Ви є тут

Аналітико-чисельні підходи до розв'язування задач термопружності термочутливих тіл при конвективному теплообміні

Автор: 
Гарматій Галина Юріївна
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2002
Артикул:
0402U002642
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ РІВНЯННЯ ТА КРАЙОВІ УМОВИ ЗАДАЧ ТЕРМОПРУЖНОСТІ ДЛЯ ТЕРМОЧУТЛИВИХ ТІЛ
Врахування залежностей термомеханічних характеристик тіла від температури є суттєвим при визначенні температурних напружень в елементах конструкцій, які працюють в умовах низьких і високих температур. Це значно ускладнює побудову розв'язку задачі термопружності, але дозволяє набагато точніше досліджувати напружено-деформований стан таких елементів конструкцій.
Розв'язання квазістатичних незв'язаних задач термопружності складається з двох важливих етапів, які включають знаходження температурного поля та визначення напружено-деформованого стану тіла, обумовленого знайденим температурним полем. При врахуванні залежностей теплофізичних характеристик матеріалу тіла від температури нестаціонарні крайові задачі теплопровідності є нелінійними (нелінійними є рівняння теплопровідності і граничні умови), а відповідні задачі термопружності з залежними від температури механічними характеристиками, якщо за вихідні взяті рівняння в переміщеннях, є крайовими задачами зі змінними коефіцієнтами.
2.1. Постановка нестаціонарних задач теплопровідності та квазістатичних задач термопружності
Розглянемо однорідне ізотропне тверде тіло, в якому діють джерела тепла густини , а його теплофізичні характеристики, а саме, коефіцієнт теплопровідності і об'ємна теплоємність , залежать від температури . Розподіл температурного поля в такому тілі описується диференціальним рівнянням з частинними похідними другого порядку [57]
, (2.1)
де - час.
Залежно від геометрії досліджуваної області рівняння (2.1) доцільно подавати в різних системах координат.
У декартовій системі координат () нелінійне рівняння нестаціонарноі теплопровідності (2.1) має вигляд
. (2.2)
Рівняння (2.2) встановлює зв'язок між часовою і просторовою змінами температури в будь-якій точці тіла. Для повного математичного опису конкретного процесу теплопровідності необхідно до основного диференціального рівняння теплопровідності додати крайові умови (початкові та граничні). Початкові умови задають розподіл температури всередині тіла в момент часу, який вибирається за початковий при дослідженні нестаціонарних процесів. Граничні умови описують спосіб теплової взаємодії між оточуючим середовищем і поверхнею тіла , і можуть бути задані декількома способами:
* у вигляді розподілу температури на поверхні тіла, як функції координат і часу
; (2.3)
* у вигляді розподілу густини теплового потоку на поверхні тіла, як функції координат і часу
, (2.4)
де - внутрішня нормаль до поверхні ;
* у вигляді залежності густини теплового потоку внаслідок теплопровідності зі сторони тіла S від температур поверхні тіла і зовнішнього середовища
, (2.5)
де - коефіцієнт тепловіддачі, який характеризує інтенсивність теплової взаємодії середовища заданої температури з поверхнею тіла;
* якщо, крім конвективного теплообміну (2.5), тіло піддається нагріву випромінюванням зі сторони зовнішнього середовища, то гранична умова має вигляд
, (2.6)
де 0 ? 1 - коефіцієнт чорноти, - стала Стефана-Больцмана;
Для контактуючих тіл задаються умови спряження температурних полів на границі розділу двох тіл. При ідеальному тепловому контакті умова неперервності температурного поля має вигляд
. (2.7)
Закон збереження енергії на поверхні стику двох тіл задається умовою
, (2.8)
де означає диференціювання вздовж нормалі до поверхні розділу.
У циліндричній системі координат () рівняння нестаціонарної теплопровідності для тіл з залежними від температури теплофізичними характеристиками має вигляд
. (2.9)
Якщо ізотропне тіло, теплофізичні характеристики і якого залежать від температури, віднесено до сферичних координат (), то рівняння нестаціонарної теплопровідності записується так:
. (2.10)
Таким чином, для знаходження температурного поля необхідно розв'язати рівняння теплопровідності (2.1), яке в декартовій, циліндричній і сферичній системах координат відповідно має вигляд (2.2), (2.9), (2.10) при заданих початковій умові та граничних умовах типу (2.3)-(2.6), для контактуючих тіл - (2.7), (2.8).
На другому етапі розв'язання квазістатичної задачі термопружності, знаючи розподіл температурного поля, необхідно визначити: шість компонент тензора напружень (i,j = 1,2,3), шість компонент тензора деформації (i,j = 1,2,3) і три компоненти вектора переміщення (i = 1,2,3), які задовольняють:
* рівняння рівноваги
, (2.11)
де - густина, (i = 1,2,3) - компоненти вектора густини масових сил;
* співвідношення між деформаціями і переміщеннями
(i,j = 1,2,3) (2.12)
і співвідношення між деформаціями і напруженнями
, (2.13)
де - коефіцієнти Ляме,
,
,
- температурний коефіцієнт лінійного розширення,
- температура тіла в початковому недеформованому стані,
- символ Кронекера.
Підсумовування ведеться за індексами, що повторюються.
Підставляючи вирази для напружень (2.13) в рівняння рівноваги (2.11), враховуючи при цьому (2.12), запишемо рівняння рівноваги для термочутливого тіла в переміщеннях
. (2.14)
Для повної постановки задачі при визначенні термопружного стану тіла необхідно, крім приведених вище рівнянь, задати ще граничні умови на поверхні тіла. Якщо на поверхні тіла задаються зовнішні поверхневі сили, то граничні умови мають вигляд
(i,j = 1,2,3), (2.15)
де - зовнішня одинична нормаль до поверхні тіла, - густина заданих поверхневих сил.
Якщо на поверхні тіла задані переміщення, то маємо кінематичні умови
(i = 1,2,3), (2.16)
де - задані на поверхні функції.
Якщо на частині поверхні задані напруження, а на частині - переміщення, то граничні умови мають вигляд
, . (2.17)
Коли відсутні зовнішні напруження і на поверхні тіла не задані переміщення, то граничні умови записують так:
(i,j = 1,2,3). (2.18)
Можуть зустрічатися й інші граничні умови, коли на частині поверхні задані деякі компоненти вектора переміщення і тензора напружень.
Наведені вище ос