РОЗДІЛ 2
ГЕОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ І ЗАДАЧІ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ
Задачі відновлення дискретно заданої функції U часто виникають і є актуальними
в різних прикладних галузях при дослідженні суцільних середовищ, наприклад при
оцінці продуктивності родовищ нафти й газу, в екологічних і фізичних
дослідженнях, в задачах дослідження температурних, електромагнітних полів та
ін. Зміст задачі відновлення в тому, що знаючи функцію на деякій множині точок,
необхідно розробити алгоритм побудови функції U (або значень функції) на більш
широкій множині точок. Задача побудови такої функції, як відомо, називається
задачею інтерполяції. Найчастіше інтерполюючу функцію відновлюють у вигляді
полінома. Такий спосіб наближення має своєю основою гіпотезу, що на невеликих
відрізках зміни аргументу, функція може бути достатньо добре наближена за
допомогою параболи деякого порядку, аналітичним виразом якої і буде
алгебраїчний поліном.
2.1. Лагранжева інтерполяція
Розв’язуючи математичні задачі відновлення функції в їх графічній
інтерпретації, методи геометричного моделювання знаходять широке застосування в
фізиці, хімії, механіці, кристалографії та багатьох інших науках. У процесі
геометричного моделювання об’єктів складної форми можливі два переходи від
дискретно поданої інформації до відновлюваної гладкої поверхні. Перший підхід
пов'язаний з методами точного аналітичного опису кривих і поверхонь, що
обмежують об’єкт; у другому підході застосовують наближені методи інтерполяції
і апроксимації, а саме апроксимація за допомогою сітки. З геометричної точки
зору задачі інтерполяції пов’язані з пошуком гладких кривих або поверхонь, що
проходять через множину точок і ліній.
Для геометричного моделювання найбільший інтерес представляють методи
наближення поліномами, що забезпечують необхідну точність відновлюваної
поверхні. Інтерполяційні поліноми можуть бути використані для наближеного
інтегрування та диференціювання. Теорія наближення функцій одного аргументу
поліномами була розроблена в працях І.Ньютона, Ж. Лагранжа, П.Л.Чебишева,
К.Вейерштрасса, С.Н.Бернштейна та ін. Суто математичні аспекти поліноміального
наближення висвітлені в літературі з обчислювальної математики та чисельних
методів [6, 11, 23, 46, 63]. Частіше всього задачі відновлення функції
розв’язуються за допомогою інтерполяційних методів. Задачі для функції однієї
змінної успішно розв’язуються в роботах Ковальова С.М., Найдиша В.М., Куценко
Л.М. та їх учнів. Проте, для функцій багатьох змінних ці задачі значно
складніші. По-перше, задача не може бути вирішена при довільній кількості
вузлів інтерполяції. По-друге, ці вузли не можуть розміщуватися довільно в
досліджуваній області. Крім того, принципові труднощі виникають при оцінці
залишкових членів. Спроби поширити прийоми інтерполяції на багатовимірні задачі
представлені в роботах Найдиша В.М., Малкіної В.М, Пилипаки С.Ф., Пустюльги
С.І. та ін.
Останні 20 років методи геометричного моделювання стали застосовувати в
детермінованих (сіткових) методах відновлення функцій: метод скінченних різниць
(МСР), метод скінченних елементів (МСЕ) та в стохастичних методах (метод
Монте-Карло). Геометричні підходи не мають альтернативи в тому випадку, коли
скінченні елементи не піддаються моделюванню традиційним алгебраїчним методом.
Геометричне моделювання, як буде показано нижче, дозволяє зробити процедуру
конструювання базисних функцій наочною, швидкою, універсальною.
В геометричному моделюванні велике теоретичне та прикладне значення має
розробка методів наближення поліномами. На практиці для інтерполювання значень
функції в довільно заданих точках застосовують поліноми, запропоновані
Лагранжем [94].
Побудова інтерполяційного полінома типу Лагранжа базується на виконанні
наступної інтерполяційної гіпотези:
,
(2.1)
де - базисні поліноми інтерполяції Лагранжа або базисні функції СЕ або аплікати
поверхні базисної функції;
- символ Кронекера, n – кількість вузлів.
Одна з основних властивостей полінома Лагранжа полягає в тому, що сума
інтерполяційних коефіцієнтів Лагранжа або базисних функцій, визначених на
заданому дискретному елементі, дорівнює одиниці:
.
(2.2)
Практика показала, що апроксимація за допомогою інтерполяційних поліномів
Лагранжа є достатньо ефективною, коли інтерполюються гладкі функції і число n є
малим. Збільшуючи кількість параметрів в формулі, можна підвищити точність
апроксимації. Але з цього зовсім не витікає, що при збільшенні ступеня n
інтерполяційного полінома “якість” його як інтерполюючої функції буде весь час
підвищуватися. Справа в тому, що при достатньо великому n поліном буде дуже
жорстко визначатися вихідними даними і тому слідувати за всіма випадковими
невідтворюваними відхиленнями, обумовленими помилками експерименту, «шумовим
фоном» процесу тощо. З точки зору геометрії застосування для інтерполювання
поліномів високих ступенів в більшості випадків призводить до небажаних
осциляцій кривих, особливо поблизу крайніх вузлів проміжку інтерполювання та до
появи “зморшок” на поверхні базисної функції всередині СЕ. Формула Лагранжа при
стає громіздкою при практичному використанні. Тому поліноми ступеня рідко
застосовуються при побудові обчислювальних алгоритмів, що використовують
інтерполювання; при великих n, щоб запобігти осциляцій, неперервна функція
апроксимується кусково-неперервною функцією, що визначена на множини
піделементів.
2.2. Інтерполяція на трикутному скінченному елементі
Основною проблемою обчислювальних методів є вибір геометричної моделі сітки,
скінченного елементу, схеми випадкових бл
- Київ+380960830922