РАЗДЕЛ 2
МОДЕЛЬ ПЛАСТИЧНОСТИ БЕТОНА
2.1. Общие соображения
Теория пластичности материалов представлена двумя направлениями - теория малых упругопластических деформаций (деформационная) и теория пластического течения. Если первое направление является развитием идей А.А.Ильюшина [37], то второе связано с работами Сен-Венана, Мизеса [10,18,94]. Каждое из этих направлений имеет свои достоинства и недостатки. К достоинствам деформационных моделей можно отнести их явно феноменологический характер, когда основные параметры получаются непосредственно из простейших испытаний, главный же их недостаток - это применимость только для случаев простого, пропорционального нагружения. Теории течения же, наоборот, позволяют достаточно просто учесть разгрузку и повторное нагружение, но в основе своей имеют, так называемые, поверхности пластичности или нагружения. Вид этих поверхностей зависит от типа материала, и для таких материалов, как бетон, носит достаточно сложный характер. Основные геометрические параметры этих поверхностей получаются, в основном, путем умозрительных построений и с трудом поддаются экспериментальному обоснованию.
Попытаемся создать модель бетона, ориентируясь на общую теорию течения, положив в основу поверхность нагружения, основные параметры которой получались бы по опытным данным, как это делается в деформационных теориях. В качестве отправных элементов модели принимаем предельную поверхность и диаграмму деформирования материала.
Теория течения формулируется в инкрементальной форме, когда рассматриваются не полные деформации, а их приращения. При этом они представляются суммой упругих и пластических составляющих [10,18,30,34,45,94]
, (2.1)
где .
Векторы и имеют структуру аналогичную вектору.
Упругие деформации определяются через приращение напряжений с помощью обобщенного закона Гука
, (2.2)
где [D] - начальная матрица упругости материала [10,34];
- вектор приращений напряжений.
Приращения пластических деформаций, в соответствии с гипотезой Мизеса [18], являются потенциальными и определяются с помощью соотношения
, (2.3)
которое является, по существу, математической записью, так называемого, ассоциированного закона течения, когда развитие пластических деформаций ассоциируется с некоторой потенциальной функцией F. Пластические деформации развиваются по нормали к поверхности, определенной этой функцией. При этом множитель характеризует направление, а скалярный параметр ? - величину приращения пластических деформаций.
Функция F зависит от напряжений и от некоторого скалярного параметра ?, называемого параметром упрочнения, т.е. F = F({?},? ). В классическом варианте теории течения [18] полагается, что ? = 0 и считается, что неупругое деформирование начинается только тогда, когда выполняется условие F = 0. В этом случае F называется функцией текучести. Если же ? ?0, то функция называется функцией нагружения, а пластическое течение носит характер процесса и развивается постепенно в зависимости от выбранного параметра упрочнения [31]. В этом случае речь идет о, так называемой, ассоциированной теории течения с упрочнением. Именно этот вариант теории и развивается в настоящих исследованиях.
Подставляя в (2.1) выражения (2.2) и (2.3), имеем [34]
. (2.4)
При пластическом течении напряжения находятся на поверхности нагружения [34], определяемой выражением F({?},? ) = 0. Дифференцируя его, получим
(2.5)
или
,
, (2.6)
где ? - коэффициент пропорциональности.
Запишем выражения (2.4) и (2.5) в форме симметричной матрицы [34]
. (2.7)
Если теперь исключить ? из уравнения (2.7), то можно получить [34]
, (2.8)
, (2. 9)
где - текущая упруго-пластическая матрица материала;
- начальная матрица упругости.
При учете упрочнения ? ? 0(в случае ассоциированной теории с упрочнением) параметр ? определяется как пластическая часть работы при пластическом деформировании [34]
(2.10)
Тогда, используя закон течения Мизеса (2.3) запишем
(2.11)
Исключая ? из выражения (2.6) получаем
(2.12)
Подставляя это выражение в (2.9), после некоторых преобразований окончательно запишем [34]
(2.13)
Таким образом, получено выражение для упругопластической матрицы, в которую входят производные функций по напряжениям.
Построение варианта ассоциированной теории течения бетона с упрочнением с помощью зависимостей (2.5-2.12) связано с конкретизацией функции нагружения и функцией ?, обусловленной упрочнением материала.
Построение функции нагружения непосредственно из эксперимента представляет собой практически неразрешимую задачу. Поэтому, следуя большинству исследований, эту функцию и соответствующую ей поверхность будем строить на базе предельных поверхностей, описывающих условие прочности бетона при сложном напряженном состоянии. Рассмотрим вывод зависимостей для описания условия прочности бетона.
2.2. Предельная поверхность
Известно, что условие прочности должно описывать выпуклую и гладкую поверхность, симметричную относительно диагонали пространства главных напряжений ?? ? ?? ? ??.