Формы алгебр Ли картановского типа

- 2
Введение
Итогом диссертации является описание форм алгебр Ли карта-новского типа над полями характеристики р > 0. Напомним, что если А — произвольная алгебра над полем к и к' С к — подполе, то А/-подалгебра А' С А называется к1 -формой алгебры А, если каноническое А:-линейное отображение к А' —> А биективно. Задача об описании форм представляет особый интерес для простых алгебр. Действительно, в процессе классификации простых алгебр приходится работать над алгебраически замкнутым полем, так как это позволяет использовать весовые разложение алгебры относительно линейных операторов. Распространение классификации на незамкнутые поля требует нахождения форм простых алгебр над алгебраически замкнутым полем.
Классификация простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым нолем в настоящее время завершена только при р > 7 [73]. В соответствии с гипотезой Кострикина-Шафаревича единственными простыми алгебрами Ли при р > 7 являются классические алгебры и алгебры картановского типа.
13 этом введении дается обзор предшествовавших результатов о формах алгебр Ли классических и картановских типов, а также обсуждаются различные методы спуска.
§1. Формы классических алгебр Ли
1.1. Спуск Галуа
Наиболее известен метод спуска в случае, когда к/к/ — конечное расширение Галуа. Пусть С = СаЦА’/А/) — группа Галуа и А — алгебра над к. Если а 6 О, то линейная биекция <р : А —> А называется <7-полулинейным автоморфизмом алгебры А, если
<р(аЬ) — 1р(а)(р(Ь) и <р(Аа) = <т(А )<р(а)
для всех а,Ь Е А, А Е к. Обозначим через О-АгДА группу всех а-полулинейных автоморфизмов алгебры А для различных о Е С. Гомоморфизм групп р : О СУ-АгДА называется предкоциклом, если р(<т) является ^--полулинейным для каждого су Е О. Тогда к'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с пред-коциклами Ст G-Ai.it А. При этом Аг'-форме А! соответствует пред-коцикл р, заданный по правилу р(ст) = а 0 [Ад* при отождествлении А = к А'. В обратную сторону, предкоциклу р соответствует А/-форма
- 3 -
A' = A«g' = {a € A I p(a)a = a для всех a € G}.
Заметим, что группа Aut. Л всех fc-линейных автоморфизмов алгебры А есть нормальный делитель группы G-Aut А. В случае, когда зафиксирована некоторая //-форма Aq, суперпозиция соответствующего ей предкоцикла ро : G -4 G-Aut. А и присоединенного представления группы G-Aut А в Aut А задает действие группы G автоморфизмами группы Aut А. В этом случае //-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с коциклами f:G-> Aut А, под которыми понимаются отображения, удовлетворяющие тождеству
/(<7 т) = /(<т) • 7 (г), <7, т eG.
Предкоциклу р соответствует КОЦИКЛ f(a) = p(o)po((j)~l, (7 € G. Сопряженность к.'-форм относительно действия группы автоморфизмов Aut А соответствует некоторому отношению эквивалентности на множестве коциклов, причем классы эквивалентности образуют множество H1(G, Aut А) классов когомологий с некоммутативными коэффициентами.
Часто оказывается, что формы одной алгебры определяют при помощи некоторой конструкции формы другой алгебры. Примером может служить соответствие между формами заданной алгебры А и формами алгебры Ли L = Der А всех к-линейных дифференцирований алгебры А. Ясно, что с каждой к'-формой А' алгебры А связывается //-форма I/ = Der А7 алгебры Ли L.
Предложение. Если канонический гомоморфизм групп Aut А -4 Aut L биективен и алгебра А обладает хотя бы одной к'-формой, то соответствие между к'-формами алгебр А и L взаимно однозначно.
Заметим, что наличие //-формы алгебры А существенно, так как без этого нельзя установить биективность гомоморфизма G-Aut А -4 G-Aut L.
В сформулированном предложении под А может пониматься алгебра в универсальном смысле, т. е. векторное пространство с некоторым набором полилинейных операций. При этом в Der А входят линейные операторы D на А с условием, что
п
£»(w(ab...,Or)) = £>(аь...,£>а;,...,аг)
1=1
для каждой полилинейной операции и арности г, входящей в заданную структуру алгебры, и аi,... ,ar € A.
Спуск Галуа обобщается и на случай бесконечного расширения Галуа, в предположении, что А конечномерна. В этом случае группа G снабжается топологией Крулля, а группа G-Aut А — топологией,
- 4 -
в которой базис окрестностей единичного элемента образуют множества, состоящие из полулинейных автоморфизмов, действующих тождественно на некотором конечном подмножестве из А (индуцированная топология на Aut А дискретна). Тогда //-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с непрерывными предкоциклами G -4 G-Aut А (а также с непрерывными коциклами G —» Aut, А при фиксации к'-формы).
1.2. Случай 7юля характеристики нуль
Описание форм алгебр Ли типов An, Вп, Cn, DTl за исключением D4 получено в [23, 24, 25, 41, 42]. Для типа Gz это сделано в [26], а для типа — в [76, 77].
Теорема. Формы простых алгебр Ли типов Ап> Вп, Сп, Dn, F4, Gz за исключением D4 находятся во взаимно однозначном соответствии с центральными простыми конечномерными алгебрами из следующих классов:
для тпипов А. В, С, D — ассоциативные алгебры с инволюцией. для типа Gz — неассоциа7пивные альтернативные алгебры, для типа F4 — исключительные йордановы алгебры.
Соответствие между формами задается конструкцией из п° 1.1. Каждый раз применимо сформулированное там предложение, поскольку любая конечномерная центральная простая алгебра Ли расщепляется над некоторым конечным расширением Галуа.
Ассоциативная алгебра с инволюцией есть пара (A, J), где А — ассоциативная алгебра, a J — ее инволютивный антиавтоморфизм. Если алгебра (A, J) — центральная простая, то А сепарабельна, и любое ее дифференцирование является внутренним. Кроме того, дифференцирование D = ad а, где а Є А, коммутирует с J тогда и только тогда, когда ./(а) = —а. Подпространство g = {а Є А | J(a) = —а} есть лиевская подалгебра в А и g = [g, g] ф (g П G), где С — центр алгебры А. Отсюда
Der (Л, J) й g/g П С 2 [g, g].
Это дает более традиционное описание форм алгебр Ли типов Ап-Dn (см. [28]).
В случае типов D4, Es, Е7, Es отсутствует столь простое описание форм. Различные классы форм в терминах алгебр более сложной структуры были построены в [Г 3, 16, 17].
1.3. Модулярный случай
Теорема из п° 1.2 остается верной и для полей характеристики р > 0 при определенных ограничениях на р. Причина, по которой
- о -
это обобщение больших трудностей не вызывает, усматривается из следующих ниже двух лемм (приведены наброски доказательств, поскольку автору не известны точные ссылки). Заметим, что для любого поля к характеристики р и любой системы корней Ф определена к-алгебра Ли к ф% 92, гДе 0Ж — порядок Шевалле комплексной по-лупростой алгебры Ли с системой корней Ф (см. [10]). Получаемые таким образом А*-алгебры Ли будем называть ^-формами Шевалле. Предположим, что 9 — произвольная к-форма некоторой классической алгебры Ли над алгебраическим замыканием к поля к.
Лемма. Если д содержит расщепляемую подалгебру Картана \), то д — форма Шевалле.
Доказательство. Подалгебра £} = к <81*. О является картановской в д = к фь д. Так как все подалгебры Картана в д сопряжены относительно группы автоморфизмов, существует система Шевалле РС»)<*€Ф (см- [Ю])> состоящая из корневых элементов относительно £). При этом д(Г = кХ„ является корневым пространством алгебры д относительно б для каждого а Е Ф. Так как £) расщепляема, то дп = А’да, где да — некоторое корневое пространство алгебры д относительно б- Пусть а1,...,ап — базис системы корней Ф. Используя тор автоморфизмов алгебры д, сохраняющий корневые подпространства дсг, можно подправить систему Шевалле таким образом, чтобы Ха• Е 0«» для любого простого корпя а,. Для каждого г найдется такое 0 ф с,- € к, что c^X-ai Е 0-.<»»• Тогда с,Ял. = [Xcti, с*Х_а<] и С{(осу,скУ)Ха; = [сгНац -Хс^] тоже лежат в д для любого Отсюда с,- € к, т. е. € д. Тогда Ха Е д для любого ос Е Ф, и
0 = § ф (0с*€Ф кХо,) — форма Шевалле.
Лемма. Существует конечное расширение Галуа к/к такое, что к-алгебра Ли к ф{. 0 содержит расщепляемую подалгебру Картана.
Доказательство. Пусть () С д — подалгебра Картана. Тогда = к <Фк ^ — подалгебра Картана в д. Так как все подалгебры Картана в д сопряжены относительно группы автоморфизмов, то £) — тор. Ограниченная универсальная обертывающая алгебра и(£)) = Аг<8>*и(у изоморфна прямому произведению N = <Ити(£)) экземпляров поля к. Значит, существует ровно N гомоморфизмов и(\)) —» /с, а тогда и(£)) есть прямое Произведение к\ X • • • X кт некоторого числа_ конечных сепарабельных расширений поля к. Возьмем в качестве к конечное расширение Галуа поля к, в которое вкладывается каждое из полей А:г-. Тогда к Фл- ц(£)) есть прямое произведение N экземпляров ноля к, а значит любое ^-представление подалгебры Картана кфь £) С кфл д есть прямая сумма одномерных представлений.
- 6
Таким образом, нахождение форм классических алгебр Ли сводится к случаю конечного расширения Галуа. Поскольку группы автоморфизмов при р > 3 устроены также, как и в характеристике нуль (см. [50]), то и результаты о формах сохраняются.
§2. Формы модулярных алгебр Ли картановского типа
2.1. Первые исследования
Пусть к — иоле характеристики р > 0. Первый пример простой неклассической конечномерной алгебры Ли, приписываемый Витту, был обобщен Джекобсоном, который стал изучать алгебру Ли Wn = Г)егД„ всех к-линейных дифференцирований коммутативной ассоциативной /г-алгебры Вгх = к[х\^... ,#п], х\ = 0 [27]. Джекобс.он доказал, что Aut Wn = Aut Вп при р > 3. Это позволяет применить предложение из п° 1.1 в случае конечного расширения Галуа к/к'. Формы алгебры Вп легко находятся для любого подполя к' С к. Ими являются fc'-алгебры В' — ... ,у„], yf = о,-, для различных набо-
ров элементов c*i,... ,а„ € к'. Естественно назвать такую форму расщепляемой, если определяющие соотношения в подходящей системе образующих У1,...,уп отвечают параметрам ot\ = ••• = <*„ = 0. Заметим, что заданная Ar'-форма В' расщепляется при переходе к надполю к" Э к' тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм Аг'-алгебр В' —> к". Поэтому минимальное такое надполе к" является чисто несепарабельным расширением поля к'. В случае если к/к! сепарабельно, алгебра Впу а значит и Wn, не имеют нетривиальных форм. Таким образом, принципиальное отличие задачи об описании форм алгебры WTl (а также и других алгебр Ли картаповского типа) по сравнению со случаем классических алгебр Ли состоит в необходимости рассматривать несепарабельные расширения полей.
Джекобсон разработал метод спуска для случая, когда к/к' конечно и чисто несепарабельно экспоненты 1 [27, 29]. Пусть Т) = Der^/ к — алгебра Ли всех Ar'-линейных дифференцирований поля к. Если 8 Е £), то (^-полулинейным дифференцированием алгебры А назовем такой А:'-линейный оператор D : А —> А, что
D(ab) = D(a)b -f aD(b) и • D(\a) = £(А)а -f- АD(a)
для всех а, 6 € А, А Е к. Обозначим через 5)-Der А совокупность всех 5-полулинейных дифференцирований алгебры А для различных 6 Е 5). Ясно, что £>-Dcr А есть р-алгебра Ли над нолем к'. Гомоморфизм р-алгебр Ли р : D -» £>-DerA называется предкоциклом, если р(6) является <!>-полулинейным и р(А<£) = Ар(8) для всех 8 Е £>, А Е Ar. Как показал Джекобсон, Ar'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с предкоциклами £) —» SD-Der А. При этом
- 7 -
Аг'-форме А' соответствует предкоцикл р, заданный по правилу р(<5) = 8 0 id,|/ при отождествлении А ^ к Фкг А'. В обратную сторону, предкоциклу р соответствует А;'-форма
А! = Ар1^ = {а Е А | р(8)а = 0 для всех 8 Е £>}.
Пусть, далее, L = Der А. Если Der L = L и если А имеет хотя бы одну А'-форму, то из приведенного выше описания форм легко вывести, что соответствие между fc'-формами алгебр А и L взаимно однозначно. Джекобсон доказал, что все дифференцирования алгебры Ли Wn внутренние и тем самым получил описание ее форм и для чисто несепарабельного расширения экспоненты 1.
При попытке работать с произвольным расширением полей к/к', используя башню сепарабельных расширений и чисто несепарабельных экспоненты 1, возникает существенный момент, связанный с условием о существовании Ar'-форм для форм алгебры А над промежуточными подполями. Максимум, что удается выжать из описанной выше техники спуска — это
Предложение. Предположим, что А конечномерна, к сст.ъ алгебраическое замыкание поля к' и выполнены следующие условия:
канонический гомоморфизм групп Aut А —> Aut L биективен, канонический гомоморфизм р-алгебр Ли Der А —» Der L биективен, для любой к"-формы А" алгебры А, где к' С к" С к, существует сепарабельное расширение к/к" такое, что k-алгебра кА" обладает к1-формой.
Тогда соответствие между к'-формами алгебр А и L взаимно однозначно.
Приведенный результат есть .специальный случай теоремы 7 из [29] (Джекобсон рассматривал более общую ситуацию соответствия между классами форм на двух векторных пространствах). Предложение, увы, ничего не дает для алгебр Ли картановского типа.
1.2. Формы простых р-алгебр Ли картановского типа
Высказанная Джекобсоном гипотеза о формах алгебры Wn была доказана Алленом и Свидлером [2]:
Теорема. Если р > 3, то любая форма алгебры Wu имеет.: вид Der В1, где В' — некоторая форма алгебры Вп.
В этой работе был применен метод спуска, основанный на использовании алгебр Хопфа. Предположим, что [А: : А/] < оо и к снабжено структурой Я-модуля, где Я — алгебра Хопфа над к', причем отображение умножения кфк'к к является гомоморфизмом Я-модулей
-8 -
(условимся, что Н действует в тензорных произведениях своих модулей посредством гомоморфизма коумножения II —> Н Фл1 Н)- Го-ворят, что к (к1 есть HGE (Hopf Galois extension), если подполе Н-инвариантных элементов кн совпадает с к' и [к : к'] = dim*' II. Если к/к' есть HGE, то Аг'-формы алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии со структурами Я-модуля на А, для которых оба отображения умножения А Фь1 А —> А и к фк1 А -4 А являются гомомор ф изм а м и Я- моду л ей.
Исследование соответствия между формами двух различных алгебр приводит к вопросу о том, когда гомоморфизм между коком-мутативными расщепляемыми алгебрами Хопфа биективен. Ответ на него может быть дан в терминах последовательностей разделенных степеней в алгебрах Хопфа [2, 3.1, 3.3]. В случае алгебры Хопфа, связанной с алгеброй А, соответствующее понятие известно под именем системы высших дифференцирований. Это такая последовательность А:-линейных операторов Do, D\,..., Dr на А, что
А) = id л и Di(ab) = ^2
з=о
для всех i < г, а,6 Е А. Заметим, что Di является обычным дифференцированием алгебры А. Сформулируем результаты Аллена и Свидлера в следующей интерпретации:
Предложение. Пусть к' — произвольное поле, k. — его алгебраическое замыкание, А — конечномерная k-алгебра и L = Der А. Предположим, что
канонический гомоморфизм групп Aut А —> Aut L биективен,
канонический гомоморфизм р-алгебр Ли Der А —> Der L биективен,
всякий раз, когда для D Е L существует система высших дифференцирований До, Ai,..., Дг алгебры L, где — ad D, существует также система выхших дифференцирований Do,Di,...,Dr алгебры А той же длины г, у которой D\ = D.
Тогда соответствие между к'-формами алгебр А и L взаимно однозначно.
В случае когда А = Вп алгебра срезанных многочленов, третье условие этого предложения выполняется, как и два предыдущих. Более точно, справедлива
Лемма [2, 3.5]. Пусть m — максимальный идеал алгебры Вп и D Е Wn. Если Dm С ш. то D включается в бесконечную систему выс-ших дифференцирований алгебры Вп. Если Dm (f_ m, то ad D не можетг быт,ь включено в систему высших дифференцирований алгебры
-9 -
\¥п длины, > р.
Формы простых р-алгебр Ли Нп\ /\п 1 были описаны Серко-
нек и Уилсоном [51]. Рассмотренная ранее модельная ситуация с некоторыми оговорками охватывает и этот случай, поскольку 5П, #п, Кп представляют собой стабилизаторы дополнительных структур, заданных на Вп, и реализуются в виде алгебр Ли дифференцирований некоторых универсальных алгебр. Серконек и Уилсон работают непосредственно с системами высших дифференцирований, обходя обращение к алгебрам Хопфа. Из приведенной выше леммы они выводят ее аналог для других картановских типов (здесь требуются системы высших дифференцирований Яо, ..., £)г, правильным образом действующие на дифференциальные формы).
Теорема. При р > 3 любая к'-форма одной из алгебр 5« , Кп ^
изоморфна соответственно алгебре вида 5(В'ут)^1\ Н(В\тр2^ или К(В',т)(1\ где В' — некоторая к'-форма алгебры Вп, т — дифференциальная форма на В1, которая становится сопряженной со стандартной формой объема, гамильтоновой или контактной форм.ой на Вп при расширении ска..ляров и
5(Б',г) = {ВеЪсгП' |7>г = 0},
Я(Л', т) = {£> е Вег В’ | Вт = 0},
К(В\т) = {£> € ОегВ' | Вт € В'т},
Если к1 совершенно, то нетривиальных форм не возникает.
2.3. Строго плоский спуск
Этот метод, изобретенный Гротендиком [21], описывает данные спуска для строго плоского расширения коммутативных колец. В частности, в случае расширения полей к/к1 никаких ограничений не накладывается. Пусть к^ = к (фь' к и г1,?2 : к —> — гомо-
морфизмы колец, отображающие к на первый и второй сомножители соответственно. Обозначим через г* и г2 — соответствующие операции расширения скаляров. Если А — алгебра над к, то ее //-формы находятся во взаимно однозначном соответствии с изоморфизмами -алгебр {\А г2А, удовлетворяющими уравнению предкоцикла (см. §3 гл. IV).
Всегда имеется канонический полулинейный изоморфизм 1\А ^4 г2А. соответствующий перестановке сомножителей в к{2\ Но только фиксация //-формы А'0 алгебры А позволяет отождествить и г2 А при помощи № -линейного изоморфизма. В этом случае //-формы алгебры .4 определяются автоморфизмами к^-алгебры к^^ф^ (а
-10-
классы изоморфизма форм — по-прежнему некоторым множеством когомологий с некоммутативными коэффициентами).
Строго плоский спуск позволяет доказать, что соответствие между к'-формами алгебр А и L = Der Л взаимно однозначно при условии, что А обладает //-формой и что гомоморфизм групп /Г-линейных автоморфизмов Aut (К <g>fc Л) —> Aut(ÜT L) биективен для каждой коммутативной /г-алгебры К. На возможность применения этой техники для описания форм алгебры Джекобсона-Витта Wn внимание обратил Уотерхаус [79].
2.4. Общий случай
Имеется в виду описание форм алгебр Ли W(т) для произвольного набора высот т = [т\,...,тп) (см. [34]), а также алгебр Ли специального, гамильтонова и контактного типов, отвечающих произвольным формам объема, гамильтоновым и контактным формам на W(m). Все эти алгебры реализуются как алгебры Ли дифференцирований некоторой алгебры Ö(m), изоморфной алгебре срезанных многочленов. Решение задачи, основанное на методе строго плоского спуска, было получено Уотерхаусом [81] для типа W и независимо автором [64, 68] для всех четырех типов. По сравнению со случаем простых р-алгебр Ли следует отметить два обстоятельства:
• лемма из п° 2.2 не обобщается в нужном виде (если D € W(т) оставляет инвариантным максимальный идеал алгебры О(т), то ■ вообще говоря О(гп) может не допускать такой бесконечной системы высших дифференцирований Do,Di,... с Д = £>, что W(ш) устойчива относительно индуцированной системы высших дифференцирований на DerO(m)),
• над любым бесконечным полем существуют гамильтоновы формы, не определенные над простым полем [см. 40, 53, 61] (это не позволяет ограничиться рассмотрением автоморфизмов расширенных алгебр Ли).
Пусть -С С W(m) — алгебра Ли картановского типа над полем к. Ее к'-форма £' была названа в [64] стандартной, если 0(т) обладает £/-инвариантной //-формой. В [64] было получено полное описание стандартных форм алгебр Ли картановского типа. Проверка стандартности формы сводится к вопросу о том, будет ли соответствующий данной форме изоморфизм г*£ ^4 г2£ индуцироваться некоторым изоморфизмом коммутативных к^2^-алгебр ij0(m) ^ i20(rn).
Теорема об изоморфизмах для алгебр Ли картановского типа над полем была сформулирована Кацем [30]. Существенным моментом в ее доказательстве является инвариантность выделенных максимальных подалгебр в алгебрах Ли картановского типа. Отметим, что