Ви є тут

Геометричне моделювання у методах дискретних елементів

Автор: 
Манойленко Олена Семенівна
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2002
Артикул:
0402U002110
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РОЗДІЛ 2
ГЕОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ ВІДНОВЛЕННЯ ФУНКЦІЙ
НА СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТАХ СИРЕНДИПОВОЇ СІМ'Ї
Задачі відновлення функцій належать до теорії наближення функцій. Вони виникають у різних прикладних галузях. Задача відновлення функцій найбільш актуальна для методів дискретних елементів. Ідея відновлення дискретно заданої функції має дуже давню історію. Суть задачі відновлення полягає у тому, що функція відома на деякій множині точок, але необхідно розробити алгоритм наближеного обчислення функції на більш широкій множині точок. Частіше всього задачі відновлення розв'язуються за допомогою методів апроксимації та інтерполяції [4, 7, 13, 35, 99]. У дисертаційній роботі запропоновано новий геометрично-імовірнісний підхід до конструювання базисних функцій, які отримали поширення у задачах відновлення. Особлива увага приділяється сирендиповим скінченим елементам. У конструюванні цих елементів, які погано піддаються будь-якій формалізації, найбільш яскраво виявилися можливості геометричного моделювання. У чисельних методах на основі методу Бубнова-Гальоркіна (наприклад, методі скінчених елементів) найчастіше використовують наступний процес відновлення. Обирають деяку множину функцій . Якщо - базисні функції елемента, - вузлові значення, а - кількість вузлів в елементі, то інтерполянт на елементі має вигляд:
Вважається, що функція і розв'язує задачу відновлення на елементі.
2.1. Основні етапи розвитку теорії відновлення функцій у методах дискретних елементів

Усі етапи розвитку обчислювальної математики пов'язані з ідеєю дискретизації. Особливе місце серед дискретних методів посідають методи чисельного розв'язування диференціальних рівнянь із частинними похідними: метод скінчених різниць (МСР), метод скінчених елементів (МСЕ), метод контрольних об'ємів (МКО), метод граничних елементів (МГЕ) [6,9], метод Монте-Карло, який використовує сіткову дискретизацію для маршрутизації випадкових блукань броунівських частинок.
Перелічені методи мають не тільки спільну процедуру дискретизації, але і геометрично-імовірнісний характер побудови обчислювальних формул [34, 47, 49, 79, 103, 104, 109, 110, 112].
Вважається, що першою значною роботою з обчислювальної математики була робота Річардсона (1910 р.), у якїй була запропонована ітераційна схема розв'язування рівняння Лапласа і бігармонічного рівняння. Річардсон обчислював напруги у кам'яній дамбі. Рівняння Лапласа розв'язувалося релаксаційним методом. У 1918 р. Лібман запропонував покращений варіант методу Річардсона.
Іноді початок сучасного чисельного аналізу пов'язують з появою відомої роботи Р. Куранта, Фрідріхса і Г. Леві (1928 р.) [126], у якій вперше була сформульована умова стійкості різницевих схем для чисельного розв'язування рівнянь із частинними похідними гіперболічного типу.
1940 р. пов'язаний з появою роботи Саусвелла, де автор запропонував релаксаційну схему, яка використовувалася при розв'язуванні задач гідро- та будівельної механіки. Ця схема мала прискорену збіжність.
Пізніше фон Нейман створив свій метод аналізу стійкості різницевих схем розв'язування нестаціонарних задач. Цей метод було детально викладено лише у 1950 р. О'Брайєном і Капланом.
У 1954 р. П. Лакс запропонував чисельну схему для розв'язування диференціальних рівнянь у дивергентній формі.
Для розв'язування рівняння Лапласа Франкел у 1950 р. запропонував перший варіант методу послідовної верхньої релаксації, який суттєво прискорив збіжність чисельного методу.
У 1955 р. Письмен і Ракфорд, а у 1956 р. Дуглас і Ракфорд запропонували новий клас неявних методів розв'язування параболічних і еліптичних рівнянь - методи змінних напрямків. У цих схемах крок за часом не обмежений, вони широко використовуються і тепер.
Подальший розвиток МСР став можливим завдяки роботам М.С. Бахвалова, Е.А. Волкова, А.А. Дородніцина, Р. Куранта, П. Лакса, Г. Леві, Л.А.Люстерніка, В.С.Рябенького, О.А. Самарського, К. Фрідріхса та ін. Теоретичні основи і практичні рекомендації до застосування МСР можна знайти у [4, 11, 25, 43, 44, 51, 68, 69, 70, 86, 87, 101, 120, 122].
У 60-х роках широкого розповсюдження набуває МСЕ. Появу МСЕ пов'язують із роботою Р.Куранта [126] у 1943 р., який вперше запропонував розв'язувати задачу кручіння стержня довільного перерізу за допомогою тріангуляції області, що досліджується, побудувати інтерполяційні поліноми на кожному трикутнику і звести задачу до системи лінійних алгебраїчних рівнянь. У 50-х роках з'явилися прості скінчені елементи, що були запропоновані Д. Аргирисом [2], Тернером, Клафом, Мартіном і Топом [134].
Термін "скінчені елементи" увів саме Клаф у 1960 р. Основна ідея МСЕ полягає у використанні координатних функцій з локальними носіями, які залежать від скінченого числа параметрів. Важливі результати у цьому напрямку мають В.Г.Корнєєв, Г.І. Марчук, С.Г. Міхлін, Ж.-П. Обен, Л.А. Руховець та ін. Вважається, що найбільш вагомий внесок у розвиток МСЕ зробили Б.Г. Гальоркін і С.Г. Міхлін [76,98]. До українських вчених, які плідно працюють у цьому напрямку, належать П.М. Варвак, В.Н. Вовк, Я.М. Григоренко, В.С. Дейнека, С.Ю. Єременко, Б.Я.Кантор, М.В. Марчук, Ю.І. Немчинов, В.Г. Піскунов, Я.Г. Савула, О.С. Сахаров, І.В. Сергієнко, В.В. Скопецький, А.В. Фролов, А.Н. Хомченко, Г.А. Шинкаренко та ін.
МКО набув широкого практичного застосування у 70-ті роки. Найбільш вагомий внесок у створення і розвиток МКО став можливим завдяки роботам Д. Сполдінга і С. Патанкара, В.І. Агошкова, Г.І. Марчука, Сперроу, Баліги, Лаундера та ін.

2.2. Скінчені елементи сирендипової сім'ї

У роботі головна увага приділяється сирендиповим скінченим елементам, які, на відміну від лагранжевих елементів мають вузли тільки на границі області, що значно зменшує обсяг обчислювальної роботи. Вони були відкриті у 60-ті роки. Назва цих елементів походить від англійського слова "serendipity", яке походить від древньої