РОЗДІЛ 2
Постановка двовимірних нестаціонарних задач для тіла з тонкими включеннями та інтегральне подання їх розв'язків
2.1 Розривні розв'язки рівнянь Ламе для антиплоскої і плоскої деформації у просторі зображень Лапласа
Нехай ізотропне пружне середовище знаходиться у стані антиплоскої деформації, причому поздовжній зсув відбувається вздовж вісі . При таких умовах відмінні від 0 будуть лише - компоненти вектора переміщень і компоненти тензора напружень і . Якщо розглянути площину , то в ній переміщення у разі динамічного навантаження задовольняє хвильове рівняння
, (2.1)
де - швидкість розповсюдження хвиль поздовжнього зсуву, - густина, - модуль зсуву у середовищі.
До рівняння (2.1) необхідно додати початкові умови, які без втрати загальності вважаються нульовими:
. (2.2)
Відмінні від 0 компоненти тензора напружень визначаються за формулами
, .
Нехай необхідно побудувати розв'язок рівняння (2.1), що задовольняє задані початкові умови, при якому переміщення і дотичне напруження мають у площині на відрізку , розриви зі стрибками
, . (2.3)
Такий розв'язок далі буде називатися розривним розв'язком хвильового рівняння (2.1) зі стрибками на відрізку.
Для побудови цього розв'язку в (2.1)-(2.3) перейдемо до зображень за Лапласом за формулою
Після цього у разі нульових початкових умов (2.2) рівняння (2.1) приведеться до рівняння Гельмгольца
. (2.4)
Рівності (2.3) перетворяться до вигляду
,
. (2.5)
Через , тут і далі позначені зображення за Лапласом напружень і переміщень, а , - зображення їх стрибків.
Можна бачити, що проблема побудови розривного розв'язку хвильового рівняння у просторі зображень Лапласа приводить до задачі про побудову розривного розв'язку рівняння Гельмгольца. Такий розв'язок для випадку гармонічних коливань побудовано у [108]. Щоб скористатись цими формулами в них необхідно покласти . Тоді зображення переміщень і дотичних напружень визначаються формулами:
, , . (2.6)
, - швидкість поширення хвиль у пружному тілі.
З метою зниження порядку диференціального оператора у формулі для напружень доцільно зробити такі перетворення. По-перше, скористатись співвідношеннями
,. (2.7)
По-друге, у інтегралі, що містить стрибок переміщень зробити інтегрування частинами:
, (2.8)
де
, .
Внаслідок цього формула для дотичних напружень набуває вигляду
. (2.9)
Для застосування знайдених формул для розв'язання конкретних задач необхідно знайти граничні значення зображень переміщень і напружень на відрізку, де зосереджені розриви. При з (2.6),(2.9) маємо:
. (2.10)
При виведенні (2.10) були використані наступні формули:
, , ,
, ,
;,
, (2.11)
де - дельта-функція Дірака, , - модифіковані функції Бесселя.
Отриманий розривний розв'язок (2.1), (2.2) і формули для граничних значень можуть бути використані при розв'язанні нестаціонарних антиплоских задач для тіл, що містять тонкі дефекти, зокрема, включення.
Нехай тепер пружне тіло знаходиться у стані плоскої деформації, паралельно до площини . Тоді відмінними від 0 будуть переміщення , і наступні компоненти тензора напружень: . Вектор переміщень задовольняє рівнянням руху Ламе, які за умов плоскої деформації мають вигляд
, , (2.12)
де - сталі Ламе тіла, - його густина. Будемо вважати, що мають місце нульові початкові умови
. (2.13)
Припустимо, що на відрізку у площині напруження і переміщення мають розриви першого роду зі стрибками
, , , . (2.14)
Також для стрибків переміщень мають виконуватись рівності
, . (2.15)
Розв'язок рівнянь руху Ламе, що задовольняє задані початкові умови і є таким, що напруження і переміщення мають стрибки (2.14), далі називатиметься розривним розв'язком рівнянь Ламе зі стрибками на відрізку.
Побудову такого розв'язку почнемо з застосування до рівнянь (2.12) і умов (2.13) інтегрального перетворення Лапласа за часом. При нульових початкових умовах рівняння (2.12) після цього буде мати вигляд
, . (2.16)
Для зображень стрибків переміщень і напружень з (2.14) отримаємо
, , , ,
, . (2.17)
У рівностях (2.17) , - зображення Лапласа відповідних напружень, переміщень і їх стрибків.
Рівняння (2.16) співпадає з відповідним рівнянням для гармонічних коливань, якщо в останньому покласти частоту рівній . Цей факт дає можливість скористатись розривним розв'язком рівнянь Ламе для гармонічних коливань у стані плоскої деформації, що побудовані у [111]. В них необхідно
підставити , , , де , В наслідок цього отримаємо наступні формули для зображень переміщень:
. (2.18)
Зображення напружень, що відповідають (2.17) знаходяться згідно з формулами
,
,
. (2.19)
При виведенні останніх формул з метою зниження порядку диференціювання в інтегралах, що містять стрибки переміщень проведено інтегрування частинами і використані співвідношення (2.7), (2.11).
Для застосування отриманого розривного розв'язку при розв'язанні конкретних задач для тіл з тонкими дефектами, зокрема включеннями, необхідно знайти граничні значення при на відрізку зосередження розривів. В результаті граничного переходу маємо:
,
. (2.20)
Отримані розривні розв'язки рівнянь руху Ламе для стану плоскої деформації, а також їх граничні значення далі будуть використані при розв'язанні нестаціонарних задач для тіл, що містять тонкі включення.
2.2. Інтегральне подання розв'язку нестаціонарної задачі для тіла з тонким включенням в умовах антиплоскої деформації
Розглянемо необмежене пружне, ізотропне тіло (матрицю), яке знаходиться у стані антиплоскої деформації ( зсув відбувається вздовж вісі ) і містить тонке включення, як