Содержание
Введение 6
1. Задами и методы теории идентификации и адаптации систем 9
1.1. Постановка задам идентификации и адаптации систем......................... 9
1.2. Методы адаптации ........................................................ 10
1.2.1. Пассивные методы адаптации........................................ 10
1.2.2. Активные методы адаптации......................................... 10
1.3. Связь проблем адаптации и контроля....................................... 11
1.4. Определение принципов адаптации.......................................... 12
1.4.1. байесовская модель................................................ 12
1.4.2. Расширенная модель ............................................... 12
1.4.3. Аналитическая модель.............................................. 12
1.4.4. Настраиваемая модель.............................................. 13
1.4.5. Согласование характеристик........................................ 13
1.5. Методы построения идентификатора......................................... 13
1.6. Принципы построения адаптивных фильтров.................................. 16
1.6.1. 11остроение оп гимального идентификатора.......................... 17
1.6.2. Выбор прогнозирующей модели....................................... 18
1.6.3. Выбор критерия качества........................................... 19
1.6.4. Выбор критерия качества для нормального закона распределения помех 20
1.7. Построение оптимального реализуемого идентификатора.................... 20
1.7.1. Методы контроля функционирования идентификатора................... 22
1.8. Методы минимизации функционалов.......................................... 24
1.9. Сходимость и устойчивость алгоритмов фильтрации.......................... 26
2. Построение адаптивного фильтра на основе вспомогательного функционала качества 28
2.1. Постановка задачи ....................................................... 28
2.2. Построение фильтра для невырожденной матрицы наблюдений и известной переходной матрицы модели.................................................... 28
2.2.1. Вспомогательный функционал и его минимизация...................... 29
2.2.2. Построение алгоритма адаптации фильтра на основе одношагового
метода стохастических градиентов................................... 31
2.2.3. Построение алгоритма адаптации фильтра ца основе многошаговых
методов стохастических градиент ов................................. 33
2.2.4. Построение алгоритма адаптации фильтра на основе метола Ньютона 36
2.2.4.1. Метод Ньютона без регулировки тага........................ 39
2.2.5. Предельные свойства сходящегося алгоритма......................... 39
2.2.6. Определение условий сходимости фильтра.............................40
2
2.2.7. Оценка скорости сходимости алгоритма............................. 41
2.3. Формирование правила начала/остановки................................... 43
2.1. Построение фильтра для систем с матрицей наблюдений неполного столбцового ранга................................................................. 45
2.5. Решение .чадами оптимизации вспомогательного функционала качества по параметрам двух матриц....................................................... 47
2.5.1. Получение оценки переходной матрицы системы...................... 19
2.5.2. Построение адаптивного фильтра по оценкам переходной матрицы . 51
2.6. Анализ сходимости адаптивного фильтра и установившемся состоянии ... 52
3. Численные методы 54
3.1. Построение оценок ковариационных матриц поданных! измерении 54
3.1.1. Метод суммирования в скользящем окне..............................54
3.1.2. Метод сквозного суммирования в предположении К(ц] = 0............ 56
3.1.3. Метод сквозного суммирования в предположении E\vi\ ф Q........... 58
3.1.4. Метод последовательного суммирования с экспоненопальным сглаживанием дія E[i/j] = 0, а Є j0,1] 58
3.1.5. Метод последовательного суммирования с экспоненциальным сглаживанием дія E[ui\ ф 0sii € (0,1] 59
3.1.6. Вопросы практического использования формулы одноранговой модификации .............................................................. 60
3.1.7. Анализ алгоритмов................................................ 61
3.2. Вопросы сходимости числсішой реализации алгоритмов...................... 64
3.2.1. Вопросы численной устойчивости................................... 64
3.2.2. Скорость сходимости численных методов............................ 66
3.3. Обобщенная схема работы алгоритма....................................... 66
4. Численное моделирование экспериментальных задач 68
4.1. Идентификация установившегося коэффициентаусиления оптимального фильтра дія систем с неизвестными ковариацияхін шумов............................. 68
4.2. Моделирование задачи 1 ................................................. 71
4.3. Моделирование задачи 2.................................................. 72
Заключение 74
Список цитированной литературы 76
Приложения 82
Д.Доказательство утверждений и теорем 82
А.І. Доказательство утв. 2 на с. 31.......................................... 82
А.2. Альтернативное доказательство утв. 2 на с. 31........................... 82
А.З. Доказательство теор. 5 на с. 39......................................... 84
А.1. Доказательство утв. 9 на с. 47.......................................... 85
А.5. Доказательство тео|к\чы 6 на с. 47...................................... 87
В. Результаты численного моделирования 88
3
Список рисунков
Б.1. Эксперимент 1. Алгоритм Карева И........................................... 82
Н.2. Эксперимент 1. Но ансамблю. Алгоритм Карена Б...............................83
Б.З. Эксперимент 1. Алгоритм ангора. .......................................... 8*1
Б.4. Эксперимент 1. По ансамблю. Алгоритм автора................................ 85
Б.5. Эксперимент 1. Сравнение алгоритмов........................................ 86
Б.6. Эксперимент 2. Алгоритм Карева Б........................................... 87
Б.7. Эксперимент 2. По ансамблю. Алгоритм Карева В...............................88
Б.8. Эксперимент 2. Алгоритм автора............................................. 89
Б.9. Эксперимент 2. Но ансамблю. Алгоритм автора................................ 90
Б. 10.Эксперимент 2. Сравнение алгоритмов........................................91
Б.11.Эксперимент 3. Алгоритм Карева )>.......................................... 92
Б.12.Эксперимент 3. По ансамблю. Алгоритм Карева Б...............................93
Б. 13.Эксперимент 3. Алгоритм автора........................................... 9*1
Б. 14.Эксперимент 3. По ансамблю. Алгоритм автора............................... 95
Б.15.Экспсримент 3. Сравнение алгоритмов........................................ 96
Б. 16.Результаты экспериментов. Алгоритм Карева Б............................... 97
Б. 17. Результаты экспериментов. Алгоритм автора.................................98
Б. 18. Алгоритм Карева Б........................................................ 99
Б. 19. Но ансамблю. Алгоритм Карева Б...........................................100
Б .20. Алгоритм автора..........................................................101
В.21.ІІ0 ансамблю. Алгоритм автора..............................................102
Б.22.Сравнение алгоритмов.......................................................103
•1
Список таблиц
1.1. Байесовская модель.......................................................... 14
1.2. Расширенная модель.......................................................... 15
1.3. Аналитическая модель........................................................ 16
1.4. Настраиваемая модель ....................................................... 17
1.5. Согласование характеристик.................................................. 17
3.1. Распределение Лт(0,1)....................................................... 63
3.2. Распределение Л’(0, НГб).................................................... 64
3.3. Распределение Л'(0,106)..................................................... 65
5
Введение
Актуальность работы. Возникнув в 5©-е годы, задача идентификации и адаптации моделей динамических систем остается актуальной* что подтверждается большим числом современных публикаций. Значительный интерес для рассмотрения представляют модели динамических систем, допускающие представление в виде стохастических линейных дифференциальных или стохастических линейных разностных уравнений. При этом важный класс образуют задачи идентификации квазистационарнмх моделей, возникающие при исследовании новых технических систем, например в области навигации движущихся объектов или при опенке характеристик производственных и технологических процессов.
Для решения таких и подобных нм задач разработано множество методов и алгоритмов, систематизированных в трудах известных ученых: Дж. С&ридиса, Л. Льюнга, Я.З. Пмпкииа. В.К). Рутковского и других. В работах В. Уидроу, С. Стирнэа, И.В. Ссму-пшна а некоторых других предложено разделять способы использования регистрируемой информации в целях адаптации или адаптивной идентификации на две группы.
В первой группе способов информация о характеристиках входных сигналов используется для введения в вычислительный алгоритм или в аналитические выражения для оптимальных значений параметров системы обработки сигналов. При этом априорные предположения о доминирующих параметрах и характеристиках источника сигналов непосредственно влияют на качество работы системы, но успешность таких действий практически не гарантируется из-за отсутствия контроля за критерием (функционалом) качества системы. Методы решения такого типа иногда называют пассивными.
Во второй группе методов качество работы системы с параметрической идентификацией контролируется непосредственно, так как идентификация оптимальных характеристик системы производится по некоторому функционалу качества во время реальной работы. Основное преимущество таких систем заключается в образовании обратной свя зи по критерию качества. В данной работе будем называть их системами идентификации с функциональной обратной связью. Построение таких систем затруднено, так как из-за неполноты и зашумленное і и измерении исходный функционал качества принципиально не может* быть реализован как функционал, зависящий от неизвестной ошибки фильтрации. Преодоление этих затруднений открыто в работах Р. Хемптона к И.В. Семушина, предложивших практически одновременно формирование вспомогательных функционалов качества, достигающих экстремума при тех же характеристиках, что и исходный функционал качества. но при этом доступных для реализации. Однако практическое использован не данного подхода т ребует эффективных численных алгоритмов минимизации вспомогательного функционала, Па построение и исследование* таких алгоритмов и направлена данная работа.
Тема настоящей диссертации вошла в научную программу ’’Университеты России* по проекту НДС-34 “Идентификация и адаптивные процессы в системах управления”.
Цель работы — обоснование, разработка и исследование свойств сходимости численных ял гори т мов идентификации оптимальных дискретных фильтров в соответствии с принципом функциональной обратной связи в теории и практике адаптивною оценивания и стохастического управления.
Достижение данной цели обеспечивается в работе решением следующих задач:
1) формирование наблюдаемого функционала качества для квазистадионарной линейной динамической системы с зашумленными измерениями;
2) обоснование численных алгоритмов минимизации функционала качества;
6
3) исследование возможности использования методов идентификации с функциональной обратной связью при различной степени априорной неопределенности модели;
4) исследование вопросов сходимости адаптивного фильтра к оптимальному дискретному фильтру
с ограничениями:
• исследуемые модели кваэистацкояарных линейных динамических систем полагаются наблюдаемыми;
• матрица наблюдений модели (см. разд. 2) полагается известной;
• численное моделирование производится для моделей систем малой размерности < 5.
Решение первой задачи осуществлено в рамках метода вспомогательного <|>ункциона ла качества с учетом критерия оптимальности функционала качества Я.З. Иыикина на классе распределений.
Вторая задача характеризуется трудностью решения для функционала общего вида. Дія минимизации сформированного функционала в работе используются методы, при менявшиеся при решении аналогичных задач* а именно: одношаговый и многошаговый стохастические і раднентные методы и стохастический вариант метода Ньютона. Исследуются возможности данных методов в рамках алгоритмов идентификации с функциональной обратной связью для систем фильтрации.
Постановка третьей задачи обусловлена тем, что большинство работ* содержит результаты, ограниченные случаем неизвестной ковариации шумов, в то время как наибольший интерес вызывает решение задачи идентификации неизвестных параметров модели в обшей постановке.
Четвертая рассматриваемая задача ставит целью определение характера и скорости сходимости фильтра, в частности сходимости адаптивного фильтра к оптимальному дискретному фильтру.
Методы исследования. Для получения теоретических результатов использован аппарат теории вероятностей и математической статистики, теории стохастической идентификации и адаптации, теория матриц и вычислительная линейная алгебра, методы численной оптимизации. Для получения численных результатов использован аппарат теории математической статистики и численного моделирования.
На защиту выносятся следующие положения.
1) Для построенного наблюдаемого функционала качества и выбранного метода ми нимизашш получен рекуррентный адаптивный фильтр для систем с неизвестными ковариациями шумов.
2) Применение принципа функциональной обратной связи для систем оценивания и стохастического управления в задачах идентификации оптимальных установившихся фильтров.
3) Численные алгоритмы, реализующие метод стохастических градиентов в процессе минимизации вспомогательного функционала качества.
4) Сходимость численных алгоритмов минимизации функционала качества к характеристикам оптимального фильтра.
5) Асимптотическая оценка скорости сходимости численных алгоритмов идентификации.
6) Результаты математического моделирования и вычислительных экспериментов, подтверждающие' работоспособность предлагаемых алгоритмов в широком диапазоне априорной неопределенности характеристик исходной модели.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложении к списка литературы. Она изложена на ИЗ страницах, содержит 22 рисунка и 8 таблиц. Список цитируемой литературы состоит из 93 наименований.
Во введении определены цели диссертационной работы, решаемые задачи» их актуальность и направление исследований.
В первой главе содержится обзор литературы и основные результаты работ других авторов, использованные при написании диссертации, в частности:
• определение основных понятий и методов решения задач идгнтис|жкацин и адаптив пои фильтрации, их достоинств и недостатков:
• принципы построения оп тимальных идентификаторов и критериев качества идеи тификации. При этом, в отличие от рассмотренных н обзоре работ, автор решает задачу построения реализуемых алгоритмов идентификации с минимальными ограничениями;
• критерии качества работы идентификатора;
• критерии сходимости и устойчивости идентификаторов, известные из литературы.
Во второй главе приводятся постановка задачи и теоретические результаты, полученные автором при решении поставленных в диссертации задач. Доказательства сформулированных утверждений и теорем содержатся в материалах раздела и приложении Л.
В третьей главе рассматриваются вопросы численной реализации алгоритма, в частности сравниваются варианты оценки ковариационных матриц по результатах« наблюдений на основе методов осреднения в скользящем окне, непосредственного вычисления по математическому определению и метода экспоненциального сглаживания. В резудъ тате численного моделирования получены оценки точности вычисления ковариационных матриц и даны рекомендации по использованию вариантов их оценивания в численном алгоритме идентификации оптимального дискретного фильтра.
Четвертая глава содержит аналитические выражения для численной реализации известного из дите]>атуры алгоритма идентификации, используемого для сравнения г алго-ритмом автора, информацию о тестовых задачах и интерпретацию полученных результатов.
В заключении к диссертационной работе сформулированы полученные результаты и сделанные на их основании выводы. Указаны вопросы, которые могут являться пред мегом дальнейших исследований.
В приложении А приведены доказательства основных утверждений и теорем.
Приложение В содержит результаты численного моделирования тестовых задач, подтверждающие полученные в работе теоретические результаты.
8
1. Задачи и методы теории идентификации и адаптации систем
1.1. Постановка задач идентификации и адаптации
систем
Предметом исследования данной работы являются алгоритмы идентификации и адаптации линейных динамических систем, поэтому кратко остановимся на самой постановке этих задач.
Проблема идентификации, или проблема онредоления характеристик системы (объекта) и приложенных к нему воздействий, является одной из основных в теории автоматического управления. Часто задачи такого рода |к*шак>тся апостериорной обработкой экспериментальных данных тем или иным методом. Однако важно иметь возможность получать текущие оценки характеристик воздействий и свойств управляемых объектов в процессе работы системы с целью их улучшения. При этом задача идентификации разбивается на две:
1) задачу определения структуры и параметров объекта;
2) задачу определения параметров объекта при заданной структуре.
Образно говоря, эти задачи соответствуют вариантам * черного* и *серого* ящиков.
Целью данной работы является исследование второй задачи, когда наличие информа-цнм о структуре исследуемого объекта и природе входных воздействий позволяет, как указано далее, получить оптимальные в некотором смысле алгоритмы идентификации и критерии качества их работы.
Прежде чем обратиться к зтой задаче, рассмотрим содержание, вкладываемое в само понятие задачи адаитаини. Крайне общее значение самого слова "адаптация“ как понятия требует конкретизации, что же иод этим понимается [42].
Определение 1. Под адаптацией 6ydt.ii понимать процесс изменения параметров системы (а если необходимо и управляющих ьо*д\Истопи) на основе текущей информации с целью достижения некоторого определенного, обычно оптимального в некотором смысле состояния системы при условии априорной неопределенности параметров и меняю-щихсх условиях работы системы.
Согласно этому определению характерной чертой методов адаптации являются накопление и непосредственное использование текущей информации с целью оптимизации выбранного критерия качества.
9
1.2. Методы адаптации
Введем обобщающие понятия пассивных и активных методов адаптации [39] и подробно охарактеризуем их. При этом под терминами пассивный/активный будем понимать способ использования критерия качества работы адаптера.
1.2.1. Пассивные методы адаптации
В этом случае адаптивная схема выглядит следующим образом:
• определяются текущие оценки внешних воздействий на систему по результатам наблюдений:
• вычисляются характеристики оптимальной системы по этим опенкам и известным аналитическим зависимостям оптимальных значений параметров от характеристик внешних воздействий;
• автоматически устанавливаются нужные значения параметров но результатам вычислений.
(.•формулируем данную схему в виде определения:
Определение 2. Под пассивным испо.гьзованаем критерия качества при адаптации а контроле умови.игл понимать применение критерия качество на этапе проектирования фильтра при выводе уравнений оптимального управления. В процессе функционирования фильтра критерии не оценивается и непосредственно на прощсс работы не влияет.
В этом смысле пассивный адалтор действует по программе, жестко зависящей от описания модели в канале обратной связи и, следовательно, от априорных предположении о доминирующих параметрах и характеристиках источника данных. Предположения об этих параметрах непосредственно влияют на стратегию адаптации, во успешность таких действий адантора не контролируется и не гарантируется* то-ссть пассивный адаптер реализует стратегию адаптации разомкнутого типа.
1-2.2. Активные методы адаптации
Эти методы основаны на введении в алгоритм уже имеющегося или специально формируемого критерия качества, чувствительного к отклонениям характеристик системы от оптимальных. Здесь находит свое прямое применение принцип функциональной обратной связи, позволяющий организовать замкнутую схему по '’удержанию* некоторого параметра вблизи его оптимального значения. Поэтому такая схема является менее критичной к отклонениям свойств ВХОДНЫХ сигналов от их предполагаемых характеристик. Подобная схема самонастройки обладает и более высоким быстродействием. Однако в классической реализации такие схемы могут уступать в быстродействии иассивным схемам, гак как функция качества должна вычисляться на достаточно продолжительном интервале времени* например при оценке ковариационных матриц.
Таким образом, можно сформулировать следующее
Определение 3. Будем говорить о критерии качества как об активном, если его текущее значение формирует принимаемое решение о наличии нарушений в функционировании адаптера и направляет процессы идентификации и модификации на достажент оптимального состояния системы.
10
- Київ+380960830922