ВЩДВНИЕ
Актуальность теш
В различных областях математики находят приложение алгебраические системы, на которых задано некоторое отношение порядка, согласованное с алгебраической структурой. Теория упорядоченных систем является важным разделом современной алгебры. Крупный вклад в развитие этого раздела внесли Д.Гильберт, Г.Нейман, Г.Биркгоф, А.И.Мальцев, Е.Артин, О.Шрайер, Р.Бэр, Х.Хан, А.Ро-бинсон и др. (см., например, [4], [13], [21], [25] ).
Одним из объектов изучения в теории упорядоченных алгебраических систем является класс упорядоченных групп. Наиболее детально изученными являются линейно и решеточно упорядоченные группы ( [4], [5], [28] ). Отметим, что в значительной степени интерес к линейно упорядоченным группам первоначально стимулировался тесной связью архимедовски линейно упорядоченных групп с аддитивной группой вещественных чисел, установленной теоремой Гельдера [23].
Аналогичным образом, рассмотрение мультипликативной группы комплексных чисел приводит к понятию циклически упорядоченной группы; наиболее известным примером циклически упорядоченной группы является тороидальная группа [18]. Различные свойства циклически упорядоченных групп изучались в ряде работ, в том числе в [2], [26], [29], [30], [33]. Была исследована связь между линейно и циклически упорядоченными группами. В частности установлено, что каждую линейно упорядоченную группу можно циклически упорядочить, а каждая циклически упорядоченная группа может быть получена специальным образом из некоторой линейно упорядоченной [29]. Исследовались также топологические свойс-
- 3 -
тва циклически упорядоченных груш [33].
Введение понятия П - мерного порядка позволяет рассматривать линейно и циклически упорядоченные группы с единой точки зрения. Распространению понятия упорядоченности на /г - мерный случай посвящены работы [8 - II], [15], [16],[27]. В [9], [14] с помощью аппарата 2-ыерного порядка проводится изучение 2-упо-рядоченных полей.
В настоящей работе предложена аксиоматика У1 -мерно упорядоченных и П- мерно циклически упорядоченных групп, исследованы простейшие их свойства, приведены примеры. Подход к циклически упорядоченным группам как к двумерно упорядоченным системам, позволяет глубже изучить их внутреннюю структуру, в частности, ввести понятие верхнего конуса циклического порядка.
В различных разделах алгебры часто используются теоремы вложения [3], [28]. Нами получены теоремы вложения для групп с линейно упорядоченным нормальным делителем, в частности, найдено усиление теоремы Сверчковского [30] для циклически упорядоченных групп. Найден также теоретико-групповом критерий циклической упорядочиваемости груш.
Цель работы
1. Построить элементы теории П. -мерно циклически упорядоченных и П -мерно упорядоченных групп. Исследовать класс локально конечных груш, допускающее П> - упорядочивание.
2. Используя аппарат п- мерного порядка, изучить внутреннюю структуру циклически упорядоченных групп. В частности, ввести понятие верхнего конуса циклического порядка, рассмотреть вопросы факторизации циклически упорядоченных груш, способы продолжения циклического порядка в грушах.
_ 4 -
3. Исследовать вопросы о вложении для некоторых классов груш с линейно упорядоченным нормальным делителем.
4. Получить критерий циклической упорядочиваемости группы.
Краткое содержание работы
Работа состоит из введения и трех глав.
В главе I рассматривается обобщение понятия циклически упорядоченного множества и циклически упорядоченной группы. Прежде всего, вводятся основные определения и обозначения.
Пусть УЬ 6Д/ X - произвольное непустое множество и )■: хпн—н,ол} - антисимметричная функция. Множество УСХ назовем невырожденным в ОС, )•/> , если существуют ,
У*. ... € V такие, что £ (у±;у.ц,.. ■У’Л.У'П^О.
Определение. Множество £с.Х> 9. &п,\ называется гранью в <Х, если существует элемент О, еХ , для которого \(9, а) — &п.,сС)ФО . Грань £ называется (строго)
внешней гранью в , если
Все элементы внешней грани называются внешними точками в <(Х, )•)> [Ю] .
Замечание. Через Х/с , 9-л , £* и т.д. будем обозначать линейно упорядоченное множество ИЗ К элементов:
Определение. Пару <Х, назовем УЬ - упорядоченным множеством, если функция ^ удовлетворяет следующим условиям:
С1. Если на Хп+г^Х О , то в <Х«+г,^> существует, по крайней мере, две внешних грани.
02. Если Хп сХ , а, £, с еХ и ^ (Х|г-1, О- > £)■= (Хп-в. , 9, с)-1 , то ^ (Хм-*, а.,с)= ± (аксиома транзитивности).
СЗ. Пусть £сХ> ^1^2п±Х, 9п - грани в<£,^>,
- 5 -
причем Ур» х (3^,х)=о) . Тогда существует 3-^1 та-
^ II \
кое, что ос. (£ (5п.,Х)-&{($п,ХУ) (аксиома плоскости).
Проиллюстрируем геометрический смысл аксиом С1-СЗ при п.-.2 , %!Я , , где - естественная ориентация на множестве
точек плоскости, причем £ (Х,^,£)=0 в точности тогда, когда точки ЭС , ^ , о6 лежат на одной прямой.
Пусть Хп.*-а~{Ха,...Х^}) на Хп+2, . Это означает,
ЧТО существует, ПО крайней мере, три ТОЧКИ ИЗ Ха2-+2» » не ле-
жащие на одной прямой. Грань будем отождествлять с отрезком прямой, соединяющей две точки аз Хл+л , причем хотя бы одна из оставшихся точек из Хк+2. не лежит на этой прямой.
Аксиома 01 утверждает, что если во множестве (Хп+я,^ провести все грани, то существует, по крайней мере, две из них, для каждой из которых оставшиеся две точки лежат по одну сторону от нее.
Геометрический смысл аксиомы С2 заключается в следующем: если точки а, в, с лежат по одну сторону от грани (Хл , Ха. ), а точки а и с лежат по разные стороны от грани (Ха , & ), то точки в и с лежат по одну сторону от грани (Х± ,X ).
Другими словами, на множестве {о., £, С} отношение х<у ■*—*■
\ (Хл,Х, у.) =• 1 является отношением порядка.
Рассмотрим теперь аксиому СЗ.
Пусть точки Ха , Ха., у а , лежат на одной прямой,
причем ЭСа*Хл , . Пусть далее, ,
{ Хь, ^ /5/^ £ и в 5 существует хотя бы одна
точка, не лежащая на указанной ранее прямой. Тогда, для всех Хе X £ (Хл>Хя, Х)-{ X) , или для всех X е £
Ь (Хл>Хе.,х')- — £ X) в зависимости от расположения
Ха , Ха,, Ца, Цъ на прямой.
- 6 -
В работе показана эквивалентность аксиом BI-B5, В6" [16]
YI - упорядоченного множества с указанной аксиоматикой.
Определение. П. - упорядоченное множество <Х, ^>,/2.^-2. назовем tb - циклически упорядоченным, если X - невыровденное и функция ^ удовлетворяет условию
CI*. Если на Хп+асХ принимает хотя бы одно значение, не равное нулю, то каждый элемент, принадлежащий X n+z > является внешней точкой в (аксиома внешних граней).
Предложение. YL - мерный циклический порядок при П -2 совпадает с обычным циклическим порядком [30] .
Определение. Система называется YI - упорядочен-
ной ( П - циклически упорядоченной) группой, если <(С, ^ - YI-
- упорядоченное ( ÏI - циклически упорядоченное)множество, <£,'^-
- группа и функция порядка ^ согласована с алгебраической
структурой £ :
Vp \(Q-Xn+iè))
Приводятся примеры il - упорядоченных и VI - циклически упорядоченных групп.
В частности, каждой линейно упорядоченной группе <(£,*,-О можно сопоставить при четном YI П- циклически упорядоченную группу < •, , если положить
J- (#60, CLld>... .CLttO- i [(CLlc <CLU< ~.<CLtn) V (CLCi<CLiz< . ..
<:сссн<асо)ч. -. vCCLu<ai0*:.<a.fo-i)l
Пусть Ж - мультипликативная группа кватернионов с единичной нормой, Jli={0Cr}> Xr-CLfi -f trj+Criï + dr . Положим
Cti~CL о êi~êo Cj—Co Uj-do CLi-CLo £z~êo Cz^Co dz-do CL$ -cLo $ъ~8о ^3-Co dz^clo
CLcf -Cio 4<t—io Cv-Co d</-olo
- Київ+380960830922