Розвиток модифікованого методу послідовних наближень знаходження характеристичних чисел цілком неперервних операторів та операторних пучків

РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МОДИФІКОВАНОГО МЕТОДУ ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ
Модифікований метод послідовних наближень призначений для обчислення
характеристичних чисел і відповідних їм власних функцій лінійного цілком
неперервного оператора, що діє у нормованому функ­ціональному просторі. ММПН
вперше описано в [1], наведено приклади його застосування для розв’язування
однорідних інтегральних рівнянь, що описують власні коливання в
електродинамічних системах.
У цьому розділі буде викладено суть методу, проведено його теоретич­не
обгрунтування, сформульовано обчислювальний алгоритм.
Метод полягає в ітеруванні оператором деякої початкової функції і подальшій
обробці усіх проміжних ітерацій. Такий підхід надає переваги у порівнянні зі
звичайними ітераційними методами розв’язування однорідних задач, які дозволяють
обчислювати перше (найбільше за модулем) власне значення і найкраще працюють у
випадках, коли воно значно переважає усі інші. Завдяки обробці результатів усіх
ітерацій модифікований метод дозволяє одночасно визначати не тільки перше, але
й наступні власні значення (характеристичні числа) та будувати відповідні їм
власні функції. При цьому і перше власне значення обчислюється за меншу
кількість ітерацій ніж, наприклад, при використанні звичайного степеневого
методу, при тій самій точності обчислень. ММПН найбільш ефективний у випадках,
коли спектр заданого оператора містить групу власних значень, близьких за
абсолютною величиною до першого. Цю властивість методу буде докладніше
розглянуто в наступному розділі.
Доведено теореми 2.1–2.3, які встановлюють взаємозв’язок між лінійною
комбінацією послідовних ітерацій початкової функції та характе­ристичним рядом
вихідної задачі. Теорема 2.1 вказує необхідну умову, яку повинні задовольняти
коефіцієнти такої лінійної комбінації. У теоремі 2.2 при додаткових обмеженнях
на властивості характеристичних чисел оператора встановлено необхідні та
достатні умови на ці коефіцієнти. Доведення достатності теореми 2.2 належить М.
М. Войтовичу [1]. Окремо розглянуто випадок кратних характеристичних чисел як з
однаковими, так і з різними (теорема 2.3) алгебраїчною і геометричною
кратностями. Вказано спосіб обчислення приєднаних функцій, якщо такі є.
У розділі описано застосування методу для випадків, коли оператор діє у
функціональному просторі з рівномірною (чебишевською), або з
середньо­квадратичною нормою. В останньому випадку ММПН є близьким до методу
[19]. Проведено порівняння обох методів і показано, що для ММПН виконуються
доведені в [19] теореми про збіжність (за нормою) послідовності
скінченновимірних операторів, які будуються на кожному кроці алгоритму ММПН, до
заданого оператора та про збіжність послідовностей наближених розв’язків задачі
до точних.
Теоретичні результати проілюстровано на конкретних задачах.
2.1. Виклад методу та його теоретичне обгрунтування
Розглянемо задачу на власні значення
, (2.1)
де A – лінійний цілком неперервний оператор, що діє у нормованому
функціональному просторі E. Будемо вважати, що власні (та приєднані, якщо вони
є) функції цього оператора утворюють базу в просторі E.
Як відомо ([101], стор. 285), спектр лінійного цілком неперервного оператора
дискретний і складається зі скінченної або зліченної послідовності власних
значень , які можуть мати єдину точку скупчення в нулі. Характеристичні числа
такого оператора утворюють скінченну або зліченну послідовність з точкою
скупчення на нескінченності.
Для будь-якої послідовності чисел з єдиною точкою скупчення на нескінченності
існує ціла функція, нулями якої є ці і лише ці числа ([102], стор.255):
. (2.2)
Функцію називають характеристичним рядом задачі (2.1).
Для зручності перепишемо задачу (2.1) у вигляді
, (2.3)
де .
Згідно з [1], введемо допоміжне рівняння
, (2.4)
де – деяка ненульова функція з простору E.
У відповідності з відомою теоремою Фредгольма ([103], стор. 537) рівняння (2.4)
має розв’язок при будь-яких значеннях і довільній функції . Справді, якщо є
регулярним значенням оператора , то . При цьому права частина рівняння (2.4)
відмінна від нуля, і воно має єдиний розв’язок. Якщо ж , тобто співпадає з
одним із характеристичних чисел оператора A, то , і рівняння (2.4)
перетворюється в однорідне рівняння (2.3), ненульовими розв’язками якого є
власні функції заданого оператора .
Оскільки права частина і коефіцієнти рівняння (2.4) аналітично залежать від
параметра , то розв’язок цього рівняння можна шукати у вигляді
(2.5)
Підставимо (2.5) в рівняння (2.4) і прирівняємо коефіцієнти при однакових
степенях . У результаті отримаємо рекурентні співвідношення для визначення
функцій :
.
З використанням позначення
, (2.6)
функції можна записати у вигляді лінійних комбінацій послідовних ітерацій :
, , (2.7)
де – невідомі коефіцієнти.
Таким чином, використавши допоміжне рівняння (2.4), ми показали, що розв’язок
задачі (2.3) має вигляд (2.5) при , де функції визначені формулами (2.7). Щоб
обчислити цей розв’язок на практиці, потрібно встановити умови для визначення
невідомих коефіцієнтів .
Якщо оператор діє у скінченновимірному просторі , то його спектр складається зі
скінченної кількості власних значень (характеристичних чисел ). У цьому випадку
характеристичний ряд (2.2) вироджується у поліном -го степеня, розв’язок (2.5)
– у поліном -го степеня по степенях .
Для отримаємо тотожність:
,
або, з урахуванням (2.7),
. (2.8)
Тотожність (2.8) можна розглядати як функціональне рівняння для визначення
коефіцієнтів характеристичного полінома, вважаючи, що один з них, наприклад, .
Зокрема, якщо елементами простору є вектори, то (2.8) – це сист