Поведение многомерных гамильтоновых систем в окрестностях гомоклинических траекторий к особым точкам

Оглавление
Введение 1
1. Структура интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в расширенных окрестностях особых точек типа седло-центр и седло-фокус 35
1.1. Некоторые понятия, определения, примеры................. 35
1.2. Особая точка типа седло - центр ........................ 41
1.2.1. Расширенная окрестность седло-центра и ее топология ............................................... 41
1.2.2. Изоэнергетическая эквивалентность ИГВП ... 51
1.3. Особая точка типа седло-фокус........................... 58
1.3.1. Структура гирлянды и ее сепаратрисного множества .................................................. 60
1.3.2. Структура вспомогательной градиентной системы 62
1.3.3. Построение сопрягающего гомеоморфизма в II . 69
1.3.4. Доказательство теоремы об изоэнергетической эквивалентности............................................ 72
1.3.5. Эквивалентность действий....................... 83
1.3.6. Топология множества V ......................... 84
1.4. Модельные многообразия.................................. 87
1.5. Пример бифуркации лиувиллева слоения при переходе через непростую особую точку: пара двойных действительных собственных значений................................ 90
2. Строение ЗБ ИГПВ в расширенной окрестности эллиптико-гиперболической. центро-седловой и седло-фокусной точек 94
1
2.1. Бифуркационные диаграммы ............................ 96
2.2. Изоэнергетическая структура орбит в расширенной окрестности eh-точки.................................... 99
2.3. Структура орбит в расширенной окрестности csf-точки. 105
2.4. Структура орбит в расширенной окрестности cs-точки. 107
2.5. О структуре орбит в расширенной окрестности sfs-точки 111
2.6. Пример ИГВП, имеющего sfs-точку и неориентируемые седловые торы............................................. 115
3. Структура многомерной гамильтоновой системы в окрестности гомоклинической траектории к седло-центру 118
3.1. Предварительные понятия.......................... 118
3.2. Две степени свободы ................................ 124
3.2.1. Предварительные результаты и формулировка задачи............................................. 125
3.2.2. Свойство скручивания на уровне, содержащем петлю, семейства периодических траекторий. . . . 130
3.2.3. Гомоклинические траектории Пуанкаре на уровнях Нц ф 0....................................... 138
3.3. п степеней свободы............................... 149
3.3.1. Постановка задачи ........................... 149
3.3.2. Структура линеаризованной системы и линейная неинтегрируемость................................ 152
3.3.3. Гомоклинические траектории к ляпуновским периодическим траекториям.......................... 175
3.4. Неинтегрируемость................................ 187
3.4.1. О неинтегрируемости гамильтоновых систем. . . 187
4. Структура и бифуркации 2D гамильтоновой системы в окрестности гомоклинической траектории к седло-фокусу и контура из двух седло-фокусов и двух гете-роклинических траекторий 192
4.1. Окрестность гомоклинической траектории к особой точке типа седло-фокус................................... 192
4.1.1. Предварительные сведения.................. 192
•2
4.1.2. Локальное поведение и локальное отображение .
4.1.3. Формулировки основных теорем.................
4.1.4. Доказательства...............................
4.2. Контур из двух трансверсальных гетероклинических
траекторий и двух седло-фокусов.....................
5. Приложения к задачам математической физики
5.1. Стационарные волны в одномерном уравнении Ландау-Лифшица и его возмущениях...............................
5.1.1. Введение.....................................
5.1.2. Общие свойства системы, топология }■ ровней 14 , типы особых точек...................................
5.1.3. Множество Е и поведение траекторий на нем. бифуркационные диаграммы............................
5.1.4. Возмущение и расщепление сепаратрис..........
5.2. О стационарных решениях обобщенного уравнения Свифта-Хоенберга........................................
5.2.1. Введение.....................................
5.2.2. Стационарное уравнение.......................
5.2.3. Гамильтонова бифуркация Хопфа................
5.2.4. Вырожденная бифзгркация Хопфа
и нормальная форма шестого порядка............
5.2.5. Симметричные гомоклинические траектории . .
5.2.6. Замечания о глобальной структуре уравнения Свифта-Хоенберга....................................
5.2.7. О гетероклинических траекториях обобщенного уравнения
Свифта-Хоенберга..............................
5.3. Локализованные бегущие волны нелокального уравнения синус Гордон............................................
5.3.1. Уравнение*(5.22) с ядром С(£) = к;-е_г?^. . .
5.3.2. Обсуждение...................................
Список литературы
з
195
205
208
223
235
236
236
237
240
251
253
253
255
258
262
265
268
269
271
273
278
280
Введение
Гамильтоновы системы являются классическим объектом исследования в теории динамических систем. Появившись впервые в механике, как дополнение к лагранжевому описанию динамики, они, в результате развития, стали самостоятельным, и в некотором смысле, более удобным объектом изучения в механике, физике (где гамильтоново описание является основным, например, в теории полей), и других областях науки.
Теория гамильтоновых систем находится на пересечении различных разделов математики, здесь, кроме чисто динамических вопросов, как органическая часть, входят геометрические, часто малораз-работанные, вопросы симнлектической геометрии и топологии [87, 132], весь комплекс вопросов эргодической теории [40, 127] (эргодичность, и более сильные условия стохастичности — перемешивание, К-свойство, экспоненциальное спадание корреляций). Следует отметить, что основные успехи в изучении эргодических свойств гамильтоновых систем достигнуты при изучении различных модельных систем (впрочем, имеющих часто глубокий самостоятельный интерес, например, геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны [3] и их обобщения [59], движение системы твердых шаров [63], биллиарды различного типа [18]), стохастические же свойства гамильтоновых систем ” общего типа” изучены и поняты гораздо хуже.
Исторически изучение гамильтоновых систем началось с попыток проинтегрировать различные уравнения, появившиеся в механике и геометрии. Понятие интегрируемости, возникшее почти в самом начале появления дифференциальных уравнений, претерпело значительную эволюцию от попыток получить решение дифференциального уравнения в виде элементарных функций, интегралов от них или обратных функций от интегралов (интегрирование в квадратурах) в работах Иоганна, обоих Николаев и Даниила Бернулли, Риккати, Эйлера, Кле-ро и других классиков, через нахождение важных частных случаев интегрируемых систем в работах Эйлера, Лагранжа, Якоби, Лиувилля, Неймана, Клебша, Ковалевской, и многих других, — к современному пониманию интегрируемости гамильтоновой системы с п степенями
4
свободы, как существование п независимых почти всюду интегралов в инволюции. Повидимому, первым общим геометрическим результатом в теории интегрируемых систем служит теорема Лиувилля, поскольку эта теорема не опирается на конкретный вид системы, а только на существование п независимых интегралов в инволюции, и дает описание поведения всех траекторий системы в рассматриваемой окрестности. В [5] Арнольд придал этой теореме современную формулировку и глобализовал ее результат.
Пуанкаре был первым, кто осознал необходимость развития качественных методов в теории дифференциальных уравнений в связи с обнаружением сложного поведения в знаменитой задаче трех тел в небесной механике, связанного с наличием гомоклинических траекторий к периодическим траекториям седлового типа (гомоклинические траектории Пуанкаре) [151]. Фактически, вся хаотическая динамика, или теория сложного поведения динамических систем имеет своим происхождением это открытие. После этого открытия и осознания аналитической неинтегрируемости большинства задач динамики интерес сместился в сторону изучения неинтегрируемых систем, таких, как скручивающие отображения (Биркгоф [93]), геодезические потоки на поверхностях отрицательной кривизны (Адамар, Хедлунд, Морс, Хопф и др. [82, 143, 120, 76]), и развития локальных методов для изучения общих гамильтоновых систем (Биркгоф [93]).
Новый этап развития теории гамильтоновых систем начался в конце 50-х - начале 60-х годов с работы Колмогорова, показавшего, что метод Ныотона позволяет решить ряд задач теории возмущений интегрируемых систем, и Арнольда и Мозера, доказавших, что системы, близкие к интегрируемым, являются почти интегрируемыми в смысле меры множества тех точек фазового пространства, через которые проходят инвариантные лагранжевы торы (КАМ-теория, см. например, [7]). Важную роль сыграл пример Арнольда [6], показавший возможность экспоненциально медленной диффузии в аналитических многомерных гамильтоновых системах. Этот пример вызвал большое число работ, начиная со статьи Нехорошева [52], о ’’диффузии Арнольда” (медленная неустойчивость систем, близких к интегрируемым, с числом степеней свободы > 3, в направлении, трансверсальном
5
тагранжевым торам), различных оценок ее скорости [131]), а также топологических причин, лежащих в ее основе [137, 68, 94, 95]. Многочисленные современные работы по теории систем, близких к интегрируемым, посвящены вопросам экспоненциально малого расщепления сеиаратрисных поверхностей, что тесно связано с проблематикой диффузии Арнольда (Лазуткин, Гельфрейх, Трещев и др.). Следует заметить, что все эти вопросы, как и сама небесная механика, получили новое развитие в связи с задачам теории спутников (резонансные явления, расчеты орбит, их оптимизация и т.д., см. 17, 11]).
Примерно в то же время (начало 60-х) произошел новый взрыв интереса к интегрируемым системам, связанный с открытием бесконечномерных интегрируемых гамильтоновых систем типа уравнений Кортевега-де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера,. уравнения синус-Гордон, уравнения Ландау-Лившица, и развитием метода обратной задачи рассеяния и алгебраических методов интегрирования (Гарднер, Грин, Крускал, Миура, «Дакс, Хирота, Мозер, Захаров, Фаддеев, Новиков, Шабат, Мищенко, Фоменко, Богоявленский. Степин, и многие другие), которые привели к открытию новых и переоткры-тию найденных ранее конечномерных интегрируемых гамильтоновых систем. Однако все эти мощные аналитические методы, позволяющие обнаруживать интегрируемость (скорее, не обнаруживать интегрируемость конкретных систем, а строить классы интегрируемых уравнений) и получать конкретные решения, плохо приспособлены к задачам глобального описания данной системы, т.е. того, что в теории динамических систем понимается под ее фазовым портретом, структурой и т.д. Первый шаг на пути построения такой теории был сделан С.Смейлом [160], который сформулировал подход к изучению гамильтоновой системы, ипвариантной относительно действия некоторой группы Ли, и Марсденом и Вейнстейном [134], развившие понятие редукции для гамильтоновой системы с симметриями.
В те же 60-е годы новое развитие получило то направление в теории гамильтоновых систем, которое имеет своим истоком идею о гиперболическом поведении в системе, идущую с работ Адамара и Перрона. Эта идея неявно использовалась в теории геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны, однако современное раз-
б
витие началось с работы Смейла, построившего знаменитую ’’подкову Смейла” [158], и затем, с выделением систем с гиперболическим поведением (равномерным и неравномерным) в работах Аносова [3], Смейла [157], Песина [55] и др., это превратилось в мощное направление исследований, продолжающееся до настоящего времени. С другой стороны, сложная динамика в системе с гомоклинической траекторией к особой точке типа седло-фокус в общей динамической системе, и, в частности, гиперболические инвариантные подмножества, была обнаружена Л.П.Шильниковым [78], в задаче, идущей из теории бифуркаций, именно, при исследовании петель сепаратрис к состоянию равновесия типа седло-фокус. Поскольку такая структура легко обнаруживается, даже в конкретных задачах, этот результат привлек большой интерес, т.к. он давал простой критерий сложного поведения динамической системы, с тех пор эта структура стала одной из основных при идентификации хаотического поведения как в теории динамических систем, так и в приложениях. В настоящее время основные исследования в области диссипативных систем сосредоточены на изучении различных типичных свойств динамических систем [119], связи эргодических и топологических свойств динамических систем [168], структуры притягивающих транзитивных инвариантных множеств (аттракторов) различной природы, путей их появления, бифуркаций, приводящих к изменению их структуры [156], а также явлений типа Ньюхауса. приводящих к всюду плотной негрубости при малом изменении системы [114].
В тоже самое время (с начала 60-х годов) идеи гиперболичности стали использоваться и в теории гамильтоновых систем. Первые результаты Аносова о гиперболичности и особенно грубости (структурной устойчивости) геодезических потоков на многообразия отрицательной кривизны и У-диффеоморфизмов [3] казались тогда удивительными, поскольку считалось, что грубость и гамильтоновы системы — антиподы. Позже, из работ Ньюхауса, стало ясно, что эти системы образуют специальный класс во множестве всех гамильтоновых систем [146]. Идея гиперболичности нашла применение и в задачах небесной механики (Алексеев [1]). Поскольку гамильтонова система — это система с инвариантной мерой, то гиперболичность была ириме-
7
нена для изучения эргодических свойств: сначала — для чисто гиперболических систем (Аносов [3], Синай [62]), а затем — для неравномерно гиперболических (Песин [55]), систем с разрывами ([63, б4] и др.). Сейчас это одно из наиболее активно развивающихся направлений исследований, см. например, [127].
Важным направлением исследований в динамической теории гамильтоновых систем и параллельной ей теории симплектических диффеоморфизмов было изучение вопросов типичного поведения. Здесь, наряду с более очевидными результатами о типичности систем с гиперболическими и общими эллиптическими и квазиэллиптическими точками [152], были получены совершенно неожиданные и глубокие результаты о типичности систем с плотным в фазовом пространстве множеством 1-эллиптических точек (для диффеоморфизмов) и множеством нетрансверсальных гомоклинических точек [146, 163, 150]. Например, из этих результатов следует, что в С1—общей системе эллиптическая точка неустойчива, что находится в кажущемся противоречии с теорией KAM, которая утверждает, что точка общего эллиптического типа для двумерного симплектического диффеоморфизма устойчива! Конечно, никакого противоречия здесь нет. Все дело в том, что теоремы типичности доказаны в классе С1-гладких диффеоморфизмов, а теория KAM требует, по крайней мере, С5-гладкости, а в С3~€-случае уже есть контрпримеры к теории KAM [122]. Поэтому в настоящее время вопрос о типичном поведении гладких гамильтоновых систем остается открытым.
Другим таким активно развивающимся направлением является теория скручивающих отображений, один из наиболее глубоко понятых гипов систем, получаемых естественным образом из гамильтоновых, начало изучению которых положил Пуанкаре, затем глубокие результаты были получены Биркгофом [93], современный этап в развитии этой теории начался с работ [88, 135]. Сейчас результаты этой теории переносятся на многомерный случай для систем, которые могут быть записаны в лагранжевой форме [136] (своеобразный возврат ”к истокам” на новом уровне). Тем не менее, в том, что касается ”общих” гамильтоновых систем, прогресс не столь очевиден. Поэтому необходимо развивать методы и подходы к исследованию таких систем.
8
Основная тема настоящей диссертации — изучение структуры гамильтоновой системы, как интегрируемой, так и неинтегрируемой, с п > 2 степенями свободы в окрестности гомоклинической траектории к особой точке, или семейства таких траекторий, или множества траекторий, образующих гетероклинический контур из гетероклини-ческих траекторий и особых точек, а также применение этих результатов к задачам поиска стационарных решений и решений типа бегущей волны в различных уравнениях математической физики. Интерес к таким задачам весьма велик и объясняется он несколькими причинами. Во-первых, задачи данного типа представляют собой хорошие математические модели для изучения сложного поведения неинтегрируемой гамильтоновой системы. Они, с одной стороны, более просты и позволяют получить довольно полное описание соответствующих инвариантных подмножеств, а с другой стороны - дают хорошее представление о том, как ведет себя общая гамильтонова система в целом. Во-вторых, эти задачи часто возникают в приложениях, к ним сводятся многие вопросы существования, рождения и исчезновения, продолжения по параметрам, бифуркаций стационарных решений, стационарных волн, решений типа бегущей волны в уравнениях с частными производными различного происхождения. В-третьих, во многих задачах из приложений важным является вопрос об интегрируемости или неинтегрируемости данной системы. Известно, что этот вопрос, з некотором смысле, эквивалентен вопросу о простом или сложном по-зедении системы. Для ответа на него нужны математически строгие, проверяемые критерии сложного поведения. Такие критерии даются рассматриваемыми в диссертации задачами о поведении системы в жрестности гомоклинических траекторий к особым точкам. Следует отметить, что критерии, основанные на гомоклинических траекториях к особым точкам, удобны в приложениях, поскольку сами такие траектории легче обнаружить, в частности, численными методами. Кроме того, в отличие от методов типа методов Пуанкаре-Мельникова 151, 138, 35, 36, 189, 192], эти критерии приложимы не только к системам, близким .к интегрируемым, но и к общим гамильтоновым системам. Наконец, данные задачи интересны и сложны математически, эии сформулировались в процессе развития теории гамильтоновых ди-
9
яамических систем.
Первым приближением к задаче о структуре неинтегрируемой си-зтемы является изучение интегрируемой системы в окрестности гомо-клинической траектории к особой точке того или иного типа в случае цвух степеней свободы. Отметим, что такая окрестность содержит особую точку и здесь не работает теорема Лиувилля, поэтому задача требует специального исследования. При этом естественно изучать не окрестность отдельной гомоклинической траектории, а всего семейства таких траекторий, поскольку наличие семейства характерно для интегрируемой гамильтоновой системы. Для интегрируемых систем это изучение ведется на основе теории, развитой, начиная с 1981 г. в работах [171, 172] и [70].
Прежде, чем переходить к описанию этого подхода, естественно поставить вопрос: известно, что интегрируемые системы в пространстве всех гладких гамильтоновых систем на симплектическом многообразии М (в пространстве их гамильтонианов) образуют весьма ’’тощее” множество, стоит ли изучать их структуру? На наш взгляд, ответ на этот вопрос ”да, стоит” и мотивируется он следующими соображениями. Во-первых, соображения ’’общего положения”, хотя они и весьма плодотворны, не являются абсолютными, они не объясняют, например, такой феномен, что многие ’’стандартные” уравнения, используемые в различных физических теориях, оказались интегрируемыми [30, 67, 108]. По-видимому, соображения симметрии всегда неявно присутствуют при выводе таких моделей, что часто приводит к их интегрируемости, или, в многомерном случае, - к наличию достаточно богатой группы симметрий. Во-вторых, интегрируемые системы часто появляются в локальных задачах при изучениии динамики нс-интегрируемых систем в окрестности особых точек и периодических траекторий, причем, в случае, когда особая точка является вырожденной, необходимо изучать семейства гамильтоновых систем в окрестности такой точки, что часто приводит к интегрируемым нормальным формам, зависящим от параметров [7], т.е. к своеобразной теории бифуркаций в классе интегрируемых систем! Следует отметить, что, хотя преобразование к нормальной форме обычно расходится, она, тем не менее, несет большую информацию о поведении траекторий в
ю
окрестности изучаемой особой точки или периодической орбиты. Причина этого состоит в том, что при локальном изучении деформаций аналитической гамильтоновой системы с вырожденной особой точкой при условии интегрируемости ее нормальной формы, эффекты неин-тегрируемости (например, расщепление сепаратрисных поверхностей особых точек и периодических траекторий) обычно экспоненциально малы, что приводит к хорошему асимптотическому приближению решений, полученных из нормальной формы, к истинным решениям (Нейштадт [541]).
Кроме вышесказанного, можно привести еще одно немаловажное соображение в пользу изучения интегрируемых систем: это один из немногих классов гамильтоновых систем, где, в принципе, можно до конца изучить структуру потока. Вторым таким известным примером является противоположный случай полной неинтегрируемости -случай геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны (см. [3] и литературу в ней). На таких классах оттачивается интуиция.
Интерес автора к интегрируемым задачам был стимулирован, в большой степени, желанием понять структуру некоторых модельных систем, появившихся в теории распространения доменных стенок в магнитных средах [28, 29]. Как известно, основным феноменологическим уравнением этой теории является уравнение Ландау-Лифшица (см. раздел 5.1). Эта система зависит от параметров и интегрируется в 0-функциях Прима [19]. Однако, ’’увидеть” динамику всех решений из этого факта довольно трудно, и это привело авторов [171] к задаче построения некоторого варианта ” качественной теории интегрируемых гамильтоновых систем”. В основу ее положено изучение :труктуры орбит индуцированного действия группы К2, порожденной зарой коммутирующих гамильтоновых векторных полей X#, Х/<-, где Н - гамильтониан изучаемого гамильтонова векторного поля , а К • его дополнительный интеграл. Такой подход был вполне естествен, юскольку характерен для ” школы теории колебаний Андрорюва”. С этой точки зрения первой задачей было изучение действия в окрест-зости множества вырождения действия, т.е. объединения орбит, размерность которых меньше двух. Отметим, что при изучении струк-
11
туры орбит в насыщенной относительно действия окрестности особой точки мы приходим к необходимости глобального изучения их поведения, поскольку обычно существуют орбиты, которые содержат особую точку в своем замыкании, но они уходят далеко от особой точки, и чтобы изучить инвариантную относительно действия окрестность особой точки, мы приходим к понятию расширенной окрестности особой точки и изучению поведения орбит действия и траекторий гамильтоновой системы в этой окрестности. Чтобы изучить систему в целом, необходимо знать поведение системы на уровнях гамильтониана, не содержащих особые точки. Это было сделано в работах Фоменко, Фоменко-Цишанга и др. [74, 72, 98,
Предполагая простоту особой точки (см. ниже), в случае двух степеней свободы имеем четыре типа особых точек. Три из них обладают асимптотическими к точке траекториями: седло-центр, седло-фокус и седло. В интегрируемой системе, в предположении о единственности особой точки в связной компоненте на уровне гамильтониана (естественное предположение для систем без дополнительных симметрий), замыкание множества таких траекторий образует либо ” восьмерку5’ (в случае седло-центра), либо двумерное множество, насыщенная относительно орбит действия окрестность которого должна быть изучена. Топологически эта окрестность и ее слоение на орбиты действия нетривиальны, и нужно развить общие методы исследования пуассоиов-ских действий, орбиты которых образуют слоение Лиувиляя, и теорию бифуркаций этих слоений. Еще более интересной является аналогичная задача в случае большего числа степеней свободы.
Характерной особенностью неинтегрируемой системы является наличие гомо- и гетероклинических траекторий (к особым точкам, периодическим траекториям, инвариантным торам), вдоль которых соответствующие устойчивые и неустойчивые многообразия пересека.-ются, а не сливаются, как в интегрируемой системе. Типичной ситуацией является трансверсальность этих пересечений в случае седловых периодических траекторий (гомоклинические траектории Пуанкаре) и седловых особых точек. В связи с большой сложностью изучения глобального поведения типичных гамильтоновых систем, динамическая теория таких систем исследует различные модельные ситуации,
12
и одной из весьма плодотворных здесь и является изучение гомокли-нического поведения, т.е., поведения системы в окрестности гомокли-нических траекторий к множествам различного типа.
Первой здесь являлась гомоклиническая структура Пуанкаре [151, 93, 161, 79], трансверсальная гомоклиническая траектория к седловой периодической траектории. В этом случае нет никакого различия в поведении гамильтоновой и негамильтоновой систем в окрестности такой траектории, за исключением того факта, что в общей негамильтоновой системе седловая периодическая траектория изолирована, а в гамильтоновом системе основная периодическая траектория включена в однопараметрическое семейство таких траекторий (параметр - значение гамильтониана), а на каждом уровне гамильтониана поведение в окрестности гомоклинической структуры одинаково.
Следующим по сложности является изучение гомоклинических траекторий к особым точкам. Для гамильтоновых систем существование гомоклинической траектории к особой точке седлового типа (когда собственные значения матрицы линеаризации имеют отличные от нуля действительные части) является общим явлением, поскольку устойчивое и неустойчивое многообразия этой точки лежат в одном уровне гамильтониана, и поэтому могут трансверсально пересекаться вдоль гомоклинической траектории в этом уровне. Эта структура напоминает гомоклиничеекую структуру Пуанкаре, однако это не совсем так. Оказывается поведение траекторий в окрестности гомоклинической траектории к особой точке сильно зависит от типа самой точки. Например, Девани 110Т] показал на примере конкретной системы, что трансверсальная гомоклиническая траектория к особой точке типа зедло может существовать в интегрируемой системе, где никакого :ложного поведения быть не может. В 172] показано, что в случае простого седла интегрируемой системы это всегда так, т.е., если существует гомоклиническая траектория к такому седлу, то она всегда трансверсальна. В общей гамильтоновой системе было показано 69], что если имеется трансверсальная гомоклиническая траектория < особой точке типа седло (это означает, что ближайшие к мнимой эси собственные значения матрицы линеаризации являются простыми л действительными), то в окрестности одной такой траектории цели-
13
ком лежит только однопараметрическое семейство седловых периодических траекторий, накапливающихся к петле, остальные траектории принадлежат этой окрестности кусками.
В первом нетривиальном случае двух степеней свободы, имеются три типа особых точек, для которых могут существовать гомоклини-ческие траектории (те же седло, седло-фокус и седло-центр), причем для двух первых такие траектории существуют на открытом множестве гамильтонианов. Первый результат в исследовании поведения системы в окрестности гомоклинической траектории к седло-фокусу принадлежит Девани [10^, который, перенося результаты Шильни-кова о петле седло-фокуса на гамильтонов случай, изучал аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы в окрестности трансвер сальной гомоклинической траектории к седло-фокусу. Следует отметить, что непосредственно этот результат на гамильтонов случай не переносится, т.к. при исследовании этой структуры в общей системе использовалось некоторое условие (неравенство нулю седловой величины), которое в гамильтоновом случае всегда нарушается из-за симметрии спектра линеаризованной системы.
Напомним, что для системы с п степенями свободы седло-фокусом (седлом) называется особая точка р гамильтонова векторного поля X# с гладким гамильтонианом Я, у которой ближайшими к мнимой оси собственными значениями матрицы линеаризации системы в точке р является четверка простых комплексных чисел ±а ± г/? (пара простых действительных ненулевых чисел ±А). Понятно, что наименьшая размерность фазового многообразия, где может существовать седло-фокус — это 4. В определенном смысле, случай двух степеней свободы в этой задаче является основным. Это означает следующее. Можно показать, действуя аналогично [77, 154, 165], что в окрестности грансверсальной петли существует Сг-гладкое инвариантное глобальное центральное 4-мерное симплектическое подмногообразие, содержащее все траектории, целиком лежащие в достаточно малой окрестности петли. Существование такого подмногообразия означает, что зся существенная динамика ограничена на четырехмерное подмногообразие, т.е., как в системе с двумя степенями свободы. И хотя существуют, как упоминалось выше [122], существенные различия в по-
14
ведении достаточно гладкой и системы малой гладкости, их грубые свойства, такие как поведение трансверсальных гомо- и гетероклини-ческих траекторий, гиперболических подсистем, должны быть одинаковы (хотя, конечно, это требует доказательства).
Основной результат [10$ состоит в том, что на уровне гамильтониана, содержащем седло-фокус (и гомоклиническую траекторию к нему), была выделена инвариантная подсистема, сопряженная надстройке над схемой Бернулли из двух символов. На счетность множества гомоклинических траекторий к седло-фокусу при наличии одной трансвсрсальной траектории было указано в [12]. Однако исследование системы в уровне особой точки в этой задаче недостаточно, т.к. задача о структуре окрестности гомоклинической траектории к особой точке является бифуркационной, естественным параметром которой служит значение гамильтониана, поэтому нужно было исследовать структуру инвариантных множеств и их бифуркации при переходе к близким уровням гамильтониана. Это было сделано в [175, 177, 184].
Гамильтонова система в окрестности гомоклинической траектории к седлу изучалась Тураевым и Шильниковым ^0], были указаны условия, когда возможно сложное поведение траекторий, это требует наличия, по меньшей мере, двух гомоклинических траекторий. Там же описана структура возможных гиперболические подмножеств. Часть этих результатов доказана вариационными методами в [9$.
В задачах, содержащих внешний параметр, появляется возможность (типичная для семейств) существования при некоторых значениях параметра контуров из гетероклинических траекторий и особых точек. Переход через такую структуру влечет усложнение структуры множества гомоклинических траекторий, появление нетрансверсальных гомоклинических траекторий, гиперболических подмножеств и т.д. Эти результаты были получены [184].
Задача о структуре гамильтоновой системы в окрестности гомоклинической траектории к точке типа седло-центр (здесь имеется пара простых чисто мнимых собственных значений, а остальные имеют ненулевые реальные части) также является бифуркационной. Такая гочка является общей в классе гамильтоновых систем, но ее сильно устойчивое и сильно неустойчивое многообразия одномерны ((п ~
15
стве общих гамильтонианов (в классе гамильтонианов с симметрией или обратимых эта коразмерность может быть 1). Тем не менее, системы с гомоклиническими траекториями к седло-центру встречаются довольно часто. Например, они были обнаружены в ограниченной круговой задаче трех тел (где коллинеарные точки либрации являются седло-центрами) [43, 106], в задаче о притяжении малого тела сплюснутой планетой [100], задачах вихревой гидродинамики [117], нелокальном обобщении уравнения синус-Гордон [85, 187]. Их изучение представляет большой интерес. Такая задача была поставлена и изучена в [174], затем эти результаты были дополнены и развиты в [180] и обобщены на случай п степеней свободы в [181, 182]. Различные обобщения этих результатов на случай систем с дискретными симметриями или обратимых были получены в [140, 116, 118, 119].
Следует отметить, что доказательство существования гомоклиниче-ских траекторий в различных прикладных задачах - это всегда трудный вопрос, особенно, если система не близка к интегрируемой, и методы типа Мельникова [36, 189, 192] не применимы. Тогда очень полезны вариационные методы (см., например, [155, 97, 127]) для доказательства существования, хотя они и применимы только к системам специального вида.
Перейдем к содержанию диссертацию. Диссертация состоит из введения. пяти глав и списка списка литературы из 209 наименований. Во введении дан краткий обзор исследований по динамике гамильтоновых систем, постановка задачи и сформулированы основные результаты диссертации. Первая глава диссертации посвящена изучению интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в расширенных окрестностях особых точек типа седло-центр и седло-фокус. Основной результат этого изучения - получение полного инварианта изоэнергетической сопряженности двух таких систем в расширенных (т.е., насыщенных относительно орбит действия) окрестностях простых особых точек типа седло-центр и седло-фокус. Кроме того, здесь дана топологическая характеризация самих расширенных окрестностей.
Напомним соответствующие определения. Рассмотрим гамильтоново векторное поле Хц на гладком симплектическом многообразии.
16
Напомним соответствующие определения. Рассмотрим гамильтоново векторное поле Хн на гладком симплектическом многообразии. Предположим, что оно интегрируемо, т.е., существуют дополнительные интегралы ,..., Рп-1У образующие вместе с Н инволютивный набор, и такие, что их дифференциалы линейно независимы на открытом плотном подмножестве. Предположим, что каждое из гамильтоновых полей, порожденных функциями Я, 2*1, , Яп_1, является полным,
т.е., любая его траектория продолжается на все И. Тогда с таким интегрируемым гамильтоновым векторным полем Хн (ИГВП) и его дополнительными интегралами 2*\,..., Рп-\ связано пуассоново действие Ф группы К71. Первой задачей при изучении ИГВП является изучение соответствующего лиувиллева слоения на орбиты действия Ф ([171]), поскольку его орбиты являются инвариантными множествами всех по-лей Хн, Хр1,...,
Хрп_г Поэтому необходимо определить, какие два поля будут считаться эквивалентными. Простейшее естественное соотношение эквивалентности для двух ИГВП - это соотношение топологической эквивалентности ([171]). Чтобы сформулировать это понятие, назовем множество 5 С М насыщенным относительно действия, если оно состоит из целых орбит. Пусть ИГВП (Хн,Г) и (Хк, С) порождают действия Ф, Ф соответственно.
Определение 0.1. [171] ИГВП (Хн, Г) и (Хн, С') топологически эквивалентные их насыщенных подмножествах 5х и 52, если существует гомеоморфизм Н : 5х —>• 5г такой, что к переводит орбиты действия Ф в орбиты действия Ф.
Основным аспектом при изучении ИГВП является то, что это первый (нулевой?) шаг к пониманию глобальной структуры (неинтегрируе-мых) гамильтоновых систем. С этой, последней точки зрения, топологическая эквивалентность недостаточна, поскольку необходимо знать поведение потока, порожденного Хц, а, поскольку уровни Мд = {Н = /?.} инвариантные подмножества, то нужно изучить как динамика меняется с к, основным параметром системы. Таким образом, более подходящим является другое соотношение эквивалентности.
Определение 0.2. ([198]) Два ИГВП [УГв (Хн, Г) и (Хк.С) назы-
17
ваются изоэнергетически эквивалентными, если существует топологическая эквивалентность д : М —> М, сохраняющая слоение на уровни {Я = h}, т.е., g{Mh) С М^, и обратно.
В случае 2D ИГВП изоэнергетическая классификация и ее инварианты для ИГВП в толстом слое около невырожденного (dH ф 0) компактного уровня Н была дана в ([71]) и ([72]). При изучении ИГВП в целом, необходимо, дополнительно, рассмотреть изоэнсргетическую структуру ИГВП в расширенной окрестности особых точек, т.е., в насыщенных окрестностях, содержащих особые точки. Это было сделано в ([198, 178, 197, 196], см. также книгу [186]) для случая одной особой точки в особом слое, а затем было обобщено на случай нескольких точек ([148, 97, 46]).
Следующий важный шаг был сделан в ([147]), где было показано, что в расширенной окрестности простого особого слоя nD ИГВП существует некоторое накрытие этой окрестности такое, что слоение Ли-увилля в накрытии становится топологически эквивалентным прямому произведению расширенных окрестностей простых особых точек малых размерностей 1D ИГВП и/или 2D ИГВП (для фокус-фокуса). Этот результат, однако, не дает информации об условиях изоэнерге-гической эквивалентности и тине накрытия. Стоит подчеркнуть, что результаты ([147]) недостаточны, чтобы понять структуру ИГВП в целом, т.к. при этом не только простые особые точки должны быть изучены. Для понимания структуры в целом необходимо, дополнительно, развить теорию бифуркаций ИГВП, особенно это касается многомерного случая п > 3. Один пример такой бифуркации коразмерности 2 описан в главе 1.
Основные результаты, полученные в 1 главе, можно сформулиро-зать в следующем виде:
1. Случай седло-центра 2D ИГВП. Здесь имеются в точности две гомоклинические траектории к седло-центру - (’’восьмерка'5). Расширенной окрестностью V седло-центра является окрестность ’’восьмерки” , заполненный четырехмерный крендель - множество, полученное 1риклейкой ориентируемым образом двух ручек D3 х [0,1] вдоль их юдошв D3 х {0,1} к границе четырехмерного шара D4, в котором на
18
его границе 53 отмечены четыре непересекающихся шара Д3. Сечение окрестности У уровнями Н — е дает множества У( с разной топологией в зависимости от того, как склеиваются петли (случаи А и Б), само топологическое строение окрестности V не зависит от случая.
Теорема 0.1. В случае А множество У€ гомеоочорфно: 1) связной сум-ме двух полноториев при с > 0; 2) букету из двух полноториев (склеенных по внутренней точке) при е = 0; 3) объединению двух непересекающихся полноториев при е < 0 . В случае Б множество Ус гомеоморфно: 1) связной сумме полнотория и 52 х 51, при е > 0; 2) полноторию, в котором отождествлены две внутренние точки при е = 0; 3) полноторию при е < 0. Граница дУ расширенной окрестности У в обоих случаях гомеоморфна связной сумме двух экземпляров 52 х 51.
Теорема 0.2. . ИГВП {ХНл К) на У из о энергетически эквивалентно ИГВП (Хи-’>К'} на У тогда и только тогда, когда для обоих ИГВП имеет место один и тот же случай А или Б.
С точки зрения топологической эквивалентности действий, имеется только один класс эквивалентности.
2. Случай седло-фокуса 2Б ИГВП.
Здесь рассматриваются 3 основных случая, именно:
1) Устойчивое и неустойчивое многообразия особой точки р замыкаются на себя.
2) Устойчивое и неустойчивое многообразия особой точки р замыкаются на одну ориентируемую гиперболическую ОПТ (особую периодическую траекторию).
3) Устойчивое и неустойчивое многообразия особой точки р замыкаются на одну неориентируемую гиперболическую ОПТ.
Теорема 0.3. Существуют расширенные окрестности У, У точек р, р', соответственно такие, что ИГВП (Хц, К) и (X#', К') изоэнергетически эквивалентны в У и У', если и только если они соответствуют одному и тому же случаю из перечисленных 1-3.
19
Наиболее технически сложная часть этого исследования - доказательство изоэнергетической эквивалентности двух систем, имеющих одинаковый инвариант. Для построения сопрягающего гомеоморфизма используются вспомогательные градиентные системы, построенные по дополнительному интегралу и гамильтониану.
3. Рассмотрен модельный пример бифуркации, происходящей в однопараметрическом семействе 2 Б ИГВП, когда при некотором значении параметра ИГВП имеет непростую особую точку с двумя действительными неполупростыми кратными собственными значениями и семейством гомоклинических траекторий. В этом случае пересечение лиувиллева слоения с секущей к гомоклинической траектории есть 1В ИГВП, зависящее от двух параметров, с особой точкой коразмерности 2. Описаны его бифуркации при изменении параметров. К тому же семейству сводится локальное изучение индивидуального ЗБ ИГВП здоль однопараметрического семейства его периодических траекторий, когда в этом семействе имеется одна, мультипликаторы которой являются двукратными (ненулевыми) действительными числами, каждое с двумерной жордановой клеткой, и имеется пара гомоклинических траекторий к этой периодической траектории.
В главе 2 изучается ИГВП с тремя степенями свободы (31) ИГВП) в расширенных окрестностях простых особых точек, наиболее близких по структуре к рассмотренным в главе 1. Это точки типа: эллиптико-гипербо-лическая (2 пары чисто мнимых собственных значений и 1 пара действительных), сэГточка (1 пара чисто мнимых и комплексная четверка), СБ-точка (1 пара чисто мнимых и 2 пары действительных), БйГточка (1 пара действительных и одна комплексная четверка). Здесь указаны соответствующие инварианты изоэнергетической сопряженности и построены примеры 31) ИГВП, в которых имеются семейства неориентируемых седловых инвариантных 2-торов.
Теорема 0.4. Пусть ЗЭ ИГВП имеет простую ек-точку р. Тогда существуют три и только три из о энергетически различные такие ИГВП в некоторой расширенной окрестности щхт'Ь р. Эти случаи различаются знаками и\Ш2 о локальном представлении гамильтониана Н и, если и)\и>2 > 0, то числом периодических траекторий (1 или
20
2) на S2^ на уровне Н = с, sign(c) = signai).
Теорема 0.5. . Два 3D ИГВП, имеющие csf-точки, изоэнергетически эквивалентны в некоторых их расширенных окрестностях.
Теорема 0.6. Существуют 8 типов различных классов изоэнергети-ческой эквивалетпости в расширенной окрестности cs-точки. каждый класс реализуется прямым произведением гамильтониана II = Н\ + #2 с Н\ = (х\ + у\)/2, а #2 реализует один из 8 типов изо-энергетического поведения в расширенной окрестности точки типа седло.
Главы 3 и 4 посвящены структуры изучению и бифуркаций неин-тегрируемых систем в окрестностях гомоклинических траекторий к особым точкам типа седло-центр и седло-фокус, в случае седло-центра изучается как система с 2 степенями свободы, так и с любым (конечным) числом степеней свободы. Гамильтоновы системы, имеющая петлю сепаратрисы к седло-центру, при выполнении некоторых условий общего положения в классе таких систем, лежат на коразмерности два подмногообразии в пространстве гамильтонианов с С3-топологией. В главе 3 изучается как индивидуальная система, имеющая петлю, так и двупараметрическая деформация системы с петлей (которая может уже не иметь петель, хотя, как доказано в [180], имеется счетное множество значений параметров, накапливающихся к критическому, для которых система имеет двухобходные и трехобходные гомоклиниче-ские траектории). Основные результаты 3 главы разбиты на два случая: две степени свободы и п > 3 степеней свободы. Они различаются техникой исследования, т.к. при п = 2 может быть использована локальная иитегг оуемая нормальная форма Мозера [144] для представления п- ;.он ц щ да, при этом приходится предположить аналитичность системы. В этом случае упомянутое условие общего положения (названное условием линейной неинтегрируемости) состоит в неравенстве 1 некоторого коэффициента в глобальном отображении. Первый результат касается условий существования трансвер сальных гомоклинических траекторий Пуанкаре ко всем периодическим траекториям, заполняющим центральное многообразие седло-центра. Они являются
21
седловыми на соответствующем уровне гамильтониана. Впервые он был получен в [174] для индивидуальной системы (без параметров). Здесь мы даем его обобщение на семейство, при этом, одновременно, находится граница этой области, соответствующая касанию гомокли-нических траекторий к периодической траектории.
Теорема 0.7. Если при р = 0 линеаризованная на петле неавтономная гамильтонова система линейно неинтегрируема, то существует положительная константа h* и конусообразная область V в трехмерном пространстве параметров (h. р\, до), h > 0, такие, что любое сечение h = const, 0 < h < h*, этой области является двумерным диском, ограниченным кривой, точки которой соответствгуют системам семейства X]], с касанием устойчивого и неустойчивого подмногообразий соответствующей ляпуновской гиперболической периодической траектории 7д, расположенной на уровне H^ = h. Для значений параметров р из внутренности этого диска соответствующая система Хн^ имеет четыре трансе ер сальные однообходные гомокли-нические траектории к 7/г. При h -» -f-0 этот диск стягивается к началу координат. В частности, существует положительное число £q, такое, что для любого /х, || р |j< во гамильтоново векторное поле Хн„ не имеет дополнительного аналитического интеграла.
Следующий результат касается поведения системы на уровне Н = Н(р) при р — 0. Здесь (в, р) - симплектические полярные координаты в диске Г) <fj.
Теорема 0.8. Сохраняющее площадь отображение Пуанкаре на уровне Н = Н(р) на секущей к петле является скручивающим в проколотом диске 0 < г] <. fj, для достаточно малого р. Отображение доопределяется по непрерывности до гомеоморфизма диска с неподвижной точкой в (0.0). Если эта точка устойчива по Ляпунову, то в любой окрестности точки имеется замкнутая инвариантная кривая, являющаяся графиком липшицируемой функции вида rj = у(0).
В случае устойчивости к отображению Пуанкаре в окрестности точки (0.0) может быть применен весь арсенал теории скручивающих отображений [135, 88, 127] для получения счетного множества периодических (биркгофских) траекторий для каждого рационального числа
22
цз интервала вращения (который в рассматриваемом случае есть луч -оо.ао), и инвариантных кривых или кантороторов - для иррациональных чисел. Однако, как показывают примеры, точка (0, 0) может быть неустойчивой, и тогда теория скручивающих отображений неприменима непосредственно. В любом случае имеет смысл следующая теорема, которая дает 4 семейства периодических траекторий (вместо двух, по теории Биркгофа) и указывает величину, которая определяет типы этих траекторий. Соответствующие периодические траектории гамильтоновой системы в уровне Н = Н(р) (р - седло-центр) являются однообходными относительно гомоклинической траектории.
Теорема 0.9. Пусть линеаризованная на петле система линейно не-интегрируемая. Тогда в некоторой окрестности петли на уровне Ц существует четыре счетных семейства однообходных периодических траекторий, накапливающихся к петле (они соответствуют неподвижным точкам ргп = (77*,^), г = 173, отображения /о). Если величина 5 = 7(6—6“!) принадлежит интервалу (—2.2), то при достаточно малом 770 половина точек из р1п — р\ - эллиптические, а остальные - гиперболические. Если ] 5 |> 2, то все точки - гиперболические.
В случае п степеней свободы основные результаты для систем с петлей седло-ж нтра и близких к ним могут быть описаны следующим образом. Во-первых, необходимо выделить условия общего положения для систем с петлями, которые образуют коразмерности 2 подмногообразие в пространстве всех гамильтонианов с С3-топологией. Это условие относительного общего положения названо также линейной неинтегрируемостью, поскольку, оно, как следует из нижеприведенной теоремы, гарантирует неинтегрируемость как самой системы с петлей, так и <чех близких к ней систем. Выделение этих условий требует изучения линейной системы в вариациях на петле, т.к. здесь отсутствует интегрируемая локальная нормальная форма. Заметим, что в многомерном случае в условие неинтегрируемости входит еще одно условие трансверсальности устойчивого и центрально неустойчивого многообразий вдоль петли на уровне Ы = Н(р), которое автоматически выполняется при п = 2. При этих условиях удается, путем симплектической факторизации по устойчивому и неустойчивому сло-
23
ению, удается построить некоторую неавтономную асимптотически автономную двумерную гамильтонову систему, аналогичную транс-версальной системе в вариациях для п = 2 и определить линейную неинтегрируемость. Это условие позволяет доказать теорему
Теорема 0.10. Пусть С*-гладкое поле X# с любым числом степеней свободы имеет гомоклипическую траекторию к особой точке р типа седло-центр, являющуюся линейно неинтегрируемой и пусть II(р) = 0. Тогда на всех близких к нулю уровнях гамильтониана, содержащих Ляпунов скую периодическую траекторию, имеются четыре трансе ер сальные гомоклинические траектории к этой периодической. Это влечет неинтегрируемость самой систвоМЫ и всех достаточно близких к пей гам.ильт.оновых систем..
Понятие неинтегрируемости, используемое в теореме, требует некоторого уточнения. Обычно, понятие неинтегрируемости применяется к аналитическим системам [151, 35, 36, 31, 32], говорят об отсутствии аналитических (мероморфных, алгебраических) дополнительных интегралов. Однако, если система имеет конечную гладкость, необходимо придать точный смысл понятию неинтегрируемости. Здесь используется следующее понятие локальной неинтегрируемости системы [181] в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории Пуанкаре
Теорема 0.11. (О неинтегрируемости) Пусть 7 - седловая периодическая траектория гладкого гамильтонова векторного поля Хц, с = И (7), и Г - трансе ер сальная гомоклиническая траектория к 7 па уровне Ус. Тогда векторное поле Хц неинтегрируемо в следующем смысле: существует окрестность траектории Г, в которой поле Хн не имеет п — 1 гладких дополнительных интегралов К\,..., Хп-ь таких, что множество функций {Н, К\,..., Кп-\} находится в инволюции, и сгуществует точка х € И7* (или х € в которой
Ш(х)1 дК\(х),..., (1Кп-\{х) независимы.
Заметим, что такое понятие неинтегрируемости не требует аналитич-юсти гамильтониана и всех дополнительных интегралов, как обычно 104].
24
В главе 4 изучается гамильтонова система или семейство систем в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к особой точке типа седло-фокус и контура из двух гетероклинических траекторий к двум седло-фокусам, лежащим в одном уровне гамильтониана. Первая задача изучается для индивидуального гамильтониана, а вторая - для однопараметрической деформации гамильтониана, содержащего контур. Все изучение проводится для случая систем с двумя степенями свободы, поскольку этот случай является, в некотором смысле, основным. Это означает следующее. Можно показать, действуя аналогично [77, 154, 165], что в окрестности трансверсальной петли существует Ст1-гладкое инвариантное центральное 4-мерное симплек-тическое подмногообразие, содержащее все траектории, целиком лежащие в достаточно малой окрестности петли. Существование такого подмногообразия означает, что вся существенная динамика ограничена на четырехмерное подмногообразие, т.е., как в системе с двумя степенями свободы. И хотя существуют, как известно [122], существенные различия в поведении достаточно гладкой и системы малой гладкости, грубые свойства, такие как поведение трансверсальных гомо-и гетероклинических траекторий, гиперболических подсистем, будут одинаковы (хотя, конечно, это требует доказательства).
В случае петли доказывается существование гиперболических подмножеств системы, дается их символическое описание, изучаются бифуркации, происходящие в системе при изменении естественного параметра системы - значения гамильтониана. Это изучение показывает очень сложную бифуркационную структуру системы.
Теорема 0.12. 1. При с — 0 отображение Пуанкаре Ро на множестве всех траекторий поля Хц, лежащих целиком в некоторой, достаточно малой, окрестности петли Г, сопряжено символической системе (Уо»<7).
2. Существует со > 0 такое, что при |с| < cq на уровне И = с существует инвариантное гиперболическое подмножество траекторий, для которого отображение Пуанкаре сопряжено символической системе (Ут. с), где т = п(с), а функция п(с) имеет, следующую асимптотику п(с) ~ — ^ln\c\ + const.
25
3. На отрезке [—Со,Со! существует счетное множество непересе-кающихся интервалов 1П) п G {Z \ 0}; накапливающихся к нулю, и таких, что при с £ 1п множество всех траекторий, целиком лежащих в U U {Н = с}, совпадает с гиперболическим множеством п.2 теоремы.
Из этой теоремы следует, что при изменении с число состояний в схеме Бернулли растет (при \с\ -> 0), т.е., должны происходить бифуркации, в результате которых происходят перестройки в структуре множества траекторий на уровнях Н = с. В силу п.З теоремы, на отрезке [-со, со] имеется счетное множество гиперболических интервалов накапливающихся к с = 0. Оказывается, в дополнительном множестве к гиперболическим интервалам есть интервалы, при изменении внутри которых действительно происходят бифуркации.
Теорема 0.13. В любом интервале между двумя соседними гиперболическими интервалами существует подинтервал J = (с', с") такой, что на J существуют точки do,di, соответствующие бифуркациям.: а) при с = do внутри прямоугольника Щ образуется параболическая неподвижная точка отображения Пуанкаре, которая затем распадается на эллиптическую и гиперболическую; б) при с = d\ эллиптическая точка становится вырожденной с кратным значением. — к, двумерной жордановой клеткой матрицы линеаризации и ненулевой ляпуновской величиной, что приводит к ее удвоению при близких с.
На самом деле, бифуркации, описанные выше, только одни из многих происходящих в данной системе. Действительно, из символического описания теоремы 4.1 и геометрии отображения Пуанкаре следует, что имеются гиперболические неподвижные точки (ориентируемая и неориентируемая), соответствующие последовательностям (... ,1,1,...) и (..., —1, — 1,...). Через эти неподвижные точки проходят гладкие устойчивые слои и трансверсачьные неустойчивые слои, пересекающие трансверсально все устойчивые слои инвариантного подмножества. Тем самым выделяется некоторое инвариантное множество, границей которого являются устойчивые и неустойчивые слои ориентируемой неподвижной точки. При изменении с кусок неустойчи-
26
вого слоя приходит так, что при некотором с* он касается устойчивого слоя той же неподвижной точки, образуя нетрансверсальную гомокли-ническую точку, причем так, что образ инвариантной области не пересекает ее саму, кроме точки касания (”первое касание”) [22], и расположен выше самой области ( здесь нужно представить, что область -это прямоугольник на плоскости, у которого левый верхний угол - это ориентируемая гиперболическая неподвижная точка, верхняя и нижняя стороны - куски устойчивых многоообразий этой точки, а левая и правая - куски неустойчивых). Это значение с*п есть начальная точка очередного бифуркационного интервала. Отсюда можно утверждать, что при некоторых с (счетное множество раз) неустойчивое многообразие неподвижной гиперболической точки квадратично касается с ее устойчивым, образуя нетрансверсальную гомоклиническую точку с квадратичным касанием. Известно [142], что после такого касания, в силу монотонности изменения по с образуются эллиптические точки больших периодов. Затем те же бифуркации происходят на других гиперболических неподвижных точках. Нетрудно также указать здесь и гетероклинические контуры на ориентируемой и неориенти-руемой неподвижных точках, причем как трансверсальные, так и с одним трансвер сальным пересечением и квадратичным касанием. В этом случае возможно образование появление счетного множества эллиптических точек одновременно [26]. Все это говорит о чрезвычайно сложной бифуркационной структуре рассматриваемой системы, которая вряд ли может быть описана полностью, см. по этому поводу [114]. Конечная точка бифуркационного интервала соответствует значению с**, когда происходит ”последнее касание” [22] рассматриваемой инвариантной области (ее правый кусок неустойчивого многообразия касается нижнего куска устойчивого, образуя нетрансверсальную гомоклиническую точку). Точки с/0(п), ^](п) лежат внутри бифуркационного интервала с*, с**.
Следующие результаты относятся к структуре однопараметрического семейства систем, являющегося деформацией системы с контуром, состоящим из двух трансверсальных гетероклинических траекторий к двум седло-фокусам. Естественно, что эта задача является эднопараметрической, поскольку такой контур может появиться, по
27