Алгоритмы определения областей возможных движений малых тел Солнечной системы

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ ПО ПЕРВЫМ И ВТОРЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ МОМЕНТАМ И КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЕЕ РЕАЛИЗАЦИИ
1.1. Формулировка задачи построения вероятностной модели движения малых тел Солнечной системы...............
1.2. Уравнения движения малых тел......................
1.3. Классические методы определения МНК-оценок ....
1.4. Построение весовых матриц.........................
1.5. Общая характеристика модели.......................
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ ПО ПЕРВЫМ И ВТОРЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ МОМЕНТАМ
2.1. Цели и задачи исследования........................
2.2. Алгоритм определения коэффициентов достоверности и параметрического интервала............................
2.3. Формирование выборок измерений....................
2.4. Опенки точности определения видимых угловых положений малых тел.......................................
2.5. Анализ результатов исследования модели в задаче определения движения астероида............................
2.6. Анализ результатов исследования модели в задаче определения движения кометы...............................
5
15
15
20
22
32
34
38
38
40
43
48
49
53
2
ГЛАВА 3. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ.ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ 64
3.1. Нелинейные отображения ......................... 64
3.2. Линейные отображения............................ 72
3.3. Линейные отображения и метод наименьших квадратов 75
3.4. Сравнение нелинейных и линейных отображений .... 77
ГЛАВА 4. НЕТРАДИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ 89
4.1. Сравнение методов наименьших квадратов и наименьших модулей.......................................... 89
4.2. Алгоритмы ускоренной сходимости................. 93
4.3. Методы продолжения по параметру ................107
ГЛАВА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕДИНОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ КОМЕТЫ 35Р/НЕВДСНЕЬ-ШООЬЬЕТ И ОЦЕНИВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЭФЕМЕРИД 114
5.1. Вводные замечания...............................114
5.2. Моделирование задачи определения элементов орбиты кометы Гершель-Риголле ..............................115
5.3. Обработка наблюдений кометы Гершель-Риголле ... 117
5.4. Анализ наблюдений 1939-1940 гг..................118
5.5. Определение единой системы элементов орбиты кометы Гершель-Риголле......................................122
5.6. Анализ точности эфемерид кометы Гершель-Риголле . 124
3
ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОРБИТ И ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ, НАБЛЮДАЕМЫХ В ПОЛЕ ЗРЕНИЯ ТЕЛЕСКОПОВ КАС В РЕЖИМЕ СКАНИРОВАНИЯ НЕБЕСНОЙ СФЕРЫ 130
6.1. Вводные замечания......................130
6.2. Моделирующий комплекс..................134
6.3. Описание результатов моделирования.....140
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 146
ЛИТЕРАТУРА 149
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 161
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 176
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 179
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 196
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы, решаемой в работе, определяется возросшим в последнее время интересом к исследованию движения малых тел Солнечной системы, что нашло свое отражение в многочисленных публикациях на эту тему (Медведев и др., 1996). Связано это с рядом причин. Одной из них является осознание того, что астероиды и кометы играют немаловажную роль в эволюции Солнечной системы и, в частности, эволюции Земли. Другой, не менее важной причиной, является значительный прогресс в развитии средств наблюдения и обработки измерительной информации. Способствует повышению интереса к изучению эволюции малых тел также развитие вычислительных методов и средств их реализации.
Целью работы является разработка единого подхода к проблеме математического описания движений малых тел Солнечной системы, учитывающего особенности принятых в настоящее время методов обработки наблюдений и обеспечивающего построение оптимальных гарантированных областей возможных движений исследуемых объектов. В реализацию этого подхода входит анализ и разработка нелинейных и линейных методов определения гарантированных областей движения малых тел, создание нетрадиционных и эффективных алгоритмов определения МНК-оценок начальных параметров движения малых тел, а также применение разработанных методов и модели движения к решению ряда практических задач, в том числе к задаче определения параметров орбиты кометы Гершель-Риголлс и задачам идентификации подвижных объектов, наблюдаемых в иоле зрения телескопов космических систем.
Научная новизна работы.
Развит новый подход в построении вероятностной эволюции движения малых тел Солнечной системы, разработана на экспериментальной основе методика определения границ параметрического интер-
5
вала достоверности, которая позволяет получать оценки возможного завышения размеров расчетной области движения исследуемых объектов. В рамках этого подхода разработаны нелинейные и линейные методы реализации рассматриваемой модели движения и определены их области применимости. Разработаны и теоретически обоснованы наиболее эффективные алгоритмы определения МНК-оценок начальных параметров движения малых тел Солнечной системы.
Применение предложенных методик и новых алгоритмов позволило получить ряд интересных практических результатов. Впервые определена система элементов орбиты кометы Гершель-Риголле, объединяющая два наблюдаемых появления (1788-1789 гг. и 1939-1940 гг.) и даны оценки точности эфемерид ее движения. Разработан многоуровневый алгоритм идентификации малых тел Солнечной системы, наблюдаемых в поле зрения телескопов космических систем, и приведены результаты его применения на примере проектируемой КАС ” Струве”.
Практическая значимость работы.
1. Построена модель движения малых тел Солнечной .системы, которая позволяет определять гарантированные области возможных движений изучаемых объектов и, в частности, вычислять гарантированные оценки точности определения параметров движения по опорным траекториям. Разработанная математическая модель может быть использована в задачах исследования эволюции движения малых тел, построении эфемерид движения исследуемых объектов и оценке их точности, а также в задачах идентификации наблюдаемых объектов.
2. Построены быстросходящиеся алгоритмы определения МНК-оценок начальных парахметров движения малых тел. В условиях массовой обработки наблюдательных данных, что имеет место, например, в задачах идентификации объектов, использование таких алгоритмов является очень эффективным.
6
3. Получена более точная система начальных элементов орбиты кометы Гершель-Риголле и на основе ее построена более точная эфемерида движения кометы.
4. Построен многоуровневый алгоритм идентификации наблюдаемых объектов в поле зрения телескопов космических систем, который позволяет, кроме того, сжимать измерительную информацию в виде полиномов, уточнять МНК-оцеяки начальных параметров движения объектов и оценивать точность расчетных движений объектов но опорным траекториям.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции ” Динамика малых тел Солнечной системы” (Ленинград, 1981), Всесоюзной конференции по динамике и физике малых тел Солнечной системы (Душанбе, 1982), научных конференциях Латвийского государственного университета (Рига, 1980, 1982,1990), на Всесоюзной школе по теоретической и практической астрономии (Тирасполь, 1983), на VIII Научных чтениях по космонавтике (Москва, 1984), Научной конференции ’’Стохастические методы и эксперименты в небесной механике” (Архангельск, 1995), Международной конференции ’’Сопряженные задачи механики и экологии” (Томск, 1996), на IV Международном семинаре ’’Позиционная астрономия и небесная механика” (Испания, 1996), Международной конференции ” Всесибирские чтения но математике и механике” (Томск, 1997), Научной конференции ’’Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики” (Москва, 1997), Всероссийской конференции ’’Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики” (Томск, 1998), Научной конференции ’’Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы” (Обнинск, 1999).
По результатам исследования, приведенным в диссертации, опубликовано 15 научных работ. Диссертация изложена на 199 страницах машинописного текста, состоит из введения, б глав, заключения,
7
списка использованных литературных источников (112 наименований), 4 приложений, содержит 43 рисунка и 16 таблиц.
Содержание работы. Первая глава диссертации посвящена постановке задачи гарантированного определения вероятностных движений малых тел Солнечной системы. Рассмотрена математическая модель в виде системы дифференциальных уравнений движения с начальными условиями, которые определяются МНК-оценками первого и второю статистических моментов вектора начальных параметров и оценкой параметра, корректирующего размеры вероятностных областей движения, и равного верхней границе параметрическою интервала достоверности. Границы параметрической) интервала определяются по результатам реализации модели движения на множестве выборок измерений, имитирующих различные условия наблюдаемости, и полученных по длинным рядам имеющихся в настоящее время наблюдений большого числа малых тел.
Использование в модели движения оценок границ параметрического интервала позволяет определять гарантированные вероятностные области движения малых тел и делает ее отличной от классических вероятностных моделей (Авдуевский и др., 1972; Hahn, Bailey, 1990; Nakamura, 1993; Asher et al., 1994; Muinonen, 1996; Bottke et ah, 1999). По сравнению с известными вероятностно-гарантированными подходами определения оценок (Лидов, 1964; Бажинов, Почукаев, 1976; Эльясберг, 1976; Бахшиян и др., 1980; Мудров, Кушко, 1983; Хыобер, 1984), развитый нами подход является более простым при условии, что границы параметрического интервала достоверности известны. Для определения численных оценок этих границ в первой главе сформулированы условия их нахождения, а алгоритм определения оценок и его обоснование даются во второй главе диссертации.
В первой главе диссертации рассмотрены также классические методы определения МНК-оценок и даны численные оценки точности определения вторых статистических моментов методом дифференци-
8
альных поправок. Показано, что для малых тел получаемые методом дифференциальных поправок оценки вторых статистических моментов отличаются несущественно от оценок, определяемых непосредственно методом наименьших квадратов с использованием вторых частных производных от измеряемых параметров по начальным оцениваемым параметрам. Также рассмотрена проблема построения весовых матриц для увеличения точности определения опорных орбит (Бажи-нов, Почукаев, 1976; Мудров, Кушко, 1983; Шапорев, 1996). Приведена разработанная нами методика, позволяющая путем моделирования условий наблюдаемости малых тел по данным реальных астрономических наблюдений исследовать вопрос существования лучших весовых матриц (Черницов и др., 1998а, 19986). Также приведена используемая нами численная модель движения малых тел и даны оценки методической ошибки модели при долгосрочном прогнозировании.
В главе 2 рассмотрена задача определения границ параметрического интервала достоверности на множестве весовых матриц и различных условий наблюдаемости малых тел. Решение этой задачи дает ответ на вопрос о применимости разработанной нами вероятностной модели и, кроме этого, определяет меру неустойчивости МНК-оценок ковариационных матриц в условиях реальных отклонений теоретических предположений, лежащих в основе метода наименьших квадратов (Эльясберг, 1976; Мудров, Кушко, 1983; Хьюбер, 1984). В рамках этого исследования рассмотрены также модификации разработанной модели (Черницов и др., 1997, 19986). Применение таких модификаций при значении корректирующего параметра равном единице в настоящее время наиболее распространено (Hahn, Bailey, 1990; Nakamura, 1993; Muinonen, 1996).
Для решения сформулированной в главе 1 задачи определения оценок границ параметрического интервала в настоящем разделе диссертации приведен разработанный нами достаточно простой и эффективный алгоритм определения этих оценок. В линейном прибли-
9
жении, что в нашем случае оправданно, эта задача сводится к решению линейных независимых уравнений относительно частных оценок, формирующих параметрический интервал достоверности.
Результаты применения этого алгоритма при исследовании рассматриваемой вероятностной модели на различных частных выборках наблюдений трех астероидов (Тоутатис, Икар и Географ) и трех комет (Швассмана-Вахмана 1, Джакобини-Циннера и д’Арре) позволили нам получить численные оценки границ параметрического интервала. Показано, что при построении гарантирующих вероятностных областей движения малых тел, исключая случаи наблюдаемости на малых временных интервалах, значение корректирующего параметра нужно положить равным 10. При наблюдаемости объектов на достаточно больших временных интервалах значение корректирующего параметра равно 5. Возможное завышение размеров расчетной гарантирующей области движения, а также получаемых оценок точности различных параметров: расстояний, видимых угловых положений и т.п., в первом случае составляет 100, а во втором — 10 одномерных единиц. Показано также, что случай наблюдаемости комет в двух появлениях является особым, из-за возможного действия неучитываемых негравитационных возмущений. Верхняя граница параметрического интервала достоверности для таких объектов имеет большое численное значение и точно не определяется (Черницов, Батурин, 1998).
В рамках решения задачи определения границ параметрического интервала нами получены результаты (Черницов и др., 1997, 1998а, 19986; Черницов, Батурин, 1997), показывающие, что для всех случаев наблюдаемости малых тел существуют весовые матрицы, применение которых увеличивает точность определения опорных орбит и уменьшает разброс возможных движений относительно опорного. Этот результат дополняет в определенной степени результаты исследований Шапорева С.Д. (Шапорев, 1996).
10
В третьей главе диссертации для рассматриваемой нами модели дан анализ нелинейных и линейных методов построения вероятностных областей движения малых тел (Черницов и др., 1997, 1998а, 19986). Результаты применения нелинейного метода позволяют сделать следующие выводы.
1. Основная деформация вероятностных областей движения происходит с течением времени вдоль опорной траектории. При этом в пе-ригелийных точках опорной траектории имеет место более сильное растяжение вероятностных областей но сравнению с близлежащими последующими афелийными точками. Деформация вероятностных областей вдоль опорной траектории происходит волнообразно, нарастая во времени.
2. При сближении малых тел с большими планетами также происходит деформация вероятностных областей и изменяется точность прогноза движения. Изменения могут быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения точности. В пространстве видимых угловых координат сближение малых тел с Землей приводит к увеличению размеров вероятностной области и уменьшению точности определения угловых положений объектов.
Проведено сравнение между собой классического (Эльясберг, 1976) и построенного нами (Черницов и др., 1998а) линейных методов. Показана тесная связь линейных отображений вероятностных областей движения и метода наименьших квадратов, что позволило нам построить критерий, определяющий область применимости линейных отображений (Черницов и др., 19986).
Результаты сравнения линейных и нелинейных отображений показали (Черницов и др., 1998а, 19986), что при изучении вероятностной эволюции движения малых тел необходимо использовать нелинейные отображения. Линейные отображения по своему построению всегда дают выпуклые (имеющие эллипсоидальную форму) области возможных движений и поэтому могут использоваться только для
и
оценивания точности отдельных параметров движения.
В главе 4 рассмотрены нетрадиционные алгоритмы определения оценок начальных параметров движения малых тел. Дана сравнительная характеристика метода наименьших квадратов и метода наименьших модулей (Мудров, Кушко, 1983). Показано явное преимущество метода наименьших квадратов (Черницов и др., 1998а).
В разделе 4.2 приведены новые быстросходящиеся алгоритмы определения начальных параметров движения малых тел (Черницов, Боярова, 1984, 1985). В основу построения новых итерационных схем положен принцип замены исходной нелинейной задачи на близкую ей, но более простую нелинейную задачу (Коллатц, 1969; Канторович, Акилов, 1977). Получены оценки разности решений (Черницов, Боярова, 1984) и теоретические оценки, определяющие условия существования и единственности решения, а также область и скорость сходимости итерационных процессов к решению. На основе полученных алгоритмов рассмотрены итерационные схемы высокого порядка (ТгаиЬ, 1964; Ортега, Рейнболдт, 1975). Показано, что оптимальными являются итерационные схемы 4—7 порядков, которые позволяют увеличить быстродействие решения задач в 1.5—1.8 раза (Черницов, Боярова, 1984; Боярова, Черницов, 1989).
Рассмотрены новые алгоритмы, основанные на применении метода продолжения по параметру (Давиденко, 1953а, 19536; Ортега, Рейнболдт, 1975). Результаты численных исследований (Черницов, Краев, 1984а, 19846, 1984в) показали эффективность использования этих алгоритмов в случае расходимости итерационного процесса метода дифференциальных поправок.
Глава 5 посвящена задаче определения системы элементов орбиты кометы 35Р/ Гершель-Риголле, объединяющей два наблюдаемых появления кометы в 1788-1789 гг. и 1939-1940 гг., и нахождению гарантированных оценок точности эфемерид ее движения. Дается краткий обзор работ, связанных с наблюдениями кометы и определением ее
12
орбиты. Приведены результаты компьютерного моделирования, позволившего установить причины, по которым задача не была решена ранее, и определить условия решаемости задачи. Установлено, что итерационный метод дифференциальных поправок сходится к решению только при выборе начального момента времени на интервале от 1790 г. до 1938 г. Перигелийные моменты лежат вне этого интервала.
Приведены результаты полной обработки всех наблюдений кометы и исследования по формированию лучшей выборки наблюдений. Используя результаты компьютерного моделирования, решена задача определения единой системы элементов орбиты кометы (Черницов, Батурин, 1998в).
Показано, что точность определения но этой системе элементов моментов времени прохождения перигелия и сближения с Землей в следующем появлении равна 0.2 суток. Ошибка определения этих моментов времени по системе элементов орбиты второго появления из каталога Марсдена составляет 28 и 22 суток.
В главе 6 рассматривается задача идентификации подвижных объектов, наблюдаемых в поле зрения телескопов космических систем. Приводится многоуровенный алгоритм идентификации, включающий в себя алгоритмическое и программное обеспечение, описанное в главах 1—4.
Приведены результаты компьютерного моделирования всего процесса определения и идентификации объектов, попадающих в поле зрения телескопов космических астрометрических систем, работающих в режиме сканирования небесной сферы. Результаты получены на примере проектируемой КАС ’’Струве” (Чубей и др., 1997; СйиЬеу е! а1, 1998).
На защиту выносятся следующие результаты.
1. Новый подход к построению вероятностных областей движения малых тел Солнечной системы и определению гарантированных оценок точности расчетных параметров движения объектов по опорным
13
траекториям.
2. Теоретическая разработка и практическая реализация нелинейных и линейных методов однопараметрических отображений вероятностных областей движения малых тел.
3. Новые быстросходящиеся алгоритмы уточнения МНК-оценок начальных параметров движения малых тел.
4. Решение задачи определения единой системы элементов орбиты кометы Гершель-Риголле и оценивания точности эфемерид.
5. Новый многоуровневый алгоритм идентификации малых тел, наблюдаемых в ноле зрения телескопов космических систем.
Автор выражает искреннюю благодарность заведующим лабораториями ИПА РАН кандидату физ.-мат. наук Ю.А. Чернетенко и доктору физ.-мат. наук Ю.Д. Медведеву за любезно предоставленный наблюдательный материал по ряду астероидов и комет, использованный в процессе работы над диссертацией.
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность коллегам и соавторам: научному консультанту, профессору Т.В. Бор-довицыиой за постоянное внимание, моральную поддержку и помощь при выполнении работы; старшему научному сотруднику В.А. Та-марову и научному сотруднику А.П. Батурину, без помощи которых данная работа технически не была бы выполнена. Автор также благодарен научным сотрудникам В.А. Авдюшеву и О.И. Васильченко за большую помощь в оформлении настоящей работы.
14
ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ ПО ПЕРВЫМ И ВТОРЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ МОМЕНТАМ И КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЕЕ РЕАЛИЗАЦИИ
1.1. Формулировка задачи построения вероятностной модели движения малых тел Солнечной системы
Будем описывать вероятностную модель движения малого тела, системой дифференциальных уравнений
Я = Р(д,А,С), А = 0 (1.1)
Л А Д
с начальными условиями СЦо) Є А(Со? &~А))- Здесь q — т-мерный вектор параметров движения изучаемого объекта (астероида или кометы); А — р-мерный вектор постоянных (параметров), определяемых совместно с вектором начальных параметров <?(£о) методом наименьших квадратов (МНК); С — известный /-мерный вектор постоянных модели (гравитационная постоянная, массы и координаты больших планет и т.п.); С = (?,Л) — (т + р)-мерный вектор; Р{і7, Л, С) — известная вектор-функция, определяемая заданной мо-
Д л А А
делью возмущающих ускорений; Со = СЦо) и По = -^Цо) — МНК-оценки первых и вторых статистических моментов вектора С(^о)> определяемых из условия
тт{Ф(<Эо) = АІТ{Я0)РАіт}, (1.2)
где Д/(Со) — /(Со>0 — /(Со?О — известная п-мерная вектор-
функция (п > га), Г — п-мерный вектор измерений, Р — весовая матрица, знак Т — означает операцию транспонирования, Г — область определения вектора начальных параметров С(/о); АЦСоД2А)) — вероятностная область определения вектора С(^о) по его МНК-
л
оценкам и корректирующему параметру к.
15
Вектор определяемых параметров ^ может быть задан в пространстве декартовых, кеплеровых и других переменных. Вектор-функция Е(д, А, С) определяется особенностями движения рассматриваемого объекта. В случае, если объект — комета, то А — вектор параметров негравитационной модели Марсдена (Магебеп е! а1, 1973). Если объект — астероид, то полагаем А — 0 и (? = <?. Вводимые здесь ограничения на класс объектов не являются принципиальными. В качестве изучаемых объектов можно рассматривать также естественные спутники планет и т.п. Модель (1.1) может быть расширена и давать описание движений групп объектов.
При использовании модели (1.1), как и любой другой модели, возникают следующие задачи:
• исследование робастности (устойчивости) оценок к ошибкам (отклонениям) исходных предположений, лежащих в основе модели;
• определение области применимости модели на множестве разнообразных условий наблюдаемости изучаемых объектов;
• разработка эффективных методов реализации модели.
Рассмотрим эти задачи подробнее и сформулируем цель исследований.
А
Известно, что модель (1.1) при к = 1 дает точное в вероятностном смысле описание движений изучаемых объектов в случае, если ошибки измерений и немоделируемые возмущающие ускорения представляют собой гауссовский шум с известными характеристиками (параметрами). Тогда, определяемая из условия (1.2) оценка первого статистического момента <3(£о) будет состоятельной, несмещенной и эффективной (Крамер, 1975; Эльясберг, 1976; Жданюк, 1978), а
А
оценка второго статистического момента 0(Ьо) будет определять ве-
А
роятностную область ошибок оценки Q(tQ). На практике, оценки с такими оптимальными свойствами никогда не могут быть получены
16
(Хыобер, 1984; Эльясберг, 1976; Бахшиян и др., 1977). Существуют объективные факторы, разрушающие указанные свойства для всех вероятностных моделей, а именно: неполнота и приближенность исходных предпосылок, лежащих в основе моделей и методов их реализации. Например, неточное знание вектора постоянных в моделях, ошибки численной реализации алгоритмов и т.п., приводят к нарушению оптимальных свойств оценок. Основными причинами, которые могут существенно ухудшить качество получаемых на практике оценок, являются следующие:
• отклонение предполагаемого модельного распределения ошибок измерений от реального, представляющего собой сложную смесь различных плохо определяемых вероятностных распределении;
• неполное и приближенное знание характеристик вероятностных распределений ошибок измерений;
• наличие неустраняемых больших систематических ошибок в моделях движения изучаемых объектов.
Первые две причины тесно связаны между собой. Третья причина имеет место, в нашем случае, в кометных задачах, когда кометы наблюдаются менее чем в трех появлениях и имеют при этом большие негравитационные возмущения в иеригелийных областях движения.
Для модели (1.1) отклонения исходных предположений от истинных оказывают различное влияние на точность определения оценок вектора начальных параметров (первого статистического момента)
л
<Э(*о) и ковариационной матрицы ошибок (второго статистического момента) £>(£о)- Неустойчивость модели к этим отклонениям проявляется в большей степени на точности определяемых из (1.2) оценок
л
£>(£о). При достаточно больших отклонениях эти оценки получаются, как правило, неоправданно заниженными (Эльясберг, 1976; Бахши-ян и др., 1977). Неустойчивость оценок является более слабой
17