Мономиальные идеалы

Введение
Современные методы теории базисов Гребнера позволяют сводить многие вопросы об идеалах в кольце многочленов в изучению мономиальных идеалов, которые имеют гораздо более простую структуру. В связи с этим особую важность приобретает исследование свойств мономиальных идеалов, в частности, их численных характеристик - функций Гильберта и градуированных чисел Бетти.
В 1927 Маколей [27] описал функции Гильберта всех однородных идеалов в кольце коммутативных многочленов А = к[х\,... ,хп] над полем к. Он рассмотрел так называемые лекссегментные идеалы, т.е., мономиальные идеалы, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами соответствующей степени, и показан, что для всякого однородного идеала существует лекссегментный идеал с такой же функцией Гильберта.
Результат Маколея оказался полезен не только с алгебраической, но и с комбинаторной точки зрения: лекссегментные идеалы имеют достаточно простое строение, что позволяет явно выписать численные ограничения, которым должна удовлетворять функция Гильберта однородного идеана. Дальнейшее развитие, особенно в теории графов, комбинаторная интерпретация результатов Маколея получила в работах Клементса, Линдстрема, Лека (см. также работу Стенли [29]).
Оказалось, что лекссегментные идеалы обладают также интересными экстремальными свойствами. Например, теорему Маколея можно переформулировать следующим образом: если У - векторное пространство с базисом из однородных многочленов степени (I и Ь - векторное пространство с базисом из старших по лексикографическому порядку мономов степени (I (лекссегмент-ное пространство) такой же размерности, то размерность пространства хУ (хУ порождено многочленами вида я</, где / 6 У) не меньше размерности пространствах!/, т.е.. сНгпхК > сИтхЬ. Г. Гоцман [18] исследовал пространства, для которых в предыдущем неравенстве достигается равенство (теперь такие пространства называются гоцмановыми). Он, в частности, показал, что
если V - гоцманово пространство, то xV - тоже гоцманово (теорема Гоцмана об устойчивости).
Другое следствие теоремы Маколея состоит в следующем: лекссегментный идеал имеет наибольшее число минимальных порождающих в каждой степени среди всех однородных идеалов с фиксированной функцией Гильберта. Иными словами, лекссегментный идеал имеет максимальные числа Бетти для всех г. Обобщение этого результата было получено в работах [10] и [23] (случай char А: = 0), а также [28] (случай char А: > 0), где было показано, что лекссегментный идеал обладает максимальными градуированными числами Бетти среди всех однородных идеалов в кольце многочленов, имеющих такую же функцию Гильберта.
Параллельно с изучением свойств экстремальности лекссегментных идеалов, возник вопрос о возможности описания функций Гильберта однородных идеалов в фактор-кольцах кольца многочленов по мономильным идеалам с помощью различных модификаций понятия лекссегментного идеала. Одними из первых результатов в этой области были работы Крушкаля [26] и Катоны [25], которые описали с помощью лекссегментных1 идеалов функции Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре2 Е = к{е^... ,ея). Эти результаты имели важные геометрические приложения, так как позволяли описывать /-векторы (т.е., количество граней каждой размерности) симпли-циальных комплексов.
Обобщение результатов Маколея на более широкий класс идеалов было получено в работе [ц]. где были описаны функции Гильберта идеалов в фактор-алгебрах вида А/(х^л... где d\ < • • • < dn < оо. Этот ре-
зультат обобщал как теорему Маколея (di = • • • = dli = оо), так и теорему Крушкаля-Катоны (d\ = • • • = dn = 2).
Результаты работ [10], [23], [26] и [25], наряду с развитием техник для изучения чисел Бетти ([14], [4], [1]), привели к появлению большого количества новых результатов в этой области.
Так, М. Грин [19] изучал свойства экстремальности лекссегментных пространств при факторизации по общим линейным формам. Впоследствии его
'Т.е., таких мономиальных идеалов во внешней алгебре, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами во внешней алгебре соответствующей степени.
Рассмотрение функций Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре равносильно рассмотрению функций Гильберта однородных идеалов в фактор-алгебре А/(х\у... ,х^)
результаты были обобщены на случай общих однородных форм в работах [22] и [17].
Целый цикл работ был посвящен обобщению неравенств для чисел Бетти, а также результатов Гоцмана, на случай внешней алгебры. В частности, в работе [3] доказано неравенство, аналогичное полученному в работах [10] и [23] для чисел Бетти над внешней алгеброй, а в работах [5] и [7] - для бесквадратных идеалов в кольце многочленов. Обобщение теоремы Гоцмана
06 устойчивости на случай внешней алгебры получено в работе [3].
Связь между результатами Гоцмана и Грина исследовалась в работе [15], где было показано, что всякое гоцманово пространство, является экстремальным в смысле теоремы Грина.
Наконец, частичное обобщение результатов Грина и Гоцмана на случай идеалов в фактор-кольце вида Л/(х‘(1,..., было получено в работе [16].
Целью данной работы является изучение численных характеристик (функция Гильберта, градуированные числа Бетти) мономиальных идеалов в кольце коммутативных многочленов и во внешней алгебре над полем.
Глава 1 носит вводный характер. В ней собраны сведения, необходимые для изложения материала остальных глав.
Глава 2 посвящена исследованию таких фактор-колец кольца многочленов, для которых возможно описать функции Гильберта однородных идеалов с помощью метода, предложенного Маколеем. В параграфе 1 предложен следующий подход к этой задаче: пусть Л[1:п) - кольцо многочленов от п переменных над полем к, Л[1:п]^ - его однородная компонента степени 7.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Мономиальный идеал / С Л[1:п] называется лекссег-ментным, если его однородная компонента любой степени порождается как векторное пространство старшими мономами по лексикографическому порядку.
Пусть зафиксирован некоторый мономиальный идеал I С Л[1:п]. Идеал
7 С Л[1:п] называется I-лекссегмептпым, если 7 = 7 + 1/, где Ь - некоторый лекссегментный идеал. Идеал I называется М-идеалом, если для всякого однородного идеала 7, содержащего /, существует /-лекссегментный идеал //(7) с такой же функцией Гильберта.
Классическая теорема Маколея [27] утверждает, что нулевой идеал является М-идеалом. Поэтому если I является М-идеалом, то будем говорить, что в Л[1:п]/7 выполняется теорема Маколея.
Далее в главе 2 изучаются свойства М-идеалов.
Пусть A4(V) - множество мономов, содержащихся в векторном пространстве V. Пусть / - некоторый мономиальный идеал в A[l:n], R = А[1:п]/1, и М С M(Rd). Через DRM обозначим подмножество в M(Rd), состоящее из старших по лексикографическому порядку мономов и удовлетворяющее условию \М\ = \DRM\. Аналогично, через CRM обозначим подмножество в M.(Rd)> состоящее из младших по лексикографическому порядку мономов и удовлетворяющее условию \М\ = \CRM\. Если DRM = М, то множество М называется DR-сжатым, а если CRM = М, то множество М называется CR-сжатым. Кроме того, положим
ДЛ(А/) = {mxi € M{Rd+1) : т Є А/},
ГR(M) = {га Є M.{Rd~\) : mxi € М для некоторого г}.
Основными результатами первых трех параграфов главы 2 являются следующие две теоремы:
ТЕОРЕМА 2. Пусть I с Л[1:п] - некоторый мономиальный идеал. Следующие условия равносильны:
(1) Идеал I является М-идеалом.
(2) Пусть R = А[\\п)/1. Для всякого d > 1, всякого М С M(Rd) выполнено
\AR(DRM)\ <\AR(M)\.
(3) Пусть R = А[\\п]/1. Для всякого d > 2, всякого М С M(Rd) выполнено
TR(CRM) С CR(TR(M)).
ТЕОРЕМА 3. Пусть I с Л[1:п] - М-идеал, R = А[1:п]/1, и пусть множество М С M(Rd+\) СR-сжато. Тогда множество TR(M) тоже CR-сжато.
Теорема 2 предоставляет удобные средства для доказательства теоремы Маколея, позволяющее рассматривать только мономиальные множества, в то время как теорема 3 дает весьма полезное необходимое условие для выполнения теоремы Маколея.
Теорему Маколея можно рассматривать не только для фактор-колец кольца многочленов, но и для фактор-алгебр внешней алгебры Е[\:п] над полем к.
В параграфе 4 главы 2 показывается как можно перейти от случая внешней алгебры к кольцу многочленов.
В параграфах 5 и 6 главы 2 доказываются следующие две теоремы об устойчивости М-идеалов к расширению кольца новыми переменными:
ТЕОРЕМА 4. Пусть /' с А[1:(п — 1)] - М-идеал. Тогда 1'А[1:п] С Л[1:п]
- тоже М-идеал.
ТЕОРЕМА 5. Пусть Г С Е[1:(п — 1)] - М-идеал. Тогда ГЕ[1:п] С Е[1:п]
- тоже М-идеал.
Эти теоремы не только позволяют напрямую получить новые примеры М-идеалов, но и является полезным инструментом для индуктивного доказательства теоремы Маколея, в частности, для кусочно лекссегментных идеалов (см. ниже). Кроме того, простыми следствиями этих теорем являются как теорема Маколея [27], так и теорема Крушкаля-Катоны [26], [25] о числе граней сим инициального комплекса.
В параграфе 7 главы 2 приводятся некоторые примеры М-идеалов, в частности, описываются все М-идеалы в классе лексических и вполне лексиче-• ских идеалов.
В параграфе 8 главы 2 дается полное описание М-идеалов в кольце многочленов от двух переменных.
Глава 3 посвящена изучению так называемых кусочно лекссегментных идеалов, одно из эквивалентных определений звучит следующим образом:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Идеал I С А[1:п\ называется кусочно лекссегментным, если его можно представить в виде / = Ь\А\1\п] 4- • • • 4- ЬпА[1:п\> где Ь* С Л[1:г] - некоторые лекссегментные идеалы.
Интерес к кусочно лекссегментным идеалам вызван тем, что они являются сильно устойчивыми, т.е., возникают как идеалы старших членов при общей линейной замене переменных:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Мономиальный идеал I С А[1:п] называется сильно устойчивым, если для всякого монома и 6 /, и всяких г, удовлетворяющих условиям {< j и X) делит и, выполнено ихг/х3 € /.
В параграфе 2 главы 3 доказывается следующий результат:
Н
т
ТЕОРЕМА 8. Пусть I С А[1:п\ - сильно устойчивый идеал, R = А[1:п]/1. Следующие условия равносильны:
(1) Идеал I является кусочно лекссегментным;
(2) Идеал I является М-идеалом.
Оказывается, что /-лекссегментные идеалы для кусочно-лекссегментного идеала / обладают экстремальными свойствами, сходными со свойствами лекссегментных идеалов. Так, в параграфе 3 главы 3 доказывается следующая
Теорема 9. Пусть charfc = 0. Пусть также J С А[\:п] - кусочно лекс-сегментный идеал, J С Л[1:п] - однородный идеал., содержащих). I, и LI( J) -соответствующий I-лскссегмсптппый идеал, тогда для всех г и j выполнено неравенство
/5f :п](Л < :nl(bV)),
где (J) есть числа Бетти идеала J как А[\:п]-модуля.
В параграфах 4-6 главы 3 на случай кусочно лекссегментных идеалов обобщаются результаты Гоцмана (теорема об устойчивости. (18)), Грина, Га-шарова, Херцога и Попеску (теоремы о факторизации по общим однородным формам, [19], (22), [17]). Кроме того, изучаются числа Бетти экстремальных в смысле теоремы Маколея идеалов, а также исследуется связь между векторными пространствами, экстремальными в смысле теоремы Маколея и в смысле теоремы Грина.
Глава 4 посвящена изучению кусочно лекссегментных идеалов во внешней алгебре. Показывается, что для них справедливы аналоги теорем 8 и 9, а также других описанных выше свойств. Кроме того, доказано следующее неравенство для чисел Бетти бесквадратных идеалов:
ТЕОРЕМА 10. Пусть chai* к — 0. Пусть I С Е[1:п] - кусочно лекссег-ментпый идеал, a J С Е[1:п] - произвольный однородный идеал, содержащий I. Тогда для всех г и j выполнено неравенство:
/3f:n|(S(J)) < a*m(s(l'(J))),
где S(./) и S(L7(J)) - бесквадратпые идеалы в кольце А[1:п], соответствующие идеалам J и L!{J).
В главе 5 изучаются свойства так называемых /-устойчивых идеалов:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Пусть I - некоторый мономиальный идеал. Мономиальный идеал 3 С Л[1:п] называется /-устойчивым, если
(1) минимальное мономиальное порождающее множество идеала 3 не пересекается с /;
(2) для всех минимальных порождающих и идеала 3 и для всех j <
шах{/ : XI делит г/} существует такое г > ji что т,- делит и и
их^Х{ € с/ 4- /•
/-устойчивые идеалы являются естественным обобщением устойчивых идеалов в кольце многочленов, впервые рассмотренных Эльяу и Кернером [14].
В параграфах 2-6 главы 5 рассматривается случай идеала /, порожденного степенями переменных: I = (ж*1,..., х%1).
В параграфе 2 приводится явная конструкция минимальной свободной резольвенты для /-устойчивых идеалов, в частности, даются явные формулы для градуированных чисел Бетти таких идеалов.
В параграфе 3 главы 5 изучается структура пространств
Тог^1:п^(Л[1:п)Д/, к) для /-устойчивого идеала 3. Кроме того, на комплексе Козюля таких идеалов строится тривиальная операция Масси, что позволяет доказать следующую теорему:
ТЕОРЕМА 12. Если 3 - 1-устойчивый идеал, порожденный в степенях > 2, то фактор-кольцо Я = А[1:п\/3 является кольцом Голода.
В параграфе 4 главы 5 изучаются условия, при которых фактор-кольцо по /-устойчивому идеалу является горенштейновым или коэн-маколеевым. В частности, показывается, что фактор-кольцо по /-устойчивому идеалу является горенштей новым тогда и только тогда, когда этот идеал главный. Кроме того, дается необходимое и достаточно условие для коэн-маколеевости в случае, когда /-устойчивый идеал порожден мономами одной степени.
Наконец, в параграфах 5 и 6 изучаются сильно /-устойчивые и слабо I-устойчивые идеалы, являющиеся аналогами сильно и слабо устойчивых идеалов (см. [4]) в кольце многочленов. В частности, для случая, когда 3 - сильно /-устойчивый идеал, приводится явная формула для чисел Бетти идеала / 4- <7. Для слабо /-устойчивого идеала 3 показывается, как вычислить его числа Бетти через числа Бетти минимального /-устойчивого идеала, содержащего 3. Кроме того, для случая, когда идеал 3 порожден мономами одной
я
степени, показывается, что его минимальная свободная резольвента является подкомплексом в свободной резольвенте минимального I-устойчивого идеала, содержащего J.
Результаты, содержащиеся в диссертации опубликованы в работах [31], [32], [33] и [34].
Автор выражает свою глубокую признательность профессору Е. С. Голоду за постановку задач и плодотворные обсуждения полученных результатов.
*
9