Оглавление
Введение............................................................ 4
Глава 1. Нелинейные колебания гамильтоновой системы при резонансе 3:1 11
1.1. Постановка задачи............................................. 11
1.2. Исследование укороченной системы.............................. 15
1.3. О движениях полной системы ................................... 34
Глава 2. О движениях спутника вблизи его регулярной прецессии 40
2.1. Постановка задачи.......................................... 40
2.2. Нелинейные колебания спутника вблизи его цилиндрической прецессии ............................................................ 41
Глава 3. Методика исследования устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины на круговой орбите . . 45
3.1. Постановка задачи............................................. 45
3.2. Системы координат. Уравнения движения......................... 47
3.3. Гамильтониан возмущенного движения............................ 52
3.4. Анализ линейной системы ...................................... 55
3.5. Приведение гамильтониана к нормальной форме................... 58
3.6. Нелинейный анализ устойчивости................................ бб
Глава 4. Анализ орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника-пластины.................................................. 68
4.1. Анализ орбитальной устойчивости в линейном приближении ... 68
4.2. Линейная нормализация. Резонансные кривые..................... 73
4.3. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости ................... 78
2
Глава 5. Анализ орбитальной устойчивости плоских вращений спутника-пластины.............................................. 85
5.1. Анализ орбитальной устойчивости в линейном приближении ... 85
5.2. Линейная нормализация. Резонансные кривые................. 88
5.3. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости ............... 94
Заключение ......................................................103
Литература ........................................................105
Приложение А. Введение переменных действие-угол для случая колебаний .....................................................113
Приложение Б. Введение переменных действие-угол для случая вращений.......................................................118
Приложение В. Вычисление производных формы К4 в случае колебаний .......................................................122
Приложение Г. Вычисление производных формы К\ в случае вращений .........................................................126
Приложение Д. Описание процесса численного интегрирования и блок-схемы алгоритмов расчета .................................130
3
Введение
С момента запуска первого искусственного спутника Земли в середине прошлого века освоение космоса шло бурными темпами. К настоящему моменту спутники широко используются для научных исследований и прикладных задач. Но перед запуском каждого спутника возникает вопрос о его возможном поведении на орбите, для ответа на который применяются различные методы и алгоритмы, предназначенные для моделирования движения. За все время исследований разработано большое количество новых методов, предназначенных для приближенного и высокоточного моделирования. Такое многообразие обусловлено тем, что в зависимости от своего назначения, спутники могут различаться размерами, свойствами материалов, из которых они изготовлены, ограничениями и допущениями, которые были приняты при постановке задачи.
Важнейшая проблема, которую приходится решать при полете большинства искусственных спутников - обеспечение их ориентации и стабилизации на орбите. В зависимости от того, каким является управляющее воздействие, различают активные, пассивные и комбинированные системы ориентации [40]. Пассивные системы ориентации используют взаимодействие с внешними полями естественного происхождения и не потребляют энергию, запасенную на борту спутника. Возможно, только в начальный момент времени потребуется ее кратковременный расход для приведения системы ориентации в рабочее положение. Более подробно вопросы пассивной стабилизации, а также их виды, рассмотрены в работах [11, 42]. Особенностью пассивных систем на этапе разработки появляется необходимость особо тщательного математического моделирования.
Часто при рассмотрении движения спутника относительно центра масс в качестве модели выбирают твердое тело и исследуют движения в центральном ньютоновском гравитационном поле па круговой орбите. Линейные размеры спутника предполагаются малыми по сравнению с размерами орбиты центра
масс, что позволяет рассматривать задачу в ограниченной постановке, т.е считать, что движение спутника относительно центра масс не влияет па движение самого центра масс [12].
Движение спутника относительно центра масс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений б-го порядка. Если орбита центра масс круговая, то эта система является автономной. Однако, даже в этом случае не представляется возможным получить общее решение данной системы. По этой причине немалый интерес вызывает вопрос о существовании и свойствах отдельных частных решений, описывающих характерные режимы движения.
Важным частным случаем движения спутников являются их стационарные вращения, представляющие собой регулярные прецессии. В зависимости от расположения спутника в пространстве, рассматривают цилиндрическую, гипербо-лоидальную или коническую прецессию [12, 17, 18]. Задача устойчивости таких движений подробно исследована в работах [12, 25, 33, 35, 44, 49, 50].
Анализ устойчивости движения позволяет сделать выводы о поведении системы в бесконечно малой окрестности исследуемого невозмущенного движения. Для приложений, однако, зачастую бывает важно исследовать поведение траекторий в конечной окрестности невозмущенного движения и получить выводы о типах устойчивости и неустойчивости. Такое исследование требует разработки нового математического аппарата, в частности для получения строгих выводов о движении вблизи регулярной прецессии необходимо выполнить анализ нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Особую актуальность имеет изучение нелинейных колебаний в резонансных случаях.
При наличии резонансов в системе структура фазового пространства в окрестности положения равновесия существенно отличается от нерезонансного случая и представляет немалый интерес для исследования. Резонансный случай неоднократно рассматривался с различных точек зрения. Движения при-
ближенной системы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма, содержащая члены не выше четвертой степени, рассматривались в [25, 54, 59, 63]. Фазовые портреты приближенной системы изучались в [2, 55]. В работе [56] был предложен геометрический подход для описания фазового потока канонической системы с двумя степенями свободы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма. В работах [9, 59, 60, 66, 69, 70] исследовалась задача о существовании и орбитальной устойчивости в линейном приближении периодических решений системы, рождающихся из положения равновесия. В работе [10] было проведено исследование резонансного случая для знакопеременной функции Гамильтона при наличии резонанса четвертого порядка.
В данной работе проводится исследование качественного характера поведения траекторий системы в окрестности положения равновесия при резонансе четвертого порядка, для случая когда квадратичная часть функции Гамильтона является знакоопределенной. На основании результатов теоретического исследования решена задача о поведении динамически-симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии.
Другим видом частных решений являются периодические движения спутника. Особый интерес с прикладной точки зрения представляют орбитально устойчивые движения, в частности плоские периодические движения, исследованию которых посвящено немало работ [1, 5, 24, 28, 43, 46, 48, 61, 62, 64, 65].
В линейном приближении задача об устойчивости плоских периодических движений была рассмотрена в работах [43, 46, 61, 62, 65]. В [43, 61, 62, 65] были получены области устойчивости и неустойчивости в первом приближении и выписаны асимптотические формулы, характеризующие свойства плоских движений. Для спутника, обладающего геометрией масс пластины, в работе [46] был проведен линейный анализ устойчивости плоских колебаний, исследование проводилось численно и аналитически, а его результаты были представлены в
виде диаграмм устойчивости.
Впервые задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника в строгой нелинейной постановке была расс2иотрена Маркее-вым А.П. в работе [28], где был предложен метод исследования и проведен анализ орбитальной устойчивости для случая сплюснутого симметричного спутника. В работах [1, 64] диаграммы устойчивости, полученные в [28] были уточнены, кроме того, в [64] был рассмотрен также случай вытянутого симметричного спутника. В работах [5, 48] для симметричного спутника проведено исследование орбитальной устойчивости на границах областей параметрического резонанса. В случае несимметричного спутника исследование орбитальной устойчивости значительно усложняется. Это связано с тем, что число степеней свободы системы уравнений возмущенного движения равно трем (в случае симметричного спутника имеем две степени свободы). Методика исследования орбитальной устойчивости несимметричного спутника в строгой нелинейной постановке была разработана в работе [24]. Полное исследование орбитальной устойчивости в этом случае представляет собой достаточно громоздкую задачу (количество параметров в общем случае достигает трех), поэтому часто ограничиваются анализом некоторых частных случаев геометрии масс спутника. Исследование орбитальной устойчивости плоских движений спутника, имеющего геометрию масс пластинки, проводилось в работах |38, 46]. В работе [46] был проведен линейный анализ устойчивости плоских колебаний, а в работе [38] нелинейный анализ плоских вращений спутника-пластинки. При этом предполагалось, что в невозмущелшом движении пластинка лежит в плоскости орбиты.
В данной диссертационной работе выполнено строгое исследование орбитальной устойчивости плоских периодических колебаний и вращений спутника-пластинки в предположении, что в невозмущенном движении плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка
литературы и приложений.
В первой главе рассмотрено движение автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы вблизи ее положения равновесия в предположении что функция Гамильтона является знакоопределенной, а частоты линейных колебаний удовлетворяют отношению 3:1. Проведен подробный анализ укороченной системы, отвечающей нормализованному гамильтониану, в котором отброшены члены выше четвертой степени. Показало, что укороченная система может быть проинтегрирована в эллиптических функциях Якоби, а ее решения описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения. На основании методов теории KAM установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются и в полной системе.
Во второй главе результаты исследования главы 1 применены в задаче о движении динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии. Проведено исследование движения на кривой, отвечающей резонансу четвертого порядка 3:1. Указаны участки данной кривой, на которых движение спутника в окрестности его цилиндрической прецессии имеет различный характер. На каждом из указанных участков проведен качественный анализ нелинейных колебаний динамически симметричного спутника.
В третьей главе дана постановка задачи об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластинки. Введены системы координат, получен гамильтониан движения. Рассмотрен частный случай - плоские движения спутника, в случае, когда сам спутник-пластина перпендикулярен плоскости орбиты. Приведен алгоритм исследования линейной системы и указаны условия, определяющие в плоскости параметров области неустойчивости и устойчивости в линейном приближении. Подробно описана методика нелинейного исследования орбитальной устойчивости периодических движений. В частности приведен алгоритм нормализации гамильтониана, основанный на ме-
8
1
тоде точечных отображений, разработанной в работе [37]. Приведены известные условия формальной устойчивости, устойчивости для большинства начальных условий, а также критерий устойчивости в третьем приближении для резонансного случая [3, 13, 29, 37, 67].
В четвертой главе проводится исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника-пластины. Для произвольных значений параметров численно получены границы областей устойчивости в линейном приближении. Расписан алгоритм отыскания кривых, отвечающих резонансам четвертого порядка. Применяя методику, изложенную в главе 3, внутри областей устойчивости в первом приближении проведена нелинейная нормализация функции Гамильтона и по коэффициентам нормальной формы сделаны выводы о формальной устойчивости и устойчивости для большинства начальных условий. На резонансных кривых сделаны выводы об устойчивости в третьем приближении. Результаты исследования представлены в виде диаграмм устойчивости в плоскости параметров.
В пятой главе исследована орбитальная устойчивость плоских вращений. Получены границы областей устойчивости в линейном приближении, исследована формальная устойчивость и устойчивость для большинства начальных условий. Результаты проведенного анализа также представлены в виде диаграмм устойчивости.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Статьи по теме диссертационной работы опубликованы в [6-8], а также представлены на следующих всероссийских и международных конференциях:
• Международная научная конференция по механике "Четвертые Поляхов-ские чтения" (Санкт-Петербург, 2006)
• ХЫ1 всероссийская конференция по проблемам математики, ииформати-
ки, физики и химии (Москва, 2006)
• XXXI Академические чтения по космонавтике, посвященные 100-летию академика С.П.Королёва (Москва, 2007).
10
Глава 1
Нелинейные колебания гамильтоновой системы
при резонансе 3:1
1.1. Постановка задачи
Рассмотрим автономную гамильтонову систему с двумя степенями свободы
(1(ц дII (1р1 дН .. . . .
-Л—Щ <1Л>
начало координат qj = Pj = 0 = 1,2) фазового пространства которой яв-
ляется положением равновесия. Функция Гамильтона Н(ц\, </2»РьР2) предполагается аналитической и знакоопределенной в некоторой окрестности начала координат.
Будем считать, что собственные значения матрицы линеаризованной системы чисто мнимы {и),) > 0,,; = 1,2), а частоты о»2 линейных колебаний удовлетворяют соотношению = Збо>2, т.е. имеет место резонанс четвертого порядка.
Пользуясь методикой [26, 27, 29], получим вид нормальной формы гамильтониана при наличии резонанса 3:1. Пусть гамильтониан Н, после проведения линейной нормализации [29], имеет вид, соответствующий нормальным колебаниям линейной системы
Н = - (о>1 (рГ + 912) + (Р22 + 922)) + Яз+
+ Е + • • • (1'2)
V \ +1-^2 + /Н +/12—4
Для приведения гамильтониана (1.2) к виду, удобному для применения пре-
- Київ+380960830922