РОЗДІЛ 2
ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ РОЗВ'ЯЗАНІ ЗА ДОПОМОГОЮ ОТРИМАНИХ ТЕОРЕТИЧНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ
2.1. Мінімаксна оцінка ядра інтегрального оператора при аналізі амплітудного розподілу лінійного елемента антени в умовах невизначеності
Розглянемо задачу мінімаксного оцінювання ядра інтегрального оператора, яка виникає, при аналізі амплітудного розподілу в неперервному лінійному елементі антени []. Дана задача є практичним застосуванням загальних теоретичних результатів, отриманих в першому розділі. Результати по оцінці амплітудного розподілу опубліковані автором в [ , ] .
Потрібно оцінити лінійний неперервний функціонал
,
якщо задовольняє рівнянню при спостереженнях :
де - випадковий неперервний процес, ,
- детермінована неперервна на функція,
та - неперервнi на [0,1] функцiї. Крім того, вважаємо виконаними умови, заданi досяжними нерiвностями -:
, , ,
, , .
Умови - задають для пар центрально-симетричну область, яку ми позначимо
Теорема 2.1. Мінімаксна оцінка функціонала представляється в виді
знаходяться
,
. При цьому похибка оцінювання рівна
Доведення. Будемо шукати оцінку в виді :
,
з умови :
Тут - область, що задається -. В силу центральної симетричності області , витікає, що лiнійна оцінка не гірша за оцінку довільного виду. Більше того, можемо вважати константу рівною нулеві [ ]. З урахуванням цього та прийнятих узгоджень, розглянемо вираз, що входить в ліву частину
+.
Введемо , що задовольняє рівнянню
.
Шукаємо
= .
Враховуючи, що
використовуючи узагальнену нерівність Коші-Буняковського [ ] та ,
Аналогічно розглядається доданок
По припущенню нерівності - досяжні. Задача мінімаксної оцінки функціонала звелась до задачі оптимального керування:
,
при умовах ,
де .
Знаходимо оцінку методом Лагранжа.
=.
Нехай задовольняє рівнянню
, тоді
+.
Використовуючи систему введених функцій і обмежень
,
неважко бачити, що
Враховуючи рівність , отримуємо
Прирівнюючи вираз нулеві та враховуючи довільність , маємо вид оцінки
.
Підставляємо в друге рівняння :
Отримуємо систему рівнянь .
Доведемо справедливість системи .
Підставляємо знайдену оцінку в , з врахуванням рівності нулю константи c ,
Вводимо позначення , тоді
.
Вводимо систему і розписуємо вираз . З другого рівняння та введеного позначення отримуємо
.
Перший доданок рівний
=.
Враховуючи протилежність знаків другого доданку останнього виразу та
правої частини , а також , маємо
Знайдемо похибку оцінювання. Для цього підставляємо оцінку в функціонал і отримуємо
Доведення теореми завершено.
2.2. Апостеріорні мінімаксні оцінки в задачі оцінювання ядра інтегрального оператора
Розглянемо задачу отримання апостеріорних мінімаксних оцінок в задачі оцінювання ядра інтегрального оператора, яку ми розглянули в попередньому підрозділі. Будемо вважати, що спостереження тепер мають вид
.
Тобто, розглядається випадок задачі попереднього підрозділу, коли є детермінованою величиною, яку ми позначили ), причому будемо вважати, що пара належить деякій області , визначеній наступними умовами :
Для задачі в такій постановці можна ввести поняття апостеріорної оцінки (див. [ ] ), яка при оцінюванні функціонала від ядра операторного рівняння враховує уже спостережені дані. Будемо притримуватись схеми побудови апостеріорних оцінок та позначень, введених професором О.Г.Наконечним, який розв'язав задачу в загальному операторному виді.
Розглянемо систему :
,
та введемо функціонал:
Доведемо лему.
Лема 4.1. Мінімум функціонала досягається на
,
де - розв'язок рівняння
, .
Доведення. Візьмемо , де також є розв'язкомсистеми . Тоді розв'язку відповідає деякий
.
Розглянемо доданки . Похідна першого доданка
=
( в силу першого рівняння та умови )
=.
Похідна другого доданку
= =
= =
( враховуючи друге рівняння )
==
( враховуючи )
= =
( з першого рівняння )
=.
Третій доданок має похідну
= .
Склавши три отриманих вирази і прирівнявши суму нулю, маємо
= = 0 .
Так як і, відповідно, довільні, то
Лема доведена .
Лема 4.2. Мінімаксні апостеріорні оцінки, як розв'язок системи при квадратичних обмеженнях, що задаються областю , взаємозв'язані з апріорними оцінками наступними співвідношеннями
,
де - розв'язок рівняння
, .
Доведення. Покажемо спочатку справедливість . Легко сформулювати нашу задачу в позначеннях, що відповідають введеним в теоремі 1.2 .
Розглянемо другу систему рівнянь в задачі оцінювання ядра інтегрального оператора.. Очевидно, що знаходження невідомих з цієї системи аналогічне явному розв'язуванню другої системи Т.1.2. В другому підрозділі першого розділу вказані явні розв'язки обох систем операторних рівнянь Т.1.2. Знаходження наших пов'язане з аналогом оператора в Т.1.2, , який природно виникає при явному розв'язуванні вказаних вище систем операторних рівнянь. Цей оператор має обернений, тому
З іншого боку, похідна від , прирівняна нул