РАЗДЕЛ 2
ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ РЕКОМБИНАЦИИ
НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Как было отмечено в разделе 1.3, выражения, широко используемые в литературе для описания процессов рекомбинации, в случае малой неравновесности, применимы только при выполнении условия квазинейтральности. Получить выражения для описания процессов рекомбинации, которые имели бы более широкую область применения и не приводили бы к противоречиям, указанным в разделе 1.3, можно используя хорошо известные формулы, приведенные в уже цитированной литературе [3, 31, 35]. Легко найти следующие выражения для рекомбинации, полученные последовательным статистическим рассмотрением переходов между валентной зоной, зоной проводимости и зонами и уровнями примесей (если они присутствуют) [3]:
(2.1)
для межзонной рекомбинации. Для рекомбинации через примесные уровни согласно модели Шокли-Рида [52]:
(2.2)
Здесь ? - вероятность рекомбинации,
ni - концентрация носителей в собственном полупроводнике,
?n0, ?p0, n1, и p1 - характеристики примесных уровней.
Подчеркнем еще раз, что равенство Rn=Rp свойственно правильной модели рекомбинации и выполняется тождественно, не порождая переопределенности системы (1.8).
Линеаризуя выражения (2.1) и (2.2) для слабого отклонения от состояния термодинамического равновесия (изменения концентраций носителей в потоке малы по сравнению с их равновесными значениями), мы имеем для обоих случаев:
(2.3)
где 1/?n = ?p0, 1/?p = ?n0 - для межзонной рекомбинации,
1/?n = p0 /[?n0(p+p1)+?p0(n+n1)], 1/?p = n0 /[?n0(p+p1)+?p0(n+n1)] - для рекомбинации через примесные уровни.
В обоих случаях ?n и ?p удовлетворяют следующему соотношению:
(2.4)
Только выражения (2.3), при подстановке в (1.8), устраняют упомянутое выше противоречие.
Следует также обратить внимание на другой аспект проблемы. Из выражения (2.3) легко заметить, что в биполярных полупроводниках вообще невозможно корректно представить концепцию времени жизни носителей. Исключение имеет место только в режиме квазинейтральности, когда ?n=?p. Только в этом случае становится возможным представление общего времени жизни носителей в виде: ?-1=?n-1+?p-1. В отсутствии квазинейтральности можно говорить о времени жизни носителей и использовать подход, основанный на представлении скорости рекомбинации только через концентрацию неосновных неравновесных носителей, т.е.:
,
только в том случае, если ?n/?p< Таким образом, в общем случае для стационарного потока невозможно корректно представить концепцию времени жизни, т.е., нельзя ввести времена жизни для неравновесных носителей. В частных случаях, когда это можно сделать, время жизни будет единым для электронов и дырок.
Подобная проблема возникает и при описании поверхностной рекомбинации. Правильное выражение для поверхностной рекомбинации должно быть получено из рассмотрения переходов между зонами и примесями внутри полупроводника, и между зонами различных полупроводников (или между зонами полупроводника и металла в случае контакта с металлическим проводником). Выражение для величины поверхностной рекомбинации должно гарантировать тождественное равенство величин электронной и дырочной рекомбинаций при любой концентрации неравновесных носителей на контакте, как в случае объемной рекомбинации. Очевидно, что в общем случае, в условиях малого отклонения от равновесия, это выражение должно иметь следующую форму:
S = sn?n + sp?p (2.5),
где коэффициенты sn и sp должны быть получены из микроскопического рассмотрения соответствующих переходов.
Некоторые авторы используют эту формулу в начальной стадии вычислений, затем переходя к традиционным (но неправильным в общем случае) выражениям Sn=sn?n, Sp=sp?p. Довольно характерное рассмотрение представлено в [34], где квазиуровни Ферми электронов и дырок приняты совпадающими, что неявно предполагает бесконечную величину поверхностной (или объемной) рекомбинации.
Описание рекомбинации становится более сложным, если имеется неоднородное температурное распределение (температурное поле) в полупроводнике. В этом случае неясно, какой нужно выбрать уровень концентрации, относительно которого можно отсчитывать концентрацию неравновесных носителей (например, какую концентрацию нужно принят за уровень отсчета: n0(T0), n0[T(x)], , и т.д.). Выход из этого положения может быть найден последовательным рассмотрением процесса установления "равновесия" в цепи (или процесса установления постоянства электрохимического потенциала в образце) [27]. Очевидно, этот метод приемлем только, если температурное поле считать заданным. Другой универсальный и более простой, с нашей точки зрения, способ решить эту проблему состоит в том, чтобы вернуться к статистическому рассмотрению переходов носителей между зонами и примесными уровнями в присутствии температурного поля. В этом случае величина концентрации в термодинамическом равновесии (в отсутствии температурного градиента) или величины, соответствующие средней температуре образца могут быть приняты как уровень отсчета концентрации, то есть n0 и p0. Этот метод работает также в случае, когда температурное поле должно быть определено самосогласованно.
Таким образом, для межзонной рекомбинации мы возвращаемся к выражениям (2.1), где величины ? и ni - функции температуры (?=?[T(x)], ni=ni[T(x)]). Для малого отклонения от состояния равновесия после линеаризации мы получаем следующие выражения для величин рекомбинации в объеме в температурном поле:
(2.6)
где ?T(x)=T(x)-T0, ,
T0 - температура в равновесии (уровень отсчета температуры),
? = 1/?ni - время жизни носителей в собственном полупроводнике.
Выражение для производной ?ni/?T л