Моделирование вращения внесолнечных планет и пульсаров

Содержание
Список основных обозначений 4
Введение 7
Глава 1. Вращение небесных тел: теория и наблюдения 15
1.1. Вращательная эволюция небесных тел 15
1.2. Планеты внесолнечного типа: открытие, наблюдения и теория 37
1.3. Элементы теории качественного анализа и теории бифуркаций 58
1.4. Обзор по вращению и внутреннему строению нейтронных 86 звезд
Глава 2. Вращательная эволюция экзопланет под действием 95
основных возмущений
2.1. Магнитное и гравитационное взаимодействие 95 в экзопланетных системах
2.2. Исследование движения вектора кинетического момента 100 под влиянием гравитационных и магнитных возмущений
2.3. Анализ галереи фазовых портретов 116
2.4. Бифуркации фазовых портретов и структура пространства 121 параметров
2.5. Переход от прямого вращения к обратному в экзопланетных 125 системах
2
Глава 3. Вращательная эволюция экзопланет под действием приливных 128 возмущений
3.1. Влияние приливных моментов на вращательную эволюцию 128 планет Солнечной системы и экзопланет
3.2. Базисные уравнения возмущенного вращения экзопланет и 132 качественный анализ
3.3. Анализ фазового портрета и бифуркации экзопланетной 136 системы
Глава 4. Моделирование прецессии и нутации нейтронных звезд 138
4.1. Наблюдения долговременных вариаций пульсаров 138
4.2. Эффекты свободной прецессии и нутации 145 в нейтронных звездах
4.3. Гамильтонов подход к теории вращения небесных тел: 149 наблюдаемые эффекты
4.4. Моделирование Чандлеровских колебаний и свободной 155 нутации мантии нейтронных звезд
Заключение 160
Литература 162
Приложение А. 181
Приложение Б. 187
3
#
Список основных обозначений и сокращений
Вращение экзопланет:
эклиптическая система координат XYZ - орбитальная система координат
А, В, С-главные центральные моменты инерции планеты (пульсара) хуу, 2 - главные центральные оси инерции
Мф, Мю, М., М - массы Земли, Юпитера, Солнца, масса центрального тела
угр - универсальная гравитационная постоянная
//^ - модуль постоянного магнитного момента звезды
ц - дипольный момент звезды
г - радиус-вектора центра масс тела
I - вектор кинетического момента небесного тела
I - постоянный по модулю магнитный момент планеты И -напряженность магнитного поля
у - направляющие косинусы между осями инерции планеты и г звезды и - силовая функция потенциальной составляющей главного момента внешних сил относительно центра масс тела
р - угол между вектором I небесного тела и нормалью к плоскости его орбиты
р* - фиксированный угол описывающий ориентацию невозмущенного вектора I
П - долгота восходящего узла (эклиптическая долгота)
и - широта восходящего узла (эклиптическая широта), аргумент широты
£ - угол между узлом орбиты тела и вектором I
\|/, ф, Э - углы Эйлера: прецессии, собственного вращения и нутации
А/- средняя аномалия
Кц - вековая часть производной <Ю/</г
Кя - вековая составляющая скорости изменения долготы оскулируюшего перицентра орбиты небесного тела
/ - угол наклона орбиты экзопланеты к лучу зрения наблюдателя
4
*
а и e- большая полуось и эксцентриситет орбиты экзопланеты ©о - частота обращения центра масс планеты по орбите 6 - орт вектора магнитного момента
A/i, Л/2, A/j - проекции непотенциальной составляющей главного момента инерции kz - параметр, описывающий эффекты, связанные с эволюцией орбиты планеты и взаимодействия магнитного поля планеты с внешним магнитным полем,
^ кя - параметр, описывающий возмущения гравитационной природы
К и hp - высота прилива на звезде и планете соответственно
Уя ~ Угол запаздывания приливных горбов К качественным методам и теории бифуркаций:
/%,, /?,, /) - функция Гамильтона, q( и р( - обобщенные координаты и импульсы а„ Д - независимые канонические переменные е - малый параметр
х, у - декартовы координаты (в параграфе 1.3)
* Р(ху) и Q(xy) - аналитические функции в области G
Д - детерминант динамической системы Х| и Х2 - корни характеристического уравнения ас - седловая величина Вращение пульсаров:
- предел Чандрасекара В - напряженность магнитного поля на поверхности звезды ^ ре - среднее количество нуклонов, приходящихся на один электрон
M,»sr и R - масса пульсара и его радиус р - плотность
Д-угол между осью вращения и магнитной осью пульсара 0- угол между осью вращения пульсара и его оси симметрии с- динамическое сжатие пульсара
Q и П|, Q2, Qj - угловая скорость вращения пульсара и ее компоненты
5
Т- кинетическая энергия
Е. -полная энергия невращающейся звезды
I - полный угловой момент
/** I, - моменты инерции коры, мантии пульсара
/хх, /уу , /„— компоненты момента инерции звезды
/. и /,„- момент инерции нейтронной звезды и момент вращения пульсара (7- отношение моментов инерции жидкого и твердого компонентов пульсара Ь и 5^ - малый безразмерный параметр жесткости и символ Кронекера пп и п0-единичные вектора, совпадающий с осыо вращения пульсара и с осью симметрии статической деформированной звезды
и Ох^^м - системы координат, связанные с главной осыо инерции коры и мантии пульсара
Л, Я, С, ЛМУ ВМ9 См - главные моменты инерции всего пульсара и его мантии Л, //, \\ Л, А/, Л'и Я,,, //„, Дм, Л/,„ Л£, - канонические переменные Андуайе для полного пульсара и его мантии
//, //*, Пм - тензоры инерции пульсара, коры и мантии Ррми - период свободной нутации мантии пульсара Рс\у - период Чандлеровских колебаний Ргся - период вращения пульсара
Модели ядерного взаимодействия нейтронных звезд:
Я - Уранение Рейда ЕЙ - Бете-Джонсона
МБ - Уравнение среднего поля Т1 - Тензорное взаимодействие
Сокращения:
а.е. - астрономическая единица
ВПИ - время прихода импульса от пульсара
ГП - звезды главной последовательности
ДС - динамическая система
ОТ - особые точки
ЦЭИ — центральный эллипсоид инерции
6
ВВЕДЕНИЕ
Открытие планет вне Солнечной системы (экзопланет) стало началом новой эпохи развития и применения методов небесной механики. С момента обнаружения в 1992 г. первой экзопланеты к настоящему времени открыто 119 экзопланет в 104 планетных системах около звезд главной последовательности (ГП) и 5 планет около двух пульсаров [156]. Среди открытых планетных систем 13 являются мультипланетными, в их состав входят 27 экзопланет. В 8 мультигшанетных системах планеты обращаются в орбитальном резонансе. В них наблюдаются как резонансы порядков 2:1 (Gliese 876, HD 82943, HD 160691), 3:1 (55 Cnc), 3:2 (PSR В1257+12), так и высоких порядков 5:1 (е And), 7:3 (47Uma), 10:1 (HD 37124), 11:2 (HD 12661).
Экзопланеты с массами порядка массы Юпитера-Сатурна открыты только около звезд ГП и обращаются на расстояниях от 0.05 до 2 а.е. от звезды с периодами обращения от 1.2 до 5360 дней. Большие полуоси орбит планет с массами меньше массы Юпитера лежат в узком интервале от 0.02 а.е. (OGLE-TR-56) до 0.5 а.е. и составляет 39 % от всех обнаруженных планет, среди которых 26 планет имеют а ~ 0.1 а.е. Среди открытых экзопланет 66 обращается по эллиптическим орбитам с е > 0.3 и 22 имеют е ~ 0.1; 16 экзопланет имеют круговые орбиты. Известно о существовании пяти планет земной массы около пульсаров PSR В1257+12 и PSR В1828-11, которые обращаются на расстояниях от 0.2 до 2 а.е. с периодами обращения от 25 до 1000 дней.
Периоды обращения планет внесолнечного типа вокруг звезд ГП можно условно разделить на три группы: 1) короткопериодичные (< 30 дней) - 26 экзопланет, среди которых 20 имеют период обращения менее двух недель;
2) среднепериодичные (от 0.5 месяца до 3 лет) - 61 планета и
3) долгопериодичные (свыше 3 лет) - 30 планет.
Разнообразие динамических характеристик экзопланет ставит задачу детального изучения вопросов эволюции их вращения для широкого спектра
7
значений параметров планетной системы с учетом возмущений как со стороны гравитационных, магнитных, так и приливных моментов. Особый интерес представляет класс экзопланет, обращающихся вокруг родительской звезды на орбитах с я ~ 0.02 - 0.5 а.е. («горячие Юпитерианцы»), так как на их вращение существенное влияние оказывают приливные моменты.
Первая экзопланетная система была открыта около пульсара РВИ. В1257+12 при анализе вариаций времени прихода импульсов от звезды. Известно, что шкала времени пульсаров очень стабильна, поэтому периодические ее вариации могут быть объяснены тремя причинами: гравитационное влияние экзопланет, эффектами, связанными с внутренним строением нейтронной звезды, такие как колебания Ткаченко или свободной прецессией пульсара. Вариации наблюдаются у ряда пульсаров: Р811 В1620-26, РБЯ 1828-11, Р8Я 0531+21 и других. Мы объясняем наблюдаемые вариации Чандлеровскими колебаниями и свободной нутацией мантии нейтронной звезды. В настоящее время не вызывает сомнений, что ось вращения нейтронной звезды свободно прецессирует [164]. Поэтому особенно актуальным является построение модели вариаций вращения нейтронных звезд с учетом их внутреннего строения: модели сверхплотного нейтронного вещества и дифференциального вращения мантии и коры пульсара.
Цели и задачи работы.
Настоящая работа имеет своей целью исследование особенностей вращения экзопланет и пульсаров:
1. Исследование вращательной эволюции экзопланет под действием гравитационных и магнитных возмущений для широкого спектра параметров.
2. Изучение поведения вектора кинетического момента экзопланеты под действием приливных возмущений со стороны родительской звезды методами качественного анализа.
3. Моделирование дифференциального вращения двухслойного пульсара для объяснения наблюдаемых долгопериодических вариаций импульсов, получения оценок периодов Чандлеровских колебаний, прецессии оси
вращения и сплюснутости нейтронной звезды в зависимости от модели сверхплотного нейтронного вещества.
Основпой метод исследований.
Исследования проводились методами качественного анализа и теории бифуркаций динамических систем на плоскости, сфере и на цилиндре, описывающих вращательную эволюцию экзопланетных систем.
Исследование дифференциального вращения твердой коры и жидкой мантии пульсаров проводилось в рамках гамильтонова подхода для описания вращения двухслойного деформированного пульсара, состоящего из твердой кристаллической коры и жидкой мантии.
Научная новизна работы состоит в
1. Исследовании методами качественного анализа и теории бифуркаций эволюционных уравнений, описывающих вращение динамически-симметричного небесного тела под действием гравитационных и магнитных моментов с учетом эволюции орбиты, полученные В.В. Белецким, для всех возможных значений динамических параметров экзопланетных систем.
2. Получении галереи фазовых портретов на плоскости и на сфере для всех значений параметров эволюционной системы уравнений под действием основных возмущающих моментов; построении бифуркационных кривых и поверхностей, описывающих топологическую перестройку фазового пространства и разбиение пространства параметров. Подтвержден эффект В.В. Белецкого - смены прямого вращения на обратное вращение - для широкого диапазона динамических параметров экзопланетных систем.
3. Проведении анализа системы эволюционных уравнений В.В. Белецкого для динамически симметричной экзопланеты под действием приливных моментов. Построен фазовый портрет на плоскости и на цилиндре в конечной области фазового пространства динамической системы.
4. Исследовании вращательной эволюции двухслойной нейтронной звезды в рамках гамильтонова подхода X. Хетино к дифференциальному вращению небесных тел; впервые теоретически получены две моды вариаций
вращения пульсаров - Чандлеровское колебание и свободная нутация мантии пульсара, которые согласуются с наблюдаемыми данными пульсара РвЯ 1828-11.
5. Моделировании динамических характеристик вращающейся нейтронной звезды на основе наблюдаемых вариаций вращения 7 пульсаров и получении оценок динамического сжатия нейтронных звезд для 7 моделей нейтронного сверхплотного вещества и различной массы пульсаров.
Научная и практическая значимость.
В работе представлен комплекс исследований вращательной эволюции экзопланетных систем и пульсаров на основе аналитического, качественного и бифуркационного подходов. Проведенный анализ галереи фазовых портретов дает широкий спектр эволюционных треков вращения внесолнечных планет, расширяющий космогонические сценарии образования и эволюции планетных систем. Анализ бифуркационных кривых динамических систем конкретизирует критические значения динамических параметров экзопланетных систем.
Проведенные исследования дифференциального вращения пульсаров позволяют объяснить наблюдаемые вариации излучения пульсаров, моделировать динамические и геометрические характеристики вращающейся нейтронной звезды, что дает возможность уточнить реалистичные модели внутреннего строения нейтронной звезды из небесно-механических аспектов.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Галерея фазовых портретов на плоскости, сфере и цилиндре для всех значений параметров эволюционной системы уравнений под действием основных возмущающих моментов.
2. Построение бифуркационных кривых и поверхностей, описывающих топологическую перестройку фазового пространства, и разбиение пространства параметров эволюционных уравнений.
3. Модель вариаций вращения пульсаров - Чандлеровские колебания и свободная нутация мантии пульсара - в рамках дифференциального вращения двухслойной модели пульсара.
10
4. Моделирование динамических характеристик вращающейся нейтронной звезды на основе наблюдаемых вариаций вращения 7 пульсаров. Оценки динамического сжатия нейтронных звезд для 7 моделей нейтронного сверхплотного вещества и различной массы пульсаров.
5. Небесно-механическая интерпретация полученных фазовых портретов и бифуркационных кривых. Выявлен эффект смены прямого вращения экзопланет на обратное под действием гравитационных и магнитных возмущений.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Работа изложена на 201 странице, включает 130 рисунков (71 в приложениях А и Б), 25 таблиц (14 в приложении Б). Список литературы состоит из 185 библиографических ссылок.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее основные цели и задачи, перечислены результаты работы, выносимые на защиту, указана их новизна, значимость и перспективы их использования, приведена структура и содержание диссертации.
В первой главе дается обзор теоретических достижений в исследовании вращения небесных тел. В параграфе 1.1 описываются основные этапы исследований вращательной эволюции небесных тел от работ JI. Эйлера, Дж.Л. Лагранжа, П.С. Лапласа до современности. Дан краткий обзор опубликованных работ по теории вращения, захвата в резонансное вращение и устойчивости вращения небесных тел. Выведены ключевые уравнения, описывающие нерезонансное вращение небесных тел. Параграф 1.2 включает обзор современных данных об открытых планетах внесолнечного типа (экзопланет) около звезд главной последовательности и пульсаров, приводятся статистические распределения по основным характеристикам планетных систем. Описываются основные эволюционные теории, объясняющие наблюдаемые характеристики экзопланетных систем. Дается краткий обзор методов открытия и исследования экзопланет. Приводится данные о
действующих и готовящихся к старту космических и наземных миссиях и проектах. В параграфе 1.3 излагаются основные положения теории бифуркаций и качественного анализа, методы исследования динамических систем. В параграфе 1.4 представлен краткий обзор внутреннего строения нейтронных звезд и его зависимость от выбранного уравнения состояния равновесия сверхплотного вещества пульсара.
Во второй главе описаны методы исследования нерезонансного вращения динамически-симметричной планеты под действием основных возмущающих моментов. В параграфе 2.1 изложены, полученные В.В. Белецким, основные эффекты и закономерности вращательной эволюции планеты под действием гравитационных и магнитных моментов с учетом эволюции орбиты динамически-симметричного небесного тела. В параграфе 2.2 методами качественного анализа и теории бифуркаций исследуется динамическая система В.В. Белецкого, которая описывает вращательную эволюцию динамически-симметричной экзопланеты, намагниченной вдоль оси ее динамической симметрии, под действием гравитационных, магнитных моментов с учетом эффектов эволюции орбиты. Приведены все возможные состояния равновесия с указанием характера поведения эволюционных треков вектора кинетического момента экзопланеты для широкого спектра соотношений параметров. В параграфе 2.3 описываются и анализируются, полученные в результате исследования, 64 фазовые портрета на плоскости и на сфере, иллюстрирующие разнообразную вращательную эволюцию экзопланет. Параграф 2.4 включает анализ бифуркационных кривых и поверхностей в нулевом, первом и втором приближениях, определяющих разбиение пространства параметров на топологически различные состояния равновесия. Параграф 2.5 посвящен интерпретации полученных фазовых портретов в зависимости от соотношения гравитационных и магнитных возмущений, а также влияния эволюции орбиты.
#
12
Третья глава посвящена исследованию вращательной эволюции экзопланет под действием приливных моментов. В параграфе 3.1 описаны особенности влияния приливных моментов на вращательную эволюцию планет и их спутников в Солнечной системе и экзопланет — «горячих Юпитерианцев», которые обращаются по орбитам на расстоянии менее 0.5 а.е. Параграф 3.2 включает краткое описание эволюционных уравнений, полученных В.В. Белецким, для планеты, обращающейся по круговой орбите с центральным
• эллипсоидом инерции близким к сфере. В данном параграфе методами качественного анализа исследуются эволюционные уравнения В.В. Белецкого, описывающие вращательную эволюцию планет под действием приливных моментов, перечисляются и описываются состояния равновесия системы. В параграфе 3.3 приводится анализ и интерпретация полученного фазового портрета на плоскости и на цилиндре; описываются бифуркационная поверхность и ее сечения, определяющие различное поведение фазовых траекторий в окрестности состояний равновесия динамической системы,
• описывающей приливную эволюцию экзопланет.
В четвертой главе рассматривается проблема объяснения наблюдаемых вариаций вращения нейтронных звезд, которые могут быть интерпретированы гравитационным возмущением экзопланет (как у пульсара РБЯ В1257+12), волнами Ткаченко или дифференциальным вращением нейтронной звезды. В параграфе 4.1 приводится краткий обзор работ, посвященных наблюдениЯхМ и исследованиям вариаций вращения пульсаров, описываются наблюдаемые вариации вращения для семи пульсаров и возможные причины их
• возникновения. В параграфе 4.2 описываются две модели вращения пульсара и вводятся основные уравнения для однородной и двухслойной прецессирующей нейтронной звезды, приводятся оценки динамического сжатия пульсаров, полученные различными авторами. Параграф 4.3 посвящен приложению гамильтонова подхода X. Хетино к теории вращения небесных тел, выводятся основные уравнения, описывающие прецессию пульсара и нутацию его мантии.
*
13
В параграфе 4.4 описывается моделирование вращения нейтронных звезд с целью получения оценок их динамического сжатия, периодов Чандлеровских колебаний и свободной нутации мантии пульсаров для различных уравнений состояния сверхплотного вещества и массы нейтронной звезды. В рамках гамильтонова подхода X. Хетино к дифференциальному вращению небесных тел исследуется свободное вращение динамически-симметричного пульсара, состоящего из эллиптичной жидкой мантии и твердой коры, без возмущений со стороны других тел. На основе наблюдаемых вариаций вращения 7 пульсаров моделируются динамические характеристики вращающейся нейтронной звезды и рассчитываются оценки динамического сжатия коры и мантии нейтронных звезд для 7 моделей нейтронного сверхплотного вещества и различной массе пульсаров.
В заключении описываются основные результаты и выводы по всей диссертационной работе.
В приложении А диссертации приведена галерея из 64 фазовых портретов на плоскости и на сфере, разбиение пространства параметров.
В приложении Б диссертации представлены результаты численного моделирования периодов Чандлеровских колебаний и свободной нутации мантии, динамического сжатия 7 пульсаров для 7 моделей внутреннего строения нейтронных звезд.
1. ВРАЩЕНИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ: ТЕОРИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ
1.1. ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
История изучения вопросов вращательного движения небесных тел берет начало с работ Ж.Р. Д’Аламбера, Л. Эйлера, Дж.Л. Лагранжа и П.С. Лапласа. Их исследования привели к построению теорий прецессии и нутации земной оси, либрации Луны и развитию теории вековых возмущений. Исследования, связанные с происхождением суточного вращения берут начало в XVII века с работ Р. Декарта и Е. Сведенборга, которые являлись первой попыткой объяснить вращение небесных тел с помощью вихревых движений материи [29,166].
Открытие Нептуна, Урана и их спутников поставило под сомнение космогоническую теорию Лапласа [36] и стимулировало появление новых теорий. Одной из таких теорий была теория Бэло Е. [72], согласно которой планеты образуются из струи материи, которая распалась из-за сопротивления в неподвижной среде с образованием завихряющихся сгустков вещества - будущих планет. Им впервые было предложено количественное объяснение наклонов осей планет, скоростей их вращения, сделана попытка вывести правило Тициуса-Боде.
Для согласования теории с наблюдениями спутников Урана и Нептуна Файе Дж. и Дю-Лигондес Р. несколько видоизменили космогоническую теорию Лапласа. Файе полагал [49], что все планеты от Меркурия до Сатурна образовалась раньше Солнца, когда вся туманность вращалась твердотельно. В этот период времени планеты приобрели прямое вращение. После образования Солнца, движение вещества стало кеплеровским, а образующиеся новые небесные тела приобретали обратное вращение. В данном сценарии Уран является промежуточным случаем. Иной точки зрения придерживался Р. Дю-Лигондес [27], который объяснял прямое и обратное вращение планет дифференциальным вращением протопланетного облака: как твердое тело во внутренней части и близким к кеплеровскому движению на периферии.
15
Количественные оценки характеристик эволюции протопланет в рамках задачи двух тел впервые были получены Чембеленом Т.С. и Мультоном Ф.Н. [42, 85] в предположении, что прямое вращение планет было приобретено в процессе роста планетезималей, поэтому растущая планета получает положительный момент из «ассиметричиого» потока частиц проходящего вблизи афелиев и перигелиев ее орбиты.
Первая попытка объяснения прямого вращения планет в рамках задачи трех тел принадлежит Си Т.Дж. [157]. Его модель описывает движение частиц в замкнутых областях Хилла, которые охватывают Солнце и планету. Частицы многократно переходят из одной области в другую через узкое горло, соединяющее их. Под действием окружающей среды оно становится все уже и когда горло исчезнет, частица не может выйти за пределы замкнутой области Хилла планеты, тогда направление вращения планеты будет определять направление движения большинства частиц в момент замыкания поверхности. Исследуя задачу движения зародыша планеты и частиц по круговым кеплеровским орбитам внутри замкнутой вокруг планеты области Хилла, Прей А. и Рейн Н.Ф. обнаружили, что если частицы будут находиться внутри эллипсоида с сжатием < 0.71, тогда суммарный момент движения всех частиц внутри него будет иметь положительный знак [29, 47, 148].
Для объяснения формирования Солнечной системы Вейцзеккер С.А. [178] исследовал движение газопылевого облака в гравитационном поле Солнца относительно вращающейся в направлении движения вещества системы координат и предложил модель, описывающую происхождение обратного вращения планет. Согласно данной модели, частицы, движущиеся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца и некоторой фиксированной точки, образуют правильную систему колец, состоящую из вихрей с обратным вращением. На стыке таких вихрей образуются вихри с прямым вращением, из которых образуются зародыши планет. Данная теория вихрей была развита Д. Тер Хааром, предложившим использовать хаотическое распределения вихрей [167], и затем изменена Койпером Г.П. [29, 117].
Согласно теории Койпера Г.П. в результате турбуленции возникают сгустки вещества, из которого образуются протопланеты. Благодаря приливному воздействию Солнца вращение протопланеты будет твердотельным1 пока ее радиус не достиг критической величины и планета будет иметь прямое вращение. При уменьшении радиуса протопланеты влияние на нее приливных моментов уменьшится и планета сохранит ее вращательный момент. Вращение планеты перестает быть твердотельным, что вызовет наклон ее оси вращения [117]. Влияние приливных моментов может вызвать наклон оси вращения планеты до 90° и более [15, 16, 145]. В процессе эволюции планет, согласно Г.П. Койперу, когда все вещество из межзвездного пространства будет исчерпано, планеты потеряют значительную часть их массы и кинетического момента.
Развивая космологическую гипотезу Лапласа П. [36] образования планет из колец в протопланетной туманности Пуанкаре А. делает вывод о первоначально обратном вращении всех планет [44], так как линейная скорость внешних частей кольца будет всегда меньше скорости внутренних частей, а переход в наблюдаемое прямое вращение планет было вызвано влиянием приливных сил и механизмом, предложенным Роше. Объяснение приобретения планетами положительного или отрицательного кинетического момента в зависимости от плотности планеты было предложено Киладзе Р.И. [29]. Им рассматривались движущиеся по круговым орбитам вокруг Солнца частицы, которые аккрецируют на планету с характерным радиусом современных планет. При выпадении частиц на плотную планету, ее вращение будет иметь медленное обратное вращение. В случае аккреции частиц на планету с низкой плотностью, которая занимает значительную часть замкнутой поверхности Хилла, может приобрести в процессе роста положительный кинетический момент.
1 В 1904 г. Пикерингом В.Ш. впервые предложено рассматривать вращение протопланет как твердотельное [147]. Кроме того, Пуанкаре А. рассматривалось твердотельное вращение протопланстного облака под действием приливных возмущений со стороны Солнца для объяснения прямого вращения планет [45].
Невозмущенное вращение небесного тела. Известно, что на ограниченных интервалах времени вращательное движение многих небесных тел близко к невозмущенному вращению по инерции [20]. Геометрическую интерпретацию данного типа вращения дает теорема Пуансо, согласно которой, невозмущенное вращение небесного тела относительно его центра масс можно описать как «качение без скольжения центрального эллипсоида инерции тела по некоторой плоскости неизменной ориентации, перемещающейся вместе с центром масс тела» [20]. Вращательное движение небесного тела подчиняется закону сохранения момента импульса L и кинетической энергии Г для замкнутых консервативных систем:
L = const, Т = 1/2 (L-o))= const, (1.1)
где со - угловая скорость вращения тела.
Возмущенное вращение тела под действием гравитационных возмущений. Для исследования возмущенного вращения небесных тел удобно использовать подход Гамильтона и уравнения Гамильтона:
=ен Ф,=_ш ..
dt dPl dt dq, У }
где qi и pi — обобщенные координаты и импульсы, H(qit ph t) - функция Гамильтона.
Из уравнений Гамильтона (1.2) следует существование первого интеграла H(q„pi) = const, если функция Гамильтона явно не зависит от времени t; а также существование п интегралов pt = pi0 = const в случае, когда функция Гамильтона не зависит от обобщенных координат [20]. Для исследования вращения тела функцию Гамильтона разбивают на две части, первая из которых описывается гамильтонианом, решение которого известно (невозмущенное вращение), вторая описывает возмущенную составляющую.
H(qi>p„t)=H0(qi9pnt)+£Hl(qt,PlA (1*3)
где q( = qt (/, а, ...а„ Д ...Д), р, = p,(t, а, ...а„ Д ...Д); а1у Д - независимые канонические переменные, е - малый параметр (0 < е «1).
18