Компоненты схемы модулей полустабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике

Оглавление
1. Введение. 3
2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q. 7
3. Модельный пример: однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью. 14
4. Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы Mq(2;0, 2,0). 20
5. Компонента Mo- 34
6. Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент. 52
6.1. Эллиптическая квартика *С4................................52
6.2. Нормкубика и прямая °С3 U £...............................57
6.3. Коника и прямые...........................................60
6.4. Кривые с двойной структурой...............................63
2
1. Введение.
Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга ^ 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Рп, п ^ 3, (см., в частности, работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]).
Первые работы по описанию расслоений на других многообраг зиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга ^ 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на К 3-поверхностях — ги-перплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.
Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце
3
90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3.
Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [1, 8]
Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике, <3, являющейся многообразием Фано индекса 3,— это работа Дж. Оттавиани и М. Шурека, в которой дается точное описание многообразия М<з(2; 0,2) модулей стабильных векторных расслоений с с\ = 0 и = 2 на гладкой трехмерной квадрике (}. В этой работе доказывается, что многообразие Мо(2;0,2) изоморфно открытому подмножеству Р9, дополнение к которому есть нормальная гиперквартика V4 С Р9, однозначно определяемая квадрикой 0 и конструкцией плюккерова вложения грассманиана 0(1, Р4) в Р9. В этой работе рассматриваются также многообразия М<}(2;—1,2), М<}(2;—1,3) и М<з(2;0,4), относительно которых выяснено следующее:
М<э(2; —1,2) — локально тривиальное расслоение над (£4 \ фз со слоем Р2\С?ь
М<э(2;—1,3) — неприводимое унирациональное приведенное двенадцатимерное многообразие,
М<}(2; 0,4) — неприводимое унирациональное приведенное двадцатиодномерное многообразие.
Стабильные расслоения на квадрике 0 представляют собой от-
£
крытое подмножество неприводимой компоненты М(} (2; 0,2) схемы модулей Гизекера - Маруямы Мд(2;0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с\ = С3 = 0, = 2.
4
Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению других компонент в М(}(2;0,2,0), общие точки которых, в силу неприводимости М<)(2; 0,2) являются стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями.
Введем несколько обозначений, которыми, для краткости, будем пользоваться ниже.
• М(}(2;0,2) — многообразие модулей стабильных векторных расслоений Е на с гкЕ = 2 и классами Черна сДЕ) = 0 и С2(Е) = 2.
£
• Мо(2;0,2) — замыкание многообразия модулей расслоений Мц(2;0,2) в схеме М<Д2; 0,2,0).
• Через Мо(2; 0,2,0) обозначим множество классов изоморфизма пучков ранга два без кручения на трехмерной квадрике 0 с классами Черна сі = 0, С2 = 2 и сз = 0.
• Пусть х Є V произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем к. Обозначим (х) подпространство кт Є
Р(У).
Известно, что М<э(2; 0,2,0) не пусто и содержит неприводимую
(2
компоненту М<з(2; 0,2) , содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие Мо(2;0,2) модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым первым классом Черна и, минимально возможным, согласно условию Шварценбергера (см. [24, с. 194]), вторым классом Черна, равным 2.
В работе дается геометрический метод описания компонент схемы М<}(2; 0,2,0). Для этого выясняется, что схема М(Д2; 0,2,0) не содержит чисто полу стабильных пучков, и любой пучок из
Мд(2;0,2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками.
В работе также доказывается, что Мд(2;0,2,0) содержит еще, по крайней мере, одну неприводимую 13-мерные компоненту, пе-ресекающую компоненту М<}(2;0,2) по дивизориальной компоненте границы £М<}(2; 0,2) := Мо(2; 0,2)° \ Мд(2; 0,2).
В работе рассмотрены все квартики без кратных компонент, а также кривые содержащие в качестве компоненты «сдвоенную», прямую.
Основной результат работы заключается в следующих двух теоремах:
Теорема 1. Пусть Е — полу стабильный пучок ранга два без кручения на трехмерной квадрике О С Р4, с классами Черна сі(Е) = О, С2(Е) = 2, и сз(Е) = 0. Тогда пучок Е стабилен, и у пучка Е(1) есть сечения, причем нулями сечения является кривая С С 0 степени четыре.
Теорема 2. В М<з(2; 0,2,0) существует неприводимая компонен-_ £
та М(5(2;0,2)0, которая есть замыкание неприводимого тринадцатимерного многообразия Мо- Все точки Мо — стабильные пучки, схема Мд(2; 0,2,0) неособа вдоль М0, и Мо пересекает М<э(2;0,2) по неприводимому восьмимерному многообразию, ле-жащему в Мд(2;0,2) , точное описание котрого дается формулой (5.23).
6