РАЗДЕЛ 2
Основные уравнения
2.1. Алгоритм формирования уравнений метода перемещений
Балочным ростверком называется система перекрестных балок, работающая на изгиб из плоскости. Ростверки нашли широкое применение в разнообразных инженерных сооружениях: в кессонных перекрытиях промышленных и гражданских зданий [51,67,146]; в качестве несущих систем сталежелезобетонных и железобетонных автодорожных мостов и причальных сооружений эстакадного типа [45-47,93,118,130,159,168], фундаментов из перекрестных лент [149,170] и т.д.
Идея применения классических методов строительной механики к расчету перекрестных балок очевидна [1,13,14,106,199,212], однако прикладных работ в этой области в настоящее время почти не имеется. При большом количестве перекрестных балок трудоемкость расчета все же достаточно велика. Для регулярных систем, образованных равноотстоящими балками постоянного поперечного сечения, целесообразна разработка алгоритма расчета, пригодного для компьютерной реализации. Применительно к перекрестно-ребристым несущим системам автодорожных мостов такая задача решена смешанным методом [107]. Метод перемещений позволяет дополнительно учесть кручение системы перекрестных балок.
Кессонное перекрытие представляет собой систему жестко соединенных перекрестных балок с прямоугольными ячейками (рис. 2.1). При этом ; весьма часто ячейка квадратная: . Опирание балок обоих направлений - шарнирное. Опоры исключают кручение концов балок. Расчетная схема, обозначения: перемещений - углов поворота и ; прогибов - ; усилий - изгибающих моментов - и ; поперечных сил - и ; крутящих моментов - и показано на рис. 2.1.
Основная система выбирается путем наложения во все узлы заделок, препятствующих углам поворота и и линейных связей, препятствующих прогибам . Единицы измерения: углов поворота - радианы, длин - метры, сил - , моментов - .
Правило знаков
Изгибающие моменты Поперечные силы Перемещения
Крутящие моменты
Рис. 2.1. Расчетная схема перекрытия.
Перемещения определяются путем решения общей системы уравнений [248]
(2.1)
Размерность матрицы -
где - количество балок направления (4)
- количество балок направления (3)
- количество узлов
(2.2)
где - обратная матрица (в дальнейшем верхний индекс "" обозначает обратную матрицу, верхний индекс "" - транспонированную матрицу).
, (2.3)
, , (2.4)
(2.5)
Матрицы , приведены ниже; их размерность - нулевая матрица. Эти матрицы построены из рассмотрения единичных эпюр усилий . (рис.2.2)
Грузовой вектор: для случая действия равномерно - распределенной нагрузки интенсивности /, узловая сила . Если считать нагружение приведенным к узловым силам, а это можно сделать при достаточном количестве узлов, то
(2.6)
(2.7)
Единичные эпюры локальны, т.е. они ненулевые лишь в окрестности рассматриваемого узла. Грузовая эпюра, в случае приведения нагрузки к узловым силам - нулевая (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Единичные и грузовая эпюры для узла 22 при повороте узла на угол и осадке на величину
Таблица 2.1.
Матрица [А]
Таблица 2.2.
Матрица [Q]
Таблица 2.3.
Матрица [D]
Таблица 2.4.
Матрица [B]
Таблица 2.5.
Матрица [C]
Сформируем подматрицы глобальной матрицы жесткости для системы из 12 перекрестных балок, показанной на рис. 2.1.
Для систем, состоящих из большего количества перекрестных балок, общий вид этих матриц сохраняется; их размерность -
Порядок общей системы уравнений можно снизить в три раза, применив последовательное решение системы алгебраических уравнений (2.1).
{}= -[]-1[]{} (2.8)
{}= -[]-1[]{} (2.9)
[]=[]-[]Т[][]-[]T[]-1[] (2.10)
[]{}={} (2.11)
{}=[]-1{} (2.12)
Вначале из уравнения (2.12) определяем вектор прогибов {}, а затем, из (2.8) и (2.9) - векторы углов поворота.
Определение результантов, то есть усилий , , , , , . Усилия определяются в сечениях, расположенных возле узлов.
Изгибающие моменты .
[] = [][]+[][]
Кессонное перекрытие содержит три балки направления . Определенные выше векторы {} и {} необходимо переформатировать в матрицы.
= , (2.13)
Для балки :
= = (2.14)
Для балок и матрица сохраняется. Иными будут векторы углов поворота и , смотри (2.13).
==(2.15)
Подобным образом, для балок и матрица сохраняется; иными будут векторы и .
Поперечные силы определяются формулой
(2.16)
Изгибающие моменты :
(2.17)
(2.18)
Вектор для балки есть транспонированная первая строка матрицы построенной так же, как , смотри (2.13); повороты сечений, примыкающих к узлу, попарно одинаковы.
Для балок векторы , и строят аналогично. Матрицы сохраняются.
(2.19)
Подобным образом для балок матрица сохраняется; векторы строят, трансформируя 2,3 и 4 строки матрицы (2.13)
Поперечные силы определяются формулой
(2.20)
Построенные матрицы изгибающих моментов и должны быть окаймлены нулями, поскольку в шарнирных опорах они равны нулю.
Крутящие моменты и .
(2.21)
=
При формировании общей системы уравнений для однопролетной перекрестной системы изначально учтено шарнирное опирание продольных и поперечных балок. Для расчета неразрезных перекрытий и пролетных строений вначале формируется глобальная матрица жесткости для однопролетной системы суммарной длины. Затем по тем узлам поперечных балок, где расположены промежуточные опоры, перемещения узлов приравниваются к н