Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Прямое произведение пространств аффинной связности 15
1.1 Прямое произведение гладких многообразий...................15
1.2 Прямое произведение пространств аффинной связности но А. П. Нор-деиу...........................................................19
1.3 Продолжение тензорных полей с гладких многообразий на их прямое произведение ...........................................23
1.4 Прямое произведение аффинных связностей и естественные продолжения векторных полей.......................................32
1.5 О проективно-евклидовости прямого произведения пространств аффинной связности.............................................38
1.6 Симметрические прямые произведения пространств аффинной связности......................................................41
1.7 Рекуррентность прямого произведения пространств аффинной связности......................................................43
2 Иифинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности 45
2.1 Алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований . . 45
2.2 Исследование уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности .........................................................50
2
2.3 О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности и плоского..............52
2.4 Алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоских проективно-евклидовых пространств аффинной связности ...................................63
3 Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности в случае, когда
хотя бы одно из них ттепроективно-евклидово 69
3.1 О прямом произведении непроективно-евклидового и плоского пространств аффинной связности ................................69
3.2 Аффинные преобразования прямого произведения неплоского проективно-евклидового и непроективно-евклидового пространств аффинной связности.............................................72
3.3 Аффинные преобразования прямого произведения непроективноевклидовых пространств аффинной связности......................84
4 Аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгеброй двойных чисел 94
4.1 Голоморфные функции над алгеброй двойных чисел.............94
4.2 Гладкие многообразия над алгеброй двойных чисел и их вещественные реализации............................................97
4.3 Вещественные реализации векторных полей и голоморфных линейных связностей....................•.........................99
4.4 Инфинитезимальные аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгеброй двойных чисел.................................................103
Литература 107
3
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Понятие аффинной связности возникло в 1917 г. в римановой геометрии (в виде Леви-Чивита связности); самостоятельный смысл оно обрело в 1918-24 гг. в работах Г. Вейля [51] и Э. Картана [50]. В 1927 году впервые поставлен вопрос о движениях в пространствах аффинной связности Л. П. Эйзенгардтом и М. С. Кнсбельманом. Они получили систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, определяющую составляющие бесконечно малого движения в пространстве аффинной связности и доказали, что группа движений конечномерна и ее размерность не превосходит п2 4- п. Ими же было установлено, что пространства, допускающие группу движений размерности п2 + п, являются локально плоскими. Начиная с 30-х годов,исследуются движения симметрических проективно-евклидовых пространств аффинной связности П. А. Широковым [45]. В это же время в теории симметрических пространств аффинной связности проводились исследования Э. Картаном |23], П. К. Рашевским [36]. Изучением симметрических пространств занимались также И. Л. Кантор, А. И. Сирота, А. С. Солодовников [22). Начиная с 40-х годов, исследованием групп движений пространств аффинной связности занимались К. Яно, У. Муто, И. Левин, Г. Вранчапу, Я. Л. Шапиро, 13. Думитраш. Результаты, полученные вышеуказанными учеными,приведены в обзоре И. П. Егорова [21]. Б. Л. Лаптев исследовал многообразия с объектами аффинной и проективной связностей, зависящими от точки и направления, им получены условия интегрируемости уравнений проективных и аффинных движений в инвариантной форме [29]. Дальнейшее развитие теории связностей, производной Ли было продолжено Б. Н. Шапуковым [43], [44], В. 13. Шурыгиным [46|.
Важные результаты в теории групп движений пространств аффинной связности были получены и И. П. Егоровым [14] - [21|. Внимание И. П. Егорова привлекла опубликованная в 1903 году теорема Фубиии: не существует рима-новых пространств с полной группой движений порядка —п2+1^ — 1. то есть на единицу меньше наивысшего порядка который допускают лишь про-
4
странства постоянной кривизны и только они. И. П. Егоров впервые поставил аналогичный вопрос для пространств аффинной связности, а именно: существуют ли пространства аффинной связности, обладающие группами движений порядка г = п2 + п — 1? В 1945 год}' им установлено, что максимальная размерность группы движений пространств аффинной связности без кручения ненулевой кривизны равна точно я2, причем, как оказалось, такие группы движений необходимо трапзитивиы. Из этого следовало, что не существует пространств аффинной связности, группы движений которых имеют размерности г, іде п2 < г < п1 -\- п (п > 2). Тем самым была выявлена первая лакуна, то есть интервал ’запрещенных’ размерностей групп движений пространств аффинной связности. Им же найдена максимальная размерность интраизитивиых групп движений не плоских пространств аффинной связности, которая равна п2 — 1. Все пространства, допускающие группы движений размерности п2,п2 — 1,6млн названы пространствами второй лакунарности (пространства первой лакунарности — локально плоские пространства). Пространства второй лакунарности имеют следующую тензорную характеристику: эти пространства проективно-евклидовы ненулевой кривизны и тензорное поле Риччи — симметричное. Такие пространства называются эквипроек-тивными. Изучая группу аффинных преобразований проективно-евклидовых пространств с несимметричным тензорным полем Риччи, И. П. Егоров доказал, что максимальная размерность групп движений таких пространств равна точно п2 — п + 1. Таким образом, было доказано наличие еще одной лакуны. Пространства с группами движений размерности г2 — п — 2, тт.2 — 77/ — 1, п2 — п. п2 — п + 1 называются пространствами третей лакунарности. Далее И. П. Егоровым было установлено, что пространствам, максимальная размерность групп движений которых равна п2 — гг +1, предшествуют пространства, допускающие группы движений максимальной размерности п2 — 2п 4- 5 (п > 3). Эти группы являются транзитивными. Пространства, размерности групп движений которых не превосходят п1 — 2п + 5, являются иеироективпо-евклидовыми, то есть тензор Вейля таких пространств отличен
от нуля. Непроективио-евклидовые пространства аффинной связности относятся к пространствам четвертой лакунарности. Максимальная размерность интранзитивных групп движений непроективно-евклидовых пространств аффинной связности была установлена в 2000 году А. Я. Султановым [39), она равна тг2 — 2п + 3. В своих исследования И. П. Егоров применил метод, основанный на изучении условий интегрируемости уравнений движений, который в последствии нашел развитие и применение в работах А. В. Аминовой [1],
[2], Н. С. Сишокова (38), А. 3. Петрова |35], А. Я. Султанова [39], [40] и других ученых.
В 1963 году в работе [33] А. П. Нордена введено понятие пространства декартовой композиции. В этой же работе А. П. Норден показал, что задание аффинной связности, по отношению к которой композиция является декартовой, равносильно заданию произвольной аффинной связности на любой позиции каждого базисного многообразия. Среди этих связностей можно выделить связности, являющиеся прямым произведением аффинных связностей. Исследованию групп движений пространств аффинной связности, представляющих собою прямое произведение двух пространств аффинной связности, посвящена данная диссертационная работа. Известно, что размерность групп движений пространства аффинной связности равна размерности алгебры Ли иифинитезимальных аффинных преобразований.
Целью диссертационной работы является исследование алгебры Ли иифинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности, иифинитезимальных аффинных преобразований вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй двойных чисел.
Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы локальной дифференциальной геометрии, теории групп Ли преобразований, используется аппарат тензорного анализа и производной Ли.
Научная новизна результатов. В диссертационной работе получены оценки размерностей алгебры Ли иифинитезимальных аффинных прсобра-
б
зований прямого произведения двух пространств аффинной связности в следующих случаях:
(1) одно из пространств является неплоским проективно-евклидовым, а другое локально плоским;
(2) оба сомножителя прямого произведения являются неплоскими проективно-евклидовыми пространствами аффинной связности;
(3) одно пространство — проективно-евклидовое, а другое пространство является непроективно-евклидовым;
(4) оба пространства являются непроективно-евклидовыми.
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании прямого произведения пространств аффинной связности, в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов и факультативных курсов для студентов-математиков.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения "(Казань, КГУ, 2005, 2006, 2007), на международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения"(Казань, КГУ. 2007), на международном геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева (Пенза, ПГПУ, 2007), на геометрическом семинаре кафедр геометрии и алгебры ПГПУ (рук. проф. В. И. Паньженский и проф. А. Я. Султанов), на внутривузовских конференциях профессорско-преподавательского состава физико-математического факультета ПГПУ (2006. 2007, 2008), на геометрическом семинаре кафедры геометрии КГУ (2008).
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации отражены в 13 опубликованных работах автора, список которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и списка публикаций автора но теме
7
диссертации. Объем диссертации составляет 115 страниц.
Краткое содержание диссертации.
Во введении обоснована актуальності» темы, сформулированы основные результаты диссертации, приведено краткое содержание работы.
Глава 1 состоит из 7 разделов. В разделе 1.1 описано построение прямого произведения гладких многообразий с помощью естественных продолжений функций. В разделе 1.2 описывается понятие прямого произведения пространств аффинной связности по Л. II. Нордену. В разделе 1.3 вводятся понятия естественного продолжения векторных полей, линейных дифференциальных форм, тензорных полей с гладких многообразий па их прямое произведение. В разделе 1.4 рассмотрены некоторые свойства прямого произведения аффинных связностей, связанные с естественными продолжениями векторных полей. Приведены формулы для вычисления тензорных полей кручения и кривизны связности, являющейся прямым произведением двух аффинных связностей. В разделе 1.5 получены необходимые и достаточные условия, при которых прямое произведение (1МП1 х2 МГ12, 1V х2 V) является проективно-евклидовым пространством аффинной связности. В разделах
1.6, 1.7 рассмотрены условия, при которых прямое произведение двух неплоских пространств аффинной связности является (локально) симметрическим, рекуррентным.
В главе 2 исследуются ипфипитезимальиыс аффинные преобразования прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности. При рассмотрении проективно-евклидовых пространств будем использовать результаты И. П. Егорова [19) о том, что для проективно-евклидовых пространств возможны лишь два случая: эти пространства либо с симметричными тензорными полями Риччи (эквипроективиые), либо с несимметричными тензорными полями Риччи. Второе означает, что у этого тензорного ноля Риччи можно выделить симметричную И ~Шси антисимметричную
5 = ЩеИ части, причем наличие обеих частей обязательно. Предполагается, о
ЧТО И приведено к каноническому ВИДУ В окрестности некоторой ТОЧКИ Хо.
8
Тогда существует координатная окрестность, содержащая точку хо, такая, о
что Дщ, -ф 0 для некоторого индекса ц. Возможны следующие случаи: о о
(от) Я;,;, ф О, Д^ = 0 (г ^ у) и существует составляющая вида ■=£- 0,
0 0
(р) Дщ- ^ 0, Яи = о (г ф .7'), = 0 (/ = 2,3,...,гс), но существует
составляющая вида 5,^3 ^ 0.
Таким образом, при построении прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности основными являются следующие случаи:
(1) первое пространство является неплоским проективно-евклидовым с симметричным тензорным полем Риччи, а второе пространство — плоское;
(2) первое пространство — проективно-евклидовое, тензорное поле Риччи которого не является симметричным и удовлетворяет условиям (а), а второе пространство является плоским;
(3) первое пространство — проективно-евклидовое, тензорное поле Риччи которого не является симметричным и удовлетворяет условиям (/5), а второе пространство является плоским;
(4) оба пространства являются неплоскими проективно-евклидовыми с симметричными тензорными полями Риччи;
(5) оба пространства — проективно-евклидовые с несимметричными тензорными полями Риччи;
(6) одно пространство — неплоское проективно-евклидовое с симметричным тензорным полем Риччи, а другое является проективно-евклидовым, тензорное поле Риччи которого не является симметричным.
Изучая эти случаи, доказаны следующие теоремы:
Теорема 1. Пусть (1МЛп ХУ) — неплоское проективно-евклидово пространство аффинной связности с симметричным тензорным полем Риччи, (2МП2, 2У) — локально плоское, тогда размерность алгебры Ли инфините-зимальных аффинных преобразований прямого произведения (1МЩ х2 М„2, *У х2 V) не больше, чем п2 + П2 + 2П2, причем полученная граница — точная.
Теорема 2. Пусть (1М„1, 1У) — проективно-евклидово пространство аф-
9