РОЗДІЛ 2
ОЦІНКА НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО
СТАНУ ЗГИННИХ ЗАЛІЗОБЕТОННИХ ЕЛЕМЕНТІВ
В УМОВАХ ЗНАКОЗМІННОГО НАВАНТАЖЕННЯ
2.1. Загальні положення теорії розрахунку
Для аналітичного опису діаграми напружень автором пропонується використати функцію напружень запропоновану в ?117? Мурашовим В.І. та дещо удосконалену в ?105? Макаренком Л.П. із Фенком Г.А. Прослідкуємо шлях виведення залежності.
Отже, в ?117? запропонована наступна залежність:
(2.1)
де E`-січний модуль деформації бетону (модуль пружнопластичності);
Eb0 - модуль пружності бетону, що відповідає ?b=0;
коефіцієнт пружності бетону, що дорівнює (1-?);
коефіцієнт пластичності бетону;
?b,el - пружні деформації бетону;
?b,pl - пластичні деформації бетону;
?b - повні деформації бетону, що дорівнюють (?b,el+?b,pl).
В ?105? авторами запропоновано та доведено наступну залежність між коефіцієнтом пластичності бетону та його граничним значенням:
?=?R?; (2.2)
де ?R - граничне значення коефіцієнта пластичності бетону;
рівень напружень;
- напруження стиску в бетоні;
Rb - опір бетону осьовому стиску.
Тоді, з урахуванням (2.2), вираз для визначення коефіцієнта пружності бетону набуде наступного вигляду:
(2.3)
З урахуванням (2.3) залежність (2.1) набуде вигляду:
(2.4)
Підставивши в (2.4) значення та здійснивши деякі математичні перетворення буде справедлива наступна залежність:
(2.5)
У залежності (2.5) використовуються лише механічні властивості бетону: міцність бетону при осьовому стиску, модуль пружності, поздовжня деформація стиску та коефіцієнт пластичності бетону, який є комплексним параметром, що характеризує пружно-пластичні властивості бетону.
Слід зауважити, що нижче запропонована методика базується на наступних припущеннях:
1) зв'язок між напруженнями та деформаціями арматури має лінійний характер:
?s=Es?s; ?sc=Es?sc (2.6)
2) у поперечному перерізі справедлива гіпотеза плоских перерізів (гіпотеза Бернуллі);
3) граничні напруження стиску бетону дорівнюють Rb.
Автором пропонується використати залежність (2.5) для оцінки напружено-деформованого стану нормального перерізу дослідних залізобетонних балок з подвійним симетричним армуванням арматурою з м'яких сталей. Схема елемента представлена на рис. 2.1(а, б). Використання даної залежності викликане наявністю характеристик бетону, які можуть трансформуватися при дії знакозмінного навантаження.
Рис. 2.1. Схема розподілення деформацій, напружень та зусиль у нормальному перерізі залізобетонної балки прямокутного перерізу з подвійним симетричним армуванням
а)ділянка елементу з тріщиною у розтягнутій зоні;
б)поперечний переріз елемента;
в)епюра деформацій бетону та арматури;
г)схема внутрішніх зусиль.
Рис. 2.2. Прийняті діаграми "напруження - деформації"
а) для бетону; б) для арматурної сталі (діаграма Прандтля)
Розглянемо нормальний переріз, в якому утворилась тріщина в розтягнутій зоні, при цьому, роботу розтягнутого бетону під вершиною тріщини враховувати не будемо.
Запишемо рівняння рівноваги у нормальному перерізі при фіксованій висоті стиснутої зони x=z1:
M1=Msect,1=Mb1+Ms1+M`s1; (2.7)
Nb1+N`s1=Ns1; (2.8)
де М1; Мsect,1; Мb1; М's1 та Мs1 - згинальні моменти відповідно від зовнішнього навантаження; сумарний згинальний момент від усіх внутрішніх сил відносно нейтральної лінії; згинальні моменти від внутрішніх сил у стиснутому бетоні, стиснутій арматурі та розтягнутій арматурі відносно нейтральної лінії;
Nb1; N's1 та Ns1 - рівнодіючі внутрішніх зусиль відповідно у стиснутому бетоні, стиснутій арматурі, розтягнутій арматурі.
Приймаючи до уваги гіпотезу плоских перерізів на основі геометричних перетворювань отримаємо:
(2.9)
З урахуванням (2.9) значення N's1, Ns1, М's1 та Мs1 можна знайти за наступними формулами:
(2.10)
(2.11)
Рівнодіюча внутрішніх зусиль у стиснутому бетоні Nb1 та її момент відносно нейтральної лінії можуть бути знайдені із наступних залежностей:
(2.12)
(2.13)
де b:- ширина попечного перерізу балки;
?b - напруження в елементарній площадці стиснутого бетону на відстані z від нейтральної лінії;
dz - висота елементарної площадки.
Враховуючи вище наведені залежності (2.5) та (2.9), рівняння (2.12) та (2.13) отримають наступний вигляд:
(2.14)
(2.15)
Порівнявши площу фігури, описаною функцією (2.5), із площею прямокутника (ідеальне пластичне деформування бетону, якому відповідає прямокутна епюра напружень), що містить розглядувану діаграму (рис. 2.2а), можна отримати коефіцієнт повноти епюри напружень стиснутої зони бетону:
(2.16)
З урахуванням виразу (2.16) залежності (2.14) та (2.15) приймуть наступний вигляд:
(2.17)
(2.18)
Застосування вище приведених залежностей (2.10), (2.11), (2.17) та (2.18) дозволяє оцінити напружено-деформований стан нормальних перерізів згинних залізобетонних елементів в стадії руйнування. Для оцінки ж напружено-деформованого стану в будь-який момент роботи конструкції - вирази (2.16), (2.17) та (2.18) набудуть дещо іншого виду:
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Рівняння рівноваги (2.7), (2.8) з урахуванням формул (2.10), (2.11), (2.17) та (2.18) в нормальному перерізі за сталої висоти стиснутої зони приймуть наступний вигляд:
(2.22)
(2.23)
Із рівняння (2.22) шляхом простих математичних перетворювань можна отримати наступну залежність:
(2.24)
Залежність (3.21) є рівнянням 2-ї степені вигляду:
(2.25)
де
(2.26)
Розв'язавши квадратне рівняння (2.24) за допомогою відомих формул:
, (2.27)
та прийнявши найбільш придатний розв'язок рівняння, отримаємо висоту стиснутої зони.
Далі знаходимо сумарний момент від усіх внутрішніх зусиль відносно нейтральної лінії Msect,1, який порівнюємо із відповідним згинальним моментом М1 від зовнішнього навантаження.
Слід зауважити, що вище приведений метод справедливий при граничних умовах, тобто за граничних значень усіх параме