Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр

Введение
Данная работа посвящена изучению простых разложений некоторых типов неассоциативных алгебр и супералгебр Ли в сумму простых подалгебр. Под простым разложением мы понимаем разложение простой алгебры в сумму двух собственных простых подалгебр, причем сумма в разложении не обязательно прямая.
Задача о классификации простых разложений впервые изучалась Онищиком для случая комплексных и вещественных групп Ли. В его работе [7] была получена полная классификация всевозможных факторизаций редуктивных групп Ли. Рассматривая касательные пространства к простым группам Ли, из этой классификации можно получить классификацию разложений простых алгебр Ли над полем комплексных и вещественных чисел в сумму двух собственных редуктивных подалгебр.
В работе [16] Бахтуриным и Кегелем было показано, что не существует разложений простой ассоциативной алгебры в сумму простых подалгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем.
В настоящей работе рассматривается вопрос о нахождении простых разложений в простой супералгебре Ли з/(т, тг) и простых специальных йордановых алгебрах #(Я„), Н(С2п) над алгебраически замкнутым полем F, которое имеет нулевую характеристику, в первом случае, и произвольную характеристику отличную от двух, во втором случае.
Первая глава является кратким изложением необходимых определений и фактов, в частности, классификации простых
супералгебр Ли и йордановых алгебр.
Во второй главе изучаются разложения простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль в сумму двух собственных простых подалгебр. Напомним, что супералгеброй Ли £ называется ^-градуированная алгебра, то есть £ = £о © удовлетворяющая следующим тождествам:
1. Тождество суперкоммутативности
2. Обобщенное тождество Якоби
[[*, 3/], г] = [х, [у, г]] - (—1)“^[у, [ж, г]].
где х € Са, у € Ср и г € £•
В частности, произвольную алгебру Ли можно рассматривать как супералгебру Ли с тривиальной градуировкой.
В настоящей работе при расмотрении супералгебр термин "подалгебра"означает ^-градуированная подалгебра.
Основное внимание в главе 2 мы уделяем разложениям супералгебры Ли 5/(тп,п) в сумму собственных простых подалгебр Ли классического типа.
Основным результатом этой главы является описание простых разложений супералгебр Ли «7(т, п) в сумму двух собственных классических простых подалгебр с точностью до типа разложения. Подтипом разложения имеется в виду следующее. Если £ = С\+С2 где С\у £2 ~ простые подалгебры, то тип разложения есть пара (£^£2) с точностью до изоморфизма подалгебр £2- Изучение всевозможных вложений подалгебр (£1, £2) данного типа в £ не являлось целью даной диссертации.
Основным методом исследования простых разложений супералгсбры Ли типа $/(га,п) является изучение структуры £о-модуля С\ для подалгебры £, учавствующей в разложении. Для этоIX) используется аппарат теории представлении полупростых алгебр Ли, в особенности, теория старшего веса.
Хорошо известно, что если в матричной алгебре МаЬ(п) вместо операции матричного умножения ХУ рассмотреть операцию коммутирования [Х,У] = ХУ — УХ, то мы получим алгебру Ли. С другой стороны, если вместо операции коммутирования рассмотреть следующую операцию X © У = ХУ + УХ, то мы получим йорданову алгебру.
Далее, возникает естественный вопрос о классификации простых разложении в простых йордановых алгебрах.
Глава 3 посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной йордановой алгебре 3 одного из двух типов Н(Я.п) и Я(фп) (см. определение в главе 1).
В алгебре Н(71п) существует только три типа неизоморфных простых разложений: Н(Ип) = А + В, где А — Я(Я„) и В изоморфна одной из следующих алгебр: Я(ЯП_х), Я(ЯП) или Н(Кп-1). Построение этих примеров основывается на следующей идее: подалгебру А мы рассматриваем в каноническом виде, то есть в виде множества симметрических матриц соответствующего порядка, а В есть образ канонической реализации для алгебр Я(ЯП_ 1), Я(ЯП) или Н(Т1п-\) под действием автоморфизма алгебры Н(П„) вида <р(Х) = + где О
— невырожденная матрица с коэффициентами из поля Я, 71 имеет вид Я 0 уЯ.
Наконец, алгебра H(Qn) допускает разложения только в сумму подалгебр А и В, обе из которых имеют тип H(fR,n).
Все упомянутые результаты работы являются новыми.
Автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору Ю.А.Бахтурину за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и комментарии.
Список научных работ автора
1. Bahturin Yu., Tvalavadze М., Tvalavadze Т. Sums of Simple and Nilpotent Lie SubalgebrasComm, in Algebra, vol. 30, 2002, 9, pp. 4455-4471
2. Твалавадзе M.B, Твалавадзе T.B. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002
3. Твалавадзе Т.В. Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр, депонир. в ВИНИТИ, 1174-В2004
5
Глава 1
Основные определения и факты
Прежде всего, напомним определение супералгебры Ли. Векторное пространство с ^-фадуировкой С = £о Ф А наД полем F называется супералгеброй Ли, если для любых х £ Са, у £ Ср и г £ С справедливы следующие тождества:
[х,у] = -(-1 )а6[у,х\
И*,»].*] = ММ] - (—1)в/*[у, [а:, г]].
Заметим, что четная компонента С, то есть Со, является алгеброй Ли над полем Г. Ввиду того, что [Со,С\] С С\, можно рассматривать С\ как Со - модуль.
Простой супералгеброй Ли называется супералгсбра Ли которая не имеет собственных ненулевых градуированных идеалов.
Классификация простых конечномерных супералгебр Ли над апгебраически замкнутым полем нулевой характеристики была получена В.Г. Кацем [6]. Согласно этой классификации, выделяют
+
два главных семейства алгебр: классические супералгебры
Ли и супералгебры Ли картановского типа. Классическими супералгебрами Ли называют супералгебры Ли, у которых £о -редуктивна и представление четной части Cq на нечетной части Су вполне приводимо. Супералгебрами картановского типа называют супералгебры Ли, которые не обладают данным свойством.
В свою очередь, классические супералгебры Ли бывают двух типов: супералгебры основного типа и супералгебры особого типа.
Супералгебры Ли основного типа подразделяются на два бесконечных семейства, обозначаемых sl(m,n) и osp(m,п), и исключительные супералгебры Ли F(4), G(3) и D(2,1, а), где а — произвольный параметр, принадлежащий основному полю.
Далее, супералгебры Ли особого типа подразделяются на два бесконечных семейства, обозначаемые Р(п) и Q(n).
Далее, мы подробно рассмотрим матричные реализации простых супералгебр Ли, которые мы будем в дальнейшем широко использовать. Рассмотрим ^-градуированное векторное пространство V = Vo ф Vi где размерность Vo равна га, а размерность Vi равна п. Зададим на ассоциативной алгебре End V ^-градуировку следующим образом:
EndF = EndoV -f EndiV,
где EndjV = {<p E EndV\<p(Vj) С Vi+j} • Тогда супералгебра <;/(m,n) определяется как EndV = EndoV + EndjV со следующей операцией умножения:
[X,Y] = XY-(-l)ijYX, где X £ EndiV, аУ€ End,V.
7