РОЗДІЛ 2
ДИСКРЕТНО-ЛІНІЙЧАСТІ ПЛАСТИЧНІ ЗОНИ, УТВОРЕНІ СКІНЧЕННОЮ ТА БЕЗМЕЖНОЮ КІЛЬКІСТЮ СМУГ ПЛАСТИЧНОСТІ
Об'єктом досліджень цього розділу є дискретно-лінійчасті пластичні зони у формі в'язки смуг із центром у вершині концентратора. Кількість смуг і кути між ними вважаються відомими. Пропонується математична модель росту при навантаженні дискретно-лінійчастих пластичних зон. Доведено, що континуальна пластична зона є граничним випадком в'язки пластичних смуг при безмежно великій їх кількості. Знайдено спосіб лінеаризації пружно-пластичної задачі в класі неперервних функцій, що полягає у зведенні її до задачі Келдиша-Сєдова. Вивчаються особливості дискретно-лінійчастих пластичних зон залежно від кількості смуг, кутів між ними, рівня навантаження та у взаємовідношенні з континуальною зоною.
2.1. Маломасштабна дискретно-лінійчаста пластична зона в околі вершини кутового вирізу
Нехай напружено-деформований стан поздовжнього зсуву у тілі, що займає в циліндричній системі координат область , ?, де , спричинено діючими в нескінченно віддаленій точці тіла безмежно малими зсувними зусиллями вздовж осі . Береги вирізу вважатимемо вільними від зовнішніх напружень.
Узагальнюючи відоме зображення пластичної зони пластичною лінією (поверхнею) розриву зміщення, вважатимемо пластичні деформаціїї, що виникають в околі кутової точки тіла, зосередженими в смугах, котрим у полярній системі координат () відповідає в'язка відрізків:
(2.1)
де - кількість смуг пластичності,
- полярний кут - ї смуги, - її довжина.
Першою вважається смуга, що складає найменший кут із верхнім берегом вирізу , решта пронумеровані за годинниковою стрілкою, - кут між верхнім берегом вирізу і першою смугою пластичності, - між першою і другою смугами і т.д., - між останньою смугою і нижнім берегом вирізу (рис. 2.1, - декартові координати в площині . Очевидно, що .
Пластичні смуги формуються в результаті зсувів вздовж площинок максимального зсувного напруження, внаслідок чого у кінцевих точках смуг площинки максимального зсувного напруження дотичні до смуг, тобто , де - одиничний, нормальний до смуги вектор. Або
, (2.2)
Парціальний розрив зміщення - відносне зміщення берегів у початковій точці - ї смуги пластичності - позначатимемо через . Сумарний розрив зміщення в кутовій точці вирізу виражається сумою всіх парціальних розривів.
Сформулюємо постановку задачі у напруженнях. Вимагаючи на пластичних смугах виконання умови пластичності (1.2) та прирівнявши до нуля зовнішні напруження (1.24) на сторонах кута, отримуємо
,
,
. (2.3)
Рівності (2.2) і (2.3) виражають математичну модель дискретно-лінійчастої пластичної зони при вершині кутового вирізу.
2.1.1. З а г а л ь н и й в и п а д о к д и с к р е т н о-л і н і й ч а с т о ї з о н и. Для функції , згідно з (2.2), (2.3), приходимо до наступної крайової задачі в області поперечного перерізу тіла, розрізаній по відрізках, які відповідають смугам пластичності (область , рис. 2.2):
(2.4)
.
Розв'язок крайової задачі (2.4) можна знайти безпосередньо за допомогою конформних відображень. Функція внаслідок умов (2.4) конформно відображає кут площини з розрізами по відрізках, відповідних пластичним смугам (область , див. рис. 2.2 (показано випадок п'яти смуг)), на круговий сектор (область , див. рис. 2.2) площини . Уведемо допоміжну комплексну площину , у якій областям та відповідає область (рис. 2.3) Функцію знайдемо за допомогою інтеграла Крістофеля - Шварца, який у цьому випадку виражається через елементарні функції у замкнутому вигляді. Подана у параметричній формі функція є такою
(2.5)
, (2.6)
де - комплексна змінна, що набуває значення з області ;
- стала розмірності довжини, що виражає асимптотику напружень у безмежно віддаленій точці;
( - дійсне число і ) тут і далі - аналітична функція, у в площині , розрізаній по від'ємній дійсній півосі, аргумент якої змінюється від - до ; - афікси точок площини , відповідні початковим точкам берегів ї смуги (точки див. рис. 2.3);
- афікси точок площини , відповідні вершинам смуг (точки див. рис. 2.3).
Для конкретності відображення прийнято фіксованими точки :
( (2.7)
У точках функція приймає максимуми. Тому , що еквівалентно системі рівностей
. (2.8)
Унаслідок третьої та четвертої з умов (2.4), функція відома у кінцевих точках смуг, а, отже, відоме при . Тому
. (2.9)
Тепер, коли коефіцієнти знайдено, рівності (2.8) можна вважати системою рівнянь відносно параметрів . На відрізку аргумент функції змінюється від до . Тому система (2.8) не матиме розв'язків, якщо хоч би один із кутів . Це означає, що пластичні смуги не можуть утворювати з берегами вирізу гострих кутів.
Далі аналізуватимемо систему (2.8) для випадку зони, симетричної відносно бісектриси кута.
При парному
,
(2.10)
при непарному
,
, (2.11)
Для симетричної зони, утвореної парною кількістю смуг, система (2.8) матиме вигляд
, (2.12)
а непарною -
. (2.13)
При парному система (2.8), унаслідок співвідношень (2.10), складається з незалежних рівнянь і містить незалежних невідомих , а при непарному - унаслідок рівностей (2.11), містить незалежних рівнянь, які зв'язують стільки ж невідомих . При непарному кількість рівнянь системи, що визначають параметри , співпадає з кількістю невідомих, а при парному - перевищує їх на одиницю. Тому в останньому випадку система рівнянь (2.12) для визначаючення коефіцієнтів для заданого набору кутів між смугами, що задовольняють умови симетрії (2.10) та необхідну умову , може виявитися несумісною. Отже, кути між смугами дискретно-лінійчастих зон, утворених парною кількіс