Оглавление
Список обозначений 4
Введение 5
1 Теорема жесткости по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц. 13
1.1 Жесткость Гельдера для совокупности всех квадратных матриц над телом................................................. 13
1.1.1 Нормирование и примеры.......................... 13
1.1.2 (Сі, С2)-нормирования по Гельдеру............... 16
1.1.3 Жесткость по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц.......................................... 22
1.2 Существование (Сі, Сг)—нормирования на объединении колец матриц Я = 1Х0 М2«(£)..................................... 29
1.2.1 (Сі, С2)—нормирования........................... 29
1.2.2 (Сі, С2)-нормирование на кольце Я = Ц^о^2*(^)* • • 30
1.3 Жесткость Гельдера для колец О ре............................ 33
1.3.1 Кольца Оре...................................... 33
1.3.2 Теорема о жесткости по Гельдеру для колец Оре. . . 35
2 Теорема о жесткости по Гельдеру для пространственных матриц 40
2
I
2.1 Жесткость Гельдера для кубических матриц................. 40
2.1.1 Кубические матрицы.................................. 40
2.1.2 Детерминант кубической матрицы...................... 44
2.1.3 Операции над кубическими матрицами.................. 49
2.1.4 Нормирования на кубических матрицах................. 56
2.2 Жесткость Гельдера для пространственных матриц........... 65
2.2.1 Пространственные матрицы............................ 65
2.2.2 Детерминант пространственной матрицы................ 68
2.2.3 Операции над пространственными матрицами............ 74
2.2.4 Нормирования на пространственных матрицах 77
Заключение 80
Литратура 82
з
Список обозначений
К — ноле вещественных чисел
Мт%п{р) — пространство (т х п)—матриц тела О
Мп(й) — кольцо квадратных матриц порядка п над телом И
М(Э) — совокупность всех квадратных матриц над телом О
Мп (Р) — множество кубических матриц порядка п над полем Р
М^\Р) — совокупность всех кубических матриц над полем Р
Мп\Р) — множество р-мерных пространственных матриц п-го поряка
над полем Р
М^\Р) — совокупность всех р-мерных пространственных матриц над полем Р
Лі — единичная матрица
О — число нуль, нулевой вектор или нулевая матрица (размер определяется контекстом)
Л © В — Диагональная сумма двух матриц А, В ЛУ В — детерм и нантная сумма двух матриц Л, В
4
Введение
Нормирования играют важную роль в теории полей, тел и колец. В этой области известны результаты О. Ф. Г. Шиллинга, П. М. Кона, М. Махдави Хезавеии, Ю.Л. Ершова, Н.Е. Дубровина, Е. Гарсиа и многих других. Понятие нормирования тела были впервые рассмотрены в 1945 году О. Ф. Г. Шиллингом ([20]). В [9] и [11]) это понятие расширено П. М. Коном для колец квадратных матриц над телом D. Для определения нормирования над телами частных нам полезно относительно матричное нормирование. Идея матричного нормирования была развита М. Махдави Хезавеии в [14,15, 16].
Пусть R — кольцо. В [17] Гарсиа определил (С\, С2)-иормирование Гель-дера на кольце R и доказал, что (Сь С^-нормирование Гельдера на коммутативном кольце R (Cf, а^-эквивалентно по Гельдеру некоторому классическому нормированию, где Сг,С2 >1иа = (log(2Ci))-1.
Определение. Пусть R — поле действительных чисел, СЪС2 > 1. Под (Ci, С2)-нормированием по Гельдеру на совокупности всех квадратных матриц M{D) над телом D понимается отображение | |:M(D) —у R.U {оо}, удовлетворяющее следующим условиям:
1. если А € Mn(D) и г (А) < п, то | А |= оо;
2. если А, В € Mn(D), 1 < j < n, Bj = — Aj, и Bi = Ai для i ф j, 1 < i < n, то | А |=| В | ;
3. если А, В Е Mn(D) и детерминантная сумма И у В определена, то
\ А V В |> С‘2 min{| А |, | В |};
4. для любых А Е МП(Г?), В Е Mm(D):
СГ1(| А | + | В I) <1 А © В |< Ci(| А I + | В I);
о
5. | I |= 0, где I — единичная матрица.
Замечание. (1,1)-иормирование по Гельдеру является классическим нормированием.
Теорема (Жесткость по Гельдеру для совокупности всех квадратных матриц).
Пусть | |1: М{Г>) —> Ки{оо} — (С^СУ -нормирование по Гельдеру па совокупности всех квадратных матриц М(О), где С\ > 1., Сч > 1. Тогда существует нормирование | Л \ч па М(В), которое (2, а) -эквивалентно по Гельдеру нормированию | |ь где а = [1од2(2С\))~1.
В диссертация рассмотрены свойства нормирований по Гельдеру над кольцами и телами, для колец квадратных матриц порядка п над телом В, для множества кубических матриц порядка п, а также пространственных матриц порядка п над полем Р.
Доказаны структурные теоремы жесткости Гельдера для этих алгебраических систем.
Цель работы. Изучение свойств матричных нормирований и жесткости по Гельдеру для нормирований Гельдера:
1. для совокупности всех квадратных матриц над телом;
2. для совокупности всех кубических матриц над полем;
3. для пространственных матриц над нолем;
4. для колец Оре.
Методы исследований. В диссертации используются методы теории матриц, линейной алгебры, теории колец и теории нормирований колец.
б
- Київ+380960830922