РОЗДІЛ 2.
ПЕРЕНОРМУВАННЯ ФОНОНАМИ ЕНЕРГЕТИЧНОГО СПЕКТРА ЕЛЕКТРОНІВ І ДІРОК У НАПІВПРОВІДНИКОВИХ СФЕРИЧНИХ КВАНТОВИХ ТОЧКАХ, ВВЕДЕНИХ У НАПІВПРОВІДНИКОВЕ СЕРЕДОВИЩЕ
Взаємодія електрона (дірки) з фононами у низькорозмірних наногетеросистемах досліджується на основі різноманітних теоретичних моделей, що не завжди дають близькі між собою результати. У попередньому розділі розглядалися і порівнювалися три основні моделі, які використовуються для опису оптичних фононів у нанорозмірних гетероструктурах. Оптимальною моделлю, що дає досить точні результати і яка є порівняно простою, виявилася модель діелектричного континууму. Саме нею користуються більшість дослідників при вивченні електрон-фононної та дірково-фононної взаємодій у напівпровідникових простих наногетеросистемах: КТ [37, 117, 41, 123], квантових дротах, плоских квантових ямах [108, 82, 93, 95]. Проте, незважаючи на відносну простоту моделі діелектричного континууму, дослідження взаємодій квазічастинок із фононами на її основі є досить складним завданням навіть для найпростіших згаданих вище гетеросистем. Головними причинами математичних утруднень є наявність у системі декількох гілок фононів і особливо багаторівневість (у КТ) та багатозонність (у квантових дротах та квантових ямах) електронних систем.
У деяких роботах [37], у яких вивчалося перенормування електронного спектра поляризаційними фононами у низькорозмірних гетеросистемах, використовувалося наближення нескінченно глибокої потенціальної ями. Це полегшувало громіздкі математичні розрахунки, але автоматично ігнорувало взаємодію електрона з фононами зовнішнього середовища-бар'єра, а також зменшувало реальний внесок інтерфейсних фононів, тому що відповідне їм потенціальне поле має максимум саме на межі розділу середовищ, де можливість перебування електрона дорівнює нулю через нескінченну висоту потенціального бар'єра.
У цьому розділі за допомогою методу функцій Гріна буде вперше детально досліджено усі фононні механізми перенормування низькоенергетичної частини електронного та діркового спектрів сферичної КТ на прикладі системи ?-HgS/CdS. При цьому використовуватиметься модель діелектричного континууму для фононів і наближення ефективної маси та скінченної глибини потенціальної ями для електрона (дірки). Між електрон-фононною та дірково-фононною взаємодіями немає принципових фізичних відмінностей, тому детально розглядатиметься тільки випадок взаємодії електрона з фононами.
2.1. Гамільтоніан електрон-фононної взаємодії у сферичній квантовій точці, розташованій у напівпровідниковому середовищі
Вивчається електрон-фононна система у напівпровідниковій сферичній КТ, яка являє собою напівпровідникову сферу (0) радіуса вміщену у масивне напівпровідникове середовище (1) (рис. 2.1). У наближенні ефективної маси і прямокутного потенціалу
, (2.1)
рівняння Шредінгера розв'язується точно [123]. У результаті гамільтоніан електрона у зображенні вторинного квантування має вигляд:
Рис. 2.1. Геометрія і потенціал сферичної наногетеросистеми.
, , (2.2)
де , - ферміївські оператори народження і знищення. Енергетичні рівні вироджених дискретних стаціонарних станів ( ) знаходяться з рівнянь
, (2.3)
де
, , (2.4)
- сферичні функції Бесселя та Ханкеля.
Ортонормована система хвильових функцій дискретного спектра () у сферичній системі координат має вигляд:
, (2.5)
де
. (2.6)
Радіальні хвильові функції стаціонарних станів неперервного спектра, енергія якого пов'язана з величиною співвідношенням
, (2.7)
мають вигляд
, (2.8)
де
;
; ;
.
Тут відіграє роль своєрідного радіального квазіімпульсу.
Фононний спектр і потенціал поля поляризації гетеросистеми визначаються у моделі діелектричного континууму, де вважається, що КТ (0) і зовнішнє середовище (1) характеризуються відомими величинами діелектричних проникностей , , , і енергіями оптичних фононів , . У цій моделі гамільтоніан фононної системи у зображенні чисел заповнення має вигляд:
, (2.9)
де
(2.10)
- гамільтоніан обмежених фононів,
(2.11)
- гамільтоніан інтерфейсних фононів, енергії ( ) двох гілок () яких визначаються дисперсійним рівнянням
, ( ). (2.12)
Тут
, ( ) (2.13)
- енергії поперечних оптичних фононів масивного кристалу -го середовища.
Гамільтоніан електрон-фононної взаємодії у зображенні вторинного квантування за всіма змінними системи знаходиться через потенціал поля поляризації на повній ортонормованій системі хвильових функцій стаціонарних станів (1.22, 1.23)
. (2.14)
Тут гамільтоніан взаємодії електрона з обмеженими фононами
(2.15)
містить функції зв'язку
, ( ) (2.16)
які, у свою чергу, містять складові, що походять від сферичних функцій (1.57), та від радіальних функцій
, (2.17)
. (2.18)
Величини і знаходяться з рівнянь
, , (2.19)
у яких індекси і нумерують корені відповідних рівнянь при фіксованому .
Слід зауважити, що радіус () умовної сфери введено для зручності практичних розрахунків взаємодії електрона з обмеженими фононами зовнішнього середовища.
Гамільтоніан взаємодії електрона з інтерфейсними фононами
(2.20)
містить функції зв'язку
, (2.21)
де
, (2.22)
. (2.23)
Отже, гамільтоніан електрон-фононної системи у сферичній КТ, яка розташована у зовнішньому напівпровідниковому середовищі, цілком визначений
, (2.24)
що дозволяє застосувати метод функцій Гріна для знаходження перенормованого фононами електронного спектра.
2.2. Перенормування електронного спектра L- та I-фононами з урахуванням повної конфігураційної взаємодії
Оскільки електронний спектр КТ є суттєво багаторівневим, то для розрахунку його перенормування взаємодією електрона з фононами зручно використовувати апарат функцій Гріна.
У випадку багаторівневої системи електронів, що взаємодіють із фононами і описуються гамільтоніаном (2.24), при Т = 0 К Фур'є-образ електронної функції Гріна пов'язаний з масовим оператором (МО)