РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ГИП
ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
2.1. Основные уравнения математической модели горячего изостатического прессования
Как уже было замечено в разделе 1, при условиях, характерных для ГИП, основным деформационным механизмом при уплотнении металлического порошка является дислокационная ползучесть. Поэтому при разработке математической модели уплотнения порошковых материалов методом ГИП учитывался только этот механизм. Принималось также, что напряженное и деформированное состояние является однородным и одинаковым в любой точке прессуемого тела. Аналогичные допущения использовались для температуры.
С учетом идеализированных условий ГИП (????????=p) формула для определения эквивалентного напряжения (1.26) упростится и примет вид:
, (2.1)
где f(?) = (??????? - функция относительной плотности.
Формула для определения эквивалентной скорости деформации (1.25) с учетом условия неразрывности механики сплошной среды запишется в виде:
(2.2)
Подставив формулы (2.1) и (2.2) в (1.27), после несложных преобразований получим формулу скорости уплотнения для материалов, подчиняющихся закону Нортона [22]:
(2.3)
В ряде случаев (например, при высоких напряжениях и низкой температуре) деформация при дислокационной ползучести лучше описывается законом Дорна [46]:
??????????????????????????????????????????????(2.4)
где B, n - коэффициенты, зависящие от вида материала и от температуры. Подставив (2.1) и (2.2) в (2.4), получим уравнение
, (2.5)
из которого выразим скорость уплотнения по этому закону:
(2.6)
Параметры, входящие в формулы (2.3) и (2.6), можно разделить на 2 части:
- коэффициенты, определяющие механические характеристики материала, - A, k, B и n;
- функция относительной плотности f(?).
Для их определения необходимо проводить эксперименты на растяжение (сжатие) образцов из материала, спрессованного до теоретический плотности, и горячее изостатическое прессование порошков на установке, оснащенной дилатометром, как будет показано ниже.
2.2. Методика определения характеристик ползучести порошковых материалов
Механические характеристики - параметры A, k, B и n в формулах (2.3) и (2.6) - определяются путем проведения экспериментов на растяжение (сжатие) полностью уплотненного при ГИП материала. В результате эксперимента получаются связанные массивы данных по скорости деформирования [V], усилия деформирования [P] и длины (высоты - в случае сжатия) образца [L] на каждом этапе деформирования. Исходя из условия постоянства объема запишем равенство
, (2.7)
где D0 и L0 -диаметр и длина образца перед деформированием, а d и l - их текущие значения. В результате получаем формулу для вычисления текущего значения площади S:
. (2.8)
Элементы соответствующего массива напряжений [?] рассчитываются по формуле:
, (2.9)
где P - текущее значение усилия деформирования, S - текущее значение площади. Элементы массива скоростей деформаций [] получаем из выражения
, (2.10)
где V - текущее значение скорости деформирования, l - текущее значение длины (высоты) образца. В результате поведенных расчетов имеем связанные массивы напряжений и скорости деформаций [?] и []. Для получения расчетных зависимостей A и k прологарифмируем выражение закона Hортона из формулы (1.27):
. (2.11)
Рассмотрим это выражение как уравнение прямой y = ax + b, где коэффициентом при аргументе выступает показатель степенной ползучести k, а свободным членом - натуральный логарифм коэффициента ползучести A. Для нахождения этих величин линейно аппроксимируем методом наименьших квадратов значения логарифмов напряжения и скорости деформации. В результате получим значения искомых коэффициентов при заданной температуре.
В ряде случаев коэффициенты A и k - не постоянные величины, как это предполагалось ранее в ряде научных работ, а функции, зависящие от температуры. Для определения искомых зависимостей повторим эксперименты при других температурах. Получим таблицы значений A = f(T) и k = f(T). С целью упрощения наглядного представления коэффициента A на диаграммах ввиду широкого диапазона его изменения имеет смысл изображать не натуральную его величину, а натуральный логарифм. Нахождение промежуточных значений функций осуществляется путем линейного интерполирования показателя степенной ползучести k и логарифма коэффициента ползучести A.
Логарифмируя выражение закона Дорна из формулы (2.4), получим аналогичное уравнение прямой для этого закона:
. (2.12)
Последующие операции аналогичны соответствующим для закона Hортона, с той разницей, что аппроксимация проводится не в координатах ln - ln ?, а в ln - ?. В разделе 3.3 будут приведены примеры определения механических характеристик для конкретных порошковых материалов.
2.3. Методика определения функции относительной плотности
Формулы для определения функции относительной плотности f(?) получаются путем преобразованием формул (2.3) и (2.6). Для закона Hортона выражение примет вид:
(2.13)
Для вывода зависимости f(?) по закону Дорна разделим левую и правую части выражения (2.6) на :
, (2.14)
после чего прологарифмируем обе части уравнения, сгруппировав его члены так, как показано в (2.15):
. (2.15)
Разложив логарифм произведения на сумму логарифмов, получим уравнение для вычисления функции относительной плотности по закону Дорна: