2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .............................................................. 4
Глава 1. Математический аппарат, используемый в исходных задачах на связанные состояния системы двух частиц в квазипотенциальном подходе... 22
1.1. Задача об уровнях энергии водородоподобных атомов в квазипотен-циальном подходе ..................................................... 22
1.2. Проблема тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов .................................................................. 31
Глава 2. Специфические эффекты отдачи в системах двух частиц с неравными массами ......................................................... 38
2.1.0 пределах применимости ^-приближения кулоновских волновых функций к прецизионным расчётам сдвигов уровней энергии............... 38
2.2. О новых логарифмических по отношению масс частиц вкладах в 5-уровни энергии водородоподобных атомов от однофотонного взаимодействия частиц ................................................ 46
Глава 3. Изучение взаимодействия частиц посредством обмена одним поперечным фотоном с помощью модифицированной амплитуды рассеяния 55
3.1.0 поправках 2Л.\пр~\ 2Л-р\пр~\ 2Л~р2 \пр~х от взаимодействия час-
т]т2 т]т2 т,т2
тиц посредством обмена одним поперечным фотоном ...................... 55
а6д3
3.2. О поправках ——/?)п р~х от взаимодействия частиц посредством обмена
пцт2
одним поперечным фотоном ............................................. 68
Глава 4. Влияние движения ядра на величину тонкого сдвига уровней энергии водородоподобного атома .......................................... 78
4.1. Анализ последовательных обменов кулоновским и поперечным фотонами между частицами водородоподобного атома ......................... 78
4.2. Логарифмические по константе тонкой структуры вклады в тонкий сдвиг
уровней энергии, исчезающие в пределе т2 -*тх......................... 88
Заключение............................................................ 95
3
Библиографический список использованной литературы ..................100
Приложения..........................................................105
Введение
Исследование связанных состояний системы двух частиц принадлежат к тем фундаментальным научным направлениям, которые сохраняют актуальность на протяжении всего развития квантовой теории.
Несмотря на всю фундаментальность, релятивистская проблема связанных состояний даже для системы из двух частиц полностью не решена и в классическом (неквантовом) пределе.
Лёгкие одноэлектронные атомы - это классический объект квантовой физики. Многие открытия и дальнейший прогресс квантовой механики тесно связаны с объяснением особенностей структуры уровней энергии таких атомов.
Работой «Связывание электронов положительным зарядом» Н. Бор положил начало взгляду на атом как на связанное состояние квантовой системы, характеризующееся дискретными значениями энергии и спектром излучения, обусловленным структурой его энергетических уровней. Далее, в нерелятивистской квантовой механике Гейзенберга и Шредингера была заготовлена последовательная схема для описания связанных состояний. В теории Дирака было введено понятие спина для объяснения экспериментальной особенности в спектре водорода.
Открытие лэмбовского сдвига, тонкие противоречия между предсказаниями теории Дирака и экспериментальными данными привели к созданию квантовой электродинамики.
В нерелятивистской квантовой механике задача двух тел сводится к двум более простым: о равномерном движении центра масс и движении частицы с приведённой массой в потенциальном поле. В реля гивистском случае явное отделение движения центра масс и введение потенциала невозможно. Поэтому задачи о связанных состояниях двух тел и о связанных состояниях частицы во внешнем поле оказываются различными, не сводимыми друг к другу.
В квантовой электродинамике при описании распространения частицы во внешнем поле необходимо учитывать так называемые радиационные эффекты,
связанные с взаимодействием заряженной частицы с собственным полем.
Для полной одночастичной функции Грина [1] имеет место следующее уравнение
6(г, у) = 5с(г - у) - еук\(1x1/к(х)5с(* - у) +
+1сЫх 5е (г - х)М '(х, х')С(х\ у), (1)
где (Ук представляет собой потенциал внешнего поля Асх1, сложенный с эффективным средним потенциалом поля, «индуцированного» в вакууме
ик (х) = /С С*) - *2\5р[5с(у - т)у т5с (т -у)уп\01к(у- х)А?1 (т)<*у<*т.
5е - функция Грина свободного электрона
(0|7-(Ув (х)% (х'))| 0) = (х - х),
М' - массовый оператор
М\х,х) = Че2ут\ЛVIС(х,х')Г"(х',х 11)£>„„(|,х), (2)
О - фотонная функция Грина
Отп(г. у) = 5™О0с(г - у) -1ЖиГ|О0с(г - х)/>т*(х,|)Оь(|, у), (3)
/>о - функция Грина свободного фотона (0|Г(Д,(х)Ал(д:'))|0} =
Р - оператор поляризации
Ркт (X, I) = !Лр{ут | Л'Л'С(х, х')Г‘ (X, х' 11 )С(х', X) |, (4)
Г - вершинный оператор
Г* (х', х" 11) = » (5)
о еик(%)
О'1 - обратная функция Грина фермиона.
Уравнениям (2), (4) могут быть сопоставлены графические схемы, изображённые на рисунке 1.
X • м'
СЛЛ^^'ХЛ^ =
Рисунок 1
В низшем приближении
гл&У\£)=8&-еугкб(*'-&. (6)
Это позволяет записать массовый оператор М' и фотонную функцию Грина Э в виде
М\х,х) = -хе2ут 0(х, {х - *>я, (7)
Алл(*> у) = -У)- <&<*х'Г>о(г - х)ул5с(х- х>*5с(*'- х)Окп(х\ у)
Эти выражения можно представить с помощью диаграмм, изображённых
на рисунке 2.
г©-,-,1
а Ь
Рисунок 2
В низшем приближении диаграмма а соответствует собственноэнергетической части электрона второго порядка, а с учётом поправок получаем
С(г. у) = 5е (г - у) - еу[1 \ Лх ик (х)5с(г - х)5с (х - у) -
-1ег|<Мх'5с(г - х)гтС(х,х')01п(х-х')упЗЧх - у). (8)
Итерируя равенство (8), находим
7
6(2, у) = 5е(г -- у) - ег‘‘}‘Ьик (*)5С(г - х)5с(*- у) -
- /е21 ЛАг' 5е (г - х)г‘"5е (х - - де>"5с(/- У) +
+ (в3у‘|ЛЛ'Л5с(г-х)ут5с(л-0Г*^(*)5са-/)О^,(дг-/)г,,5с(^-у). (9)
Уравнению (9) сопоставляется графическая схема, изображённая на рисунке 3.
с
л
у г у г у У г х х у г х
Рисунок 3
Полная одночастичная функция Грина ^ изображённая на рисунке 3, позволяет описывать изолированную связанную систему двух частиц в приближении внешнего поля.
Вершинный оператор Г [2] графически изображён на рисунке 4 (жирная точка символизирует вершинный оператор).
л
+.
Рисунок 4
2
2т
_ 7_ Г Г Г
2
О «ч
где функции f(k)иg{k)- дираковский и паулиевский формфакторы электрона соответственно.
Точно также как вершинный оператор является обобщением обычной дираковской вершины у**, уравнения (1) и (3) показывают, что полная функция
Грина электрона является обобщением пропагатора свободного электрона 5е, а полная фотонная функция Грина - обобщением функции распространения свободного фотона Ос.
Поэтому обобщение графа, характеризующего простейшее взаимодействие с внешним полем, можно изобразить следующим образом.
В результате разложения функций, изображённых на рисунке 5, с точностью до второго порядка по заряду имеем следующую картину
Из приведённых схем видно, что операторы М'иР включают все радиационные поправки к движению фермиона и фотона, а оператор Г соответствует вершинной части диаграмм, чем и оправдывается его название.
Для описания движения частицы во внешнем электромагнитном поле используется уравнение Дирака. Однако это уравнение не учитывает такие эффекты, как поляризация вакуума, рождение виртуальных пар и т.п., ввиду чего в квантовой теории поля оно должно быть обобщено.
Рисунок 5
Рисунок 6
Уравнение Дирака с радиационными поправками [1] строится на основе
полной одночастичной функции Грина (9).
/
V
- іеУ<р(х)\ МФЪ(х - у)ЭД5е(У - г)гт5с(т- У)У"К“(т) +
+ к21<іуук5'(х, у | А'х1 )/'£>' (у - х)<р(у) = 0. (10)
Здесь 5е (х, у | Асх{) - функция Грина классического электрона, движущегося в
заданном внешнем поле Лех‘. Она представляется суммой диаграмм с двумя внешними электронными линиями и любым числом внешних фотонных линий, соответствующих заданному полю Асх' (рис. 7).
Рисунок 7
Уравнение (10) позволяет вычислить радиационные поправки к энергетическим уровням связанных состояний. При этом радиационные поправки любой степени сложности отражают взаимодействие частицы с собственным электромагнитным полем и не могут зависеть от параметра Д = т1/т2(т1, т2 - массы лёгкой и тяжёлой частиц соответственно).
В частности, уравнение (10) применяется в [1] для вычисления лэмбовского сдвига.
Видно, однако, что графы рисунка 3 не могут содержать действия одной частицы на другую.
При решении задачи на связанные состояния двух частиц необходимо введение двухчастичной функции Грина.
і~^ + еАм(х)~т Ш-
10
Полная двухчастичная функция Грина в представлении взаимодействия [3] имеет вид
ГГг , х ^ пп
<-Ч*1>*2’*3’-*4/“' (0|5|0) *
где 'Р(х|.)- полевые операторы составляющих частиц.
Разложение выражения (11) в ряд показывает, что в(х1,*2;*3,х4) = 5'с(х2 - хг)$'с(х{ - х4) - 5'0(*, - дг3)£'с(х2 - х4) +
+ 1е2\сЬс'<1х'8с(х{ -х'Уг*(х'-'-х')Зс(х2 -х*)уц$с(х*-х4) +
+ (Обменный член с х{ <-» х2) -.... (12)
Уравнение для функции Грина двух фермионов может быть записано в
форме Бете-Солпитера
С(х]ух2\хг,х4) = С0(х11х2\хг,х4)+
+ О0(х1ух2;х1х2)Къ$(х{ух2\х^,х1)с(4,х4\хъ,х4)у (13)
Оо (-^1 ,Х2\ХЪ,Х4) = (*1» *3 У^ь (Х2 ♦ Х\ )»
где Са А - функция Грина свободных фермионов;
КВ5 - ядро уравнения Бете-Солпитера, представляющее собой сумму
двухчастично-неприводимых фейнмановских диаграмм, изображённых на рисунке 8; но повторяющимся переменным подразумевается интегрирование.
_. .
ч.
Рисунок 8
Диаграмма называется приводимой, если её можно разделить на две несвязанные части линией, которая не пересекает бозонных линий, а каждую из фер-мионных пересекает лишь один раз. В противном случае диа1рамма называется
- Київ+380960830922