Дзета-функции алгебраических поверхностей и якобианы кривых рода 3 над конечными полями

Оглавление
Введение 2
0.1 Многообразия над конечными полями и дзета функции . . 5
0.2 Алгебраические поверхности............................... 6
0.3 Конечные групповые схемы................................. 9
0.4 Предварительные сведения об абелевых многообразиях. . . 10
0.5 Классификация дзета-функций эллиптических кривых и
абелевых поверхностей................................... 12
0.6 Формулировки результатов................................ 15
0.6.1 Расслоения на коники и поверхности дель-Пеццо. . 15
0.6.2 ^-кручение абелевых многообразий и поверхности
Куммера........................................... 16
0.6.3 Биэллиптические поверхности....................... 18
0.6.4 Якобианы кривых рода 3............................ 19
0.7 Благодарности........................................... 20
1 Расслоения на коники 21
1.1 Дзета-функции расслоений на коники...................... 23
1.2 Формы проективной прямой над функциональным полем. 24
1.3 Основная теорема........................................ 26
1.4 Явные конструкции: поверхности Шаттле................... 28
2 Поверхности дель-Пеццо 30
3 Абелевы многообразия над конечными полями 35
3.1 Кольца эндоморфизмов абелевых многообразий.............. 35
3.2 Многоугольники Ньютона и ^-кручение..................... 39
3.3 Квадратичные расширения................................. 42
3.4 ^-кручение абелевых поверхностей........................ 44
4 Поверхности Куммера 50
С-
1
5 Биэллиптические поверхности 55
6 Трехмерные абелевы многообразия и якобианы кривых рода 3 над конечными полями 69
6.1 Конечные подсхемы в абелевых многообразиях............. 69
6.2 Поляризации на абелевых многообразиях.................. 70
6.3 Ядра поляризаций абелевых многообразий над конечными
полями................................................. 74
6.4 Поляризации на трехмерных абелевых многообразиях. . . 77
6.5 Якобианы кривых рода 3................................. 82
2
Введение
Пусть X — гладкое проективное многообразие над конечным полем к = В этом случае у многообразия есть набор важных инвариантов Лгг. Для данного натурального г число ЛГг — это количество точек на X = X хк к, координаты которых лежат в Эти инварианты можно объединить в дзета-функцию многообразия (см. определение 0.1). А. Гротендик доказал, что дзета-функцию многообразия над конечным нолем можно вычислить через характеристические многочлены действия Фробениуса на этальных когомологиях.
В случае, когда X — поверхность, нас будет интересовать структура дзета-функции в терминах геометрии и комбинаторики X. Для некоторых классов поверхностей получена явная классификация. Например, обобщен результат из статьи М. Л. Цфасмана [ТвЭб], где изучался вопрос о количестве А;-точек на расслоениях на коники, а также построены поверхности дель-Пеццо степени 4, дзета-функции которых были классифицированы Ю.И. Маниным [Мап72].
Поскольку любая поверхность получается раздутием минимальной, достаточно вычислить дзета-функции минимальных поверхностей. Для этого нам потребуется классификация минимальных поверхностей над конечным полем. Если размерность Кодаиры неотрицательна, то достаточно классических результатов Энриквеса над алгебраически замкнутым полем, которые были доказаны Бомбьери и Мамфордом в произвольной характеристике [ВМ77]. В остальных случаях можно воспользоваться результатами В. А. Псковских и Ю. И.Манина о классификации рациональных поверхностей и расслоений на коники [1зк79] и [Мапбб].
В диссертации вычислены дзета-функции следующих типов поверхностей: расслоения на коники над гладкими проективными кривыми (теорема 0.19), поверхности дель-Пеццо степени 4 (теорема 0.20), поверхности Куммера в характеристике не равной двум (теорема 0.23) и биэллиптические поверхности в характеристике
3
не равной двум и трем (теорема 0.24). Для работы с поверхностями Куммера используется классификация ^-кручения абелевых поверхностей (теорема 3.19), где V — простое число, отличное от характеристики основного поля. Для получения этой классификации используется теорема 0.22 — один из центральных технических результатов работы.
Теорема 3.19 также используется для ответа на еще один вопрос. Пусть /(ж) = х6+а1Хь-\-а.2Х*+а$х3+да2Х2+д2а\Х— многочлен Вейля, соответствующий классу изогении трехмерных абелевых многообразий над конечным полем. Существует ли гладкая проективная кривая рода 3 над /с, у которой был бы такой характеристический многочлен автоморфизма Фробепиуса? Иначе говоря, есть ли якобиан гладкой проективной кривой в данном классе изогении?
Для абелевых поверхностей аналогичный вопрос был рассмотрен Рюкком [Пи90], который предложил некоторые достаточные условия для случая обыкновенных абелевых поверхностей. После этого многие авторы занимались дзета-функциями якобианов и разработали ряд методов (см. например, [Но\уе95][Но\уе96]|Но\уе01]), которые работают не только для поверхностей. Окончательно вопрос для кривых рода 2 был закрыт статьей [НКИОб], где также можно найти полный обзор истории этого вопроса.
Мы будем рассматривать случай, когда якобиан нашей кривой рода 3 изогенен произведению эллиптической кривой и геометрически простой абелевой поверхности. Сначала мы выясним, когда существует главная поляризация на таком многообразии, используя (Но\\’е96|, а потом применим результат из статьи (011] и докажем, что над квадратичным расширением наше многообразие будет якобианом. Основные результаты здесь — теоремы 0.26 и 6.23.
Диссертация состоит из введения и шести глав. Во введении приведены основные обозначения и определения, базовые утверждения, необходимые в диссертации, а также формулируются основные результаты диссертации. В первой главе доказана теорема классификации дзета-функций расслоений на коники над произвольной гладкой кривой над конечным полем, и приводятся достаточные условия существования расслоений с данной дзета-функцией. Описаны дзета-функции расслоений над проективной прямой. Во второй главе результаты первой главы используются, чтобы построить поверхности
4
дель-Пеццо степени 4 с данной дзета-функцией. Третья глава посвящена классификации ^-кручения абелевых многообразий над конечными нолями с коммутативными алгебрами эндоморфизмов. В качестве приложения получена классификация ^-кручения абелевых поверхностей. В четвертой главе результаты третьей главы используются для полной классификации дзета-функций поверхностей Куммера в характеристике не равной 2. В пятой главе дана классификация дзета-функций биэллиптических поверхностей в характеристике не равной 2 и 3. Наконец, в шестой главе применяются результаты Хоува о поляризациях на абелевых многообразиях над конечными полями. Для абелевых многообразий размерности 3, которые изогенны произведению геометрически неприводимой абелевой поверхности и несуперсингулярной эллиптической кривой доказаны некоторые необходимые и некоторые достаточные условия существования главной неприводимой поляризации. Из них сразу следует достаточное условие существования кривой рода 3 над конечным полем с данной дзета-функцией.
0.1 Многообразия над конечными полями и дзета-функции
Определение 0.1. Пусть X — алгебраическое многообразие над конечным полем к -- обозначим через X = X Хьк — многообразие над алгебраическим замыканием поля к. Пусть Агг — число точек на X, координаты которых лежат в Рг/г. Тогда дзета-функцией многообразия X называется степенной ряд с рациональными коэффициентами
Для работы с дзета-функциями очень полезны этальиыс когомологии многообразия X. По определению (см. [КК]), это
Если многообразие X собственно, то группы Нг(Х, <&) — конечномерные пространства над О1*, тривиальные вне интервала 0 < г < 2сПтХ\ Кроме того, Н1{—.$£г) ~~ контравариантный функтор.
1Г{Х, <&) - (Иш Н*(Хёи Ъ/еЪ)) <8>я, <&.
5