Торические вырождения многообразий Фано

Оглавление
1 Основные понятия 15
1.1 Обозначения ............................................... 15
1.2 Особенности................................................ 17
1.3 Многообразия............................................... 23
1.4 Торические многообразия и многочлены Лорана................ 26
1.5 Вырождения ................................................ 43
1.6 Классификация многообразий Фано............................ 53
1.6.1 Поверхности дель Пеццо............................... 53
1.6.2 Трёхмерные гладкие многообразия Фано................. 55
1.6.3 Торические многообразия Фано....................... 56
1.7 Теория Громова-Виттена..................................... 60
1.7.1 Определения ......................................... 61
1.7.2 Примеры ............................................. 70
1.8 Многообразия Грассмана и их спектры........................ 75
2 Торические поверхности дель Пеццо и пучки эллиптических кривых с низким ветвлением 81
2.1 Эллиптические поверхности.................................. 82
2.2 Модели Ландау-Гинзбурга для поверхностей дель Пеццо. . . 88
2.2.1 Модели Хори-Вафы................................... 99
2.3 Монодромия...............................................101
3 Малые торические вырождения трёхмерных многообразий Фано 110
3.1 Введение.................................................110
3.2 Утверждение..............................................111
3.3 Доказательство...........................................112
3.4 Описание торических вырождений гладких трёхмерных многообразий Фано................................................116
3.5 Следствия................................................121
3.6 Обобщения................................................124
3.7 Вычисление...............................................126
4
А Публикации но теме диссертации 139
3
Введение
История вопроса
В диссертации даётся ответ на ряд вопросов, постановка которых мотивирована подходом к изучению многообразий Фано (и возможности их классификации) с помощью методов торических вырождений и зеркальной симметрии.
Классификация кривых была получена ещё в 19 веке — у каждой кривой над алгебраически замкнутым полем есть единственная бирациональ-но эквивалентная ей полная неособая модель, а единственный численный инвариант кривой — это её род д, который может принимать любое целое неотрицательное значение. Более разнообразен случай поверхностей: по любой неособой поверхности 5() можно построить ес минимальную модель 5, последовательно стягивая (—1)-кривые. Минимальная поверхность £ — неособая поверхность, бирационалыю эквивалентная 5о, и существуют три взаимно исключающие возможности: либо канонический класс численно эффективен (то есть его индекс пересечения с классом любой эффективной кривой неотрицателен), либо £ — это проективная плоскость Р2, либо поверхность 5 обладает структурой Р1-расслоения над некоторой базовой кривой В.Поверхность 5 рациональна, если рациональна базовая
4
кривая В, и все такие минимальные поверхности 5 — это рациональные линейчатые поверхности (поверхности Хирцебруха) Рп = Рця((9 @ 0(п)).
Современная точка зрения обобщаем' двумерный результат на большие размерности. Согласно программе минимальных моделей, гипотетически всякое гладкое алгебраическое многообразие бирационалыю эквивалентно либо минимальной модели (определения минимальной модели и изложение программы Мори см., например, в [64]), либо расслоению Мори, слоями которого являются многообразия Фано (то есть многообразия с обильным антиканоническим дивизором) с числом Пикара 1. Это доказано в размерности < 4.
Проективная плоскость и поверхности являются расслоениями Мори на двумерное и одномерные многообразия Фано, соответственно. В размерностях больше двух минимальная модель уже не обязательно гладкая, но в общем случае имеет терминальные особенности (оир. см. в 1.2.11).
В связи с развитием упомянутой выше программы минимальных моделей, а также в виду интереса со стороны теоретической физики и других дисциплин, в последнее время особую роль в бирациональной геометрии стало играть изучение многообразий Фано. Мы работаем над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.
Единственное одномерное многообразие Фано —- это проективная прямая Р1.
Двумерные иеособые многообразия Фано X называются также поверхностями дель Пеццо. Два основных инварианта поверхности дель Пец-цо —* это её аптиканонические индекс и степень. Индексом многообразия Фано X называется наибольшее целое число г, такое что антиканониче-
5
ский класс представим как г-кратное некоторого дивизора Картье Н, т.е. -Кх = *#. Степень — это квадрат антиканонического класса сI — (—ЛГ*)2. Единственная поверхность дель Пеццо индекса 3 -- это проективная плоскость Р2, и её антиканоиическая степень равна 9. Поверхность дель Пеццо индекса 2 — это квадрика в I?3, её антиканоиическая степень равна 8. Поверхность дель Пеццо индекса 1 может иметь любую целую степень (I в пределах 1 ^ (I ^ 8, и уже не минимальна, но является раздутием проективной плоскости Р2 в 9 — (I точках общего положения (см. 1.6.1).
В работах [24], [25], [26], [27] Г. Фано изучал трехмерные гладкие многообразия, линейные сечения которых являются каноническими кривыми (в частности, аитиканонический дивизор на таких многообразиях обилен).
В. А. Псковских в работах [45], [46] классифицировал гладкие трехмерные многообразия Фано X основной серии (с Р\сХ = 11), окончательная классификация гладких трехмерных многообразий Фано была получена Мори и Мукаем в работах [67], [66], [68] (обзор полной классификации см. в [47] и [48]). Основные численные инварианты трёхмерных многообразий Фано — это их индекс, степень, ранг группы Пикара и третье число Бетти.
Позже МукаЙ ([69],[70]) заново описал трёхмерные многообразия Фано основной серии, рассматривая векторные расслоения на поверхностях /<”3, получающихся антиканоническим сечением трёхмерного многообразия. Этим же методом была получена классификация 4-мерных многообразий Фано с группой Пикара Ъ, имеющих индекс больше 1. Задача
•
классификации четырехмерных многообразий Фано с группой Пикара Ъ и индексом 1 в настоящее время открыта.
В диссертации иллюстрируется подход к нахождению мног ообразий Фа-
б
но и описанию их классических численных инвариантов вместе с некоторыми „квантовыми”, происходящими из инвариантов Громова- Виттена.
Исторически зеркальная симметрия была сформулирована как соответствие (зеркальная симметрия) между ромбами Ходжа разных семейств трёхмерных многообразий X с тривиальным каноническим классом (многообразий Калаби-Яу). Для пары численно зеркально симметричных многообразий Калаби-Яу А и В выполнено к1,2(А) = к1'1 (В) и /г1,1 (А) = к1,2(В). Это размерности пространств параметров комплексных и кэлеро-вых структур, и таким образом появилась гипотеза зеркальной симметрии, утверждающая эквивалентность между комплексной геометрией А и симплектической геометрией В, и наоборот. У этого утверждения есть разные формулировки, например, гомологическая зеркальная симметрия утверждает, что ограниченная производная категория Т>Ь(Х) когерентных пучков на X совпадает с производной категорией категории Фукай У 1.
Вернёмся к случаю многообразий Фано, и сформулируем интересующую нас версию зеркальной симметрии для них.
Пусть 7ь72,7з — некоторые классы когомологий Н'(Х, Z), а /3 (Е Яг(Х, Z) — гомологический класс комплексной кривой. Обозначим символом /д(71,72,7з) соответствующий 3-точечный инвариант Громова-Виттена (см. 1.7.1, |03]). Наивный смысл этот инварианта — число рациональных кривых на X, имеющих гомологический класс [5 и пересекающих представителей гомологических классов двойственных по Пуанкаре к 7ь 72 и 73 (достаточно общим образом выбранных), если таких кривых
‘Категория Фукай это зависящая от симплектической структуры Д»-категория, объекты в которой представлены лагранжевыми циклами, морфизмы — их пересечениями, а произведения — заклеиваниями лсевдоголоморфными дисками (см. (57))
7
конечное число, и 0 иначе.
Обозначим символом Л = 0>[#2рГ, Ъ)\ кольцо Новикова функций
Используя 3-точечные инварианты Громова-Виттена, можно построить кольцо малых квантовых когомологий С2Н(Х) многообразия Фано X. По определению, кольцо малых квантовых когомологий (с коэффициентами в Л) (ЗН(Х7Л.) это свободный Л-модуль 1Г(Х, А) со структурой кольца, заданной посредством *-ум ножен ия:
Умножение * является деформацией обычного Ц-умножения в когомологиях X, сунеркоммутативно (и согласовано с естественной Ъ)2Ъ-градуировкой; далее мы ограничимся чётными элементами, ограничение квантовых когомологий на них — коммутативное кольцо), а его ассоциативность — глубокий результат теории ([58], [63]). Переформулированная на языке классической исчислительной геометрии, ассоциативность квантового умножения становится бесконечным набором неочевидных соотношений между числами кривых различных степеней; эти соотношения очень интересны уже в случае проективной плоскости ІР2, и кроме этого позволяют вычислить инварианты Громова-Виттена на раздутии поверхности через инварианты на минимальной модели.
По кольну малых квантовых когомологий можно построить дифхфереп-циальное уравнение зеркальной симметрии (или квантовый £>-модуль)
2Иногда оказыиается удобнее работать с с коэффициентами п кольце А — <ЩЛ''/£(Х)г| — это иод-кольцо в Л порожденное мономами соответствующими только эффективным 1-циклам.
<7реПг(х&) на Т0Ре двойственном к решётке характеров группы Пикара многообразия Фано X 2.
следующим образом ((35]): рассмотрим тривиальное расслоение со слоем 1Г(Х,С) над тором Spec А 3; зададим на этом расслоении связность так, что дифференцирование горизонтального сечения 7 £ Н'(Х,С) с помощью этой связности вдоль инвариантного векторного поля равно квантовому умножению сечения на класс соответствующего векторному полю дивизора.
Голоморфное решение этого уравнения выписывается как производящий ряд 1-точечных инвариантов Громова-Виттена с потомками (/-ряд).
Пусть М — некомпактное многообразие, и w : М —> Аг — такая функция на нём, что общий слой отображения w бирационален многообразию с тривиальным каноническим классом. Пара (М, w) называется (слабой) моделью Ландау- -Гинзбурга зеркально двойственной к многообразию Фа-но X, если связность Гаусса-Маннна семейства Mw совпадает с определенной выше связностью, построенной с помощью квантового умножения на X (то есть периоды Mw являются решениями дифференциального уравнения зеркальной симметрии).
Гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа. Существует соответствие между многообразиями Фано X и зеркально двойственными им моделями Ландау-Гинзбурга (Л/, w). Неформально говоря, для произвольного многообразия (Рано X, построенное с помощью данных исчислитсльной геометрии на многообразии X дифференциальное уравнение имеет геометрическое происхождение (является уравнением Пикара-Фукса некоторого семейства).
3Естестпениой базой для этого P-модуля является Spec А, но обычно достаточно либо тора Spec Л, либо одномерного аффинного пространства — замыкания в Spec А какого-то (например, антнканонн-ческого) одномерною полтора в Л.
9
Гипотезу гомологической зеркальной симметрии также можно сформулировать в случае многообразий Фано: категория Т>Ь{Х) эквивалентна категории исчезающих лагранжевых циклов на (М, ги) (это относительный вариант категории Фукай).
В дальнейшем под гипотезой зеркальной симметрии мы будем иметь в виду утверждение про вариации структур Ходжа.
Известны кандидаты на роль (гомологически) зеркально симметричных партнеров (слабые модели Ландау-Гинзбурга) для поверхностей дель Пец-цо ([!]), для полных пересечений в грассманианах и пространствах флагов ([43] ,[8], [9]).
Торические многообразия — класс рациональных многообразий, гораздо легче поддающийся классификации, чем абстрактные многообразия Фано. В работе [2] вычислено кольцо квантовых когомологий торического многообразия. В (35) вычислен I-ряд полною пересечения У в ториче-ском многообразии X, если антиканонический класс — Ку численно эффективен. Зеркальная симметрия для гладких торлчсских многообразий (и полных пересечений в них) была построена в [3], [10| и (35|. Используя малые торические вырождения (допускающие горешптеГиювы терминальные особенности) многообразий Грассмана (построенные в [83, 84)) и многообразий частичных флагов (построенные в [39, 40, 62)), в работах [8, 9] были получены кандидаты в слабые модели Ландау-Г инзбурга зеркально симметричные к этим однородным многообразиям.
В работе [4| было введено понятие малого торического вырождения произвольного многообразия Фано, обобщающее примеры с многообразиями флагов. Тогда же и был предложен подход к нахождению ипвари-
10
антов Громова-Виттена и построения зеркально-симметричных моделей Ландау-Гинзбурга с помощью малых вырождений гладких многообразий Фано в торические многообразия Фано с особенностями.
Именно этот подход и используется в данной работе как основной метод изучения многообразий Фано в размерности 2 и 3.
Как показано далее в диссертации, к сожалению, не все трехмерные многообразия Фано имеют малые торические вырождения, однако некоторые интересные многообразия всё-таки имеют, и в этих случаях сам факт существования вырождения позволяет решить иногда нетривиальные задачи исчислительной геометрии (например, найти некоторые инварианты Громова-Виттена многообразия Ц2 или Из не прибегая к геометрии объемлющего пространства), и метод торических вырождений может быть использован для описания неторических многообразий Фано в больших размерностях.
Основные результаты диссертации
Диссертация состоит из введения (главы ) и трёх глав (1, 2 и 3).
В главе 1 приведены необходимые определения и известные вспомогательные утверждения.
Утверждения главы 1 как правило не доказываются, но снабжаются ссылками на источники. Завершается глава 1 иллюстрацией общих идей на необходимых далее примерах — грассманианах и торических многообразиях; в последнем разделе доказаны формулы, определяющие спектр квантовых когомологий грассманиана 4.
4Полученные автором совместно с В. В. Голышевым.
В главе 2 подробно изучается двумерный случай. Как отмечалось ранее, двумерные гладкие многообразия Фано (поверхности дель Пеццо) исследовались ещё в 19 веке. Поверхности дель Пеццо степени б и больше то-рические, а поверхности дель Пеццо степени 5 и меньше малых торических вырождений не имеют — всякая поверхность с терминальными особенностями сама гладкая. Поэтому в этой главе мы рассматриваем более общее вырождение — вырождение гладкой поверхности к торической поверхности с каноническими (дювалевскими) особенностями. Мы опишем все поверхности такого типа (всего их 16, их степень не меньше 3), они являются вырождениями гладких поверхностей дель Пеццо. Далее, по каждой найденной торической поверхности мы построим пучок эллиптических кривых с 4 особыми слоями, заданный определённым многочленом Лорана, многоугольник Ньютона которого — это многоугольник соответствующий торической поверхности. По поверхностям дель Пеццо, сглаживание которых квантово минимально, 0 получаются эллиптические пучки со всюду стабильной редукцией, а по поверхности Рх и поверхности дель Пеццо степени 7 — эллиптические пучки с чуть более сложными особенностями в одном слое (2.2.4).
Наконец, мы покажем, что с точностью до перенормировки (аффинного преобразования образа А1) в случае квантово минимальных поверхностей найденный пучок будет слабой моделью Ландау-Гинзбурга, к исходной поверхности дель Пеццо (2.2.4). В не квантово минимальных случаях верен аналогичный результат — единственным образом определённый многочлен Лорана / с тремя критическими значениями определяет некоторый нара-
5Гладкое многообразие Фано называется квантово минимальным, если подкольцо в Н(Х, Л), порождённое каноническим классом Кх, совпадает с аналогичным подкольцо.м в С}И(Х,А.).
12