х*1, -я2, я3,..., агі+і).
Для любых отображений Д, Д: 5* -4 52Af+1, таких что
Д(ж) = rot(2& + l)(/2(rot(/)(z))) при ж Є S[_ П5+,
15
- Київ+380960830922