РОЗДІЛ 2
ОПТИМАЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ ПЕРЕРІЗІВ МОНОСТАЛЕВИХ СТИСНУТО-ЗІГНУТИХ ТА РОЗТЯГНУТО-ЗІГНУТИХ СТЕРЖНІВ
ЗА УМОВИ МІЦНОСТІ В ОБЛАСТІ ОБМЕЖЕНИХ ПЛАСТИЧНИХ ДЕФОРМАЦІЙ
2.1. Напружено-деформований стан перерізів моносталевих стержнів
при згині з поздовжньою силою за межею пружності
Проектування перерізів моносталевих стержнів, які мають меншу вагу при заданій несучій здатності, можливе на основі використання прихованих запасів металу, тобто його перерозподілу в поперечному перерізі, що залежить в першу чергу від його конструктивної форми, а саме - від співвідношення між окремими елементами. Для прийнятих до розгляду (п.1.3) симетричних і асиметричних двотаврових перерізів такими елементами, що найбільш суттєво впливають на перерозподіл матеріалу в поперечному перерізі, а, отже, і на ефективність стержня в цілому, будуть (рис.2.1): h - висота стінки, t - товщина стінки, b1 - ширина більшої полиці, b2 - ширина меншої полиці, t1 - товщина більшої полиці, t2 - товщина меншої полиці, A1 - площа більшої полиці, A2 - площа стінки, A3 - площа меншої полиці, A - повна площа перерізу.
Теоретичне визначення напружено-деформованого стану перерізу будемо проводити з використанням прийнятої (п.1.3) ідеалізованої діаграми Прандтля, приведеної на рис.2.2, з якої залежність напруг від деформацій визначається таким чином:
- при ? ? ? ? ?Т ? ? ??? ; (2.1)
- при ?Т ? ? ? ?lim ? ? ?T , (2.2)
де ???????????5???а - модуль пружності; ?Т - величина деформацій, яка відповідає границі текучості ?Т ; ?lim - величина повної деформації, яка визначається із умови:
Рис.2.1.Основні параметри асиметричних а) та симетричних б) перерізів двотаврових стержнів.
Рис.2.2. Ідеалізована діаграма Прандтля
?lim ? ?T??????ip,lim?? ?T???ip,lim , (2.3)
де ?ip,lim - величина обмеження інтенсивності пластичних деформацій.
На рис.2.2 суцільною лінією показана пружно-пластична діаграма Прандтля, а штриховою - залежність фіктивних напружень ?F від деформацій ? в припущенні необмежено пружної роботи матеріалу. В цьому випадку значення фіктивних напружень ?T ? ?F ? ?Flim визначаються як і значення ? в межах пружної роботи, а саме:
- при ? ? ? ? ?Т ? ? ??? ; (2.4)
- при ?Т ? ? ? ?lim ?F????lim . (2.5)
Найбільше значення фіктивних напружень буде відповідати граничній величині інтенсивності пластичної деформації ?ip,lim :
?Flim ? ???lim , (2.6)
або ???????Flim ???T????ip,lim . (2.7)
При фіктивних напруженнях ?T ? ?F ? ?Flim , або, що теж саме, при деформаціях ?Т ? ? ? ?lim дійсні напруження в області пластичних деформацій стержня рівні межі текучості ?T . Використовуючи наведені залежності, будуємо граничні епюри нормальних напружень симетричних і асиметричних двотаврових перерізів для можливих видів напружено-деформованого стану в області обмежених пластичних деформацій при згині з поздовжньою силою у випадках різних комбінацій напрямків дії поздовжніх сил і згинаючих моментів. Розглянемо найбільш характерні з них.
На рис.2.3 приведені характерні умовні граничні епюри нормальних напружень в найбільш навантажених симетричних перерізах. Зокрема, як видно з рис.2.3,а,б,в у верхній полиці і верхній частині стінки від точки 1 до точки 2 досягнуті напруження, що дорівнюють границі текучості ?Т. Граничні величини інтенсивності пластичних деформацій ?ip,lim розвиваються
у верхній частині стінки (точка 1), що відповідає фіктивному напруженню ?Flim, і верхній полиці по всій її ширині. В нижній полиці напруги ?н за
Рис.2.3. Умовні граничні епюри нормальних напружень
симетричних моносталевих перерізів
величиною менші границі текучості ?Т , що говорить про те, що нижня полка і остання частина стінки від точки 2 до точки 3 працюють у пружній області. При цьому можливі випадки, коли ?lim і ?н мають протилежні знаки, як на рис.2.3,в,г,д і однакові, як на рис.2.3,а, - випадок, коли матеріал перерізу тільки стиснутий (або тільки розтягнутий). Очевидно, що при переході із стану (рис.2.2,а) в стан (рис.2.3,в), і далі, існує таке значення поздовжньої сили, при якому ?н=0, тобто нижня полиця стає зайвою і двотавр вироджується в тавр без нижньої полиці. Розглянувши відповідний вид напружено-деформованого стану (рис.2.3,б), складаємо рівняння рівноваги по поздовжній силі:
-?T А1 - ?T А2[1 - 0.5(?-?1)]=N . (2.8)
Величину (?-?1), що входить в (2.8), визначимо, розглянувши подібні трикутники ДОК і ВОС, звідки отримаємо, що ?T??Flim=(?-?1)h?h=(?-?1), або, замінивши ?T і ?Flim через відповідні величини деформацій і, підставивши значення (?-?1) в (2.8), отримаємо:
-?T А1 - ?T А2(1 - 0.5 )=N . (2.9)
Або, після перетворень:
N= -?T А1 - ?T А2. (2.10)
Як видно з виразу (2.10), значення поздовжньої сили, при якій моносталевий двотавровий переріз вироджується в тавровий, залежить від співвідношення площ полиці і стінки і заданої граничної величини інтенсивності пластичних деформацій ?ip,lim .
Для перерізу, епюра граничних нормальних напружень якого представлена на рис.2.3,г, у верхній і нижній полиці і в частині стінки від точки 1 до точки 2, і від точки 3 до точки 4 досягнуті напруження, що дорівнюють границі текучості ?Т, при цьому в нижній полиці значення напружень ?нF більше границі текучості, що можна описати нерівністю ?T ? ?нF ? ?Flim , або Ry