Исследование свойств ряда Лапласа для гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры

2
Оглавление
Введение
1 Ряд Лапласа и сферические функции
1.1 Представление гравитационного потенциала протяженного тела рядом Лапласа...........................................
1.2 Связь между различными нормами сферических функций; асимптотика присоединенных функций Лежандра..................
1.2.1 Нормы присоединенных функций Лежандра.............
1.2.2 Случай к = б>(тгст) при а < 2/3...................
1.2.3 Случай п — к = 0(п°) при а < 1/2..................
1.3 Асимптотика и оценки многочленов Лежандра, их производных и интегралов.............................................
1.3.1 Оценка и{9).......................................
1.3.2 Точность константы Л..............................
1.3.3 Сводка оценок и асимптотических формул............
2 Ряд Лапласа модельных тел
2.1 Цилиндр.................................................
2.1.1 Геометрия масс....................................
2.1.2 Ряд Лапласа для цилиндра..........................
5
17
17
20
22
24
31
43
46
52
53
57
61
61
61
3
2.2 Шар с цилиндрическими горами................................. 64
2.2.1 Геометрия масс шара с одной цилиндрической горой . 64
2.2.2 Ряд Лапласа тела Т.................................... 67
2.2.3 Шар с симметричными парами цилиндрических гор . 68
2.3 Сферический сектор.......................................... 72
2.3Л Геометрия масс........................................ 72
2.3.2 Ряд Лапласа сферического сектора и системе отсчета О 74
2.3.3 Ряд Лапласа сферического сектора в системе отсчета
С\ .................................................. 77
2.4 Шар с коническими горами..................................... 83
2.4Л Геометрия масс шара с одной конической горой ... 83
2.4.2 Ряд Лапласа тела Т.................................... 86
2.4.3 Шар с симметричными парами конических гор .... 88
2.4.4 Влияние неоднородностей, расположенных вблизи
объемлющей сферы, на коэффициенты Стокса .... 90
2.5 Коническое тело............................................. 92
2.5.1 Геометрия конического тела............................ 93
2.5.2 Ряд Лапласа конического тела.......................... 97
2.5.3 Шар с семейством конических гор....................... 98
3 Ряд ЛВшласа для геопотенциала 102
3.1 Модель геопотенциала ЕСМ2008 .............................. 102
3.2 Редукция к объемлющей сфере................................ 103
3.3 Определение а для модельных тел............................ 106
3.4 Свойства целевой функции................................... 109
4
3.5 Определение сг для геопотенциала....................... 115
Заключение 127
Литература 129
А Вспомогательные математические предложения 137
А.1 Асимптотика гамма-функции.............................. 137
А.2 Оценка модуля решений линейного дифференциального
уравнении класса Фукса................................. 138
А.З Некоторые свойства интегралов от многочленов Лежандра . 139 А.4 Свойства некоторых функций.......................... 140
Список иллюстраций 147
Список таблиц 149
5
Введение
Диссертация посвящена исследованию некоторых свойств ряда Лапласа, представляющего гравитационный потенциал тел нерегулярной структуры. Подтелами нерегулярной структуры понимаются тела ограниченного размера с кусочно-гладкой поверхностью и с плотностью, имеющей разрывы на конечном множестве кусочно-гладких поверхностей. Примерами таких тел являются планеты земной группы, карликовые планеты, спутники, астероиды. Многие современные задачи в небесной механике, геодезии, геофизике требуют подробной модели гравитационного потенциала небесных тел, и в особенности Земли. Практически единственный, на сегодняшний момент, инструмент, позволяющий создать такую модель, это разложение гравитационного потенциала в ряд Лапласа. Значение коэффициентов ряда (гармонических коэффициентов, параметров Стокса) для Земли оценивается по результатам различного рода измерений. До космической эры использовались измерения модуля силы тяжести маятниковыми приборами, уклонений отвеса, вызванных несферичностыо Земли, возмущений орбиты Луны. В 60-е годы прошлого века на первое место вышли наблюдения ИСЗ, возмущения в движении которых зависят от параметров Стокса, особенно низких порядков. В настоящее время используются все указанные методы и, кроме того, альтиметрические измерения
с
со специальных спутников, измерения класса спутник - спутник и другие. Что касается других небесных тел, то тут пока используется лишь метод оценивания параметров их гравитационного поля по возмущениям их естественных спутников, искусственных спутников и пролетных космических аппаратов. Во всех случаях мы получаем отрезок ряда Лапласа конечной длины — тем большей, чем богаче совокупность наблюдательных данных. Набор гармонических коэффициентов в совокупности с гравитационным параметром и характерным размером тела являет собой численную модель гравитационного потенциала. Для многих тел Солнечной системы были построены такие модели. Среди них Земля, Лума. Марс, Венера, Фобос, Но, Эрос. Если исключить Землю, то можно заметить, что разработанные численные модели гравитационного потенциала небесных тел Солнечной системы опираются на короткий отрезок ряда Лапласа. К сожалению, этого недостаточно для выделения общих свойств, таких как скорость убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала интересующих пас тел нерегулярной структуры (этот факт вытекает из результатов третьей главы).
Единственным, на сегодняшний момент, хорошо исследованным объектом является Земля, н для нее построено множество подробных моделей. Как указанно в [12], знания о гравитационном потенциале Земли и о форме Земли, которая гравитационным потенциалом преимущественно определяется, накапливались постепенно. Ыыотои знал, что Земля представляет собой сжатый сфероид, то есть помимо нулевой гармоники уже была известна п вторая і2. К концу XIX века была определена и четвертая зональная гармоника и все коэффициенты сферической функции второго порядка,
7
что позволяло аппроксимировать Землю трехосным эллипсоидом. К копну первоП половины XX века от эллипсоидальной аппроксимации отказались. Все параметры Стокса (а не только зональные) были определены вплоть до четвертого порядка включительно [16|.
Во второй половине XX века с началом космической эры человечества появилось множество моделей гравитационного потенциала Земли, расширяющих и уточняющих паши знания о нем. Первенство принадлежит модели Стандартной Земли 1966 года |53|, предоставившей полный набор гармонических коэффициентов до 15 степени и порядка включительно. Она была разработана в Смитсониаиской Астрофизической Обсерватории. Свое развитие модель Стандартной Земли получила в 1969 [42], 1973 [41], когда удалось продолжить ряд Лапласа до 22 и 24 степени включительно. Параллельно другие научные группы также создали и развили собственные модели геопотенциала. В 1968 году в университете штата Огайо появилась первая из серии модель OSU68 [57), содержавшая гармоники до 14 степени включительно. В дальнейшем вышли OSU73 |58| (максимальная степень 20), OSU81 [59] (максимальная степень — 180), OSU86 [60] (максимальная степень — 360), OSU89 |61| (максимальная степень — 360), OSU91 [62] (максимальная степень — 360). Центр космических полетов им. Годдарда разработал ряд своих моделей GEM1 и GEM2 [47] (L2 и 16 — максимальные степени), GEM3 и GEM4 [48] (12 и 16 — максимальные степени), GEM5 и GEM6 [49] (12 и 16 — максимальные степени), GEM7 и GEM8 [65] (16 и 25 — максимальные степени), GEM9 и GEM10 [511 (30 и 30 — максимальные степени), GEM10A и GEM10B [50] (30 и 36 — максимальные степени).
В конце XX и начале XXI столетий было разработано множество мо-
8
делей геопотенциала с использованием данных измерений специальных искусственных спутников Земли CHAMP и GRACE. Укажем наиболее популярные: EGM96 [46], GL04C [40], GGM02 [63]. Среди них выделяется модель EGM2008 [56], содержащая полный набор гармонических коэффициентов до степени и порядка 2159. Необходимость построения столь детальных численных моделей продиктована в основном задачами геодезии, гравиметрии и геофизики. В нашем же случае это позволило проворить справедливость теоретических оценок скорости убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала. Первые оценки, известные еще Лапласу, гарантировали ограниченность сферических гармоник [15]. Оценки, указывающие их убывание, впервые (насколько нам известно) получены М.С.Яров-Яровым [37]. Для случая малых степеней получены оценки М.С.Петровской [21]. В определенном смысле точные оценки получены В.А.Антоновым и К.В.Холшевниковым [4]. Проведенное в настоящей диссертации исследование численной модели геопотенциала подтвердило справедливость этих оценок на примере Земли, и, даже больше, позволило выделить класс тел, для которых теоретическая оценка существенно улучшается.
Дополнительную информацию по гравитационному потенциалу, его представлению рядом Лапласа и оценкам общего члена ряда Лапласа можно найти в следующих источниках: [22, 14, 44, 45, 38, 17, 34, 3, 33|.
Актуальность темы. Множество средств и усилий было приложено и прилагается до сих пор в попытках узнать как можно подробнее внутреннюю структуру, рельеф поверхности и гравитационный потенциал Зем-
9
ли. Наша планета — единственный объект, который на сегодняшний момент возможно детально исследовать, среди широкого класса небесных тел нерегулярной структуры. Пока исследователи стараются увеличить количественные показатели: выделить структурные элементы внутри и па поверхности Земли меньшего размера, выделить гармоники геопотенцпала большей степени и т.д. К сегодняшнему дню накопилось уже большое количество информации, что позволяет пытаться выделить качественно новые знания о Земле и подобных ей небесных телах. Данная диссертация представляет одну из таких попыток.
Цель и задачи работы. Основной целью диссертации является выявление характерных свойств ряда Лапласа гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры в теории и проверка на реальном объекте, Земле. Необходимо решить следующие задачи:
• В теории удобно применять равномерную (чебышсвскую) норму, и оценка скорости убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала в нашем случае [4] выражена с использованием равномерной нормы. Однако численные расчеты с моделями гравитационного потенциала ярко п роде мо негр провал и неудобство равномерной нормы в практическом применении. Наиболее подходящим при численных расчетах со сферическими функциями оказалось использование средпсквадратической (евклидовой) нормы. Потребовалось установить связь среднеквадратической и равномерной норм в случае сферических функций, чтобы осуществить перенос теоретических оценок на средпсквадратическис нормы сферических функций. Это
10
позволяет установить связь между теорией и практикой. Частично данная задача решена в первой главе.
• В процессе исследований оказалось, что первоначальная оценка, приведенная в |4], для геопотенциала не достигается, то есть нормы сферических функций убывают быстрее, чем ожидалось. Необходимо было объяснить природу этого явления. В ходе теоретических изысканий установлено, что существует широкий класс тел, для которых оценку возможно улучшить. Такие тела описываются во второй главе.
• Используя совокупность гармонических коэффициентов в модели, возможно получить набор среднеквадратических норм сферических функций. Для сравнения с теорией требуется по имеющемуся набору норм определить оценку для скорости убывания этих норм. Для решения данной задачи используется модифицированный метод наименьших квадратов, который подробно описан в третьей главе.
Таким образом, решив поставленные задачи, мы достигаем основной цели диссертации: установления скорости убывания общего члена ряда Лапласа для важного класса тел нерегулярной структуры и возможности применения этого результата к Земле.
Научная новизна работы.
• Представлены асимптотики отношения равномерной и среднеквадратической норм присоединенных функций Лежандра в двух крайних частных случаях.
11
• Обнаружен класс тел нерегулярной структуры с ускоренным убыванием общего члена ряда Лапласа для гравитационного потенциала.
• Разработан алгоритм определения параметров оценки общего члена ряда Лапласа по конечному набору гармонических коэффициентов.
Научная и практическая ценность. Множество промежуточных результатов диссертации обладает собственной научной и практической ценностью. В первой главе приведены неравенства, связывающие ереднеквад-ратическую и равномерную нормы элементарных сферических функций. А в двух частных предельных случаях обнаружены асимптотики их отношения, значительно уточняющие связь норм. Во второй главе введен и исследован класс тел нерегулярной структуры, для которого обнаружено, что скорость убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала выше ожидаемой. В третьей главе сформирована методика, которая позволяет исследовать модели гравитационного потенциала реальных тел. В диссертации она применяет! к Земле, однако в дальнейшем вполне возможно провести исследования и других объектов, когда будут построены подробные модели их гравитационного потенциала.
Результаты, выносимые на защиту.
• Обнаружен широкий класс тел нерегулярной структуры, для которых скорость убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала выше, чем для всей совокупности рассматриваемых тел нерегулярной структуры.
12
• Разработан метод определения параметров оценки общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала поданным численных моделей.
• На основании расчетов по данным модели ЕСМ2008 установлено, что Земля скорее всего принадлежит к классу тел с ускоренным убыванием общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала.
Апробация работы. Результаты, полученные в ходе данного исследования, докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, Института прикладной астрономии РАН, Главной (Пулковской) астрономической обсерватории РАН. а также на научных конференциях: с Зб-й по 41-ю международных студенческих научных конференциях «Физика космоса» (г. Екатеринбург, 2007-2012 гг.); на международной научной конференции «ЛЕИАМ-2011» (г. Санкт-Петербург, 4-8 июля 2011 г.); на международной научной конференции «Планетарная геодезия и эфемериды» (г. Москва, 14-16 ноября 2011 г.).
Публикации по результатам работы. Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях в рецензируемых журналах.
• Холшевников К.В., Шайдулип В.III. Соотношение между нормами функции и ее градиента в классах сферических и шаровых функций в конечномерном пространстве// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 2. 2008, с. 93 96.
• Холшевников К. В., Шайдулип В.Ш. Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра Р£ (случай к < п)// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 2, 2009, с. 86-93.