СОДЕРЖАНИЕ
держание............................................................... 1
едение.. ................................................................................................
Общая характеристика работы...........................................
Содержание работы.......................................................)3
і0а 0..................................................................ІЧ
§0.1. Теория категорий................................................2.^
§0.2. Топология.......................................................3>2
§0.3. Алгебраическая геометрия..........................................38
§0.4. Комплексный анализ............................................4-2.
§0.5. Рекурсивные структуры............................................^
ва 1. Категория детских рисунков и ее варианты..............^3
> 1.1. Объекты.........................................................V 2
ї 1-2. Морфизмы и определение категории Леоо...........................£0^
\ 1.3. Морфизмы рисунков и отображения флагов........................6 7
? 1-4- Другие категории рисунков ..................................................69
• 1.5. Сравнение с другими подходами к тем же объектам..................2^
за 2. Картографические группы и их однородные пространства 77
2. 1. Картографические группы.......................................77
2-2- Связи между картографическими группами........................$2-
2.3. Некоторые картографические категории..........................2>Ч
2.4. Функторы, связывающие картографические категории.............$7
ава 3. Основные функторы на категориях Ъъьо и 'б&АГпА,...........................
§ 3- О- Категория кубических диаграмм ’в-иЛУЫАхдп,..............................%д
§3-1- Функтор то.Т 'Х>ъоо » > ^мЛЪьо^л,...... 91
§ 3.2. Функтор оМ,ол>; ; “багСУпл, у у бб^УсА.................................. 9 3
§ 3- 3- Функтор На#:: £>&$& у у 6^-УсА..............................................^
§ 3- 4. Функтор 11 .£>еоо ----->----------------у б*-УсА....................с^
§ 3-5. Функтор аСхии: : Леоо у у .ЯХеоо ^ ^
§ 3- 6. Функтор 0x11; у у беТ-Унл,.
ква 4 Категория Я^Уа1п,(Ю пар Белого над нолем к..................................../ОО
§ 4.1. Объекты.................................................................I О О
$ 4.2- Морфизмы и определение категории......................................../0 3
$ 4.3. Функтор ля^пг;; бб УсА у у &е£Р<ил,(<С)..................................../££
} 4.4. Функтор гьсшг\А,1 ; <С ^ --у у б&АУнл,.......................{рд
> 4.5. Функтор ; Рхииг£->г£Р<1АЛ,(<С. ) --> у Леао . .................
ва 5. Рисунки и накрытия......................................................I I У.
5- 1. Категории топологических пар Белого У &1\&ъ1Уал-а и
^иге7'<?^е^Р<ил........................................................I | 2_
5-2. Функтор о&егсЛ;; У&{х£^АРоаа, у у б&1Упл,................................1)Ц
5- 3- Функтор л^» ; ; 6&£Упа, у у £&£Уолл.(<С ).../ / ^
5-4- Функтор Агл^гг;; ^-еЛРдлА/'С,) > у У&гь&еАРолл,...........................//$
5.5. Эквивалентности категорий рисунков и накрытий.................../Л.0
о
;ава 6 Эквивалентность основных категорий...............................^12- 2
§ 6. 1- Преобразование функтора г^зЛги» ./Ое/гь. • ол1ао в М'ъ £ГпЛ,' 1
§ 6-2- Преобразование функтора оЛАло ♦ * {изАги* ♦ нлялтъ в УсА' ’ * ‘ ^
2
§ 6.3. Преобразование функтора йельо <>сиСае>о о{излги в
; ,2^
§ 6.4. Эквивалентность категорий бв1Тпл,% бб^УсА? и :ße£PotA (С J (31
§ 6.5. Эквивалентность категорий , б УсА? и ^>гога$е^^>шА('С J .. | 39
лва 7. Картографическая теория Галуа....................................* 135
§ 7.1. Теория Галуа помеченных рисунков Д>еоо f........................... i3>
§■ 7.2. Регулярные и Платоновы рисунки..................................... /35
§ 7.3. Нормализация........................................................ >39
£ 7.4. Примеры............................................................ ( (< 2L
.ва 8. Связи рассмотренных категорий с (<&)................^.-*1^9
} 8. 1. Эквивалентность категорий &4£Рслл,(<&) в Яе£Ралл(<С) | ^ В
} 8-2- Эквивалентность &&£Рсил,(<&) рассмотренным выше категориям.. I 5 2.
ва 9. Действие группы Галуа на рисунках.....................................5 6
г 9-1. Пространства модулей и М.[&сЛ-Ралл.(<&) ]............../ &
• 9-2. Действие группы Галуа на Ж[£■&£?сил.(<8 ) ]............................I < 3
• 9-3• Действия группы Галуа на Л,[&ес>о]...................................... /62
9-4. Инварианты................................................................КЗ
9.5. Малое поле определения рисунка.................................................................................. \С6
9. 6- Постановки основных проблем............................................> ^ 7
за 10. Перечисление рисунков.......................................... !?0
10- 1- Гауссово кодирование рисунков.................................(?0
10.2. Оценки и асимптотика...........................................
за 11. Рисунки, графы и биграфы........................................49
11.1. Графы и их схемы...............................................
11.2. Биграфы, их схемы и биматрицы..................................) S3»
11.3. Полугеографичные биграфы.......................................I 3$
11.4. Реализация наборов валентностей................................\9l
за 12. Воплощение детских рисунков.....................................19S'
12.1. Диофантовы уравнения, определяющие пары Белого.................l9S"
12-2- Решения уравнений и рисунки ....................................\99
за 13 Случай рода о.................................................... 2о2
13. 1. Специализация общих рассмотрений..............................2-0 2-
13.2. Коцикл Галуа асимметричной рациональной функции............IDS'
13.3- Поля определения асимметричных сферических эскизов 2е 7
13.4. Примеры...............................................................................................ДО 3
за 14. Плоские деревья и обобщенные многочлены Чебышева................2l3
14-1- Специализация общих рассмотрений..............................2*3
14- 2. Двудольность........................................................................2 I 7
14. 3. Системы уравнений.............................................. 22 О
1ава 15. Случай рода *.......................
§ 15.1. Специализация общих рассмотрений
§ 15- 2. 5-инварианты.......................
§ 15-3- Центрально-симметричные рисунки. § 15. 4. Малореберные рисунки...............
ава 16. Рисунки и дискретные группы....................................ZЪS
§ 16- 1. Группы вращений ребер одноклеточных двудольных рисунков Л
у 16-2- Группы вращений ребер плоских деревьев..........................1Ъ<э
§ 16-3. Расширенная картографическая группа.............................ХЧ2-
^ва 17. Рисунки и пространства модулей кривых................25 I
£ 17. 1. Теория Пениера......................................2 5 1
^ 17. 2- Носитель рисунка лежит в '’своей*' клетке Пеннера...........2*5^
} 17-3- Теория Штребеля.................................................2.76
* 17.4. Носитель рисунка лежит в "своей" клетке Штребеля............259
ва 18. Рисунки и униформизация....................2 61
18- 1» Униформизация полных кривых.........................................
18- 2. Униформизация проколотых кривых...............................7-ЬЧ
18- 3- Накрытия триангуляций.........................................2 6^
>а 19 Метрическая теория рисунков.................................... 2&~7
Э. 1. Кусочно-евклидовы атласы и комплексные структуры...................2&7
Э.2. Теорема о равносторонних триангуляциях........................... 2 70
ратура............................................................. 2 7>
2-22 2 22. 2 2 6 -2 23 .233
5
ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
туальность темы. Современным математикам известны многочисленные туации, когда классы объектов, кажущиеся на первый взгляд весьма лекими друг от друга, связаны между собой настолько прочно, что учение одних ложет быть полностью сведено к изучению других. ковы векторные расслоения над фиксированным топологическим эстранством и гомотопические классы отображений этого пространства классифицирующее, алгебраические кривые над полем комплексных зел и фуксовы группы, расширения заданного поля и подгруппы группы іуа его алгебраического замыкания и т.п.
классической математике связи такого рода, как правило, >еделялись различными биекцияли. Например, введение на плоскости :артовой системы координат устанавливает биекцию между множествами ских алгебраических кривых и множествами многочленов от двух еменных; теория функций комплексной переменной основана на кции между ростками решений уравнения Коши-Римана и сходящимися пенными рядами.
ашем же столетии преобладают связи, выражаемые эквивсиептностяли эгорий. Яркие примеры доставляют, скажем, двойственность трягина и К-теория.
>0рия детских рисунков ГрОТеНДИКЭ, намеченная В fGrothendieck84J, »'наруживает несколько новых, неожиданных и совершенно неочевидных !язей. Одно из наиболее вдохновляющих направлений развития этой ории основано на эквивалентности категорий детских рисунков и пар лого. Первая из етих категорий интуитивно очень ясна; ее объекты рафы на поверхностях) имеют комбинаторно-топологическую природу, гко описываются и кажутся совсем простыми. Вторая же, имеющая ифметико-геометрическую природу, относится к ’'трудной" математике, к, в пары Белого входят все алгебраические кривые над всеми еловыми полями, а на множестве классов изоморности пар Белого геотвенно определено действие группы Галуа ÄUt(G). Теория этендика, связывающая эти категории, доставляет уникальную (еще ?нь плохо понятую и недостаточно использованную) возможность зуализации этих и других объектов.
>еобразие личности Александра Гротендика и его совершенно >бычный для нашего века стиль жизни (с 1972 по 1984 год он >отал, причем очень активно, почти в полной изоляции от •ематического сообщества) привели к тому, что когда препринт other»dieck84j стал в 1984 году доступен, многие математики приняли его появление как некое чудачество автора. Этому собствовал И нестандартный СТИЛЬ текста ГGrothendieck84], исанного почти без точных определений и формулировок, на окохудожественном языке, с шутками и лирическими отступлениями, бликован г Grоthendieck84] был лишь 13 лет спустя в сборнике hneps971.
7
I
-видимому, одним из первых мест, где серьезное внимание стало еляться дсшелатическолу содержанию (ОгоИчепс11еск841 , стал мехмат У. Б 1936 году на семинаре И.М.Гельфанда последовательно збирались первые разделы этого текста; там этой теорией интересовался и автор настоящей диссертации. Первой публикацией, держащей перевод некоторых идей Гротендика на язык общепринятых ределений и теоре.м, была статья автора и Воеводского
*»аЬа1Уо©УоЗзку90] .
последующие годы интерес к этой области неуклонно возрастал; Зликации уже исчисляются многими десятками, а в 1993 и в 1995 ц ах в Луминьи (Франция) прошли две крупные международные чференции, по трудам которых (£сЬпер594] И ГБсЬп^р597] можно ставить представление о развитии теории.
эстливым обстоятельством для теории детских рисунков стали ее эгочисленные обнаруживающиеся связи с различными разделами тематики и физики. Например, приложениям к обратной задаче теории гсуа посвящены работы { ОеЬе^ОезсЬатрз^З , С Гг1ес1Коре11с^1сЫЭ71 и эгие другие, связи с квантовыми группами, квазихопфовыми алгебрами пр. найдены Дринфельдом в сДринфельд891 , сДринфельдЭО! и развиты
ЗДИ МНОГИХ Нхарой Б Г1Ьага90] И С1Ьага941, СВЯЗИ С ТОПОЛОГИЧвСКОЙ ЗНТОВОЙ теории ПОЛЯ обсуждаются 3 I Оед1си/*апп1943 , а с теорией эун - в , где применяется результат автора и Воеводского
>еводскийШабат89].
юнец, исключительно важна для дальнейшего развития теории !пъшерноя алгебра. Существенная часть полученных к настоящему мени результатов были бы невозможны без ее использования; см., р>ИМер, Г2сЬперз94], ССоиуе1дпезОгапЬаи1ап941 и особенно Трудное тижение Матиясевича в £МатиясевичЭбз .
ор выражает убежденность в том, что в будущем роль тематических компьютерных экспериментов б рассматриваемой теории етно возрастет; наряду с компьютерной алгеброй будут привлечены гие средства (визуальные, информационные и пр.). Одна из целей тоящей диссертации - подвести итог развития теории в период, дшествующий этим систематическим экспериментам, и подготовить у для их проведения.
ь работы. Во-первых, устанавливается эквивалентность нескольких егорий, относящихся к разным областям математики: комбинаторной ологии, комплексному анализу, арифметической геометрии и др.
вторых, систематизируются методы конструктивной реализации этих ивалентностей; приводятся полные таблицы соответствий объектов
аниченной сложности.
ретьих, установленные эквивалентности применяются для решения ач, возникающих в одних категориях, с помощью техники,
актерной для других; наиболее важной является возможность
усиизацш абсолютной группы Галуа поля рациональных чисел с
ощью графов на поверхностях.
о
годы исследования- Исследования проводятся с помощью разнообразных годов комбинаторной топологии, комплексного анализа, лфметической и алгебраической геометрии, вычислительной алгебры, дологической алгебры, теории категорий и пр. Применяется также ндиальная техника, разработанная для решения рассматриваемых *ач.
гчная новизна работы состоит в следующем.
Установлена эквивалентность нескольких категорий, включающих по варианта категорий детских рисунков и пар Белого.
Определено действие абсолютной группы Галуа на детских рисунках; дено понятие орбит Галуа рисунков и сформулированы основные блемы их исследования.
Введены несколько понятий полей определения детских рисунков и педованы связи между ними; показано, что препятствие к совладению £ из них лежит в когомологиях Галуа с коэффициентами в РБЪг(^)) построены примеры рисуков, для которых эти препятствия >ивиальны.
Введены понятия биграфа и построены биграфы, соответствующие !ким рисункам; доказан аналог теоремы Эйлера о кенигсбергских ■ах, устанавливающей, какие биграф* происходят из рисунков; :едована реализуемость наборов пар валентностей рисунками и афами.
10
Введено понятие группы вращения ребер плоского дерева и построены * шеры деревьев, для которых эта группа интересна, в частности, 1яется группой Матье и М2э; доказано, что эта группа является 1уа-инвариантом и приведены примеры, в которых она различает >иты Галуа деревьев.
Установлена связь теории детских рисунков с двумя теориями точных разбиений пространств модулей комплексных кривых; ;азано, что носитель каждого рисунка лежит в "своей” клетке.
Теория детских рисунков применена к явному построению фуксовых пп, униформизующих кривые над числовыми полями.
Введены понятия кусочно-евклидовой и, в частности,
носторонней структуры на комплексной кривой; доказано, что кривая ускает равностороннюю триангуляцию тогда и только тогда, когда зделяема над числовым полем.
результаты диссертации являются новыми на момент их
Зликования.
стическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический актер. Ее результаты и методы могут найти применение в теории 4 зов, теории Галуа, исследовании пространств модулей кривых,
гьютерной алгебре, квантовой гравитации и других разделах .=
>матики и физики.
15
•бация работы. Результаты работы многократно докладывались на ичных московских семинарах, в том числе на мехмате МГУ, в МИАН, [АН, в ИТЭФ (1988-1996 гг.). В 1990 г. основные проблемы теории [ сформулированы на заседании ММО.
льтаты работы докладывались на российских конференциях в
гоголовке (1987, 1989) и в Ярославле (1990).
гльтаты работы докладывались на международных конференциях в
^е (Германия, 1989), в Луминьи (Франция, 1993 и 1995), в Киото >ния, 1993) и в Москве (1994).
>р выступал с докладами по содержанию работы в Таллинском
техническом Институте (1988), в Йейльском университете (1990), в зачуссетском Технологическом Институте (1990), на Ленинградском зматическом Обществе (1990), В Стокгольмском Университете (1991), Институте Высших Исследований в Бюр-сюр-Иветте (I991), в зерситете Орсэ (1991), в Университете Бордо (1991,1993), в
асбургском Университете (1991), в Институте Паскаля в Париже ЭЗ), в Токийском Университете (1993) и в Институте Фурье в гюбле (1995).
ликации. По теме диссертации опубликовано 12 работ. Из работ, ясанных в соавторстве, в диссертацию в основном вошли результаты, надлежащие автору.
12
работах IВоеводскийШабат89з и сГурвичШабат89з автору принадлежит становка задачи и идея доказательства. В работе паЬа1Уо«^ос1.«51су90] автору принадлежат некоторые ключевые идеи и лструкции, а также доказательства теорем 2.2.1 и 2.3.3. В работе ^>abatZvonkiпО-43 автору принадлежит доказательство теоремы 1.4. В 5оте г АдриановКочетковСуворовШабат95) автору принадлежит основная ютрукция, постановка задачи о нахождении деревьев с нетривиальной тлтой вращений и идея поиска таких деревьев. В работе [ЛИМОНенковШабат95] автору принадлежит постановка задачи, идея ОВНОЙ конструкции И часть вычислений. В работе Г А<*г1»поу5ЬаЬа197] ору принадлежат некоторые ключевые идеи, доказательство теоремы И часть ручных вычислений. В работе IКа21п£ЬаЬа13ЬаЬаЬ97] автору надлежит постановка задачи и некоторые конструкции, используемые оказательстве основной теоремы.
Содержание работы.
за 0 содержит вспомогательные сведения и отсылки к литературе по гачным вопросам теории категорий, топологии, алгебраической ютрии, комплексного анализа и некоторых других разделов »матики. В большинстве своем эти сведения стандартны; несколько •няком стоит параграф, относящийся к нетрадиционной области, рую Ю.И.Манин предложил называть рекурсивной геометрией.
лавах 1-6 вводятся главные понятия теории детских рисунков; вная цель этой части диссертации - установление нескольких валентностей основных категорий.
13
ьекты категории детских рисунков Яъоо - графы на компактных 1ентированных поверхностях* дополнения к которым гомеоморфны звязным объединениям дисков. Точные определения, наряду с соторыми специальными конструкциями и сопоставлением с более ■»диционными понятиями, содержатся б главе I диссертации.
жографичесная группа « , по определению, порождена тремя >азующими ао * , 02 с соотношениями
°о2= = '■
•егория является категорией однородных € -множеств с
сложной дополнительной структурой и ограничениями, имеющими »стой наглядный смысл. Этой и нескольким родственным категориям •.вящена глава 2.
главе 3 вводятся несколько функторов, связывающих введенные ■егории. Наиболее важен из них функтор сопоставляющий
:дому детскому рисунку множество его флагов (для большинства »унков представляющих собой тройки попарно инцидентных вершины «фа, его ребра и компоненты дополнения), наделенных естественной »уктурой ^-множества.
ва 4 посвящена парси Белого над произвольным алгебраически [кнутым полем. Так называются пары где X - полная неособая
гриводимая кривая, ар- непостоянная рациональная функция на ней, критические значения которой содержатся в множестве С091,ф). ди пар Белого условием двукратности всех ветвлений над 1
14
:деляются чистые. Пары Белого и чистые пары Белого над полем к разуют категорию &4&а&іСк) и ее полную подкатегорию . Б этой же главе строятся несколько функторов, из торых наиболее важен функтор олсиг> из категории ^'ил^к^<ил(<с) в тегорию , сопоставляющий паре (Х,$) над полем комплексных
сел рисунок, "изображенный” множеством (3_1П,ооі на топологической дели кривой X.
главе 5 введенные понятия связываются (на несколько специальном яке) с обычной теорией накрытий сферы, разветвленных лишь над гмя точками.
зовным результатом главы 6 является теорема 6-4.2, утверждающая,
) введенные функторы задают треугольник эквивалентностей категорий
У)еоо
главе 7 с помощью установленных эквивалентностей строится тогрофическоя теория Галуа детских рисунков. Наиболее важное ятие этой теории - функтор норлализации рисунка. С его помощью анавливается, что каждый рисунок накрывается регулярны* нятие регулярности представляет собой некоторый аналог понятия тоновости рисунка на сфере для поверхностей положительного рода). этого результата вытекает
€ ^сА+-
2
15
.3.3.3. Теорема. Существует бесконечное количество попарно шзолорфнш Платоновых рисунков.
•о - известный результат, но с помощью развитых понятий он 'называется особенно легко.
:ава завершается разбором двух примеров, из которых видно, что рмализация простейших рисунков вместе с построенными вивалентностями категорий автоматически ведет к теории многочленов бышева и к кривым Ферма.
главе 8 установленные в предыдущих главах эквивалентности гегорий дополняются их эквивалентностью с &ьгз><хл*.(ъ). Особо очеркивается значение функтора воплощения
ытъб&сСу; ; ----> >&е-£Ра,1л(<и ) .
ючается, что объекты обеих категорий, связываемых этим функтором, лютея конструктивными, т.е. могут быть определены конечным ичеством информации и, скажем, введены в компьютер. Обсуждаются тветствующие "вычислительные'’ задачи.
иная с главы 9, систематически используется понятие пространства улей категории; в случаях, когда оно имеет смысл, оно вставляет собой множество классов изоморфности объектов теории. :транство модулей категории £ обозначается л[ъ]; класс
лорфности объекта X обозначается X. Функтор с ----------------> ► ю
>делеет отображение
16
>рез Г обозначается абсолютная группа Галуа Аи1;(<и).
главе 9 устанавливается каноническая рекурсивная биекция между ■остранствами модулей л[2>*ьо] и ) ]. Затем на втором
этих пространств определяется действие группы Г; с помощью строенной биекции оно переносится на первое. Далее приводятся которые инварианты Галуа рисунков и обсуждаются вычислительные дачи.
3-1. Теорема-конструкция. Аля 7 <= Г и О <=<= &*** формула
ТО '.= еяиЗесСу 10 ытьб&сСу (ТУ)) ределяет действие группы Г на лцьъьо].
ределенное этой теоремой действие группы Галуа на одно из главных действующих лиц теории. Весьма эмоционально о нем нет Гротендик в IвгоЪЬепсиескЗ*!; вычисления отдельных примеров ого действия мотивируют большую часть публикаций, связанных с гскими рисунками.
3.4. Факт. Орбиты определенного в 9.3.1 действия не зависят от эжения <6 ----> с.
нее с помощью этого действия и классической теории Галуа для зунка Г вводится его дсиое поле определения 0(1)). I
де т скшрисунках
17
5.2.3. Верхняя оценка степени малого поля определения. Для
сунка В степень (®(В):&) не превосходит, количества реализация бора валентностей рисунка В.
главе 10 обсуждаются вопросы практического перечисления детских сунков и приводятся некоторые количественные результаты.
главе II строится теория биграфов - пар графов с отождествленными 5рами. Каждому рисунку (в той числе неориешируелолу) ставится б этветстзие биграф - исходный граф и двойственный ему.
граф называется полу географические, если он порождается некоторым эобще гозоря, неориентируелил) рисунком, и географически*, если эождается ориентируемым рисунком.
■’раф называется эйлеровым,, если он связен, з некотором смысле іально связен и еще обладает дополнительным свойством четности, эе де ленным в §11.3.
з. 2. Теорема . Биграф полу географичек тогда и только тогда, когда эйлеров.
зва завершается обсуждением проблемы реализации наборов іентностей биграфами и рисунками.
та 12 посвящена общей проблеме воплощения рисунков. Для рисунков й g с п ребрами по заданным наборам валентностей определяются
18
•мерные подсхемы в пространствах модулей кривых с упорядоченными юколами лд2п+2_2д и в пространствах Гурвица 2г>; точки этих
дсхем соответствуют кривым с упорядоченными наборами критических чек искомой функции Белого в пространствах модулей и пары Белого в остранствах Гурвица. Для тех пар (g,n)f для которых пространства 2т-2-2д и ^дгг, могут быть заданы явно, введенные определения мерных подсхем превращаются в системы диофантовых уравнений.
главах 13, 14 и 15 рассматриваются такие пары (§,П).
ава 13 посвящена общему рассмотрению случая § = О. Выписываются и суждаются соответствующие системы диофантовых уравнений. Ставится решается вопрос о налички решений этих уравнений над малым полем ределения рисунка. Ответ оказывается отрицательным; препятствие зкит в когомологиях Галуа с коэффициентами в Р:31-2* Приводится имер рисунка, для которого это препятствие нетривиально.
главе 14 рассматривается наиболее изученный к настоящему времени учай одноклеточных рисунков рода О, т.е. плоских деревьев. Функции лого в этом случае выражаются через обобщенные многочлены Чебышева ногда называемые в литературе также многочленами Шабаш); по ределению, это - многочлены с двумя критическими значениями, нуждается присущий этому случаю дополнительный инвариант Галуа Зудолъная структура), выписываются специальные системы уравнений я воплощения деревьев и показывается, что их решения над малым лем определения существуют всегда.
19
главе 15 рассматривается случай рода g = 1. Приводятся
этветствующие системы уравнений; отдельно рассматривается задача числения /-инварианта носителя воплощения рисунка непосредственно рисунку. Отдельно рассматривается случай цешрсиъно-силлетричных зунков. Для центрально-симметричных рисунков с не более чем 4 Зрами и для всех рисунков с не более чем 3 ребрами приводятся иные вычисления.
главах 16-19 рассматриваются связи теории с различными разделами тематики.
эва 16 посвящена связям с теорией дискретных групп. В дзух первых эаграфах рассматриваются конечные группы вращений ребер дзудольных зунков. Второй из них посвящен деревьям. Сообщается, что для общих зевьев эта группа изоморфна Зп или А и приводятся результаты, закмциееся групп вращений ребер одного класса весьма специальных зевьев.
>ское дерево называется сокрестиел, если все его валентности равны 2 или 4.
сазывается, что группы вращений ребер сокрестий
20
юморфны и что группы вращений ребер сокрестий
морфны группам Матье и Мгэ-
ее рассматривается расширенная картографическая группа. Она дставляет собой бесконечную группу с тремя образующими, полная тема соотношений в которой в настоящее время неизвестна; основная рема 16.3.6.3 утверждает, что для любых (§,п) эта группа нзитивно действует на множестве классов изоморфности рисунков з % с п ребрами и одним отмеченным флагом.
21
лаве 17 рассматриваются связи теории с геометрией пространств глей кривых. Эти связи весьма многообразны; мы ограничиваемся гким описанием двух - по Пеннеру и по Штребелю - клеточных 5иений пространств модулей ±(С). Клетки этих разбиений эметризованы детскими рисунками (разумеется, Пеннер и Штребель ьзовались другой терминологией), и мы показываем в теоремах 2.1.2 и 17.4.2, что носитель каждого рисунка лезкит в "своей" гке.
за 18 посвящена связям с униформизацией кривых, определенных над ловыми ПОЛЯМИ.
теоремы Римана о конформном отображении вытекает, что все эрболические римановы поверхности являются факторами верхней /плоскости по фуксовым группам дробно-линейных преобразований.
теорема, однако, не позволяют построить примеры конкретных зовых групп, накрывающих явно заданные римановы поверхности, смотренная в диссертации теория позволяет это сделать.
плексная алгебраическая кривая будет называться унифорлизуелой вещественны* числовые полел ос, если она биголоморфно ивалентна фактору верхней полуплоскости по группе дрс^но-линейных образований с коэффицентами из поля К.
.1.1.7. Теорема. Пусть X - такая полная кривая над полел гебраических чисел, 5шо на ней существует функция Белого, бее нули торой илеш кратности р, а все полюса - кратности q. Тогда X ифорлизуела над квадратичный расширение л вещественного клотолического поля.
•1.1.8. Теорема. Пусть X - полная гиперболическая кривая над
словил полел; существует такое разветвленное накрытие Y ----------> X,
оеделенное над числовыл полел, что Y унифорлизуела над ідратичкил расширениел вещественного циклотолического поля.
эва 19 посвящена летрической теории рисунков. Точнее, на носителях зунков рассматриваются кусочно-евклидовы метрики, в которых ушоненты дополнения к рисункам изометричны плоским эгоугольникам. Основным результатом является
.2.2.4. Теорема. Колплексная кривая имеет модель над полел гебраических чисел тогда и только тогда, когда допускает 3постороннюю триангуляцию.
а теорема, полученная первой из результатов настоящей диссертации, та стимулирована теорией струн и нашла в этой теории применение.
23
ГЛАВА 0. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ
§ 0.1. Теория категорий
. 1. Обозначения.
работе предпринимаются усилия к четким разграничениям ретико-множественных и категорных конструкций. Как правило, тветствующий теоретико-множественный значок повторяется дважды; меняются также кавычки.
.1.1. Запись X ее £ означает, что X есть объект категории
.1.2. Знакосочетание £:: в » * обозначает функтор из
егории £ в категорию ■£>.
.*1.3. Двойной квантор означает "любой объект категории".
.•1.4. Двойной квантор 33 означает "существует объект категории”.
и. 1.5. Знакосочетание о о применяется для композиции функторов.
І.. 1- 6. "Сюръективность на объектах" функтора : '€-----► » #
качает
У ее я зз X. ЄЄ 8; /Ш 2= У. алогичный очевидный смысл имеет выражение "инъективность на рфизмах" и т. п..
24
.1.2. Построение категорий.
.1.2.1. По любой категории и любому направленному графу строятся тегории диагралл. См. fЦаленкоШульгейфер74, стр. 1651 .
>именяется в 5.1.2.2, 11.1.
1.2.2. Факт. Если в некоторой категории существуют произведения, то они существуют и в построенных по ней категориях агралл. См. сЦаленкоШульгейфер74, стр. 1671 .
1.2.3. Из любой категории, объекты которой представляют собой эжества со структурами, а морфизмы - отображения, "уважающие" эти руктуры, можно с помощью наложения дополнительных структур строить зые категории. См. f ЦаленкоШульгейфер74, стр. 161.
.. 3. Эквивалентности категорий.
•3.1. Определение. Функтор называется полнил, если он "сюръективен на физмах". См. 1Мас1апе73, стр. 141
•3.2. Определение. Функтор называется строгих, если он ъективен ка морфизмах". См. ГМас1апе73, стр. I5J
25
- Київ+380960830922